2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第30講 空間向量的應(yīng)用（含答案）

高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第三十講空間向量的應(yīng)用閱卷人一、選擇題得分1．設(shè)x,y∈R，向量a=x,2,2,b=A．?8 B．?2 C．2 D．82．已知直線l的方向向量為a=?1,0,1，點(diǎn)A=1,2,?1在l上，則點(diǎn)P=A．15 B．4 C．17 D．33．下列四個(gè)命題，其中真命題是（）A．點(diǎn)M3,2,1關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B．若直線a的方向向量為a=1,0,?1，平面α的法向量為mC．若AB=1,2,?2，AC=?12D．向量a=1,0,?1，b=2,?1,1則向量b4．若平面α,β的法向量分別為a=2,?1,0,b=A．平行 B．垂直C．相交但不垂直 D．無法確定5．已知空間向量a=A．向量a在向量b上的投影向量是?B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．cos6．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為6，點(diǎn)M為CCA．22π B．32 C．67．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，動點(diǎn)M在線段CC1上，動點(diǎn)A．[1,2] B．[1,3] C．8．已知四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=5，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線BE與PDA．?1339 B．1339 C．?9．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，CC1=2，M在AB上．以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1A．13 B．12 C．2閱卷人二、多項(xiàng)選擇題得分10．已知正方體ABCD?AA．直線B1C與直線BB．直線B1C與平面ACC．四面體D1?AD．點(diǎn)A到平面D1B11．下列命題正確的是（）A．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A2,3,?5,B0,?2,?2B．已知a=0,1,4,b=3C．若直線l的方向向量為e=3,0,?1，平面α的法向量為nD．已知三棱錐O?ABC，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且OP=112．如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1CA．若D1Q∥平面B．存在Q點(diǎn)，使得D1Q⊥C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱CC1上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐D．若D1Q=13．如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1CA．平面AEF截正方體ABCD?AB．點(diǎn)G到平面AEF的距離為定值C．若A1G=xA1D．直線AG與平面AEF所成角的正弦值的取值范圍為15閱卷人三、填空題得分14．已知n=1,0,1為平面α的一個(gè)法向量，點(diǎn)P3,2,1位于平面α內(nèi)，寫出平面α內(nèi)異于點(diǎn)P15．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，|AP|=|AB|=2，|AD|=4，E是BC上的點(diǎn)，直線PB與平面PDE所成角的正弦值為36，則BE的長為閱卷人四、解答題得分16．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC（1）證明：EF//平面ABB（2）若三棱錐C1?ABC的體積為1，且二面角A?EG?F的余弦值為417．如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，△OCD是邊長為1的等邊三角形，且VA?BCD（1）求三棱錐A?BCD的高；（2）求直線CD和平面ABC所成角的正弦值；（3）在棱AD上是否存在點(diǎn)E，使二面角E?BC?D的大小為45°？若存在，并求出AEDE18．正方體ABCD?A1B1C（1）求證：AB（2）若M為A1D1中點(diǎn)，求點(diǎn)A（3）在棱A1D1上是否存在點(diǎn)M，使得A1C⊥19．如圖所示：多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，四邊形ABEF為直角梯形，且AF//BE，AF⊥平面ABCD，AB=BE=2AF=2．（1）證明：BD⊥平面ACF；（2）若直線DA與平面ACF所成的角為60°，求平面ACF與平面CEF所成角的正弦值．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閍⊥c，所以a·又因?yàn)閎∥c，所以23=y故答案為：B.【分析】根據(jù)空間向量垂直、平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：易知PA=?1,3,?3，則cosa,PA因?yàn)镻A=所以P=2,?1,2到直線l的距離為PA故答案為：C.【分析】由題意，先計(jì)算向量PA的模長，以及PA與直線夾角l的正弦值，再根據(jù)點(diǎn)P到直線l的距離PAsin3．【答案】C【解析】【解答】對于A，點(diǎn)M3,2,1關(guān)于平面yOz對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是?3,2,1對于B，a?m=1,0,?1?1,1,1=1?1=0對于C，AB2=1+4+4=9，所以則點(diǎn)B到直線AC的距離為AB?對于D，根據(jù)向量投影坐標(biāo)公式a?故答案為：C【分析】利用點(diǎn)關(guān)于平面對稱的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得到A選項(xiàng)；利用直線的方向向量與平面的法向量進(jìn)行判斷即可得到直線與平面的位置關(guān)系；利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行判斷；利用投影向量公式進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵a=2,?1,0,b=∴a⊥b，故故答案為：B.【分析】利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，則判斷出平面的法向量的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷出兩平面的位置關(guān)系.5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D【解析】【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)P(a,b,1)，CM=t,t∈[0,1]，則M(0,1,t),A(1,0,0),B(1,1,0),DAP=a?1,b,1,因?yàn)锳P⊥平面MBD1，則AP?BD1=1?a?b+1=0函數(shù)y=2t?122+32,t∈[0,1]在t=1故答案為：D.

