2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-排列組合+概率統(tǒng)計(jì)61-70-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

化簡(jiǎn)得 所以.故按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃. （二）余數(shù)探求 【例39】求除以8的余數(shù). 【解析】因?yàn)?，所以由上面的展開(kāi)式可知，199911除以8的余數(shù)是7. 【變式訓(xùn)練15】 能被19整除嗎? 【例40】如果今天是星期一，那么對(duì)于任意自然數(shù)n，經(jīng)過(guò)天后的那一天是星期幾? 【解析】由千則被7除所得余數(shù)為6.所以對(duì)于任意自然數(shù)n，經(jīng)過(guò)天后的一天是星期日. 【變式訓(xùn)練16】 1.求除以19的余數(shù). 2.今天是星期天，過(guò)天后是星期幾? 【例41】求除以88的余數(shù). 【解析】因?yàn)?，所以原式除?8的余數(shù)為1. 【評(píng)注】定理的逆用是全面掌握好定理的一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)，利用逆向思維解題也是數(shù)學(xué)思想的一個(gè)重要組成部分. （三）整除研究 【例42】已知求證能被64整除. 【解析】因?yàn)槭钦麛?shù)，所以能被64整除. 【例43】已知求證能被整除. 【解析】令，則. 【例44】已知求證能被20整除. 【解析】證法1：要證能被20整除，只需證明能被5整除，且能被4整除，而這只需按二項(xiàng)式定理展開(kāi)和. 因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)都是正整數(shù)，所以是20的倍數(shù)，即能被20整除. 證法2：由聯(lián)想到等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式 當(dāng)，或時(shí)，便可將與表示成若干個(gè)正整數(shù)的和，由此證明本題結(jié)論.因?yàn)椋?所以.故，此式是20的倍數(shù)，即能被20整除， 【評(píng)注】(1)一般地，要證明能被整除或求除以的余數(shù)，只要將表示成再二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可(其中m，n，k為正整數(shù)，r，q，p為整數(shù)).(2)當(dāng)n=0時(shí)，本題結(jié)論仍成立.還可以運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明能被20整除. (四)不等證明 【例45】求證且. 【解析】左式 $ 注意到：①；②右式至少有三項(xiàng)；③.故可以得到且. 【變式訓(xùn)練18】 當(dāng)且時(shí)，求證 【例46】設(shè)且求證: (1)； (2)求證. 證明過(guò)程中可以運(yùn)用公式:對(duì)個(gè)正數(shù)總有式中等號(hào)成立的充要條件為 【證明】(1)由，則又，故. (2)根據(jù)公式，對(duì)個(gè)正數(shù)總有式子等號(hào)成立的充要條件為，故有.而這樣，所以.又已證所以. 【例47】已知求證對(duì)任何正整數(shù)都成立，并指出等號(hào)成立的充要條件. 【解析】設(shè)則，對(duì)手任何正整數(shù)，都有 因?yàn)樗约? 對(duì)任何正整數(shù)都成立的充要條件是即 【評(píng)注】1.利用二項(xiàng)式定理證明不等式，常常是舍棄展開(kāi)式中的若于項(xiàng)，利用整體大于部分來(lái)建立不等關(guān)系.對(duì)任何正整數(shù)n，都有 2.將a，b分別表示成和是常用的變形技巧.如將表示成兩個(gè)三角函數(shù)的積，可這樣進(jìn)行： 【例48】在的展開(kāi)式中，記的系數(shù)為的系數(shù)為其中. (1)求的表達(dá)式； (2)是否存在常數(shù)使對(duì)恒成立?證明你的結(jié)論. 【解析】(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得 (2)解法1計(jì)算得.代入解得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 (1)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立. (2)設(shè)時(shí)成立，即 當(dāng)時(shí) 由①②可得結(jié)論成立. 解法2根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得.所以所以又也滿足上式，所以.故存在符合題意. 解法3根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得.所以存在符合題意.第三章概率與統(tǒng)計(jì) 概率是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性的度量，很多人對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)并不陌生，它幾乎遍及自然科學(xué).社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、軍事科學(xué)及生活實(shí)際等領(lǐng)域，作為未來(lái)的IT人才，尤其是人工智能方向，這是必備的基礎(chǔ)知識(shí).還有行為心理學(xué)、深度學(xué)習(xí)、心智理論等都將用到概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，所以概率與統(tǒng)計(jì)是當(dāng)今高考必考知識(shí)，必須學(xué)好.