電路理論基礎（第三版） 課件 盧元元 第9-15章 正弦電流電路的分析- 利用MATLAB計算電器

第九章正弦電流電路的分析

本章介紹正弦電流電路的相量分析法。首先引入阻抗、導納的概念,介紹電路相量模型的建立和分析方法,再討論正弦電路的瞬時功率、平均功率、無功功率、視在功率、復功率及功率因素等概念,最后介紹三相電路的分析。9.1阻抗與導納及相量模型9.2正弦電流電路的相量分析法9.3正弦電流電路的功率9.4三相電路9.1阻抗與導納及相量模型

第8章介紹的三種基本無源元件電阻、電感和電容的伏安特性相量形式為（9-1）由上式可見,電阻、電感和電容的電壓相量與電流相量之比等于一個復數(shù)。為便于研究,將(9-1)式寫成統(tǒng)一的形式：

U=ZI

（9-2）或I=YU

（9-3）式中,Z和Y分別稱為元件的阻抗和導納。由上兩式可見,電阻、電感及電容元件伏安特性的相量表達式與歐姆定律的數(shù)學表達式相似。9.1阻抗與導納及相量模型

正弦電流電路中,將各電流和電壓用相量表示,電阻、電感及電容元件的參數(shù)用阻抗或導納表示,所得到的電路圖稱為正弦電流電路的相量模型,它反映電路中各電流、電壓相量之間的關系。原電路圖稱為電路的時域模型,反映各電流和電壓瞬時值之間的關系。

通過對電路相量模型的求解,可得到待求電流或電壓的相量。相量模型的求解依據(jù)為兩類約束條件的相量方程,這些相量方程與電阻電路兩類約束條件的時域方程相比,形式上是相同的,差別僅在于后者是實數(shù)方程,前者是復數(shù)方程;后者電流、電壓為時間函數(shù),前者電流、電壓用相量表示;后者的無源支路為電阻或電導,前者的無源支路(包括電阻、電感和電容元件)用阻抗或導納表示。9.1阻抗與導納及相量模型

由于約束方程在形式上相同,因此本書前幾章所介紹的電阻電路的各種分析方法及電路定理都可用于分析正弦電流電路的相量模型。例如串、并聯(lián)阻抗的等效變換,串、并聯(lián)阻抗的分壓和分流公式,兩種有伴電源支路的等效變換,節(jié)點分析法,網孔分析法,戴維南定理,疊加定理等。在各種方法、定理的敘述、結論及公式中將電阻換成阻抗,將電導換成導納,將電流和電壓換成電流和電壓的相量即可。

線性電阻電路中,不含獨立源二端網絡的端口電壓和電流之比為一實數(shù),稱之為該網絡的等效電阻。類似地,在正弦電流電路中,不含獨立源二端網絡的端口電壓相量和電流相量之比為一復數(shù),將它定義為該網絡的等效阻抗。9.1阻抗與導納及相量模型

設圖9-1所示N0為正弦電流電路中不含獨立源的二端網絡(本節(jié)中簡稱二端網絡),其端口電壓和電流分別表示為圖9-1不含獨立源二端網絡9.1阻抗與導納及相量模型電壓和電流對應的相量為U=U∠θu，I=I∠θi

二端網絡N0的等效阻抗(簡稱阻抗)定義為（9-4） Z是復數(shù),可表示為Z=|Z|∠φZ=R+jX上式中,|Z|是阻抗Z的模;φZ是阻抗Z的輻角,稱為阻抗角;R是阻抗Z的實部,稱為網絡N0的等效電阻;X是阻抗Z的虛部,稱為網絡N0的等效電抗。Z、|Z|、R、X的單位均為歐姆。 (9-4)式可寫為U∠θu=|Z|∠φZ×I∠θi即U=|Z|Iθu=θi+φZ9.1阻抗與導納及相量模型以上兩式表明,不含獨立源二端網絡的端口電壓和電流有效值之比等于阻抗的模|Z|,它們的相位差等于阻抗角φZ。阻抗Z全面地反映了正弦電流電路中二端電路的端口電壓和電流之間的關系。

對二端網絡,若其阻抗角φZ>0，則θu>θi，端口電壓超前于端口電流,稱該二端網絡呈感性;若φZ<0，則θu<θi，電流超前于電壓,稱該二端網絡呈容性;若φZ=0,則電流與電壓同相,稱該二端網絡呈電阻性。阻抗的倒數(shù)稱為導納。二端網絡N0的等效導納(簡稱導納)定義為（9-5）Y可表示為Y=|Y|∠φY=G+jB上式中,|Y|是導納Y的模;φY

稱為導納角;G稱為網絡N0

的等效電導;B稱為網絡N0

的等效電納。Y、|Y|、G、B的單位均為西門子。

對同一個二端網絡,有（9-6）

導納Y也可全面地反映正弦電流電路中二端電路的端口電壓和電流之間的關系。9.1阻抗與導納及相量模型

例9-2正弦電流電路中,二端網絡如圖9-3(a)所示,分別求ω1=1000rad/s與ω2

=2000rad/s兩種工作頻率下該網絡的并聯(lián)等效相量模型,并判斷兩種頻率下該網絡的端口性質。圖9-3例9-2題圖及求解9.1阻抗與導納及相量模型9.1阻抗與導納及相量模型9.2正弦電流電路的相量分析法9.2.1相量分析法的一般步驟

用相量法分析正弦電流電路的一般步驟是:由電路的時域模型畫出相量模型;求解相量模型(電阻電路的各種分析方法均可用于求解相量模型),得到所求電流和電壓的相量;根據(jù)正弦量和其相量的對應關系得到所求的正弦電流和電壓。

分析正弦電流電路時要規(guī)定一個計時起點。若已知電源的時間函數(shù)表達式,則意味著計時起點已經給出。工程中求解電路時,一般是已知電源的頻率和有效值,電源初相位未定。這種情況下可在電路中選定一個電流或電壓作為參考正弦量,令該正弦量的初相位為零,即該正弦量到達最大值的時刻被設定為整個電路的計時起點。參考正弦量對應的相量稱為參考相量。由于電路中同頻率正弦量之間的關系與計時起點無關,因此參考正弦量的選擇可以是任意的,一般以方便電路的求解為原則來選擇。9.2正弦電流電路的相量分析法9.2正弦電流電路的相量分析法9.2.2阻抗的串、并聯(lián)電路分析

圖9-5所示電路中,每個方框為一個阻抗,共有n個阻抗相串聯(lián)。與串聯(lián)電阻的計算公式類同,n個阻抗串聯(lián)的端口等效阻抗為

Z=Z1+Z2+…+Zn圖示參考方向下的分壓公式為圖9-5阻抗的串聯(lián)

圖9-6所示為n個導納相并聯(lián),端口等效導納為Y=Y1+Y2+…+Yn圖示參考方向下的分流公式為若是兩個阻抗并聯(lián),則有

若電路的相量模型中只有一個電源,阻抗是串并聯(lián)結構,則可利用阻抗的串、并聯(lián)等效變換及分流和分壓公式求解。圖9-6導納的并聯(lián)9.2正弦電流電路的相量分析法9.2正弦電流電路的相量分析法9.2正弦電流電路的相量分析法圖9-10例9-7題圖及相量圖9.2正弦電流電路的相量分析法9.2.3復雜電路分析

若正弦電流電路的相量模型較為復雜,則可采用節(jié)點法、網孔法、等效變換及應用疊加定理等方法求解。下面舉例說明。圖9-11例9-8題圖及相量模型9.2正弦電流電路的相量分析法9.2正弦電流電路的相量分析法

