2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分數(shù)列111-120-專項訓練【含答案】

數(shù)列放縮之分類討論【例1】已知數(shù)列的前項和。滿足，求證：對任意大于4的整數(shù)，都有。【解析】容易得到，由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分類討論：當≥3且為奇數(shù)時，，（減項放縮）①當>4且為偶數(shù)時，；②當>4且為奇數(shù)時，，由①知，由①②知原命題得證。數(shù)列和式之均值放縮【例1】設，求證:.【解析】此數(shù)列的通項為.因為，所以，即?！驹u注】①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成，則得，就放過“度”了?、诟鶕?jù)所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，其中，=2，3.…的各式及其變形公式均可供選用?！纠?】已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：.【解析】由已知條件易得則【例3】已知為正數(shù)，且.求證：對任意，都有?！窘馕觥坑傻?又.故,而。令,則,因為，倒序相加得,而,則,所以，即對任意，.【例4】求證:.【解析】不等式左邊==右邊，所以原命題成立?！纠?】已知,求證:.【解析】.經(jīng)過倒序相乘，就可以得到.【例6】已知，求證：.【解析】，其中.因為，即，所以.從而，所以?！纠?】若>7，求證：.【解析】，因為當時，，所以，所以，當且僅當時取到等號。所以，所以，所以.【例8】已知函數(shù)，當時，求證：.【解析】由已知得，當=1時，左邊=,右邊=0，不等式成立。當≥2時，.令,倒序相加得：，所以，所以成立。綜上，當時，命題成立.【例9】已知函數(shù).求函數(shù)的最小值，并求最小值小于0時的取值范圍；令,求證：.【解析】（1）,令>0，得>1,，又>1，所以，同理得<0時有，所以在上單調遞減，在上單調遞增；所以，若<0.即<0，則<一1，即.所以的取值范國是1<<.(2），所以不等式成立?！纠?0】求證：.【解析】先證左邊：.另解：.再證右邊：.綜上，待證不等式成立。數(shù)列和式之函數(shù)放縮【例1】求證：當≥2時，.【解析】構造函數(shù),則單調遞減，由得到，由，得，則，再進行裂項求和后可以得到：，不等式左邊，右邊，綜上知待證不等式得證?！驹u注】函數(shù)構造形式：.【例2】求證:?！窘馕觥?，要證明，即證明,由得,則令，，.累加即可證明待證不等式成立.【評注】函數(shù)構造形式：.當然本題的證明還可以運用積分放縮。如圖，取函數(shù)，首先，從而，取=1，有，所以有，相加后可以得到.另一方面，，從而有，取=1有，所以有.綜上可得【變式訓練】已知在數(shù)列中，，求證：；(2）；（3）.【例3】求證：；.【解析】（1）構造函數(shù)后即可證明.，由，得，則，則，即.(2)，由得，則，即.【例4】求證：.【解析】由，得，累加后右邊只能得到“”，無法得到“”，因此調整為，驗證當=1時，，不一定成立，因此再調整為，驗證當=1時，，成立。則，（加強命題）。另解：由，還可證明①.因為，所以，①式得證，故原命題得證。【例5】求證：.【解析】，只要證明.由得，即。累加可得.【例6】已知，求證：.【解析】由，得.，兩邊取自然對數(shù)，可以得到，運用和裂項法：，，……，，累加得，即，所以.放縮思路：由。得，于是，.即，從而.【評注】是一個很有用的結論，可以起到提示思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮：由，得，，所以，即，所以?！纠?】求證【解析】先構造函數(shù)，由，得。從而，因為，所以【例8】已知函數(shù)，（1）若≥0時，≤0，求的最小值；（2）設數(shù)列的通項，求證：.【答案】（1）由已知.若，則當時，>0，>0；若，則當>0時，<0,<0.綜上，的最小值是。（2）令，由（1)知，當>0時，<0，即.取，則.于是.所以.【評注】本題考查導數(shù)的應用與不等式的證明，考查學生的分類討論思想和利用構造法證明不等式的解題能力.第（1）小題通過求導的方法研究函數(shù)的單調性，進而判斷滿足條件的2的范圍，確定其最小值；第（2）小題借助（1）中的結論，得到不等式，進而構造達到證明不等式的目的.【例9]已知函數(shù).若>0,>0，求證：.【解析】由題意知即證明.令，則，即證明,設函數(shù)，因為，所以，所以.因為，令>0，則有>1，即，得等.所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增。所以的最小值為，即總有≥.而.所以，即.令，則.即,即待證不等式成立?！纠?0】已知函數(shù)是在上處處可導的函數(shù)，在>0上恒成立.（1）求證：函數(shù)