一、概率計(jì)算 （一）生日預(yù)測(cè)問(wèn)題 【例1】房間里有6個(gè)人，求至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率. 【解析】16個(gè)人的生日都不在同一個(gè)月份的概率.故所求概率為 (二)數(shù)字排列問(wèn)題 【例2】從分別寫(xiě)有0，1，2，3，4，5，6的7張卡片中，任取4張，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，計(jì)算： （1）這個(gè)四位數(shù)是偶數(shù)的概率； （2）這個(gè)四位數(shù)能被9整除的概率； （3）這個(gè)四位數(shù)比4510大的概率. 【解析】（1）組成的所有四位數(shù)共有（個(gè)）.當(dāng)這個(gè)四位數(shù)是偶數(shù)時(shí)： ①若個(gè)位數(shù)字是0，則有（個(gè)）； ②若個(gè)位數(shù)字不是0，則有個(gè) 所以共有（個(gè)）. 故組成的四位數(shù)為偶數(shù)的概率為. (2)能被9整除的數(shù)，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除. 數(shù)字組合為此時(shí)共有這樣的四位數(shù)（個(gè)）. 故能組成被9整除的四位數(shù)的概率為. (3)對(duì)比4510大的四位數(shù)進(jìn)行分類: ①當(dāng)千位是4，百位是5時(shí)，有(個(gè))； ②當(dāng)千位是4，百位是6時(shí)，有（個(gè)）； ③當(dāng)千位大于4時(shí)，有(個(gè)). 所以共有（個(gè)）. 故組成的四位數(shù)比4510大的概率為. 【例3】從個(gè)正整數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則. 【答案】8 【解析】表示出兩數(shù)之和等于5的概率，并建立方程，利用組合數(shù)的計(jì)算公式，解方程求得n. 從個(gè)正整數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，所有的取法有種，而取出的兩數(shù)之和等于5的取法只有兩種，即(1，4)和(2，3). 由題意知即所以. (三)實(shí)物分配問(wèn)題 【例4】給A，B，C，D，E五個(gè)人分四本不同的書(shū)(包含甲、乙兩本書(shū))，每個(gè)人至多分一本，求： (1)甲書(shū)不分給A，乙書(shū)不分給B的概率； (2)甲書(shū)不分給A，B，乙書(shū)不分給的概率. 【解析】(1)分別記“分不到書(shū)的是A，乙書(shū)不分給B”“分不到書(shū)的是B，甲書(shū)不分給A”“分不到書(shū)的是除A，B以外的其余三人中的一人，同時(shí)甲書(shū)不分給A，乙書(shū)不分給B”為事件，，，它們的概率是： . 因?yàn)槭录舜嘶コ?，由互斥事件的概率加法公式，甲?shū)不分給$A，$乙書(shū)不分給的概率是. （2)在乙書(shū)不分給的情況下，分別記“甲書(shū)分給”“甲書(shū)分給”“甲書(shū)分給E”為事件可得. 由于事件彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式知，甲書(shū)不分給A，B，乙書(shū)不分給的概率為. (四)安全檢測(cè)問(wèn)題 【例5】假設(shè)每一架飛機(jī)引擎的故障率為，且每個(gè)引擎是否發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，如果有至少的引擎能正常運(yùn)行，則飛機(jī)能安全飛行.問(wèn)：對(duì)于多大的故障率而言，4個(gè)引擎的飛機(jī)比2個(gè)引擎的飛機(jī)更安全? 【解析】飛機(jī)成功飛行的概率：4個(gè)引擎的飛機(jī)為：；2個(gè)引擎的飛機(jī)為：. 要使4個(gè)引擎的飛機(jī)比2個(gè)引擎的飛機(jī)更安全，只要，所以，即. 【例6］為強(qiáng)化安全意識(shí)，某商場(chǎng)擬在確定的連續(xù)10天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示) 【答案】 【解析】選擇的3天恰好為連續(xù)的3天共有8種選法，而總的選法為. 根據(jù)古典概率公式易得，基本事件總數(shù)為，3天恰好連續(xù)共有8種選法，所以所求的概率. (五)藥效鑒定問(wèn)題 【例7】已知某種疾病患者的癥愈率為，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，一個(gè)醫(yī)生把它給10個(gè)志愿者病人服用，且規(guī)定：若10個(gè)病人中至少有4個(gè)被治好，則認(rèn)為這種藥有效；反之，則認(rèn)為無(wú)效.試求： （1）雖然新藥有效，且把癥愈率提高到，但通過(guò)試驗(yàn)被否定的概率 （2）新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率. 【解析】記“一個(gè)病人服用該藥痊愈"為事件A，且其概率為P，那么10個(gè)病人服用該藥相當(dāng)于10次立重復(fù)試驗(yàn). (1)因新藥有效且，故由次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生次的概率公式知，試驗(yàn)被否定（即新藥無(wú)效)的概率為 故雖然新藥有效，但通過(guò)試驗(yàn)被否定的概率約為0.5138. （2）因新藥完全無(wú)效，P=0.25，試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率為 . 