例9-9正弦電流電路的相量模型如圖9-12所示,已知Us1=100∠0°V,Us2=100∠90°V,R=5Ω,ωL=5Ω,ω1C=2Ω,求各支路電流相量I1、I2和I3。圖9-12例9-9題圖9.2正弦電流電路的相量分析法9.3正弦電流電路的功率

正弦電流電路中既有耗能元件電阻,又存在儲能元件電感和電容,負載在消耗電能的同時一般還與電源之間進行著能量的往返交換。因此,正弦電流電路中功率的分析計算比較復雜,需要引入一些新的概念。9.3.1瞬時功率和平均功率

圖9-15(a)所示為正弦電流電路中任一個二端網絡N,設其端口電壓和電流分別為圖9-15二端網絡及其瞬時功率在圖示參考方向下,該二端網絡吸收的瞬時功率為根據(jù)三角函數(shù)積化和差公式可得p=UIcosφ

+UIcos（2ωt+2θi+φ）

（9-7）上式中,φ=θu–θi，是端口電壓與電流的相位差。若N是不含獨立源的二端網絡,則φ是其阻抗角。

由(9-7)式可見,瞬時功率有恒定分量UIcosφ及正弦分量Uicos（2ωt+2θi+φ）兩部分,后者的頻率是電流(電壓)頻率的兩倍。以φ=π/4為例,畫出瞬時功率的波形如圖9-15(b)中實線波形所示。圖中同時還畫出了電壓和電流的波形。9.3正弦電流電路的功率

由圖9-15(b)可看出,由于電流和電壓不同相,使得瞬時功率p不僅大小隨時間變化,其正負也隨時間變化。當p>0時,二端網絡從外電路吸收能量;當p<0時,二端網絡送出能量給外電路。二端網絡和外電路之間存在能量往返交換的現(xiàn)象,這是因為電路中存在儲能元件。電容的儲能隨其電壓(正弦電壓)的變化而周期性地增減,電感的儲能則隨其電流(正弦電流)的變化而周期性地增減。當儲能增加時,它們吸收能量,而當儲能減少時,它們放出能量。因此,會有一部分能量在二端網絡、內部的各儲能元件之間以及二端網絡和外電路之間進行往返交換。

由(9-7)式可得電阻、電感及電容元件的瞬時功率分別為

可見,電阻的功率任何時刻都為非負,這反映了它的耗能特性。電感和電容的瞬時功率都是正負半周對稱的正弦波,它們在一個周期內吸收的能量與送出的能量相等,這反映了它們儲能且不耗能的特性。9.3正弦電流電路的功率

瞬時功率隨時間變化,實用意義不大,常用的是平均功率。平均功率又稱為有功功率(簡稱功率),定義為瞬時功率在一個周期內的平均值,記為P,單位為瓦(W)。圖9-15(a)所示的二端電路吸收的平均功率為（9-8）

二端網絡吸收的平均功率反映其吸收電能的平均速率。由上式可見,平均功率不僅與電壓和電流的有效值有關,還與兩者的相位差φ有關。若cosφ>0,則該二端電路吸收平均功率;若cosφ<0,則發(fā)出平均功率。

容易求得電感元件和電容元件的平均功率為零,即平均而言,這兩類元件不吸收電能?？汕蟮秒娮柙骄β蕿樯鲜街?U、I分別為電阻的電壓、電流有效值。9.3正弦電流電路的功率

例9-12已知圖9-16所示二端電路的端口電壓有效值U=100V,求該二端電路吸收的平均功率、各元件的電流有效值及各元件吸收的平均功率。圖9-16例9-12題圖9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率

例9-13圖9-17所示為一個電感線圈的電路模型。實驗測得其端電流有效值為1A,端口電壓有效值為50V,其吸收的平均功率為30W,電源頻率為50Hz,求該線圈的參數(shù)R和L。圖9-17例9-13題圖9.3正弦電流電路的功率

解電阻吸收的平均功率即該線圈吸收的平均功率,可求得線圈阻抗的模為由Z=R+jωL=R+jX，得9.3正弦電流電路的功率9.3.2視在功率與功率因數(shù)

二端網絡的視在功率記為S,定義為S=UI（9-9）上式中,U、I為二端網絡的端口電壓及端電流的有效值。視在功率的單位為伏安(VA)或千伏安(kVA)。

不含獨立源二端網絡的平均功率與視在功率之比稱為該二端網絡的功率因數(shù),記為λ,則有功率因數(shù)是該二端網絡阻抗角的余弦函數(shù),因此阻抗角又稱為功率因數(shù)角。由于λ值不能反映φ角的正負,因此必要時需指明是超前功率因數(shù)還是滯后功率因數(shù)。超前指電流超前電壓,該二端網絡是容性電路;滯后指電流滯后電壓,該二端網絡是感性電路。9.3正弦電流電路的功率

若二端網絡僅由無源元件電阻、電感、電容構成,則該二端網絡吸收的平均功率不為負,即λ≥0,因此有

。阻抗角的絕對值越大,該二端電路在一定的視在功率下所吸收的平均功率就越小。若端口呈純電阻性,則φ=0,λ=1,電路吸收的平均功率等于視在功率;若端口呈純電抗性,則φ=±π/2,λ=0,電路吸收的平均功率為零。

雖然視在功率一般并不等于電路實際消耗的功率,但這一概念有其實用性。例如,發(fā)電機、變壓器等發(fā)、配電設備的輸出電壓及最大可輸出電流都有限制,因此一般以額定視在功率作為這一類設備的額定容量。這類設備可輸出的最大平均功率不僅與其額定容量有關,還與其所帶負載的功率因數(shù)有關。一個額定容量為2kVA的電源,若給功率因數(shù)為1的負載供電,則該電源最大可輸出的功率為2kW;若負載功率因數(shù)為0.5,則其最大可輸出功率只有1kW?？梢?負載的功率因數(shù)低,會使得電源容量得不到充分利用。另外,由于P=UIcosφ,在一定的電網電壓U和負載功率P下,負載功率因數(shù)越低,則所需電流越大,在輸電線上產生的損耗也越大。對常見的感性負載,可采用并電容的方法提高負載總的功率因數(shù)。9.3正弦電流電路的功率9.3.3無功功率、復功率

任一二端網絡N吸收的瞬時功率的表達式(9-7)式可改寫為（為簡便,設電流初相位θi=0）p

=ui=UIcosφ+UIcos（2ωt+φ）=UIcosφ（1+cos2ωt）-UIsinφsin2ωt上式中第一項的正負號不變,是瞬時功率中不可逆的分量,它反映網絡N與外電路之間單向能量傳送的速率,其平均值即有功功率。上式中第二項是正負半周對稱的正弦函數(shù),是瞬時功率中的可逆分量,是在平均意義上不能作功的無功分量,它反映網絡N與外電路之間能量往返交換的瞬時速率,其系數(shù)UIsinφ

定義為網絡N吸收的無功功率,記為Q,即Q=UIsinφ

（9-10）

無功功率的單位為無功伏安,簡稱乏(var)。從物理意義講,無功功率的絕對值是網絡N與外電路之間能量往返交換的最大速率。9.3正弦電流電路的功率

無功功率的單位為無功伏安,簡稱乏(var)。從物理意義講,無功功率的絕對值是網絡N與外電路之間能量往返交換的最大速率。

根據(jù)三種基本元件的伏安特性,可得它們吸收的無功功率分別為可見,電感吸收正值的無功功率,電容吸收負值的無功功率。9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率9.3.4最大功率傳輸

電子工程中,常要考慮最大功率傳輸?shù)膯栴}。正弦電流電路中,負載在什么條件下可獲得最大功率?這一問題可用圖9-22所示等效相量模型加以研究。圖中,Z為負載阻抗,虛線框內為與負載相連的二端網絡的戴維南等效相量模型。圖9-22最大功率傳輸9.3正弦電流電路的功率

