2025屆四川省綿陽市高三上學期二診數(shù)學試題及答案

高中2022級第二次診斷性考試數(shù)學參考答案及評分標準一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．A8．C二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9．BCD10．BC11．ABD三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．212．3；13．；14．3273本題共515題131617小題151819小題1777答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：（1）∵ab2ccosB，由正弦定理得：sinAsinB2sinCB，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分又C，則sinAcosB，2∴BsinB2cosB，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分∴tanB1，又B是三角形內(nèi)角，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分∴B；?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分4（2）∵ab2ccosB，且ba1，∴cB2，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分a2c2b2∴c2，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分2aca2c2b24a，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????11分∴∴c23．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????13分16．解：（1）a=0時，f(x)ex1，fe1，且f(x)ex，???????????????????????????????????????2分∴kfe，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分故切線方程為：y?(e+1)=e(x?1)，即ex?y+1=0；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分（2）∵f(x)exa，exe]，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分由1<a<e，存在x[0，使得f(x)0，即exa，0a，?????????????????????????????????????????9分分分00當x[0，x)時，f(x)0，0f(x)單調(diào)遞減；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????100當x(x時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????1100故f(x)f(x)exax1aaa132ln2，?????????????????????????????????????????????????????????????12分00令g(a)aaa1，g(a)1a)a0，???????????????????????????????????????????????????????????????13分∴g(a)在，e)上單調(diào)遞減，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分易知g(2)32ln2，所以a2．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15分數(shù)學參考答案第1頁（共6頁）17．解：（1）設(shè)數(shù)列n}的公差為d，114令n1，得令n2，得，所以124，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分aa121127，所以2328，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分aa1232∵數(shù)列n}的公差大于0，∴11，d3，所以nn2；?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分（2）（i）k=1時，n=1，則b1；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分1k=1時，1a23a4，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分kk1∴b12，b12；???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分23（ii）由題意可知：kk1k2a，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分k1na時，bk，則bn，∴bn；?????????????????????????????????????????????????????????????????11分①當②當kakan3n2nak1時，ak12k，則an12n，∴3n12n；??????????????????????????????????????????????????12分nak2時，k22k，則n22n，∴3n2n，???????????????????????????????????????????????????13分③當∴S3nb1233n)bbb)bbb)bbb143n2253n1363n2nn)1222)1222)nnn(n2)22n(n2122n2，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分478∴S20S212129427408．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15分2數(shù)學參考答案第2頁（共6頁）18．解法一：（1）證明：如圖1，設(shè)AC的中點為F，連接BF并延長交CD于點G，易知△ABC為等邊三角形，且BG⊥AC，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1分在△ACD中，AC=AD=2，滿足2AD2CD2，∴AD⊥AC，則G為CD中點，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分又點E為PD中點，G為CD中點，∴EG//PC，又PC⊥AC，∴AC⊥EG，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分而BG，EG均在平面BEG內(nèi)，且BG∩EG=G，∴AC⊥平面BEG，，∴AC⊥BE；?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分（2）因為AC⊥平面BEF，則AC⊥EF，AC⊥FG，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分因此∠EFG即為二面角E-AC-D的平面角，3∴cos，而AE2，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分3∴在△EFG中，AE2AF23，由余弦定理得EG2，?????????????????????????????????????????8分EG2FG2EF2，則EG⊥FG，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分∴∴EG⊥平面ABCD，PC⊥平面ABCD，EG2，22，由AD⊥AC，則△ACD的面積為2，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分1423∴三棱錐P-ACD的體積V=222=；????????????????????????????????????????????????????????????????????????????11分3（3）由PC//EG，則直線PC與平面ACE所成角即為直線EG與平面ACE所成角，由（1）可知AC⊥平面BEG，平面ACE，∴平面BEG⊥平面ACE，因此∠FEG即為所求角，??????????????????????????????????????????????????????????????????????12分思路一：在△EFG中，3，1，由正弦定理：sin，???????????????13分sinsin∴sinFEG=，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分3當sinEGF=1，即如（2）中EG⊥平面ABCD時，?????????????????????????????????????????????????????????????????????15分sin3sinFEG==，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????16分333∴直線PC與平面ACE所成角的正弦值為．