【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，P因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以E1,1,則BE=?1,1,5則cosBE則異面直線BE與PD所成角的余弦值為cosBE,PD故答案為：B.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后，利用cosBE9．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)AM=x，則A1(4,0,2),M(4,x,0)，因?yàn)槠矫鍹CA1的一個(gè)法向量為n=1,2,1，

則n?故AM=1,MB=3?1=2,，故AMMB=1故答案為：B.【分析】設(shè)AM=x，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示求出A1M=(0,x,?2)，再利用兩向量垂直，可得n?A10．【答案】A,C【解析】【解答】解：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則D0,0,0，A1,0,0，C0,1,0，DA、易知B1C=因?yàn)锽1C?即B1C⊥AD1，直線B1B、在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥B1D?平面BB1DAC∩AD1=A，所以B1D⊥平面AC因?yàn)锽1C=即直線B1C與平面ACD則直線B1C與平面ACDC、圖形為正方體去掉四個(gè)全等的直棱錐，所以四面體D1?ABD、因?yàn)锳D1=?1,0,1，平面D1B1故n?D1B1=x+y=0n?D所以點(diǎn)A到平面D1B1故答案為：AC.【分析】以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求B1C與直線AD1所成的角即可判斷A；證明出B1D⊥平面ACD1，所以平面ACD11．【答案】B,D12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：取B1C1、C1C中點(diǎn)E、F由PF∥BC1∥A1D1∴D1F∥A1P，∵D1F?平面A1PD，同理可得EF∥平面A1PD，∵EF∩∴平面A1PD∥平面D1EF，則則A11,0,0，P1,1,12則A1D=?1,0,1設(shè)m=a,b,c為平面則m?A1D=0,m?A1若D1Q⊥平面A1PD，則D1Q∥m，即存在λ∈R，使得D1Q=λm，則△A1PD的面積為定值，∴當(dāng)且僅當(dāng)Q到平面Ad=A①x+z≤32，d=1?②x+z>32，d=23x+z綜上，當(dāng)x+z=0，即Q和C1重合時(shí)，三棱錐Q?D1C1⊥平面D1Q=D1C12+C故選：ACD.

【分析】取B1C1、C1C中點(diǎn)E、F，連接D1E、D1F、EF、PF，利用面面平行的判定定理即可證明Q點(diǎn)的軌跡為線段EF即可判斷A；以D1為原點(diǎn)，建系，設(shè)Qx,1,z,利用空間向量求出平面A1PD的法向量m13．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、連接DF，在正方體ABCD?A1B所以EF//BC,EF=BC，AD//BC,AD=BC，所以EF//AD,EF=AD，則平面AEF與平面AEFD為同一平面，所以平面AEF截正方體ABCD?A1BB、在正方體ABCD?A1B1C又因?yàn)镋F?平面AEF，B1C1?平面AEF，所以又因?yàn)辄c(diǎn)G是棱B1C1C、連接AD因?yàn)锳1G=xA1因?yàn)樵谡襟wABCD?A1B1C又平面ADD1A1∩平面AEG所以AD在正方體ABCD?A1B所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，則因?yàn)镋為棱BB1的中點(diǎn)，所以G為棱D、以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)C1G=x0≤x≤2所以AE=設(shè)平面AEF的法向量為n=a,b,c，則令b=1，則a=0,c=?2，故n=設(shè)直線AG與平面AEF所成角為θ0≤θ≤則sinθ=因?yàn)?≤x≤2，所以0≤x?22≤4所以1515所以直線AG與平面AEF所成角的正弦值的取值范圍為1515故答案為：BCD.【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面即可判斷A；利用線面平行的判定定理即可判斷B；利用空間向量推得A,E,D14．【答案】(2,0,2)（答案不唯一）15．【答案】2【解析】【解答】解：由題意知在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則A0,0,0,B2,0,0則PB=設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則PD令y=2，得n=(4?t,2,4)，設(shè)直線PB與平面PDE所成的角為θ,θ∈[0,因?yàn)橹本€PB與平面PDE所成角的正弦值為36，即sin所以sinθ=即5t2+8t?36=0，解得t=2或t=?故BE的長為2.故答案為：2.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.16．【答案】（1）證明：取AB中點(diǎn)M，連接A1因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，E為A1C1的中點(diǎn)，