設Zeq=Req+jXeq,Z=R+jX。負載電流相量為負載吸收的功率為（9-13）設二端網絡參數(shù)已定,負載阻抗的實部R

及虛部X

均可任意取值,由上式可見,P

作為X

的函數(shù),當X=-Xeq

（9-14）時,P

取得最大值,此時有（9-15）9.3正弦電流電路的功率上式中,R

為變量,令得(9-15)式中功率P

取最大值的條件為R=Req

（9-16）

綜合(9-14)式和(9-16)式可得負載獲得最大功率的條件為Z=Z*eq=Req-jXeq(9-17)9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率9.4三相電路9.4.1三相電路的基本概念

目前,世界各國的供電系統(tǒng)普遍采用三相制。三相供電系統(tǒng)以三相發(fā)電機供電,三相發(fā)電機能同時產生三個頻率相同而相位不同的正弦電壓源。

普遍采用的三相電源是三個頻率相同、振幅相同、相位依次相差120°的正弦電壓源,稱為對稱三相電源,本書涉及的三相電源均指對稱三相電源。三相電源符號如圖9-23所示。其中,uA、uB、uC分別稱為A相、B相、C相電源。若以uA作為參考正弦量,則各相電源電壓的瞬時表達式為（9-18）圖9-23三相電源其中，Up是每相電源電壓的有效值。各電源所對應的相量為（9-19）其波形圖和相量圖分別如圖9-24(a)、(b)所示。圖9-24對稱三相電源電壓的波形圖和相量圖9.4三相電路

對稱三相電壓相量之和為UA+UB+UC=Up∠0°+Up∠-120°+Up∠120°=0這說明對稱三相電源的電壓瞬時值之和為零,即

各相電源波形到達最大值的先后次序稱為相序。由(9-18)式表示的三相電源,其相序為A→B→C,稱為正序或順序。若相序為A→C→B,則稱為反序或逆序。本書僅討論順序。9.4三相電路

對稱三相電源的連接方式有星形(Y形)和三角形(△形)兩種。圖9-25(a)所示為星形連接電源的相量模型。將三個電源的負極性端連接起來形成一個公共點N,稱該點為電源中性點,從該點引出的線稱為中線或零線。從三個電源的正極性端A、B、C引出三條供電線,稱為端線,俗稱火線。圖9-25星形連接的對稱三相電源及其電壓相量圖9.4三相電路9.4三相電路9.4三相電路

對稱三相電源的三角形連接如圖9-26所示。將電源按正負參考極性順次相連構成一個回路,從連接點A、B、C引出三條端線對負載供電。注意,各相電源的極性不能接錯。正確連接時,由于UA+UB+UC=0,因此回路沒有環(huán)流。一旦接錯,在電源內部會形成很大的環(huán)流,導致電源損壞。

三角形連接時線電壓就等于各相電源的電壓,即

UAB=UA，UBC=UB，

UCA=UC圖9-26三角形連接的對稱三相電源9.4三相電路9.4三相電路9.4.2三相電路的計算

對稱三相電源連接對稱三相負載,且各端線阻抗相等,則這樣構成的三相電路稱為對稱三相電路。本節(jié)主要介紹對稱三相電路的計算。

圖9-28為YY連接的對稱三相電路,其中,Z為每相負載阻抗,ZL為每條端線的等效阻抗,ZN為中線的等效阻抗。圖9-28對稱三相四線制YY電路9.4三相電路

分析該電路時,可先用節(jié)點法求出兩個中性點之間的電壓,再計算各相負載的電流和電壓。

以N為參考節(jié)點,列N'的節(jié)點方程,經整理可得由于上式右邊為零,因此有UN'N=0進而求得9.4三相電路9.4三相電路

由以上分析可知,對稱YY電路中,三相負載電流、電壓對稱且各相獨立,因此可根據(jù)某一相(例如A相)的單相計算電路求出一相的電流和電壓,再根據(jù)對稱性直接得出另兩相的電流和電壓。這就是對稱YY電路歸結為一相的計算方法。圖9-28電路的A相計算電路如圖9-29所示。畫A相計算電路時,由于UN'N=0,因此根據(jù)替代定理,原電路中除A相電路之外的部分用一條短路線代替。圖9-29對稱YY電路的A相計算電路9.4三相電路

對稱三角形負載如圖9-30(a)所示,若將其接到對稱三相電源,并忽略端線阻抗,則負載的相電壓等于電源的線電壓,可求得三個相電流為圖9-30三角形連接的對稱三相負載及其電流相量圖9.4三相電路9.4三相電路9.4三相電路

例9-20圖9-32所示三相電路中,對稱三相電源的相電壓有效值為220V,負載阻抗ZA=RA+jXA=40+j30Ω，ZB=RB+jXB=30+j30Ω，ZC=RC+jXC=40+j40Ω，求電流IA、IB、IC、IN及三相負載吸收的平均功率。圖9-32不對稱YY三相電路9.4三相電路第十章電路的頻率響應

本章介紹電路頻率響應的基本概念,網絡函數(shù),串聯(lián)、并聯(lián)諧振電路以及電路在非正弦周期電源作用下的穩(wěn)態(tài)響應。10.1電路的頻率響應與網絡函數(shù)10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.3并聯(lián)諧振電路10.4非正弦周期電流電路的分析10.1電路的頻率響應與網絡函數(shù)

在通信和電子工程中,電路所要處理的信號通常都不是單一頻率的正弦波,而是由許多不同頻率的正弦信號所組成的。由于電路中感抗和容抗與頻率有關,因此不同頻率的正弦激勵在電路中會產生不同的響應。電路響應隨激勵源頻率而變化的規(guī)律,稱為電路的頻率響應或頻率特性。10.1電路的頻率響應與網絡函數(shù)10.1電路的頻率響應與網絡函數(shù)

若響應和激勵在同一個端口,則對應的網絡函數(shù)稱為策動點函數(shù)。策動點函數(shù)又分為策動點阻抗和策動點導納。它們對應的情況分別如圖10-1(a)、(b)所示,其中,N0是內部不含獨立源的二端網絡。即圖10-1策動點函數(shù)的說明

策動點阻抗和策動點導納就是第9章定義的不含獨立源二端電路的等效阻抗和等效導納。它們跟頻率有關,為強調這一點,在這里將它們表示為ω的函數(shù)。

若響應和激勵在不同的端口,則對應的網絡函數(shù)稱為轉移函數(shù),共有四種轉移函數(shù)。它們對應的情況分別如圖10-2(a)、(b)、(c)、(d)所示,即圖10-2轉移函數(shù)的說明10.1電路的頻率響應與網絡函數(shù)

例10-1RC電路相量模型如圖10-3(a)所示,求轉移電壓比

,并繪出幅頻特性和相頻特性曲線。圖10-3例10-1題圖及頻率特性曲線10.1電路的頻率響應與網絡函數(shù)解由串聯(lián)電路分壓公式,得10.1電路的頻率響應與網絡函數(shù)10.1電路的頻率響應與網絡函數(shù)10.2RLC串聯(lián)諧振電路

在無線電、通信等電子設備中,需要一些選頻電路,通常要求選頻電路具有較窄的帶通幅頻特性,常用諧振電路作為選頻網絡。

含儲能元件且不含獨立源的線性二端網絡,在某一特定條件下,其端口呈現(xiàn)純電阻性,即端口電壓和電流同相位,這種現(xiàn)象稱為電路的諧振。RLC串聯(lián)諧振電路和并聯(lián)諧振電路是兩種最基本的諧振電路。10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2.1RLC串聯(lián)電路的諧振頻率和品質因數(shù)

