電路理論基礎(chǔ)（第三版） 課件 第10章 電路的頻率響應(yīng)

第十章電路的頻率響應(yīng)

本章介紹電路頻率響應(yīng)的基本概念,網(wǎng)絡(luò)函數(shù),串聯(lián)、并聯(lián)諧振電路以及電路在非正弦周期電源作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。10.1電路的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.3并聯(lián)諧振電路10.4非正弦周期電流電路的分析10.1電路的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

在通信和電子工程中,電路所要處理的信號通常都不是單一頻率的正弦波,而是由許多不同頻率的正弦信號所組成的。由于電路中感抗和容抗與頻率有關(guān),因此不同頻率的正弦激勵在電路中會產(chǎn)生不同的響應(yīng)。電路響應(yīng)隨激勵源頻率而變化的規(guī)律,稱為電路的頻率響應(yīng)或頻率特性。10.1電路的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)10.1電路的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

若響應(yīng)和激勵在同一個端口,則對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為策動點(diǎn)函數(shù)。策動點(diǎn)函數(shù)又分為策動點(diǎn)阻抗和策動點(diǎn)導(dǎo)納。它們對應(yīng)的情況分別如圖10-1(a)、(b)所示,其中,N0是內(nèi)部不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)。即圖10-1策動點(diǎn)函數(shù)的說明

策動點(diǎn)阻抗和策動點(diǎn)導(dǎo)納就是第9章定義的不含獨(dú)立源二端電路的等效阻抗和等效導(dǎo)納。它們跟頻率有關(guān),為強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn),在這里將它們表示為ω的函數(shù)。

若響應(yīng)和激勵在不同的端口,則對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為轉(zhuǎn)移函數(shù),共有四種轉(zhuǎn)移函數(shù)。它們對應(yīng)的情況分別如圖10-2(a)、(b)、(c)、(d)所示,即圖10-2轉(zhuǎn)移函數(shù)的說明10.1電路的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

例10-1RC電路相量模型如圖10-3(a)所示,求轉(zhuǎn)移電壓比

,并繪出幅頻特性和相頻特性曲線。圖10-3例10-1題圖及頻率特性曲線10.1電路的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)解由串聯(lián)電路分壓公式,得10.1電路的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)10.1電路的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)10.2RLC串聯(lián)諧振電路

在無線電、通信等電子設(shè)備中,需要一些選頻電路,通常要求選頻電路具有較窄的帶通幅頻特性,常用諧振電路作為選頻網(wǎng)絡(luò)。

含儲能元件且不含獨(dú)立源的線性二端網(wǎng)絡(luò),在某一特定條件下,其端口呈現(xiàn)純電阻性,即端口電壓和電流同相位,這種現(xiàn)象稱為電路的諧振。RLC串聯(lián)諧振電路和并聯(lián)諧振電路是兩種最基本的諧振電路。10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2.1RLC串聯(lián)電路的諧振頻率和品質(zhì)因數(shù)

圖10-4(a)所示RLC串聯(lián)電路中,設(shè)電壓源為,其中Us為常數(shù),頻率ω可變。電路的阻抗為圖10-4RLC串聯(lián)諧振電路及其電抗的頻率特性

電抗X=ωL-1/(ωC)是頻率的函數(shù),它隨頻率變化的曲線如圖10-4(b)所示。由圖可見,當(dāng)ω<ω0時,ωL<1/ωC,X<0,電路呈容性;當(dāng)ω>ω0時,ωL>1/ωC,X>0,電路呈感性。而在ω=ω0這個頻率點(diǎn),有（10-3）此時,電路的電抗為零,Z(jω0)=R,電路呈電阻性。