故新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率約為0.2242. (六) 賽局勝負(fù)問(wèn)題 【例8】若甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每一局中甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時(shí)可以用三局兩勝或五局三勝制.問(wèn)：在哪種比賽制度下，甲獲勝的可能性較大? 【解析】①若采用三局兩勝制， 則甲勝兩場(chǎng)的概率為甲勝三場(chǎng)的概率為 所以甲獲勝的概率為 ②若采用五局三勝制， 則甲勝三場(chǎng)的概率為甲勝四場(chǎng)的概率為甲勝五場(chǎng)的概率為. 所以甲獲勝的概率為 由于，故五局三勝制中甲獲勝的可能性更大. 【例9】某班數(shù)學(xué)興趣小組有男生和女生各三名，現(xiàn)從中任選兩名學(xué)生去參加校數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求： （1）恰有一名參賽學(xué)生是男生的概率； （2）至少有一名參賽學(xué)生是男生的概率； （3）至多有一名參賽學(xué)生是男生的概率. 【解析】基本專件的總數(shù)為種 （1）恰有一名參賽學(xué)生是男生的基本事件有（種），故所求事件的概率 （2）至少有一名參賽學(xué)生是男生這一事件是由兩類事件構(gòu)成：恰有一名參賽學(xué)生是男生和兩名參賽學(xué)生都是男生.故所求事件的概率 （3）至多有一名參賽學(xué)生是男生這一事件也是由兩類事件構(gòu)成：參賽學(xué)生沒(méi)有男生和恰有一名參賽學(xué)生是男生.故所求事件概率 【例10】有兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，讓他們各向目標(biāo)靶射擊10次，其中甲擊中目標(biāo)7次，乙擊中目標(biāo)6次，若再讓甲、乙兩人各自向目標(biāo)靶射擊3次，求： （1）甲運(yùn)動(dòng)員恰好擊中目標(biāo)2次的概率； （2）兩名運(yùn)動(dòng)員都恰好擊中目標(biāo)2次的概率.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字) 【解析】甲運(yùn)動(dòng)員向目標(biāo)靶射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為. 乙運(yùn)動(dòng)員向目標(biāo)革射擊1次，擊中目標(biāo)的概率為 （1）甲運(yùn)動(dòng)員向目標(biāo)革射擊3次，恰好擊中目標(biāo)2次的概率是： （2）兩名運(yùn)動(dòng)員各向目標(biāo)革射擊3次，恰好都擊中目標(biāo)2次的概率是：. 【例11]甲、乙兩個(gè)圍棋隊(duì)各有5名隊(duì)員按事先排好的順序進(jìn)行擂臺(tái)賽，雙方1號(hào)隊(duì)員先進(jìn)行比賽，負(fù)者被淘汰，然后負(fù)方的2號(hào)隊(duì)員與對(duì)方的獲勝隊(duì)員再賽，負(fù)者又被淘汰，一直這樣進(jìn)行下去，直到有一方隊(duì)員全被淘汰時(shí)，另一方獲勝.假設(shè)每個(gè)隊(duì)員實(shí)力相當(dāng)，則甲方有4名隊(duì)員被淘汰且最后戰(zhàn)勝乙方的概率是. 【答案】 【解析】假設(shè)第一個(gè)被淘汰的隊(duì)員站在第一個(gè)位置，第二個(gè)被淘汰的隊(duì)員站在第二個(gè)位置，依此類推，最后獲勝隊(duì)員站在第十個(gè)位置，考慮雙方隊(duì)員的位置可得解. 基本事件總數(shù)為從10個(gè)位置中選5個(gè)給甲方隊(duì)員，剩下5個(gè)給乙方隊(duì)員，故基本事件總數(shù)為依題意，甲方有4名隊(duì)員被淘汰且最后戰(zhàn)，勝乙方，就是說(shuō)甲方前4個(gè)人應(yīng)排在前8個(gè)位置中的4個(gè)，原因是第9應(yīng)是乙方的第5人，第10應(yīng)是甲方的第5人，事件包含的可能情況有種，且是等可能的.所以所求事件的概率為. 【例12]甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)規(guī)定：雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.若甲先發(fā)球，求： （1）第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1:2的概率； （2）第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率. 【解析】記事件表示第1次和第2次兩次發(fā)球，甲共得分，； 事件表示第3次與第4次這兩次發(fā)球，甲共得分 事件表示第3次發(fā)球，甲得1分； 事件表示開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1:2； 事件表示開(kāi)始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先. （1）根據(jù)題意知 所以. (2)根據(jù)題意知： 因?yàn)椋?所以 (七)骰子拋擲問(wèn)題 【例13】將一枚骰子先后拋擲2次，問(wèn)： （1）一共有多少種不同的結(jié)果? （2）向上的數(shù)之積是12的結(jié)果有多少種? （3）向上的數(shù)之積是12的概率是多少? 【解析】（1）將骰子先后拋扶2次，一共有36種不同的結(jié)果. (2)向上的數(shù)之積是12，記(i，j)為“第一次擲出結(jié)果為i，第二次擲出結(jié)果為j”，則相乘為12的結(jié)果有(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)這四種情況. （3）由于股子是均勻的，將它先后拋鄭2次的所有36種結(jié)果是等可能的，其中將“向上的數(shù)之積是12”這一事件記為A，則=4，所以所求概率. 【例14】將