圖10-4(a)所示RLC串聯(lián)電路中,設電壓源為,其中Us為常數(shù),頻率ω可變。電路的阻抗為圖10-4RLC串聯(lián)諧振電路及其電抗的頻率特性

電抗X=ωL-1/(ωC)是頻率的函數(shù),它隨頻率變化的曲線如圖10-4(b)所示。由圖可見,當ω<ω0時,ωL<1/ωC,X<0,電路呈容性;當ω>ω0時,ωL>1/ωC,X>0,電路呈感性。而在ω=ω0這個頻率點,有（10-3）此時,電路的電抗為零,Z(jω0)=R,電路呈電阻性。

當電路等效阻抗的虛部為零時,稱電路處于串聯(lián)諧振狀態(tài)。(103)式是RLC串聯(lián)電路的諧振條件,由該式可得該電路的諧振角頻率ω0和諧振頻率f0為（10-4）上式表明,RLC串聯(lián)電路的諧振頻率僅決定于其元件參數(shù)L和C,它反映的是電路的固有特性。當電源頻率與電路的諧振頻率相等時,電路就發(fā)生諧振。在無線電設備的選頻電路中,通過調節(jié)C或L,可改變電路的諧振頻率,使電路與所要選擇的信號發(fā)生諧振。10.2RLC串聯(lián)諧振電路 RLC串聯(lián)電路諧振時的感抗和容抗的絕對值相等,定義為該電路的特性阻抗,用符號ρ表示,即（10-5）特性阻抗與電阻之比定義為串聯(lián)諧振電路的品質因數(shù)Q,即（10-6）品質因數(shù)是衡量諧振電路許多性質的一個重要參數(shù)。10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2.2RLC串聯(lián)電路的諧振特性10.2RLC串聯(lián)諧振電路

電流和電壓相量圖如圖10-5所示。上面三式表明,諧振時UL0與UC0的有效值相等,相位相反,UL0+UC0=0。根據(jù)這一特點,串聯(lián)諧振又稱電壓諧振。這時,電源電壓全加在電阻上,電感和電容串聯(lián)部分相當于短路。但電感和電容各自的電壓有效值卻是電源電壓有效值的Q倍。這一性質在通信和無線電技術中得到廣泛應用。微弱的激勵信號通過串聯(lián)諧振,可在電容或電感上產生比激勵電壓高Q倍的響應電壓。電路的Q值越大,可獲得的響應電壓越高,這從一個方面解釋了“品質因數(shù)”名稱的含義。無線電和通信設備中的串聯(lián)諧振電路的Q值可達幾十甚至幾百。需指出,在某些場合,諧振是有害的,須加以避免。例如,在電力系統(tǒng)中若發(fā)生串聯(lián)諧振,在電感器、電容器、電機等上面出現(xiàn)高電壓,可能會導致這些設備擊穿損壞。圖10-5RLC串聯(lián)電路諧振時電流、電壓相量圖10.2RLC串聯(lián)諧振電路

諧振時電路吸收的平均功率為

由于此時電流有效值最大,因此吸收的平均功率最大。但諧振時電路吸收的無功功率為零,即Q0=QL0+QC0=UL0I0+(-UC0I0)=0上式表明,諧振時電感和電容的無功功率完全補償,電路與電源之間無需進行無功的能量交換,這說明諧振狀態(tài)下電路儲存的電、磁場總能量是常數(shù)。這一結論也可由電感和電容的瞬時儲能之和得出。10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2.3RLC串聯(lián)諧振電路的頻率特性

圖10-4(a)所示RLC串聯(lián)電路的導納為上式兩邊同除以Y0,得歸一化導納函數(shù)：（10-9）

即（10-10）10.2RLC串聯(lián)諧振電路

由于I/I0=(UsY)/(UsY0)=Y/Y0,因此(1010)式表示的也是歸一化電流的幅頻和相頻特性。式中若以歸一化頻率ω/ω0作為自變量,則影響頻率特性曲線形狀的唯一參數(shù)就是電路的品質因數(shù)Q。這樣的曲線具有一定的通用性,稱為RLC串聯(lián)電路的通用頻率特性曲線,又稱為通用諧振曲線。幅頻特性和相頻特性曲線如圖10-6(a)、(b)所示。圖10-6不同Q值下RLC串聯(lián)電路的頻率特性10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2.4RLC串聯(lián)諧振電路的電壓轉移函數(shù)

圖10-4(a)所示的RLC串聯(lián)電路中,若以電阻電壓作為輸出,則電壓轉移函數(shù)為

可見,該電壓轉移函數(shù)與歸一化的導納函數(shù)相同,其頻率特性曲線如圖10-6所示。以電感電壓為輸出時,電壓轉移函數(shù)為其幅頻特性和相頻特性分別為（10-13）

以電容電壓為輸出時,電壓轉移函數(shù)為其幅頻特性和相頻特性分別為（10-14）10.2RLC串聯(lián)諧振電路

取Q=1.5,則電壓轉移函數(shù)AUL(jω)及AUC(jω)的幅頻特性和相頻特性曲線如圖10-7(a)、(b)所示。圖10-7AUL(jω)、AUC(jω)的頻率特性10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.2RLC串聯(lián)諧振電路10.3并聯(lián)諧振電路10.3.1GCL并聯(lián)諧振電路

圖10-8(a)所示為GCL并聯(lián)諧振電路,設電路中的電流激勵源幅值不變,但頻率可調。該電路與RLC串聯(lián)諧振電路對偶。由上一節(jié)討論的結果,容易推得其特性。圖10-8GCL并聯(lián)諧振電路及其電納的頻率特性10.3并聯(lián)諧振電路

電路的導納為電路的電納B是頻率的函數(shù),它隨頻率變化的曲線如圖10-8(b)所示。由圖可見,當ω<ω0時，ωC<1/ωL，B<0,電路呈感性；當ω>ω0時，ωC>1/ωL，B>0，電路呈容性。而在ω=ω0這個頻率點,有（10-17）此時,電路的電納為零,Y(jω0)=G,電路呈電阻性。

當電路等效導納的虛部為零，稱電路處于并聯(lián)諧振狀態(tài)。(10-17)式是GCL并聯(lián)電路的諧振條件，由該式可得該電路的諧振角頻率ω0和諧振頻率f0為（10-18）10.3并聯(lián)諧振電路上式表明，GCL并聯(lián)電路的諧振頻率僅決定于其元件參數(shù)L和C。

并聯(lián)諧振電路的品質因數(shù)Q定義為（10-19）

并聯(lián)諧振時，導納的模具有最小值。電路中的電壓為可見，諧振時電壓不僅與電流激勵同相位，且電壓有效值U0為最大值。這是GCL并聯(lián)諧振的一個重要特征。

諧振時，三個元件的電流分別為10.3并聯(lián)諧振電路

電流和電壓相量圖如圖10-9所示。上三式表明，諧振時,IL0與IC0有效值相等，相位相反,IL0+IC0=0。根據(jù)這一特點，并聯(lián)諧振又稱為電流諧振。諧振時，電源電流全通過電導，電感和電容并聯(lián)部分相當于開路，但電感和電容各自的電流有效值卻是電源電流有效值的Q倍。圖10-9GCL并聯(lián)諧振電路諧振時電流、電壓相量圖10.3并聯(lián)諧振電路 GCL并聯(lián)諧振電路的阻抗為上式兩邊同除以Z0，得歸一化阻抗函數(shù)為（10-20）即（10-21）由于U/U0=(IsZ)/(IsZ0)=Z/Z0，故(10-21)式也是歸一化電壓的頻率特性。10.3并聯(lián)諧振電路

