數(shù)值分析習題答案

第一章緒論

3.以下各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個單位，試指出它們是幾

位有效數(shù)字：％：=1.1021,X；=0.031,X；=385.6,x；=56.430,x；=7x1.0.

解：x：=1.1021是五位有效數(shù)字;

￡=0.031是二位有效數(shù)字；

￡=385.6是四位有效數(shù)字：

x；=56.430是五位有效數(shù)字；

芯=7x1.0.是二位有效數(shù)字。

4.利用公式(2.3)求以下各近似值的浜差限：(1)x；+x；+x；,(2)父以；,(3)x；/x；.

其中X：，E，X；,K；均為第3題所給的數(shù)。

解:

￡（X）=gxlU4

￡（芯）=gxl0，

￡(匕)=；、10-1

￡(￡)=；X1()7

￡(E)=；XICT'

⑴e（x；+x；+x；）

=E（X；）+￡（X；）+￡（X；）

=1.05x103

（2U（x*xX）

=忖勾￡（石）+卜工卜（x；）+忖工,（x；）

=|1.1021x0.031|xlxl0_|+|0.03lx385.6|xlxl0_4+|1.1021x385.6|x-!-xl0-3

?0.215

⑶c（x；/x；）

歸,（￡）+舊卜（芯）

0.031x工x10-3+56.430x-x!0-3

=______2______________2

56.430x56.430

二M

6.設力=28,按遞推公式％=匕_「，->/^（n=12…）

計郛到九0。假設取J麗。27.982（5位有效數(shù)字），試問計算九0將有多大誤差？

解：工二給一看屈

??.h=k白質

1UU

3%「急歷

%=%_+鬧

乂=匕一--V783

,°100

依次代入后，有％）=L-iooxf-J7i5

即％=%-質，

假設取。27.982九2=%-27.982

??.￡%）=￡（%））+￡（27.982）=；x10”

，之0的誤差限為gxlO'。

9.正方形的邊長大約為了100cm,應怎樣測量才能使其面積誤差不超過k，〃?2?

解：正方形的面積函數(shù)為A（x）=V

￡（A*）=2A*?￡（爐）.

當，滑=100時，假設￡（A*）KI,

那么￡（X*）WLX10-2

2

故測量中邊長誤差限不超過時，才能使其面積誤差不超過\cm

10.設s-g燈2,假定g是準確的，而對t的測量有±0.1秒的誤差.證明當t增加時S的絕對誤差增

加，而相對誤差卻減少。

解：s=^/2,/>0

￡（S*）=g『?￡（f*）

當f*增加時，S*的絕對誤差增加

￡（S*）

"）=阿

二如、￡?*）

一9”

=2處

當f*增加時，￡（產(chǎn)）保持不變，那么5*的相對誤差減少。

II.序列｛工｝滿足遞推關系”=10y,i-l（n=L2,…），

假設為=Q=1.41（三位有效數(shù)字），計算到凹。時誤差有多大？這個計算過程穩(wěn)定嗎？

解：,.?尢=&HL41

1,

「.￡（.%*）=]X10-

又??』=10券「1

￡（-*）=10￡（%*）

又Ty2=10^-1

「?￡（%*）=1M（X*）

.?.￡（%*）=1。%（%*）

=iolox-!-xio-2

2

=-x10s

2

計算到凹。時誤差為1x10"，這個計算過程不穩(wěn)定”

第二章插值法

、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，、、、、，，、、、、、、、、、、、、、

1.當—,2時,/。)=0,-3,4,求/(此的二次插值多項式。

解：

%=1，X=-1,々=2,

/Uo)=oJ(X|)=-3,/(x2)=4;

(“f)(-2)=_l(x+i)(x_2)

(x0-x,)(x0-x2)2

AU)=?F=1(A-1)(X_2)

(不一.％)(%一工2)6

/,(x)=do)d)=l(x-ixx+1)

那么二次拉格朗日插值多項式為

2

L式x)=￡"(x)

hO

=-3/0(x)+4/2(-V)

14

=---(-V-l)(X-2)+—(x-1)(x4-1)

23

5,37

=-x'+—X——

623

4.設為互異節(jié)點，求證：

k

(2)^t(xJ.-x)/J(x)=O(Zr=O,l,,w);