當(dāng)電路等效阻抗的虛部為零時,稱電路處于串聯(lián)諧振狀態(tài)。(103)式是RLC串聯(lián)電路的諧振條件,由該式可得該電路的諧振角頻率ω0和諧振頻率f0為（10-4）上式表明,RLC串聯(lián)電路的諧振頻率僅決定于其元件參數(shù)L和C,它反映的是電路的固有特性。當(dāng)電源頻率與電路的諧振頻率相等時,電路就發(fā)生諧振。在無線電設(shè)備的選頻電路中,通過調(diào)節(jié)C或L,可改變電路的諧振頻率,使電路與所要選擇的信號發(fā)生諧振。10.2RLC串聯(lián)諧振電路 RLC串聯(lián)電路諧振時的感抗和容抗的絕對值相等,定義為該電路的特性阻抗,用符號ρ表示,即（10-5）特性阻抗與電阻之比定義為串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)Q,即（10-6）品質(zhì)因數(shù)是衡量諧振電路許多性質(zhì)的一個重要參數(shù)。10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2.2RLC串聯(lián)電路的諧振特性10.2RLC串聯(lián)諧振電路

電流和電壓相量圖如圖10-5所示。上面三式表明,諧振時UL0與UC0的有效值相等,相位相反,UL0+UC0=0。根據(jù)這一特點(diǎn),串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。這時,電源電壓全加在電阻上,電感和電容串聯(lián)部分相當(dāng)于短路。但電感和電容各自的電壓有效值卻是電源電壓有效值的Q倍。這一性質(zhì)在通信和無線電技術(shù)中得到廣泛應(yīng)用。微弱的激勵信號通過串聯(lián)諧振,可在電容或電感上產(chǎn)生比激勵電壓高Q倍的響應(yīng)電壓。電路的Q值越大,可獲得的響應(yīng)電壓越高,這從一個方面解釋了“品質(zhì)因數(shù)”名稱的含義。無線電和通信設(shè)備中的串聯(lián)諧振電路的Q值可達(dá)幾十甚至幾百。需指出,在某些場合,諧振是有害的,須加以避免。例如,在電力系統(tǒng)中若發(fā)生串聯(lián)諧振,在電感器、電容器、電機(jī)等上面出現(xiàn)高電壓,可能會導(dǎo)致這些設(shè)備擊穿損壞。圖10-5RLC串聯(lián)電路諧振時電流、電壓相量圖10.2RLC串聯(lián)諧振電路

諧振時電路吸收的平均功率為

由于此時電流有效值最大,因此吸收的平均功率最大。但諧振時電路吸收的無功功率為零,即Q0=QL0+QC0=UL0I0+(-UC0I0)=0上式表明,諧振時電感和電容的無功功率完全補(bǔ)償,電路與電源之間無需進(jìn)行無功的能量交換,這說明諧振狀態(tài)下電路儲存的電、磁場總能量是常數(shù)。這一結(jié)論也可由電感和電容的瞬時儲能之和得出。10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2.3RLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性

圖10-4(a)所示RLC串聯(lián)電路的導(dǎo)納為上式兩邊同除以Y0,得歸一化導(dǎo)納函數(shù)：（10-9）

即（10-10）10.2RLC串聯(lián)諧振電路

由于I/I0=(UsY)/(UsY0)=Y/Y0,因此(1010)式表示的也是歸一化電流的幅頻和相頻特性。式中若以歸一化頻率ω/ω0作為自變量,則影響頻率特性曲線形狀的唯一參數(shù)就是電路的品質(zhì)因數(shù)Q。這樣的曲線具有一定的通用性,稱為RLC串聯(lián)電路的通用頻率特性曲線,又稱為通用諧振曲線。幅頻特性和相頻特性曲線如圖10-6(a)、(b)所示。圖10-6不同Q值下RLC串聯(lián)電路的頻率特性10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2.4RLC串聯(lián)諧振電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)

圖10-4(a)所示的RLC串聯(lián)電路中,若以電阻電壓作為輸出,則電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為

可見,該電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)與歸一化的導(dǎo)納函數(shù)相同,其頻率特性曲線如圖10-6所示。以電感電壓為輸出時,電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為其幅頻特性和相頻特性分別為（10-13）