將(10-21)式與(10-10)式比較可知，GCL并聯(lián)電路歸一化阻抗的頻率特性與RLC串聯(lián)電路歸一化導納的頻率特性相同。將圖10-6(a)、(b)中的縱軸變量分別改為|Z/Z0|及φZ(ω)，即可得到GCL并聯(lián)電路歸一化阻抗的幅頻特性和相頻特性。

并聯(lián)諧振電路的通頻帶為（10-22）

比較串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振電路，在L、C值一定時，串聯(lián)諧振電路中電阻越小，品質因數(shù)Q越高;并聯(lián)諧振電路中電阻越大(電導越小)，Q值越高。由于實際信號源含有內阻，因此為減少信號源內阻對諧振電路Q值的影響，串聯(lián)諧振電路宜配合低內阻信號源工作，而并聯(lián)諧振電路則宜配合高內阻信號源工作。10.3并聯(lián)諧振電路10.3.2實際并聯(lián)諧振電路

實際的并聯(lián)諧振電路大多由電感線圈與電容器并聯(lián)組成。電容器的損耗很小，可忽略不計，電感線圈可等效為R、L串聯(lián)支路，其電路模型如圖10-10(a)所示。圖10-10實際并聯(lián)諧振電路及其等效電路10.3并聯(lián)諧振電路

為利用GCL并聯(lián)諧振電路的分析結果，將R、L串聯(lián)支路等效變換為并聯(lián)支路，得到如圖10-10(b)所示電路。其中，等效電導G'和等效電感L'應滿足:即（10-23）

可見，G'和L'均與頻率有關，將諧振時的G'和L'分別記為G'0和L'0。

當電路總電納為零時電路發(fā)生并聯(lián)諧振。此時ω0C=1/(ω0L')，因此電路的諧振角頻率ω0應滿足:10.3并聯(lián)諧振電路由上式解得（10-24）由上式可見，只有當1-CR2/L>0，即時，電路才存在非零實數(shù)諧振頻。若

，則電路不會發(fā)生諧振。

電路的品質因數(shù)為（10-25）式中，QL=ω0L/R，稱為電感線圈在ω0時的品質因數(shù)。即實際并聯(lián)諧振電路的品質因數(shù)等于電感線圈的品質因數(shù)。10.3并聯(lián)諧振電路

諧振時電路的導納為將(10-24)式代入上式，化簡后得諧振時，電感線圈與電容器并聯(lián)相當于一個電阻，若以R0表示，則諧振時，圖10-10(b)電路中支路電流為10.3并聯(lián)諧振電路

各支路電流和電壓相量如圖10-11所示。可見，諧振時電容電流與電感線圈電流的電抗分量I'L0之和為零。

實際使用的電感線圈品質因數(shù)較高，一般能滿足R?ω0L。由(10-23)式可知，在諧振頻率附近，有L'≈L，故諧振頻率可近似為（10-26）代入(10-25)式，得品質因數(shù)為（10-27）工程計算時常用(10-26)式和(10-27)式。圖10-11實際并聯(lián)諧振電路諧振時的電流、電壓相量圖10.4非正弦周期電流電路的分析

電子工程中，許多實際電路所處理的信號常常包含多個不同頻率的正弦分量，或者是各種非正弦周期信號，如方波信號、三角波信號、鋸齒波信號等。線性電路在非正弦周期信號源的作用下，進入穩(wěn)態(tài)后，電路中各電流和電壓都是非正弦周期函數(shù)。這類電路稱為非正弦周期電流電路。

可將非正弦周期電源展開成傅立葉級數(shù)，然后用疊加原理對電路進行計算，這是分析非正弦周期電流電路的方法。10.4非正弦周期電流電路的分析10.4.1周期激勵信號的分解和非正弦周期電流電路的分析

根據(jù)高等數(shù)學的有關理論，滿足一定條件的周期信號可用傅立葉級數(shù)展開。

設周期信號f(t)的周期為T，且滿足狄氏條件:10.4非正弦周期電流電路的分析10.4非正弦周期電流電路的分析

例如，圖10-12(a)所示的方波信號，它在0~T一個周期內的表達式為圖10-12方波信號及其近似波形圖10.4非正弦周期電流電路的分析10.4非正弦周期電流電路的分析

作用于線性電路的非正弦周期激勵信號分解為若干分量之后，可用疊加定理求電路的穩(wěn)態(tài)解。激勵源的每一諧波分量在電路中產生相應的正弦穩(wěn)態(tài)響應分量，激勵源的直流分量產生直流穩(wěn)態(tài)響應分量。因此，電路的電流和電壓穩(wěn)態(tài)響應是與激勵源頻率相同(波形不一定相同)的非正弦周期量。線性電路在非正弦周期電源作用下的穩(wěn)態(tài)電路稱為非正弦周期電流電路。

用疊加定理分析非正弦周期電流電路時，電源某一諧波分量單獨作用下的電路相當于一個正弦電流電路，可用相量法求解。應注意在不同諧波分量作用時，感抗和容抗隨頻率的變化而變化。當電源的直流分量單獨作用時，電路是直流穩(wěn)態(tài)電路，電感應視為短路，電容應視為開路。10.4非正弦周期電流電路的分析圖10-13例10-3題圖及求解10.4非正弦周期電流電路的分析10.4非正弦周期電流電路的分析10.4非正弦周期電流電路的分析10.4.2非正弦周期電流和電壓的有效值及平均功率10.4非正弦周期電流電路的分析

因此，非正弦周期電流i(t)的有效值為（10-33）同理，得非正弦周期電壓u(t)的有效值為（10-34）

上兩式表明，非正弦周期電流(電壓)的有效值等于其恒定分量的平方與各次諧波分量有效值的平方之和的平方根。

下面再來討論非正弦周期電流電路的功率。10.4非正弦周期電流電路的分析圖10-14非正弦電流電路中的二端網絡10.4非正弦周期電流電路的分析上式表明，非正弦周期電流電路中，二端網絡吸收的平均功率等于直流分量產生的功率和各次諧波平均功率之和。不同頻率的電壓和電流分量不構成平均功率。10.4非正弦周期電流電路的分析第十一章耦合電感和理想變壓器

本章介紹耦合電感及理想變壓器的基本概念,含這兩種元件電路的分析方法和以這兩種元件為基礎的實際變壓器的電路模型。11.1耦合電感元件11.2含耦合電感的電路11.3理想變壓器11.4變壓器的電路模型11.1耦合電感元件11.1.1耦合電感的概念

兩個靠近的線圈，當一個線圈有電流通過時，該電流產生的磁通不僅通過本線圈，還部分或全部地通過相鄰線圈。一個線圈電流產生的磁通與另一個線圈交鏈的現(xiàn)象，稱為兩個線圈的磁耦合。具有磁耦合的線圈稱為耦合線圈或互感線圈。本小節(jié)所討論的耦合線圈均忽略了線圈本身的損耗電阻和匝間分布電容，這樣得到的耦合線圈的理想化模型，稱為耦合電感元件。11.1耦合電感元件

兩個耦合線圈如圖11-1所示，設線圈1和線圈2的匝數(shù)分別為N1和N2。當線圈1有電流i1流過時，由i1產生的通過線圈1的磁通為Ф11，通過線圈2的磁通為Ф21，顯然有Φ21≤Φ11。兩個線圈的磁通鏈分別為Ψ11=N1Φ11和Ψ21=N2Φ21。Ψ11稱為自感磁通鏈，Ψ21稱為互感(耦合)磁通鏈。圖11-1兩個線圈的磁耦合11.1耦合電感元件