/-o

證明

(2這(勺-不)以(幻

j=0

=￡(￡c；必T)""(X)

i=0i=0

=￡C；(T廣龍班*))

；=o;=o

又0<Z</2由上題結論可知

￡.%(x)=M

J=o

原式=力。卜一工)及3

c=0

=(x-x)A

=0

得證。

5設f(x)GC2[a.b]且以a)=f(b')=0,求證：

max|/(x)|<\b-a)-max|/ff(x)|.

a<x<b118a<x<b11

解：令d=。,演=。，以此為插值節(jié)點，那么線性插值多項式為

Lla)=/(x0)^^+/(x1)^-^

七一為

x

==/(a)g+/S)已

a-bx

又/⑷=")=0

/.L)(x)=0

H

插值余項為R(x)=f(x)-Ll(x)=^f(x)(x-x0)(J:-)

ff

fM=g/(x)(x-x0)(x一N)

Xv|(x-x0)(x-x1)|

1I2

<<-[(X-XO)4-(X1-X)]-

1o

=7(M7O)’

4

=-(b-a)2

4

max|/(x)|<^(/?-67)2niax|/ff(x)|.

a<x<b118a<s<i>11

8.如果/a)是m次多項式，記修(x)=/(“+?)-f0),證明/(x)的k階差分屋/(x)(04&W〃?)

是他―女次多項式，并且A'z/(x)=0”為正整數(shù))。

解：函數(shù)/(x)的Taylor展式為

八—⑴+小*八*+…+"⑼⑴〃”+小1(所

其中J￡*?+〃)

又1/(X)是次數(shù)為機的多項式

..嚴)q)=o

???Af(x)=f(x+h)-f(x)

=fMh+1/〃*)力2+…+二/M

2

.?.V(x)為"Ll階多項式

A2/(x)=A(Af(x))

.?.白2/(外為用一2階多項式

依此過程遞推，得A*/。)是〃2-女次多項式

.?.*”/*)是常數(shù)

二當/為正整數(shù)時，

AW+7(X)=0

H.證明其A?)，/=△”-△%

J=0

--i。一!

證明?&=?%「△%)

7=07=0

=(⑼-A%)+(△%-3)++(△”-△%)

=△)，”一△為

得證。

14./(x)=F+/+3x+l,求”[2°,21..,21及/〔20,21，2%

解：fW=x7+x4+3x+\

假設Xj=2',i=0』,???,8

那么了[%小，…,x,,]=f；，)

.■./[A-0,X?,x7]=于4=1

小。，%，，4]二,'薩=0

16.求一個次數(shù)不高于4次的多項式P(x),使它滿足P(0)=/(0)=0,P(l)=P(l)=0,P(2)=0

解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項式

%=(),%=1

%=。,弘=1

〃4)=0,m]=1

乜(x)=￡匕％(x)+Xm/j(x)

j=Qj=Q

%(幻=(1-2土玉)(土土)2

=(l+2x)(x-l)2

a,(x)=(1-2^—^)(^—^)2

=(3-2x)x2

2

/70(x)=x(x-l)

^(x)=(x-l)x2

22y2

f/3(x)=(3-2x)x+(x-l)x=-x+2x

22

設P(x)=H/x)+A(x-x0)(x-x1)

其中，A為待定常數(shù)

?;P(2)=1

/.P(x)=-x3+2x2+AY2(X-1)2

從而尸(幻=,工2。-3)2

4

is.求/*)=/在用上分段線性插值函數(shù)〃a),并估計誤差。

解：

在區(qū)間［?句上,xQ=a,xn=b,ht=x/+1-xpZ=0,1,--?,-1,

h=max/7.