以電容電壓為輸出時,電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為其幅頻特性和相頻特性分別為（10-14）10.2RLC串聯(lián)諧振電路

取Q=1.5,則電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)AUL(jω)及AUC(jω)的幅頻特性和相頻特性曲線如圖10-7(a)、(b)所示。圖10-7AUL(jω)、AUC(jω)的頻率特性10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.3并聯(lián)諧振電路10.3.1GCL并聯(lián)諧振電路

圖10-8(a)所示為GCL并聯(lián)諧振電路,設(shè)電路中的電流激勵源幅值不變,但頻率可調(diào)。該電路與RLC串聯(lián)諧振電路對偶。由上一節(jié)討論的結(jié)果,容易推得其特性。圖10-8GCL并聯(lián)諧振電路及其電納的頻率特性10.3并聯(lián)諧振電路

電路的導(dǎo)納為電路的電納B是頻率的函數(shù),它隨頻率變化的曲線如圖10-8(b)所示。由圖可見,當(dāng)ω<ω0時，ωC<1/ωL，B<0,電路呈感性；當(dāng)ω>ω0時，ωC>1/ωL，B>0，電路呈容性。而在ω=ω0這個頻率點(diǎn),有（10-17）此時,電路的電納為零,Y(jω0)=G,電路呈電阻性。

當(dāng)電路等效導(dǎo)納的虛部為零，稱電路處于并聯(lián)諧振狀態(tài)。(10-17)式是GCL并聯(lián)電路的諧振條件，由該式可得該電路的諧振角頻率ω0和諧振頻率f0為（10-18）10.3并聯(lián)諧振電路上式表明，GCL并聯(lián)電路的諧振頻率僅決定于其元件參數(shù)L和C。

并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)Q定義為（10-19）

并聯(lián)諧振時，導(dǎo)納的模具有最小值。電路中的電壓為可見，諧振時電壓不僅與電流激勵同相位，且電壓有效值U0為最大值。這是GCL并聯(lián)諧振的一個重要特征。

諧振時，三個元件的電流分別為10.3并聯(lián)諧振電路

電流和電壓相量圖如圖10-9所示。上三式表明，諧振時,IL0與IC0有效值相等，相位相反,IL0+IC0=0。根據(jù)這一特點(diǎn)，并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。諧振時，電源電流全通過電導(dǎo)，電感和電容并聯(lián)部分相當(dāng)于開路，但電感和電容各自的電流有效值卻是電源電流有效值的Q倍。圖10-9GCL并聯(lián)諧振電路諧振時電流、電壓相量圖10.3并聯(lián)諧振電路 GCL并聯(lián)諧振電路的阻抗為上式兩邊同除以Z0，得歸一化阻抗函數(shù)為（10-20）即（10-21）由于U/U0=(IsZ)/(IsZ0)=Z/Z0，故(10-21)式也是歸一化電壓的頻率特性。10.3并聯(lián)諧振電路

將(10-21)式與(10-10)式比較可知，GCL并聯(lián)電路歸一化阻抗的頻率特性與RLC串聯(lián)電路歸一化導(dǎo)納的頻率特性相同。將圖10-6(a)、(b)中的縱軸變量分別改為|Z/Z0|及φZ(ω)，即可得到GCL并聯(lián)電路歸一化阻抗的幅頻特性和相頻特性。

并聯(lián)諧振電路的通頻帶為（10-22）

比較串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振電路，在L、C值一定時，串聯(lián)諧振電路中電阻越小，品質(zhì)因數(shù)Q越高;并聯(lián)諧振電路中電阻越大(電導(dǎo)越小)，Q值越高。由于實(shí)際信號源含有內(nèi)阻，因此為減少信號源內(nèi)阻對諧振電路Q值的影響，串聯(lián)諧振電路宜配合低內(nèi)阻信號源工作，而并聯(lián)諧振電路則宜配合高內(nèi)阻信號源工作。10.3并聯(lián)諧振電路10.3.2實(shí)際并聯(lián)諧振電路