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????17分3思路二：在△EFG中，3，1，故點G在以F為圓心，1為半徑的圓上，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分當EG與該圓相切時，即如（2）中EG⊥平面ABCD時，∠FEG最大，?????????????????????????????????????14分13此時sinFEG==，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????16分333∴直線PC與平面ACE所成角的正弦值為．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????17分3數(shù)學參考答案第3頁（共6頁）解法二：（1）證明：易知△ABC為等邊三角形在△ACD中，AC=AD=2，2AD2CD2，∴AD⊥AC，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1分滿足以A為坐標原點，建立上如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，xy2z設(shè)點P(x，y，z)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，B(1，3，0)，E(，，)，222xy2，z易知AC00)，PCyz)，BE3，)???????????????????????????????????2分222由PC⊥AC，則2(2?x)=0，則x=2，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分則BE=(02y2z，3，)?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分2∴BE=0，則AC⊥BE；????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分（2）由（1）可知AC⊥平面BEG，AC平面ABCD，∴平面BEG⊥平面ABCD，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分以A角坐標系A(chǔ)-xyz設(shè)點E(1，m，n)（m<2，n>0），易知AC00)，OE=(1n)，設(shè)平面ACE的法向量為：n1=(x，y，z)，x0∴，不妨令zm，則平面ACE的一個法向量為：n1=(0，?n，m)，xnz0又平面ACD的一個法向量為n2=(0，0，1)，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分|nn||m|3∴cos<n，n>=12，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分12|n||n|m2n23112∵|AE|=1m2n24，則m2n23，解得：n=2，則點E到平面ACD的距離為2，由E為PD的中點，則點P到平面ACD的距離為22，???????????????????????????????????????????????????????????????9分在△ACD中，AC=AD=2，滿足∴AD⊥AC，則△ACD的面積為2，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分2AD2CD2，142∴三棱錐P-ACD的體積V=222=；????????????????????????????????????????????????????????????????????????????11分33（3）由PC//EG，則直PC與平面ACE所成角即為直線EG與平面ACE所成角，設(shè)為θ，由G=(110)，則EG1n)，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分|n||nm)||nm)||n|∴sin1=????????????????????????????13分|||n|32n23m)2n2342mm)1n23m21m231(m2)24(m2)1m2∴sin2???????????????????????????????????????14分2m)2m)6m2611[(2m)4]62m111≤[2(2m)4]（當且僅當m=1時，等號成立）??????????????????????????????16分62m33即sin的最大值為，33∴直線PC與平面ACE所成角正弦值的最大值為．???????????????????????????????????????????????????????????????17分3數(shù)學參考答案第4頁（共6頁）19．解：（1）由已知得，2ab83，即23，???????????????????????????????????????????????????????????????????????1分c12又離心率為，則a24c2，aa2∵b2c2a2，所以b2，即，分ab????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????24∴a2，b3，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分x2y2∴橢圓Г的標準方程為：1；????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分432202x2000334（2）設(shè)點M(x，y)，則點M滿足：1，則，0043由已知可得F(0，3)，H(0，3)，設(shè)直線MF與MH的斜率分別為k，k，120303∴1，k2，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分0003y03020233直線MF與MH的斜率之積滿足：kk．????????????????????????????6分12004（i）∵D(2，3)，G(2，0)，則|3，|OG2，3直線PF的方程為：y1x3，令y0，則P(0)，13∴|，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分|1|直線HQ的方程為：ykx3，令x2，可得Q(2，2k3)，22∴|DQ2|k2|，33∴|||3，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分|1||1|33且|||22|k|4|k|4，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分224|1||1|∴|||||||；?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分22354(ii)存在K(，)，使得|TK|定值，理由如下：???????????????????????????????????????????????????????????????????11分55設(shè)點S(x，y)，I(x，y)，J(xy)，001122①當過橢圓上點I(x,y)的直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程為：ym，11帶入橢圓Г的方程：3x24