?/f(x)=x2

函數(shù)/(x)在小區(qū)間［4西+』上分段線性插值函數(shù)為

,，\X-X..，/、X-X.￡,、

乙⑴=-----9/(若)+------/(-vI+I)

%If

=][玉2(玉+1—X)+玉+J(X-X,)]

4

誤差為

max|/(A)-///(x)|<Jmax|廣(，)卜甲

x1sH.tQ(r<4<b

??,/(x)=X2

/.f\x)=2xj\x)=2

,2

/.max|/(x)-/Jx)|<-！-

4

第三章函數(shù)逼近與曲線擬合

1./(x)=sin|x,給出[0,1]上的伯恩斯坦多項式4g)及用(/?。

解:

/(x)=sin-y,XG[0,1]

伯恩斯坦多項式為

紇(1%)=之八與2)

4=0〃

其中乙。)=：k(i—x)z

當〃=1時，

M=[oJ(D

A(X)=X

??.即/,1)=/(0)4(幻+八1此(外

(\}7T7T

=(1-A)sin(—x0)+xsin—

⑹22

當〃=3時，

/>.?=!I(i-x)3

[“)=(；A-(I-X)2=3.r(l-x)2

6⑺=(：X2(1-X)=3X2(1-X)

(3\

F\ix)=x3=x3

「應(/,八)=￡/崗《。)

4=0〃

=0+3x(1-x)2*sin—4-3x2(l-x)?sin—+xysin—

632

=-x[\-x)2+x2-x)+xy

22

222

?L5X-0.402X2-0.098X3

4。計算以卜函數(shù)/⑴關于C[0,1]的團』/L與82：

(2)/(x)=x-g，

解：

⑵假設/(x)=那么

II./L=?X|/(A-)|=|

fl1

=2ji(x--k￡r

1

=-

4

加2=(17(標/

J>l127-

=[Jo(x--)drF

￡

=--

6

6。對/(x),g(x)wCla,回，定義

(2)(/,g)=f(x)g\x)dx+f(a)g(a)

問它們是否構成內積。

解：

⑵假設(/,g)=fr")g'(x世+/(a)g(a)，那么

(XJ)=f+g(〃)/(a)=(/,g),VaeK

(a7,g)=^[afM]fg\x)dx+af(a)g(a)

=al^f\x)g\x)(Lx+f(a)g(a)]

=a(fg)

VAeC'[a,Z>]，那么

fb

=J：f(x)hXx)dx+f(a)h(a)+J*j\x)h\x)dx+g(a)h(a)

=(/,〃)+(〃,g)

(A/)=￡iru)]2^+/2(6/)>o

假設(/,/)=(),那么

f[r(x)]2dx=()W/2(a)=。

r(x)=O,/(a)=O

/.f(x)=0

即當且僅當f=0時,(/,/)=0.

故可以構成加上的內積。

7。令7；：(x)=7；(2x-l),xe[0,l],試證｛看(幻｝是在[0,1]上帶權〃(x)二,「，的正交多項式,并求

解：

假設7；；*)=7；(2x-l),x€10,11，那么

。:⑴1:⑴如世

=|'7；l(2x-l)7；H(2.r-l)-rX=dv

?°yJX-X2

令f=(2x-l),那么且x=9L故

2

Jo"：(X)Z；(X)P(X9

)

=?\-Irnmt

乂切比雪夫多項式｛1*)｝在區(qū)間［0,1］上帶權p［x｝=k正交'且

13，〃=加W0

7、一「2

4，n=m=0

、I

.-.|7；；(x))是在[0,1]上帶權p(x)=------的正交多項式。

\JX-X2

/.^(x)=7；(2x-l)=hx€[0,l]

?/T；(x)=x,xe[-lJJ

/.7]*(x)=7；(2x-l)=2A-l,xe[0J]

v7；(x)=2x2-l,x€[-l,l]

/.K(x)=T2(2X-\)

=2(2X-1)2-1

-8x2-1,XG[0,1]

7^(X)=4X3-3X,XG[-1,1]

.?.7；-(.r)=7；(2A-l)

=4(2X-1)3-3(2X-1)

=32x3-48x2+18x-hxe[0J]

8。對權函數(shù)p(x)=l-f,區(qū)間[一]1],試求首項系數(shù)為1的正交多項式a(x),〃=0,l,2,3.

解：

假設夕")=1一/，那么區(qū)間[一口]上內積為

(/?(?)=￡f(x)g(x)p(x)cb:

定義W)(x)=l,那么

***)=(x-%)內.(x)-以必T(x)

其中

%=(即“a),8“a))/@(x),以(x))

A,=(然。),外(幻)/(心.1(笛,?！爸?