同理，若線圈2有電流i2通過，則該電流在其自身線圈產生自感磁通鏈Ψ22，在相鄰的線圈1中產生互感磁通鏈Ψ12。

如圖11-1所示，電流的方向與它產生的磁通鏈的方向滿足右手螺旋關系，參考方向按這一關系設定。若線圈周圍沒有鐵磁物質，則各磁通鏈與產生該磁通鏈的電流成正比，即（11-1）式中，L1、L2、M12、M21均為正常數(shù)，單位為亨利(H)。L1、L2分別稱為線圈1和線圈2的自感系數(shù)，簡稱自感。M12、M21稱為兩個線圈的互感系數(shù)，簡稱互感?？勺C明M12=M21，因此當只有兩個線圈耦合時，可略去下標，表示為M=M12=M21。11.1耦合電感元件11.1.2耦合電感的伏安關系

若兩個耦合線圈中都有電流時，每個線圈既有自身電流產生的自感磁通鏈，也有另一線圈電流產生的互感磁通鏈，如圖11-2(a)、(b)所示。由電流的參考方向及線圈的繞向，根據(jù)右手螺旋關系，可判斷出圖11-2(a)中線圈的自感磁通鏈和互感磁通鏈的參考方向相同，而圖11-2(b)中則相反。設線圈1、線圈2的總磁通鏈分別為Ψ1和Ψ2，并取總磁通鏈的參考方向與自感磁通鏈相同，則有11.1耦合電感元件圖11-2說明耦合線圈的伏安關系用圖11.1耦合電感元件11.1耦合電感元件11.1.3耦合線圈的同名端

線圈中的自感磁通鏈和互感磁通鏈的參考方向可能相同，也可能相反，這與線圈的繞向及電流參考方向有關。圖11-2(a)中線圈1和線圈2繞向相同，但若電流i1和i2的參考方向分別從a、d兩端流入，則線圈中的自感磁通鏈和互感磁通鏈的參考方向相反;圖11-2(b)中線圈1和線圈2繞向相反，但若電流i1和i2的參考方向分別從a、d兩端流入，則線圈中的自感磁通鏈和互感磁通鏈的參考方向相同。通常線圈制造后是封閉的，看不到內部結構，在圖上標出線圈繞向也不方便，因此引入同名端的概念。

任選線圈1的一端和線圈2的一端，假設線圈電流同時從這兩端流入，若這兩個電流所產生的磁場是相互增強的(即線圈的自感磁通鏈和互感磁通鏈方向相同)，則稱所選的兩端為同名端，否則為異名端。

根據(jù)右手螺旋關系，可判斷出圖11-2(a)中兩線圈a、c兩端為同名端(顯然b、d也是同名端)，a、d為異名端;而圖(b)中兩線圈則是a、d為同名端。必須指出，耦合線圈的同名端僅決定于線圈的結構，與電流的流向無關。11.1耦合電感元件

線圈的同名端用相同的符號，如“●”、“△”、“*”等標記。例如，圖11-2(a)、(b)中分別用“●”和“*”標記了兩線圈的同名端。圖11-2(a)、(b)耦合線圈(耦合電感)的電路符號分別如圖11-3(a)、(b)所示。若有多個線圈耦合，同名端應一對一對地加以標記。圖11-3耦合電感的電路符號11.1耦合電感元件

根據(jù)同名端的概念，結合圖11-2可看出，若i1參考方向的流入端與u2參考方向的正極性端為同名端，則互感磁通鏈Ψ21與u2的參考方向滿足右手螺旋關系，u2中的互感電壓取正號，否則取負號。對于Ψ12與u1參考方向的關系及u1中的互感電壓正負號也可作類似判斷。

列寫耦合電感伏安關系式的規(guī)則概括為:若線圈自身的電流和電壓為關聯(lián)參考方向，則自感電壓前取正號，否則取負號;兩個耦合線圈中，若a線圈電流參考方向的入端與b線圈電壓參考方向的正端為同名端，則b線圈的互感電壓前取正號，否則取負號。11.1耦合電感元件

例11-1電路如圖11-4所示，已知L1=4H，L2=3H，M=2H，求以下三種情況的u1和u2:圖11-4例11-1題圖11.1耦合電感元件解（1）u1與i1為非關聯(lián)參考方向，且i2=0，因此11.1耦合電感元件

工程上常用實驗的方法確定耦合線圈的同名端。實驗方案之一如圖115所示，當開關S迅速閉合時，在一段時間內有隨時間增長的電流從電源正極流入線圈“1”端，此時，若電壓表指針正向偏轉，則電壓表正極所連接的線圈“2”端與“1”端為同名端;若電壓表反偏，則“2”端與“1”端為異名端。圖11-5確定同名端的實驗11.1耦合電感元件11.1.4耦合系數(shù)

定義耦合電感的耦合系數(shù)k為（11-4）將(11-1)式代入上式得

耦合系數(shù)定量地描述了兩個線圈的耦合程度。當k=1時，稱為全耦合，此時一個線圈中電流產生的磁通，全部與另一線圈交鏈，互感達到最大值，即k接近于1時，稱為緊耦合;k較小時，稱為松耦合;k=0時，稱為無耦合。

在電力變壓器及電子工程中，為了更有效地傳輸能量或信號，常采用鐵磁材料制成線圈的芯子，以使線圈有盡量緊密的耦合。而工程上在某些情況下卻要避免線圈的相互干擾，可采用屏蔽、合理布置線圈的相互位置等手段盡量減少互感的作用。11.2.1耦合電感的去耦等效

實際電路中，耦合電感的兩個線圈常以串聯(lián)、并聯(lián)、一端相連的形式連接，以這幾種方式連接的電感，均可用無耦合電路等效代替，這一過程稱為耦合電感的去耦等效。

圖11-6(a)、(b)所示為耦合電感兩個線圈的串聯(lián)電路。其中，圖11-6(a)電路中電流從兩個線圈的同名端流進，這種接法稱為順接串聯(lián)(順串);圖11-6(b)電路中電流從兩個線圈的異名端流進，這種接法稱為反接串聯(lián)(反串)。圖11-6耦合電感的串聯(lián)及等效電感

(a)順串;(b)反串;(c)等效電感11.2含耦合電感的電路

根據(jù)圖示電流和電壓的參考方向,可得順串和反串時串聯(lián)支路的伏安關系分別為上面兩式可統(tǒng)一寫成上式表明,耦合電感作串聯(lián)時,對外電路而言,可等效為一個電感,如圖11-6(c)所示。該等效電感值為Leq=L1+L2±2M（11-5）式中,M前的正號對應于順串,負號對應于反串。11.2含耦合電感的電路為負值。(11-5)式表明，在正弦電流電路中，由于互感的存在，耦合電感順串時等效感抗增加，反串時等效感抗減小。工程上常利用耦合線圈正串、反串等效阻抗不相等這一特點，實驗確定線圈的同名端。11.2含耦合電感的電路

圖11-7(a)、(b)所示為耦合電感兩個線圈的并聯(lián)電路。其中，圖11-7(a)電路中兩個線圈的同名端相連接，這種接法稱為同側并聯(lián);圖11-7(b)電路中兩個線圈的異名端相連接，稱為異側并聯(lián)。圖11-7耦合電感的并聯(lián)

(a)同側并聯(lián);(b)異側并聯(lián)11.2含耦合電感的電路根據(jù)圖示電流和電壓的參考方向,兩個線圈的伏安關系為上面兩式中,M前的正號對應于同側并聯(lián),負號對應于異側并聯(lián)。由上面兩式解得由于i=i1+i2,因此有即u=

