2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-排列組合+概率統(tǒng)計81-90-專項訓(xùn)練【含答案】

【例35】從裝有大小相同的2個紅球和6個白球的袋子中，每摸出2個球為一次試驗，直到摸出的球中有紅球（不放回），則試驗結(jié)束.（1）求第一次試驗恰好摸到1個紅球和1個白球概率；（2）記試驗次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）根據(jù)題意，第一次實驗恰好摸到1個紅球和1個白球的概率(2)， ，， 的分布列為1234【變式訓(xùn)練6】已知盤中有編號為A，B，C，D的4個紅球，4個黃球，4個白球（這12個球，除編號與顏色外沒有區(qū)別），現(xiàn)從中摸出4個球.（1）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（2）設(shè)摸出的4個球中出現(xiàn)的顏色種數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【例36】一個口袋中有個白球和個黑球，從中任取1個球，如果取出白球，則把它放回袋中，如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補1個白球到袋中.在重復(fù)次這樣的操作后，記袋中白球的個數(shù)為(1)求的數(shù)學(xué)期望(2)設(shè)其中求;(3)證明：的數(shù)學(xué)期望(2)首先.【解析】（1）當時，袋中白球的個數(shù)可能是個（即取出的是白球），概率為；也可能為個（即取出的是黑球），概率為，故（2）首先當k≥1時，第次取出來個白球的可能性有兩種：①第次袋中有個白球，顯然每次取球后，球的總數(shù)保持不變，即個（此時黑球有個），第次取出來的也是白球，這種情況發(fā)生的概率為②第次袋中有個白球，第次取出來的是黑球，由于每次取球的總數(shù)為個，故此時黑球的個數(shù)是這種情況發(fā)生的概率為.故(3)第次取球后，白球的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類:①若第次取出來的是白球，由于每次白球和黑球的總個數(shù)是，這種情況發(fā)生的概率是,此時白球的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為②若第次取出來的是黑球，這種情況發(fā)生的概率是，此時白球的個數(shù)變?yōu)?，故（二）網(wǎng)絡(luò)通信問題已知A，B兩地之間有六條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的信息量分別為1，1，2，2，3，3.現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線，設(shè)可通過的信息量，當可通過的信息量時，則保證信息暢通，求：（1）線路信息暢通的概率；（2）任取三條網(wǎng)線所通過信息量的數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）線路信息暢通包括三種情況，且它們彼此互斥，：①；②；③.由已知得所以線路信息暢通的概率.（2）設(shè)任取三條網(wǎng)線所通過的信息量為隨機變量，則的取值為4，5，6，7，8.它們所對應(yīng)的概率分別為所以的分布列如下45678所以故任取三條網(wǎng)線所通過信息量的數(shù)學(xué)期望為6.為【例38】一接待中心有A，B，C，D四部熱線電話，已知某一時刻電話A，B占線的概率均為0.5，電話C，D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒影響.假設(shè)該時刻有部電話占線，試求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】逐步計算，得于是隨機變量的概率分布列為012340.090.30.370.20.04所以（三）商品購買問題【例39】某商店搞促銷活動，規(guī)則如下：木箱內(nèi)放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顧客從中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，則有獎品，獎勵辦法如表3所示：表3取出的白棋子/枚獎品5價值50元的商品4價值30元的商品3價值10元的商品如果取出的不是上述三種情況，則顧客需用50元購買商品.（1）求顧客獲得價值50元的商品的概率；（2）求顧客獲得獎品的概率；（3）如果顧客所買商品成本價為10元，假設(shè)有10000人次參加這項促銷活動，商家可以獲得的利潤大約是多少？（精確到元）【解析】（1）依題意，基本事件總數(shù)為C%，而取到5枚白棋子的可能性只有一種，所以獲得價值50元的商品的概率為（2）獲得獎品有三種情況：①摸到5枚白棋子，概率為；②摸到4枚白棋子、1枚黑棋子,概率為;③摸到3枚白棋子、2枚黑棋子,概率為.所以獲得獎品的概率.（3）設(shè)商家在某顧客處獲得的利潤為隨機變量則可能的取值為它們所對應(yīng)的概率分別為.所以的分布列為-50-30-1040所以.故10000人參加這項促銷活動,則商家可以獲得的利潤大約為元.（四）事件預(yù)防問題【例40】在不采取任何措施的情況下，某事件發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生將造成400萬元的損失.