.*.a0=U,l)/(l,l)

,產(chǎn)(1+f世

=0

/."(x)=x

2

af=(x,x)/(x,x)

，產(chǎn)3(1+12加

j'x2(l+x2XZv

=0

4=(.")/(1,1)

|*：儲(1+.丫2心

J：(l+x2世

16

=K=2

85

3

/、，2

/.^2(x)=x---

(V-1x)(x2-1)(l+x2}dx

JJ

J](廠——)(-^*12*4-~)(1+X?M-X

=0

79

A=（廣一不廠一《）/（樂x）

JI(廠——)(x2--)(1+x~)dx

—JJ

|\2(1+x2)dr

136

=525=E

1670

15

/、a22179

?.(i?,(X)=X---X----X=X3----X

57014

10.(Nohave)

12.(Nohave)

15./（x）=sin|x,在［-1,1］上按勒讓德多項式展開求三次最正確平方逼近多項式。

解：

?//(x)=sinyx,xe(-1,11

按勒讓德多項式｛4（大）,4（x）｝展開

(/*),4(幻)=Lsin3—COS3x=0

1冗1]

(/(X),7](%))=j^ASinyAzk=—

xdx

(/*),p2(幻)=J：(尹-g)si吟=0

,,,、Q,'、P/5：371.48(/-10)

(/(x)，A(x))=(-r--x)s、i.n-%cZr=------——

JT2227i

那么

a；=(/(x)，43)/2=0

17

^=3(/(x),Z>(x))/2=—

71

4=5(/(X),R(X))/2=0

?、DZ168(/70)

4=7(/(x),8(幻)/2=-----------

71

從而/（X）的三次最正確平方逼近多項式為

S；(x)=a；E)(x)+a；R(x)+a2P2(x)+。汨(x)

12168(/-10)5/3丫)

二k

420(42-1())3120(21-2/)

乃4X乃4

p1.5531913x-0.5622285/

16。觀測物體的直線運動，得出以下數(shù)據(jù)：

時間t(s)0

距離s(m)010305080110

求運動方程。

解：

被觀測物體的運動距離與運動時間大體為線性函數(shù)關系，從而選擇線性方程

s=a+bt

令(I)=spa〃］］」｝

那么

帆h6,||洲二53.63,

@序)=14.7,

(外,$)—280,(何，$)-1078,

那么法方程組為

'614.71⑺J280)

J4.753.63人〃廠［1078)

從而解得

d=-7.855048

%=22.25376

故物體運動方程為

5=22.25376/-7.855()48

23,用輾轉相除法將化為連分式。

廠+6x+6

解

3x~+6x

&式x)=

A2+6.r+6

i⑵+18

3---；--------

x~+6x+6

94

X+23

x+-

2

120.75

x+4.5x+1.5

19。求f(x)=sinx在尤=0處的(3,3)階帕德逼近%(x)°

解：

由/(x)=sinx在工=0處的泰勒展開為

V/X7

sinx=x----+-------

3!5!7!

得C°=0,

C,=l,

G=。，

I1

Gr-

c4=0,

c11

c,=—=—,

5!120

Q=0,

從而

-C^by-C2b2-Cfy=C4

力3—C3A—CM=C5

-C3b3-C4b2-G4=C6

即

4

Io6

公'

1

-o;仇

6

勿J

l

_o、

-

6皿

從而解得

b、=0

加=:

■2

4=0

a=

又=k，Cpk_j+Ck(k=0,1,2,3)

j=o

那么

%=Co=。

%=CJ\+C)=0

a2=C()b2+Cfy=0

7

&=G&+Cb+C2bl+=一—

t260

故

/八_/+qx+%『+4X

"(?1+辦+城+城

v73

_60

一I12

1+—廣

20

60x-7x3

―60+3V

210求f(x)=d在x=0處的(2,1)階帕德逼近心(x)。

解：

由/(x)=，在X=0處的泰勒展開為

XiX'X

e=l+x+—+——+

2!3!