=Leq11.2含耦合電感的電路上式表明，耦合電感作并聯(lián)時，對外電路而言，可等效為一個電感，該等效電感為（11-6）上式分母中M前的負號對應于同側并聯(lián)，正號對應于異側并聯(lián)。由上式可見，同側并聯(lián)等效電感大，異側并聯(lián)等效電感小，但無論是同側還是異側并聯(lián)，等效電感都不為負值。11.2含耦合電感的電路

圖11-8(a)、(b)所示為耦合電感兩個線圈一端相連的電路。其中，圖11-8(a)電路中兩個線圈的同名端相連接，這種接法稱為同側相連;圖118(b)電路中兩個線圈的異名端相連接，稱為異側相連。根據(jù)圖示電流和電壓的參考方向，兩個線圈的伏安關系為圖11-8耦合電感的一端相連

(a)同側相連;(b)異側相連11.2含耦合電感的電路11.2含耦合電感的電路11.2含耦合電感的電路11.2.2含耦合電感的正弦電流電路的分析

分析含耦合電感的正弦電流電路時，仍采用相量法求解。圖11-10(a)所示的耦合電感的伏安關系式為圖11-10耦合電感的兩種相量模型11.2含耦合電感的電路在正弦電流電路中，以上伏安關系的相量形式為式中，jωL1、jωL2稱為自感阻抗;jωM稱為互感阻抗。該耦合電感的相量模型如圖11-10(b)所示。為強調互感電壓的存在，可將互感電壓用電流控制電壓源表示。受控源的參考方向與電流的參考方向及同名端的位置有關，應根據(jù)耦合電感的伏安關系確定其等效相量模型。例如，由圖11-10(a)耦合電感的相量形式伏安關系，可得出其等效相量模型如圖11-10(c)所示。

分析含耦合電感的電路時?？上热ヱ钤偾蠼?，也可直接列方程求解。在列方程時，注意不要漏掉耦合電感的互感電壓。由于耦合電感的伏安關系不便將電流表示成電壓的函數(shù)，因此一般不用節(jié)點分析法，而常用網孔法。11.2含耦合電感的電路11.2含耦合電感的電路

例11-3正弦電流電路相量模型如圖11-12(a)所示，已知ωL1=R=100Ω，ωL2=80Ω，ωL3=ωM=40Ω,?Us=100∠0°V，求電流I1、I2和I3。圖11-12例11-3題圖及等效相量模型11.2含耦合電感的電路11.2含耦合電感的電路11.2.3空芯變壓器

變壓器是利用線圈之間的磁耦合實現(xiàn)能量或信號傳輸?shù)钠骷?。變壓器的線圈若繞在鐵磁材料的芯子上，稱為鐵芯變壓器，其耦合系數(shù)通常接近于1。變壓器的線圈若繞在非鐵磁材料的芯子上，稱為空芯變壓器，其耦合系數(shù)一般較小。

圖11-14(a)所示是一個簡單的含空芯變壓器的電路，圖中虛線方框內是空芯變壓器的相量模型。變壓器的一個線圈與電源相連，稱為初級線圈或原邊線圈;另一線圈與負載相連，稱為次級線圈或副邊線圈。初級線圈的電阻和自感分別用R1、L1表示;次級線圈的電阻和自感則分別表示為R2、L2;M為兩線圈的互感，這些都是變壓器的參數(shù)。變壓器副邊所接負載阻抗為ZL=RL+jXL。11.2含耦合電感的電路圖11-14空芯變壓器電路11.2含耦合電感的電路

分析含空芯變壓器的電路，可用前面介紹的去耦法、列方程法，也可用等效電路法。設Z11、Z22分別表示原邊回路和副邊回路的自阻抗，有

根據(jù)圖11-14(a)所示電流的參考方向及同名端的位置，該電路的兩個回路方程為（11-8）由上式可解得（11-9）11.2含耦合電感的電路11.3理想變壓器11.3理想變壓器

理想變壓器不僅能變電壓和變電流，而且能夠變換阻抗。若在理想變壓器的副邊接負載阻抗ZL，如圖11-17所示，則理想變壓器原邊端口的等效阻抗為即原邊端口的輸入阻抗是負載阻抗的n2倍。在電信工程中常利用理想變壓器的阻抗變換性質達到阻抗匹配的目的。

分析含理想變壓器的電路，若采用回路法(或節(jié)點法)，可將理想變壓器的原邊和副邊電壓直接寫入回路方程中(或電流直接寫入節(jié)點方程中)，再將理想變壓器的伏安關系式與回路方程(或節(jié)點方程)聯(lián)立求解。也可采用等效電路法分析含理想變壓器的電路，即利用理想變壓器的阻抗變換性質和戴維南定理，用原邊或副邊的等效電路求解。圖11-17理想變壓器的阻抗變換性質11.3理想變壓器11.4變壓器的電路模型

實際變壓器除了用耦合電感構成其電路模型之外,還常采用理想變壓器作為基本元件構成電路模型。對于鐵芯變壓器,更常用的是后一種模型。11.4.1全耦合變壓器的模型

無損耗、全耦合(耦合系數(shù)k=1)變壓器如圖11-20所示，圖11-21(a)是用耦合電感構成的該變壓器的電路模型。下面討論用理想變壓器為基本元件構成其模型，討論中均采用圖11-20所示電流、電壓參考方向。圖11-20無損耗全耦合變壓器11.4變壓器的電路模型

在全耦合條件下，一個線圈電流產生的磁通也完全通過另一線圈，即Φ11=Φ21，Φ22=Φ12因此線圈1和線圈2的總磁通鏈分別為Ψ1=(Φ11+Φ12)N1=(Φ11+Φ22)N1Ψ2

=

(Φ22+Φ21)N2=(Φ22+Φ11)N2式中，N1、N2分別是線圈1和線圈2的匝數(shù)。兩個線圈的電壓分別為11.4變壓器的電路模型11.4變壓器的電路模型其中，i10是副邊開路時的原邊電流，稱為變壓器的空載電流或勵磁電流；i'1是原邊電流中的負載電流分量。11.4變壓器的電路模型

根據(jù)(11-18)式和(11-23)式可得無損耗、全耦合變壓器的電路模型如圖11-21(b)所示。它由一個理想變壓器和一個并聯(lián)在原邊端口的電感組成。

由(11-23)式可見，若全耦合變壓器的電感趨于無窮大(自感、互感均為無窮大，但它們的比仍為常數(shù))，則勵磁電流趨于零，這種情況下變壓器的模型就是一個理想變壓器。即滿足無損耗、全耦合、電感無窮大這三個條件的變壓器是理想變壓器。在某些工程計算中，常將用高導磁率材料作鐵芯，且耦合系數(shù)接近于1的實際變壓器近似地看作理想變壓器。圖11-21無損耗全耦合變壓器的電路模型11.4變壓器的電路模型11.4.2一般變壓器的模型

無損耗，但耦合系數(shù)k<1的變壓器，其電路模型之一如圖11-22(a)所示。圖11-22不考慮損耗時一般變壓器的模型11.4變壓器的電路模型

由于k<1,因此每個線圈電流所產生的磁通中有一部分磁通僅通過本線圈,不通過另一線圈,這部分磁通稱為漏磁通,即Φ11=Φ21+Φs1

Φ22=Φ12+Φs2上面兩式中,Фs1和Фs2分別是線圈1和線圈2的漏磁通。根據(jù)自感和互感的定義,有11.4變壓器的電路模型

若考慮變壓器線圈的損耗(銅耗),則應在電路模型的原、副邊回路中加入串聯(lián)電阻R1、R2,如圖11-23所示。圖11-23考慮線圈損耗時一般變壓器的模型

若要將變壓器的鐵芯渦流損耗(鐵耗)再考慮進去,圖11-23電路模型中還應添加一個與LM并聯(lián)的電阻。第十二章二端口網絡

本章介紹二端口網絡的概念、二端口網絡的端口伏安關系式，描述其端口特性的各種參數(shù)、二端口網絡的互聯(lián)方式、等效電路、有載二端口網絡的網絡函數(shù)及二端口網絡的特性阻抗。12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.2二端口網絡的等效網絡12.3二端口網絡的互聯(lián)12.4有載二端口網絡12.5二端口網絡的特性阻抗12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1.1二端口網絡