現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用，單獨采用甲、乙兩種預(yù)防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采取相應(yīng)措施后此事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可單獨采用、聯(lián)合采用、不采用，請確定預(yù)防方案使總費用最少.（總費用=采取預(yù)防措施的費用十事件發(fā)生造成損失的期望值）【解析】根據(jù)題意，可分為四種情況：①不采取預(yù)防措施時，總費用即損失的期望值為400×0.3=120（萬元）；②若單獨采用甲，則預(yù)防措施所需的費用為45萬元，損失的期望值為400×（1-0.9）=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）.③若單獨采用乙，則預(yù)防措施所需的費用為30萬元，損失的期望值為400×（1-0.85）=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）.④若聯(lián)合采用甲、乙，則預(yù)防措施所需的費用為45+30=75（萬元），損失的期望值為400×（1-0.85）×（1-0.9）=6（萬元），所以總費用為75+6=81（萬元）.比較①②③④的總費用可知，選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施可使總費用最少.（五）道路通行問題【例41】設(shè)一汽車在前進途中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈（允許通行）的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為.假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，表示停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：（1）的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）停車時最多已通過3個路口的概率?！窘馕觥浚?）的所有可能值為0，1，2，3，4.用表示“汽車通過第個路口時不停（遇到綠燈）”，則，且獨立故從而的分布列為01234(2),故停車時最多已通過3個路口的概率為.（六）各類競賽問題【例42】甲、乙兩人參加普法知識競賽，其中有6道選擇題，4道判斷題，甲、乙兩人依次各抽1題.（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【解析】（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率為.（2）設(shè)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題為事件，則對立事件為兩人均抽到判斷題，故【變式訓(xùn)練7】在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是每人每場投6個球，至少投進1個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎.已知教師甲投進每個球的概率都是子.（1）記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求教師甲在一場比賽中獲獎的概率?！纠?3】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù)。（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求所選3人中女生人數(shù)的概率【解析】(1)可能取的值為所以的分布列為012(2)由(1)知的數(shù)學(xué)期望.(3)由(1)知,所選3人中女生人數(shù)的概率.【例44】現(xiàn)有A,B兩球隊進行友誼比賽，設(shè)A隊在局比賽中獲勝的概率都是.（1）若比賽6局，求A隊至多獲勝4局的概率；（2）采用“五局三勝”制，求比賽局數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望【解析】（1）記“比賽6局，A隊至多獲勝4局”為事件A,則.故A隊至多獲勝4局的概率為.（2）由題意可知，的可能取值為3,4,5....所以的分布列為345P故.【變式訓(xùn)練8】在進行一項擲骰子放球游戲屮，規(guī)定：若擲出I點，在甲盒屮放一球；若擲出2點或3點，在乙盒中放一球；若擲出4點或5點或6點，在丙盒中放一球。前后共擲3次，設(shè)分別表示甲、乙、丙的盒中的球數(shù).（1）求依次成公差大于0的等差數(shù)列的概率；（2）記，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例45】某同學(xué)參加科普知識競賽，需畫答三個問題。競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得-100分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒行影響（1）求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求這名同學(xué)總得分不為負分（即≥0）的概率.