量子力學(xué)課件第四章學(xué)習(xí)資料

第四章態(tài)和力學(xué)量的表象量子態(tài)是態(tài)矢量空間中的一個矢量，矢量可以選用不同的基底來表示，不同的基底也就是表象理論中的不同的表象。量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。以前所采用的表象是坐標表象。這一章我們討論其他表象，并介紹文獻中常用的狄喇克符號?！?.1態(tài)的表象同一矢量用不同的基矢量來表示基矢或者說基底有無窮多種取法，因此一個矢量有無窮多種表示。二、波函數(shù)在Q表象的表示(分立譜)1、定義波函數(shù)用力學(xué)量算符Q的本征函數(shù)展開所得到的全部展開系數(shù)組，稱為量子態(tài)在Q表象的表示。2、矩陣表示若是在Q表象中的表示量子態(tài)在Q表象的表示，用矩陣表示為它的共軛為所謂的Q表象,實際上就是以Q算符的本征函數(shù)為基底的表象.三、推廣到連續(xù)譜若Q算符的本征值是連續(xù)譜,即(q是連續(xù)譜)我們不再推導(dǎo)而是直接由類比給出：分立譜：連續(xù)譜：

四.坐標表象

五、動量表象的波函數(shù)——

和可以互求，它們包含同樣多的信息。我們稱這樣做是變換到了動量表象,可以稱為動量表象中的“波函數(shù)”動量表象基底為動量表象中的歸一化條件為：證明:例:自由粒子的波函數(shù)自由粒子的德布洛意平面波是它在動量表象中的表示是

§4.2算符的矩陣表示在坐標表象中：在表象中：于是有：可見必是一矩陣。一、算符的矩陣表示以

um*

乘以上式并積分，得寫成矩陣形式如下1.以二階矩陣為例復(fù)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)：2.共軛轉(zhuǎn)置矩陣和厄密矩陣共軛轉(zhuǎn)置矩陣的矩陣元之間有如下的關(guān)系二、厄密算符的矩陣

于是我們知道，一個矩陣取其共軛轉(zhuǎn)置，相當(dāng)于矩陣轉(zhuǎn)置后再取復(fù)共軛。即當(dāng)一個矩陣等于它的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，即滿足條件時，稱為厄密矩陣。由(4.2-6)式和(4.2-8)式可知，厄密矩陣的矩陣元滿足下述關(guān)系這一式子意味著，厄密矩陣的對角元（）為實數(shù)；而其余的各個非對角元素，對于主對角線是復(fù)數(shù)共厄反射對稱的。量子力學(xué)中要用厄密算符來描寫力學(xué)量，所以同它們對應(yīng)的矩陣必是厄密矩陣。由于厄密矩陣的對角元是實數(shù)，由此也可得到厄密算符的本征值必定是實數(shù)的結(jié)論。厄密算符的矩陣是厄密矩陣：三、算符在自身表象中為對角陣在其自身表象中的矩陣元因此我們常說表象為以為對角線的表象。在，為對角的表象即以，的共同本征函數(shù)為基矢的表象。四、推廣到連續(xù)譜分立譜連續(xù)譜五、既有分立譜又有連續(xù)譜在連續(xù)譜情況下，所有矩陣都是象征性的。算符的矩陣元為:例如算符F在坐標表象中的矩陣元:§4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示一、平均值公式（不顯含t）二、薛定諤方程用左乘上式兩邊并積分：薛定諤方程在Q表象中的表示具體寫成矩陣表示三、本征方程1.本征方程2.求解本征值和本征矢將(4.3-9)式中等號右邊部分移至左邊，得：方程（4.3-10）是一個線性齊次代數(shù)方程組：這個方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，即：方程（4.3-11）稱為久期方程。求解久期方程可得到一組λ值它們就是F的本征值。把求得的λi

分別代入（4.3-10）式中就可以求得與這λi

對應(yīng)的本征矢其中i=1,2,…n,…。例題:

在Q表象的基矢有兩個:算符F有如下性質(zhì):1)求F的本征值和本征函數(shù).2)已知粒子狀態(tài)為測量力學(xué)量F的可能值及相應(yīng)的幾率和平均值.解:1)先求出F的矩陣.由公式:最后得到矩陣:算符的本征值方程為把方程變形a和b有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零得到兩個本征值:下面來求對應(yīng)的本征函數(shù)我們得到第一個本征函數(shù)為同理,我們可得到第二個本征函數(shù)為:b可以由歸一化條件來確定2)求測量的可能值及相應(yīng)幾率所以測量F得到4和-1的幾率分別是ψ在Q表象中矩陣求平均值另一種方法§4.4幺正變換本節(jié)研究表象間的變換。事實上數(shù)學(xué)中已討論過，從一組幺正基到另一組幺正基的變換通過一個幺正變換。