實(shí)際的并聯(lián)諧振電路大多由電感線圈與電容器并聯(lián)組成。電容器的損耗很小，可忽略不計，電感線圈可等效為R、L串聯(lián)支路，其電路模型如圖10-10(a)所示。圖10-10實(shí)際并聯(lián)諧振電路及其等效電路10.3并聯(lián)諧振電路

為利用GCL并聯(lián)諧振電路的分析結(jié)果，將R、L串聯(lián)支路等效變換為并聯(lián)支路，得到如圖10-10(b)所示電路。其中，等效電導(dǎo)G'和等效電感L'應(yīng)滿足:即（10-23）

可見，G'和L'均與頻率有關(guān)，將諧振時的G'和L'分別記為G'0和L'0。

當(dāng)電路總電納為零時電路發(fā)生并聯(lián)諧振。此時ω0C=1/(ω0L')，因此電路的諧振角頻率ω0應(yīng)滿足:10.3并聯(lián)諧振電路由上式解得（10-24）由上式可見，只有當(dāng)1-CR2/L>0，即時，電路才存在非零實(shí)數(shù)諧振頻。若

，則電路不會發(fā)生諧振。

電路的品質(zhì)因數(shù)為（10-25）式中，QL=ω0L/R，稱為電感線圈在ω0時的品質(zhì)因數(shù)。即實(shí)際并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)等于電感線圈的品質(zhì)因數(shù)。10.3并聯(lián)諧振電路

諧振時電路的導(dǎo)納為將(10-24)式代入上式，化簡后得諧振時，電感線圈與電容器并聯(lián)相當(dāng)于一個電阻，若以R0表示，則諧振時，圖10-10(b)電路中支路電流為10.3并聯(lián)諧振電路

各支路電流和電壓相量如圖10-11所示?？梢?，諧振時電容電流與電感線圈電流的電抗分量I'L0之和為零。

實(shí)際使用的電感線圈品質(zhì)因數(shù)較高，一般能滿足R?ω0L。由(10-23)式可知，在諧振頻率附近，有L'≈L，故諧振頻率可近似為（10-26）代入(10-25)式，得品質(zhì)因數(shù)為（10-27）工程計算時常用(10-26)式和(10-27)式。圖10-11實(shí)際并聯(lián)諧振電路諧振時的電流、電壓相量圖10.4非正弦周期電流電路的分析

電子工程中，許多實(shí)際電路所處理的信號常常包含多個不同頻率的正弦分量，或者是各種非正弦周期信號，如方波信號、三角波信號、鋸齒波信號等。線性電路在非正弦周期信號源的作用下，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，電路中各電流和電壓都是非正弦周期函數(shù)。這類電路稱為非正弦周期電流電路。

可將非正弦周期電源展開成傅立葉級數(shù)，然后用疊加原理對電路進(jìn)行計算，這是分析非正弦周期電流電路的方法。10.4非正弦周期電流電路的分析10.4.1周期激勵信號的分解和非正弦周期電流電路的分析

根據(jù)高等數(shù)學(xué)的有關(guān)理論，滿足一定條件的周期信號可用傅立葉級數(shù)展開。

設(shè)周期信號f(t)的周期為T，且滿足狄氏條件:10.4非正弦周期電流電路的分析10.4非正弦周期電流電路的分析

例如，圖10-12(a)所示的方波信號，它在0~T一個周期內(nèi)的表達(dá)式為圖10-12方波信號及其近似波形圖10.4非正弦周期電流電路的分析10.4非正弦周期電流電路的分析

作用于線性電路的非正弦周期激勵信號分解為若干分量之后，可用疊加定理求電路的穩(wěn)態(tài)解。激勵源的每一諧波分量在電路中產(chǎn)生相應(yīng)的正弦穩(wěn)態(tài)響