【解析】的可能值為-300，-100,100,300.，，，所以的分布列為-300-100100300P0.0080.0960.3840.512故的期望.（2）這名同學(xué)總得分不為負分的概率.【變式訓(xùn)練9】某競猜活動有4人參加，設(shè)計者給每位參與者1道填空題和3道選擇題，答對1道填空題得2分，答對1道選擇題得1分，答錯得0分，若總得分大于或等于4分可獲得紀念品，假定參與者答對每道填空題的概率為，答對每道選擇題的概率為，且每位參與者答題互不影響.（1）求某位參與者競猜活動得3分的概率（2）設(shè)參與者獲得紀念品的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望【例46】A,B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，A隊隊員是；B隊隊員是.按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間的勝負概率如下：表4對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率對對對現(xiàn)按表4中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設(shè)A隊、B隊最后總分分別為,.（1）求,的概率分布；（2）求.【解析】（1）,的可能取值均為3,2,1,0.若A隊連勝3場，則；若A隊共勝3場，則；若A隊共勝1場，則；若A隊連負3場，則.根據(jù)題意知，所以,,,.（2）由（1）知，.因為，所以，.【變式訓(xùn)練10】甲、乙兩攴球隊進行總決賽，比賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為冠軍，比賽就此束。因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為二分之一，據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元.（1）求總次賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的率；（2）設(shè)總決賽屮獲得的門票總收人為，求的均值.（七）隨機對位問題【例47】四個母親帶領(lǐng)自己的孩子參加視臺《我愛媽媽》綜藝節(jié)目，其中有一環(huán)節(jié)，先把四個小孩的眼睛蒙上，然后四個母親分開站，而且站著不許動、不許出聲，最后讓蒙上眼睛的小朋友找自己的媽媽，一個母親的身邊只許站一個小朋友，站對一對后亮起兩盞紅燈，站錯不亮燈，求所亮燈數(shù)的期望值.【解析】先求燈數(shù)的分布列，再求期望.設(shè)所亮燈數(shù)為，則可能的取值為0,2,4,8，可得,,，.所以亮燈數(shù)分布列0248所以.【評注】不可能等于6，因為有3人站對后，第4人一定站對.（八）獎金期望值問題【例48】某工廠規(guī)定，如果工人在一個季度里有1個月完成生產(chǎn)任務(wù)，可得獎金90元；如果有2個月完成生產(chǎn)任務(wù)，可得獎金210元；如果有3個月完成生產(chǎn)任務(wù)，可得獎金330元；如果1人3個月都未完成生產(chǎn)任務(wù)，則沒有獎僉。假設(shè)某工人每月完成任務(wù)與否是等可能的，求此工人在一個季度里所得獎金的數(shù)學(xué)期望.【解析】設(shè)該工人一個季度里所得獎金為，則是一個離散性隨機交量，由于該工人每月完成任務(wù)與否是等可能的，所以他每月完成任務(wù)的概率等于，從而，，，.（元）.【評注】先按步計算，再合成所要求的目標（九）最值之差問題【例49】正四面體的四個面分別寫有數(shù)字1,2,3,4，將三個這樣質(zhì)地均勻的正四面體同時投擲于桌面上，記為與桌面接觸的3個面的3個數(shù)中最大值與最小值之差，則的數(shù)學(xué)期望為.【答案】【解析】對最大值與最小值之差進行分類.若為0，則三個數(shù)據(jù)相同，有4種.若為1，則當最小值為1，最大值為2時，其中當最小值為2，最大值為3時，其中當最小值為3，最大值為4時，其中此種情況共有18種.1,1,3的排列有3和；若為2，當最小為1，最大值為3時，其中當最小值為2，最大值為4時，其中若為3，則最小寘為1最大值為4.其中此種情況共有18種故的分布列為0123.（十）拋擲硬幣問題【例50】甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提議去市中心逛街，乙提議去城郊覓秋，丙表示隨意。最終商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定。規(guī)則：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上，則甲得1分、乙得0分，反面朝上則乙得1分、甲得0分，先得4分者獲勝，三人均執(zhí)行勝者的提議。記所需拋幣次數(shù)為，求（1）=6的概率；（2）的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）（2）的分布列為4567所以【要式訓(xùn)練11】投擲四枚不同的金屬紀念幣A,B,C,D，其中A,B兩枚正面向上的概率均為，C,D兩枚（質(zhì)地不均勻）正而向上的概率均為。將這四枚紀念幣同時投擲一次，設(shè)表示出現(xiàn)正面向上的枚數(shù).（1）求的分布列（用表示）（2）若恰有一枚紀