得

C°=L

c.=l,

c.=-=-,

33!6

從而

一。?々=C3

即

1,1

2々=6

解得

13

又「ak=￡cMj+G(A=0J2)

六0

那么

2

q=G4+G=§

生二。①+。2=)

o

故

1+/?1%

,2I

1+-X+-X-2

,36

■TTT

3

6+4x+x2

6-2x

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分

1.確定以下求積公式中的特定孥數(shù)，使其代數(shù)精度盡呈高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數(shù)精

度：

(2)J："(xa=A_lf(-/i)+4/(0)+A/(力)；

(4)J：/(x世x/2[/(0)+/(/?)]/2+加[尸(0)-八協(xié)；

解：

求解求積公式的代數(shù)精度時，應根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對于次數(shù)不超過m的多項式均能準確

地成立，但對于m+l次多項式就不準確成立，進行驗證性求解。

⑵假設*&/(一”)十/V(°)十4/(")

令/(幻=1,那么

4/2=A”+4+A

令/Xx)=x,那么

0=-4_/+4/?

令f(x)=f,那么

學=%*_1+/-A

從而解得

A=-h

I13

令"幻=/，那么

4Ji)+M。)+A/S)=0

故Rj(xWx=4J(T?)+4/(0)+AJS)成立。

令/(x)=d,那么

單融=o苧，

"(—〃)+MO)+A/優(yōu))苧5

故此時,

1：/"粟丫。A_j(-h)+4/(°)+A/e)

J-2h

因此,

J；/(xXZr?AJ(-h)+4/(0)+AJ(h)

J-2h

具有3次代數(shù)精度。

⑷假設[f(x)dx?〃"(0)+/(%)]/2+ah2[f(O)-/'(初

令f(x)=l,那么

J：/(工世二h,

川f(0)+f(h)]/2+ah2\f(O)-f\h)]=h

令ya)=x,那么

h\/(o)+/(〃)]/2+加?r(o)_r(〃)]=肘

令f(x)=f,那么

￡/UHV=￡X2^-=1/Z3

川f(0)+fWl/2+a/rl/XO)-f\h}]=^-2ah2

故肓

-h3=-h3-2ah2

32

1

a=一

12

令/"(X)=x3,那么

J；/(x心=]>皿=%

力"(0)+/(/?)]/2+W〃2"'(0)-7(/?)]=-

令/*)=/,那么

川〃0)+/(〃)]/2+」/4/'(0)-八/?)]=卜廣一?川=為5

12236

故此時，

[：/“心工h[f(0)+f(h)]/2+1h2[f\0)一/"?)],

JLJ

因此,[：/c"(o)+/(〃)]/2+『[r(o)—八力)]

具有3次代數(shù)精度。

2.分利用梯形公式和辛普森公式計算以下積分：

⑴「“、小,〃=8;

Jo4+x

(2)(Jxdx,n=4:

解：

|Y

(l)n=8,a=0,Z?=l,A=-,/(x)=----

84+x~

復化梯形公式為

(=4/⑷+/區(qū))+/S)]=0.1114。

2*=i

復化辛普森公式為

58=夕/5)+4^/(x,)+2tf(xk)+/(^)]=0.11157

6A=ok+2Jt=l

(2)〃=4,a=1,6=9,力=2,/Qi)=G,

復化梯形公式為

h3

T4=-[/(?)+2￡/(xJ+f(b)]=17.22774

2k=\

復化辛普森公式為

h33

S”=-[/(?)+4X/U,)+2gf?)+/(〃)]=>7.32222

6k+2

5o推導以下三種矩形求積公式:

世=S一〃)/(〃)+-?)2；

J“2

［世=S-〃)/S)-?S-4)2；

Ja2

『世=(b-4)/(噂)+$2(b-a)3;

J“224

證明：

(1)，/(x)=f(a)+f'Q7)(x-a),昨(a,b)

兩邊同時在［。力］上積分，得

J：/(x心=(b-a)f(a)+八〃)J：5-a)出

即

f7uXr=(b-a)f(a)+?(b-a)2

(2)v/(x)=f(b)-rs)(b-x),rje(a,b)

兩邊同時在［a,句上積分，得

=(b-a)f(a)-f\r^(b-x)dx

即

1/L={b-a)f(b)-2S-a)2

Ja2

crz、//〃+〃、,，/〃+久/Cl+b./"(〃)/a+b、,.,.

