河北省永年縣一中2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題4月仿真模擬聯(lián)考試題

河北省永年縣一中2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題4月仿真模擬聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或2．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．已知集合，定義集合，則等于（）A． B．C． D．4．已知，則“直線與直線垂直”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或76．在一個數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．7．已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將這個數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為（）A． B． C． D．9．已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)10．已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．11．某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍，為了更好地對比該校考生的升學(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結(jié)論正確的是（）.A．與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加B．與2016年相比，2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C．與2016年相比，2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D．2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同12．已知向量與向量平行，，且，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實(shí)心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.14．函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15．函數(shù)在的零點(diǎn)個數(shù)為_________.16．已知函數(shù)，令，，若，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，并且.（1）已知_______________，計(jì)算的面積；請①，②，③這三個條件中任選兩個，將問題（1）補(bǔ)充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一種情況的解答計(jì)分.（2）求的最大值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，是棱中點(diǎn).（1）已知點(diǎn)在棱上，且平面平面，試確定點(diǎn)的位置并說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在何處時，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.19．（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).（1）當(dāng)時，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.20．（12分）已知函數(shù)，，（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，且此時恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．（12分）設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，且，，求四邊形面積的最大值．22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

由成等差數(shù)列得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練．2．A【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個零點(diǎn)，等價于與有三個交點(diǎn)，又因?yàn)?，且由圖可知，當(dāng)時與有兩個交點(diǎn)，故只需當(dāng)時，與有一個交點(diǎn)即可.若當(dāng)時，時，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點(diǎn)??，故滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；時，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；時，顯然與有一個交點(diǎn)，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.3．C【解析】

根據(jù)定義，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榧?，所以，則，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的新定義運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

由兩直線垂直求得則或，再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，“直線與直線垂直”則，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值，同時熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

計(jì)算出的值，推導(dǎo)出，再由，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.7．D【解析】

先由是偶函數(shù)，得到關(guān)于直線對稱；進(jìn)而得出單調(diào)性，再分別討論和，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以關(guān)于直線對稱；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)即時，由得，所以，解得；當(dāng)即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.8．D【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項(xiàng)相消即可求解.【詳解】由題意，設(shè)每一行的和為故因此：故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.9．C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可知在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數(shù).又，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.10．A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合和的離心率之積為，即可得的關(guān)系，進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，通過簡單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，2016年高考不上線人數(shù)為，2019年不上線人數(shù)為，故A正確；2016年高考一本人數(shù)，2019年高考一本人數(shù)，故B錯誤；2019年二本達(dá)線人數(shù)，2016年二本達(dá)線人數(shù)，增加了倍，故C錯誤；2016年藝體達(dá)線人數(shù)，2019年藝體達(dá)線人數(shù)，故D錯誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用，考查學(xué)生識圖的能力，是一道較為簡單的統(tǒng)計(jì)類的題目.12．B【解析】

設(shè)，根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求解，涉及共線向量的坐標(biāo)表示和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力與計(jì)算能力，是一道中檔題.14．【解析】

設(shè)，，設(shè)，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設(shè)，，則.原函數(shù)等價于函數(shù)，即有兩個解.設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，，.當(dāng)時，易知不成立；當(dāng)時，根據(jù)對稱性，考慮時的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.15．1【解析】

本問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個數(shù)問題，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】問題函數(shù)在的零點(diǎn)個數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個數(shù)問題.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)時，兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn).故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.16．4【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，求得，，，進(jìn)而得到，再利用放縮法和取整函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，且，，可得，，又由，可得為常數(shù)列，且，數(shù)列表示首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，其中數(shù)列滿足，所以，所以，又由，可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，所以，即，又由表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）1【解析】

（1）選②，③．可得，結(jié)合，求得．即可；若選①，②．由可得由，求得．即可；若選①，③，可得，又，可得，即可；（2）化簡，根據(jù)角的范圍求最值即可．【詳解】（1）若選②，③．，，，，又，．的面積．若選①，②．由可得，，，又，．的面積．若選①，③，，又，，可得，的面積．（2），當(dāng)時，有最大值1．【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，三角三角恒等變形，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．18．（1）為中點(diǎn)，理由見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【解析】

(1)為中點(diǎn),可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明，，從而證明平面平面；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時，直線與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.【詳解】（1）為中點(diǎn)，證明如下：分別為中點(diǎn)，又平面平面平面又，且四邊形為平行四邊形，同理，平面，又平面平面（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)直線與平面所成角為，則取平面的法向量為則令，則所以當(dāng)時，等號成立即當(dāng)點(diǎn)在線段靠近的三等分點(diǎn)時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面與平面的平行，直線與平面所成角的求解，考查了學(xué)生的直觀想象與運(yùn)算求解能力.19．（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，由，得，∵∴或，所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）由題意可設(shè)，.由，得，.故時，的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)的求法，考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計(jì)算以及距離最值的求法，屬于中檔題.20．（1）時，在上單調(diào)遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）．【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)定義域是，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；時，令得，時，，遞減，時，，遞增，綜上所述，時，在上單調(diào)遞增，時，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數(shù)單調(diào)性，若有唯一零點(diǎn)，則或．當(dāng)時，，，從而只需時，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)與不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．這又可通過導(dǎo)數(shù)求解．21．（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值為1，可得，，即可求橢圓的方程；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關(guān)于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個公共點(diǎn)知，即可得到，的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公