2.變換矩陣用矩陣表示為:顯然變換矩陣完全由兩表象的基底確定。事實上，表象間的各個量的變換將都由S矩陣決定。二.幺正變換線性代數(shù)中已證明了，從一組正交歸一基到另一組正交歸一基的變換矩陣是幺正矩陣。下面我們來證明上面的變換矩陣是幺正矩陣證明:(先證明前一部分)再來證明另一式，三.力學(xué)量算符的表象變換已知基底變換其中寫成矩陣形式即此即力學(xué)量由A表象到B表象的變換公式。具體地可以寫成:四.波函數(shù)的表象變換下面討論態(tài)的表象變換寫成矩陣形式即簡單地可以寫為:這里是S+矩陣五.幺正變換的重要性質(zhì)1.幺正變換不改變算符的本征值若算符F在A表象中的本征值方程為:（矩陣形式）變換到B表象在B表象中算符的表示：本征矢在B表象中表示：上面表明，算符的本征值λ不因表象的改變而改變。這里λ是算符的本征值2.幺正變換不改變矩陣的跡我們在這里應(yīng)用了公式：3.幺正變換不改變矢量的內(nèi)積§4.4狄喇克(Dirac)符號

在幾何或經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量形式討論問題而不指明坐標系。同樣，量子力學(xué)中描寫態(tài)和力學(xué)量，也可以不用具體表象。這種描寫的方式是狄喇克最先引用的，這樣的一套符號就稱為狄拉克符號。它有簡明和使用方便的優(yōu)點,在文獻中被廣泛應(yīng)用.

1.定義右矢和左矢微觀體系的狀態(tài)可以用一種矢量來表示，它的符號是，稱為右矢，表示某一確定的右矢A，可以用符號微觀體系的狀態(tài)也可以用另一種矢量來表示，這種矢量符號是，稱為左矢。表示某一確定的左矢B可以用符號。右矢和左矢是兩種性質(zhì)不同的矢量，兩者不能相加，它們在同一種表象中的相應(yīng)分量互為共厄復(fù)數(shù)。

例如:分別表示坐標算符,動量算符,能量算符和角動量算符的本征態(tài).例如:左矢和右矢二者的關(guān)系可以簡單表示：2.定義內(nèi)積態(tài)的歸一是兩態(tài)正交是

二.算符的定義

顯然有例如:().*=ABBA算符是對右矢的運算1.在Q表象中和表示用左乘展開式兩邊三.表象即:2.在x表象中的表示下面我們來求波函數(shù)的Dirac符號表示波函數(shù)用Drac符號表示為:或者其共軛式為3.定義單位算符:應(yīng)用例子：單位算符在狄拉克符號的運算中十分有用4.算符F在Q表象中的表示矩陣算符的定義式用左乘上面等式兩邊顯然與前面討論的結(jié)果完全一致。例寫出:在Q表象中表示因為已知所以有用前面的符號表示5.的共軛式上式中，由于是任意基矢，于是有因此我們得到如下共軛關(guān)系平均值公式是:Q表象基矢量集的正交歸一性可表為態(tài)矢量在Q表象中的展開式是

算符F在Q表象中的矩陣元是

已歸一）（如果yyy.FF=),2,1,(,L==nmnmmndyyncncnnn==?其中,.nFmFmn=下面把一些重要的式子再專門列出:現(xiàn)將一些公式的通常寫法與用狄拉克符號的寫法對照如下：yyyyyyddyyyxdxxnndxxxuannxuaxmndxxuxunEnHxuExuHHtiHxxtitxHtxtiFxFxtxtxFnnnnnnnmnmmnnnnnòò??ò=?==?==?==?=Y=Y??Y=Y???Y=Y??F=F=?F=)()()()()()()()(?),(?),(),(),(?**hhh或或例：Dirac符號在表象變換中的應(yīng)用表象變換公式只是簡單地插入單位算符選用不同的表象來描寫態(tài)函數(shù)和經(jīng)典力學(xué)中選用不同的坐標來表示一矢量是完全類同的：選定力學(xué)量（表象）相當(dāng)于選定某種坐標，的本征函數(shù){}相當(dāng)于坐標的基矢，而{}相當(dāng)于矢量在基矢上的投影（分量）事實上，我們把以力學(xué)量本征函數(shù)為基矢構(gòu)成的空間稱為Hilbert空間，而把量子態(tài)稱為態(tài)矢量。并表示為：

四、Hilbert（希耳伯特）空間及波函數(shù)§4.6線性諧振子與占有數(shù)表象顯然可以得到1.定義2.對易關(guān)系:證明:3:線性諧振子的H和粒子數(shù)算符N將上面的x和p表示式代入上式可得其中是粒子數(shù)算符.二.產(chǎn)生算符和湮滅算符對能量本征函數(shù)的運算

若已知能級為:能量本征函數(shù)