(3jv/(A)=/(^-)+/(^-)(x---)+一一—Y,ne(a,b)

兩連邊同時在他，加上積分，得

f〃，/、」、，/a+久cl+b、」a+b、2」

jf(x)d\=(b-a)/(--)+/X—一一—(x一一—ydx

乙乙乙乙乙

即

『f(x\b:=(b-4)/(W與+s-a)3；

224

7o如果/"(x)>(),證明用梯形公式計算積分/=f/(x)心:所得結果比準確值/大，并說明其幾何意

義.

解：采用梯形公式計算積分時，余項為

&7=-砂”［。向

又,//"(>)>0且〃>a

/.R,<0

乂???/?r=i—r

:.!<T

即計算值比準確值大。

其幾何意義為，/〃(x)>0為下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積，

11?用〃=2,3的高斯-勒讓德公式計算積分

『'sinxdx.

解：

/=Ie'sin.xzZr.

?.,工￡口,3],令f=x-2,那么，

用〃=2的高斯一勒讓德公式計算積分

/?0.5555556x[/(-0.7745967)+/(0.7745967)]+0.8888889x/(0)

X10.9484

用〃=3的高斯一勒讓德公式計算積分

/?0.3478548x[/(-0.86II363)+/(0.86II363)]

+0.6521452x[/(—0.3399810)+/(0.3399810)|

?10.95014

17.(Nohave)

f(x)=—二在x=L0』.l,和1.2處的導數(shù)值，并估計誤差。力大)的值由下表給出:

(1+幻

x

F(x)一

由帶余項的三點求導公式可知

/U)=)-/(x2)]+：/也)

2/?3

r?)=![-/a。)+/(士)]一,廣⑹

Z/2O

/'(/)=一"(K)+3/(X2)]+:尸?

2h3

又「f（x0）=0.2500,/（X,）=0.2268,/（%）=0.2066,

:于'5)。-^-[-3/(x0)+4/(西)-f[x2)]=0.247

2h

X

f\xx)?.-f(x。)+/(2)]=-0.217

/'(占)=)-4/(M)+3/(z)]=-0.187

2h

又、"了&

-24

'(l+A)5

又,.xe[L0,1.2]

區(qū)0.75

故誤差分別為

42.5x10-3

L='D<1.25x10-3

.2

IHX）|=g/"e）《2.5x10-3

J

利用數(shù)值積分求導，

設以幻=ra）

/（%）=/（A）+P］奴工世

J”

由梯形求積公式得

「“(p{x}dx=4mxi+8(%)]

Jxt2

從而有

/（%）=/（々）+自。（毛）+奴加）］

故

2

。(%)+。(％)=7"(4)一/(%)]

h

2

9(%)+叭x?)=-[/(x,)-/(%)]

h

又:/（為+i）=/（Vi）+R（P<x}dx

且f（p{xylx=4奴,%］）+奴%+1）］

從而有

/(%)=/(々.I)+機。(匕T)+8(%)I

故夕(.7)+叭X?)=1"。2)-/30)］

即

夕（入（））+*（.￡）=-0.464

?8（$）+例々）=-0.404

夕（王））+9（/）=-0.434

解方程組可得

夕（%）=-0.247

?8（X1）=-0.217

^（X2）=-0.187

第5章解線性方程組的直接方法

2.證明：(1)因A對稱正定，故

&ii=(A.g)>0,Z=l,2,.......

其中e,=,為第i個單位向量.

(2)由A的對稱性及消元公式得

一孫％?…-

—二9I,j=2>,.,n

4i

成A,也對稱.

的

顯然均非其異,從而對任意的X±0,有

L：XW0,(x,I,AKX)=(Il\X,AL(X)>0(由A的正定性)

故。人川正定.

丁r^no

又L,A￥=''，而4>0,故4正定.

0

3.證明由矩陣乘法簡單運算即得證.

7.(Nohave)

8.(Nohave)

9.解設有分解

由公式

仄=%4=%/

-a=。血_]+?,,(/=2,3,4,5)

q=%%,?=2,3,4)

其中〃，q,J分別是系數(shù)矩陣的主角線元素及其下邊和上邊的次對角線元

素，那么有

r3456

%=2,tz2=—>%=—,a4=—,%=一

i234

1=一丁人=一1，A=-A=--

N*。J

由

2

3

-

-3?

2|

J2o

42

7-o

3}，