西北大學(xué)量子力學(xué) 6.3 學(xué)習(xí)課件

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合在同一個(gè)原子中，電子既有自旋角動(dòng)量，又有軌道角動(dòng)量，因此很自然的，總要討論兩個(gè)角動(dòng)量之間的耦合。對(duì)于多粒子體系，只要粒子具有角動(dòng)量，總存在角動(dòng)量之間耦合的問題。而且，有許多問題，在耦合后得出的角動(dòng)量表象中討論會(huì)更方便。1.角動(dòng)量升降算符對(duì)和的共同本征函數(shù)，的本征值是，的本征值是，和是角動(dòng)量量子數(shù)和相應(yīng)的分量角動(dòng)量量子數(shù)。顯然，在的共同表象中，和的設(shè)為軌道角動(dòng)量算符,滿足對(duì)易子（6.3.1）

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合矩陣元分別是（6.3.2）（6.3.3）引入算符和，令（6.3.4）（6.3.5）（6.3.6）則（6.3.9）上式表明，也是的本征函數(shù)，本征值為，因此與最多相差一個(gè)常數(shù)，即有

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合即（6.3.7）（6.3.8）（6.3.10）（6.3.12）（6.3.11）同理，可以證明

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合和是待定的常數(shù)。為了求出和，注意到矩陣元（6.3.13）（6.3.14）（6.3.15）（6.3.16）又因（6.3.17）即另外，由于和是厄米的，所以有（6.3.18）

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合（6.3.19）將（6.3.18）代入（6.3.17）得或?qū)懗?/p>

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合（6.3.20）即（6.3.21）（6.3.22）由（6.3.9），（6.3.12）及（6.3.20），我們最后得出利用這些結(jié)果，可以求出在和的共同表象中，和的矩陣元是

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合（6.3.23）（6.3.24）應(yīng)該指出，上述各式并非只對(duì)軌道角動(dòng)量成立。對(duì)于軌道角動(dòng)量，就是球諧函數(shù)，對(duì)于其它角動(dòng)量，雖不是球諧函數(shù)，但只要滿足角動(dòng)量定義（6.3.1）式，并把

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合和理解為相應(yīng)的角動(dòng)量平方和角動(dòng)量分量的量子數(shù)，（6.3.21）——（6.3.24）式恒成立。例如對(duì)電子自旋角動(dòng)量，由（6.3.23）及（6.3.24）得（6.3.26）（6.3.25）因此有這正是自旋矩陣的泡利表示。

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合2.無耦合表象和耦合表象討論兩個(gè)角動(dòng)量和的耦合。和既可以是自旋角動(dòng)量，也可以是軌道角動(dòng)量或其它角動(dòng)量。按定義，應(yīng)有（6.3.27）（6.3.28）以及對(duì)易關(guān)系（6.3.29）（6.3.30）假定和是兩個(gè)獨(dú)立的角動(dòng)量，因此有（6.3.31）

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合是四個(gè)兩兩相互對(duì)易的算符，可以用它們的共同的本征函數(shù)系構(gòu)成一個(gè)表象，稱為無耦合表象。這個(gè)無耦合表象的基矢必定是的共同本征矢與的共同本征矢的乘積。即若（6.3.32）（6.3.33）則無耦合表象中的基矢是（6.3.34）現(xiàn)在轉(zhuǎn)而討論耦合表象。角動(dòng)量和之和是（6.3.35）（6.3.37）而且和與等滿足下述對(duì)易關(guān)系：

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合（6.3.36）容易證明，也是角動(dòng)量，也滿足（6.3.39）（6.3.40）另外，顯然還有因?yàn)榕c向量的任何分量對(duì)易。同理（6.3.38）6.3

兩個(gè)角動(dòng)量的耦合這些對(duì)易關(guān)系表明，這四個(gè)算符兩兩對(duì)易，它們具有共同的正交、歸一、完備、封閉的本征函數(shù)系。記相應(yīng)的量子數(shù)的本征函數(shù)為，有（6.3.41）（6.3.42）顯然，總角動(dòng)量量子數(shù)，它的分量量子數(shù)與有關(guān)，為了找出它們之間的關(guān)系，必須先將耦合表象和無耦合表象這兩個(gè)表象聯(lián)系起來。為此，將耦合表象的基矢6.3

兩個(gè)角動(dòng)量的耦合（6.3.43）按無耦合表象的基矢展開：（6.3.43）式中的系數(shù)稱為矢量耦合系數(shù)或克萊布希-戈?duì)柕窍禂?shù)。以算符分別作用于（6.3.43）式兩端（6.3.44）于是有（6.3.45）（6.3.43）可寫為（6.3.46）

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兩個(gè)角動(dòng)量的耦合公式（6.3.43）或（6.3.46）其實(shí)就是將耦合表象和無耦合表象聯(lián)系起來的表象變換公式。表象變換是個(gè)幺正變換，克萊布希-戈?duì)柕窍禂?shù)其實(shí)就是幺正變換的所對(duì)應(yīng)的幺正矩陣的矩陣元。我們已經(jīng)找到了和之間的關(guān)系，進(jìn)一步，現(xiàn)在來求量子數(shù)和之間的關(guān)系。由于的最大值依次為，而且，因此的最大值必然是（6.3.47）當(dāng)同時(shí)給定時(shí)，無耦合表象中基矢的數(shù)目是個(gè)。由于表象變換不改變基矢的數(shù)目，所以，耦合表象的基矢的數(shù)目與