在分析電路時，若對某部分電路的內部情況不需研究，則可將這部分電路看作一個整體。根據(jù)它與外電路連接的端紐數(shù)，稱為二端網絡、三端網絡、四端網絡及多端網絡等。在許多情況下，這些端紐成對出現(xiàn)，它們滿足端口條件，即從一個端紐流入的電流等于從另一端紐流出的電流，這樣的一對端紐稱為一個端口。根據(jù)端口數(shù)目，可分為單端口、二端口及多端口網絡，圖121(a)、(b)所示為單端口及二端口網絡。圖12-1單端口網絡和二端口網絡

二端口電路在實際電路中是比較常見的，它們通常起著傳送能量或信號的作用，如變壓器、放大電路等。二端口電路的內部結構可能簡單，也可能復雜，但它對外電路的影響僅決定于它的端口伏安特性。對外電路而言，端口特性相同的二端口網絡是等效的，這種情況類似于一個單端口網絡與其戴維南或諾頓電路等效。

本章僅討論正弦電流電路中內部不含獨立源的二端口網絡。它的相量模型如圖12-2所示。習慣上將1、1'端口稱為輸入端口，將2、2'端口稱為輸出端口。本章均采用圖122所示電流和電壓的參考方向。

二端口網絡的端口變量為I1、I2、U1和U2。在這四個變量中，只能選擇兩個作為獨立變量(自變量)，另兩個為因變量，因變量與自變量之間的關系式即端口伏安特性方程。由于電路的線性性質，因此端口伏安特性方程是線性方程。根據(jù)所選擇的自變量的不同，二端口網絡共有六種不同類型的端口伏安特性方程，即有六種不同類型的端口參數(shù)，以下介紹常用的四種。圖12-2二端口網絡的相量模型12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1.2Y參數(shù)及Y參數(shù)方程

以二端口網絡的端口電壓U1、U2

作為自變量，端口電流I1、I2

作為因變量，則可得端口伏安特性方程為（12-1）其中，各系數(shù)Y11、Y12、Y21、Y22均具有導納的量綱，統(tǒng)稱為二端口網絡的Y參數(shù);上式稱為二端口網絡的Y參數(shù)方程。由(121)式可知，各Y參數(shù)的定義式為（12-2）即:Y11是輸出端口短路時的輸入端導納;Y22是輸入端口短路時的輸出端導納;Y12(Y21)是輸入端口(輸出端口)短路時，兩端口間的轉移導納。由于各Y參數(shù)都對應著某端口短路的情況，因此Y參數(shù)又稱為短路導納參數(shù)。 Y參數(shù)可用矩陣表示為（12-3）

計算二端口網絡的Y參數(shù)常用的方法有兩種:一種是根據(jù)其定義式，即(12-2)式求得;另一種是設端口電壓已知，通過電路分析計算，得到Y參數(shù)方程，從而得到Y參數(shù)。12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1.3Z參數(shù)及Z參數(shù)方程12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1.4H參數(shù)及H參數(shù)方程12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1.5T參數(shù)及T參數(shù)方程

計算二端口網絡的T參數(shù)時,可根據(jù)定義式(12-12)計算,或直接寫出T參數(shù)方程,從而得到T參數(shù)。12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1.6參數(shù)間的轉換

二端口網絡的各種參數(shù)在不同的場合得到應用。在進行一般網絡理論探討和基本定理的推導中，常使用Z參數(shù)和Y參數(shù);T參數(shù)常用來分析網絡的傳輸特性;H參數(shù)則廣泛用于電子電路中。

某些二端口網絡的某種參數(shù)可能不易算得或不易用實驗測得，而另一種參數(shù)卻可能容易得到，因此有時需進行不同種類參數(shù)間的相互轉換，即從一種已知參數(shù)推算另一種參數(shù)。這種推算可從相關參數(shù)方程入手，由已知參數(shù)的方程推出待求參數(shù)的方程，從而得出待求參數(shù)矩陣。

例如，若已知某二端口網絡的Y參數(shù)，要求其T參數(shù)。寫出其已知的Y參數(shù)方程為由于所求T參數(shù)方程是以U1和I1作為因變量，以U2和-I2作為自變量的，因此先由上面第二式解出U1，再代入第一式解出I1，整理后得到T參數(shù)方程為由上式可得T參數(shù)矩陣為表121列出了Z參數(shù)、Y參數(shù)、H參數(shù)和T參數(shù)之間的換算關系。12.1二端口網絡的方程和參數(shù)表12-1二端口網絡各種參數(shù)間的換算關系12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1二端口網絡的方程和參數(shù)12.1.7互易二端口網絡和對稱二端口網絡

滿足互易定理的二端口網絡稱為互易二端口網絡，可以證明，內部不含獨立源和受控源的二端口網絡滿足互易定理。12.2二端口網絡的等效網絡

對外電路而言，端口伏安特性相同的二端口網絡是等效的?？蓪⒁粋€內部結構復雜的二端口網絡用其等效網絡代替，從而簡化電路，以便分析計算。12.2.1互易二端口網絡的等效T形和等效Π形網絡

互易二端口網絡的每組參數(shù)中只有三個是獨立的，其最簡單的等效網絡應由三個阻抗構成。三個阻抗構成的二端口網絡有T形和Π形兩種，分別如圖12-6(a)、(b)所示。圖12-6互易二端口網絡的等效T形和Π

形網絡12.2二端口網絡的等效網絡12.2二端口網絡的等效網絡

例12-4二端口網絡如圖12-7(a)所示，求該網絡的等效T形、Π形網絡。圖12-7例12-4題圖及其等效T形和Π

形網絡12.2二端口網絡的等效網絡12.2二端口網絡的等效網絡12.2.2Z參數(shù)、Y參數(shù)和H參數(shù)等效網絡12.2二端口網絡的等效網絡圖12-8二端口網絡的Z參數(shù)、Y參數(shù)和H參數(shù)等效網絡12.3二端口網絡的互聯(lián)12.2.2Z參數(shù)、Y參數(shù)和H參數(shù)等效網絡

將一個復雜的二端口網絡看做是由若干個較簡單的二端口網絡按某種方式連接而成的,這可簡化電路的分析。另一方面,設計和實現(xiàn)電路時,也可將若干個簡單的二端口網絡連接起來,構成具有所需特性的二端口網絡。二端口網絡有多種不同的連接方式,下面介紹常用的級聯(lián)、串聯(lián)和并聯(lián)三種方式。

圖12-9所示為兩個二端口網絡N1和N2的級聯(lián)，N1的輸出端連到N2的輸入端，構成一個復合二端口網絡。復合二端口網絡的參數(shù)可由N1和N2的參數(shù)求得。圖12-9二端口網絡的級聯(lián)12.3二端口網絡的互聯(lián)12.3二端口網絡的互聯(lián)

圖12-10所示為兩個二端口網絡N1和N2的并聯(lián)，N1和N2的對應端紐分別連接，構成一個復合二端口網絡。圖12-10二端口網絡的并聯(lián)N1、N2及復合二端口網絡的輸入電壓、輸出電壓分別相等，即若并聯(lián)后，N1和N2各自的端口條件仍然滿足(即從端口的一個端紐流入的電流等于從另一端紐流出的電流)，則二端口網絡的電流關系為12.3二端口