∴MF//∴MF=12AC,可得四邊形A1∴EF//A1M，

∵EF?平面ABB∴EF//平面ABB（2）解：∵平面ACC1A1⊥平面ABC,過C∴V∵CC1=2,∴CH=1,∴H為AC分別以HB,HC,HC1所在的直線為∴A由C1GEG設(shè)平面AEG和平面EFG的一個(gè)法向量分別為n1=x1,y1,∴n2=t+2,3t,2t+1，∴cosθ=n整理得：25t2?28t?44=0，解得t=2【解析】【分析】（1）取AB中點(diǎn)M，連接A1M，F(xiàn)M，再利用中點(diǎn)作中位線的方法和中位線的性質(zhì)，從而得出線線平行和線線相等，再根據(jù)平行四邊形的定義，則可得四邊形A1MFE為平行四邊形，從而得出線線平行，再根據(jù)線線平行證出線面平行，即證出（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證出線面垂直，再利用三棱錐C1?ABC的體積為1和三棱錐的體積公式以及等腰三角形三線合一，從而得出線線垂直，則分別以HB，HC，HC1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，從而得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出平面AEG和平面EFG（1）證明：取AB中點(diǎn)M，連接A1M,FM,∵F為BC的中點(diǎn)，E為∴MF//12AC,∴MF=12AC,據(jù)此可得四邊形A1∴EF//A1M，∵EF?平面ABB∴EF//平面ABB（2）解：∵平面ACC1A1⊥平面ABC,過C∴V∵CC1=2,∴CH=1,∴H為AC如圖分別以HB,HC,HC1所在的直線為∴A由C1GEG設(shè)平面AEG和平面EFG的一個(gè)法向量分別為n1則n1=(1,0,0),又∴n2=t+2,3∴cosθ=n整理得：25t2?28t?44=0，解得t=217．【答案】（1）解：因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)A⊥BD，

又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，

OA?平面ABD，所以O(shè)A⊥平面BCD，

則OA為三棱錐A?BCD的高，

又△OCD是邊長為1的等邊三角形，

則S△BCD=2S△OCD=2×34=32，（2）解：分別取CB、CD的中點(diǎn)為F、G，連結(jié)OF、OG，

因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，△OCD是邊長為1的等邊三角形，

所以△BCD是直角三角形，BD=2OD=2，CD=1，BC=BD2?CD2=3，

又因?yàn)镃B、CD的中點(diǎn)為F、G，所以O(shè)F//CD，OG//BC，OF⊥OG，

由（1）得，AO是三棱錐A?BCD底面BCD的高，△AOB是直角三角形，

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OG、OA所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則O(0,0,0)，F(xiàn)(12,0,0)，G(0,32,0)，A(0,0,1)，B(12,?32,0)，C(12,32,0)，D(?12,32,0)，

CD=(?1,0,0)，BC=(0,3,0)，AB=(1（3）解：在棱AD上存在點(diǎn)E，使二面角E?BC?D的大小為45°，

設(shè)AE=λAD0≤λ≤1，

由（2）知，BC=(0,3,0)，AB=(12,?32,?1)，

AD=?12,32,?1，AE=λAD=?12λ,32λ,?λ，

BE=AE?AB=?12λ,32λ,?λ?12,?32,?1=?λ+12,3λ+12,?λ+1，

OA=0,0,1【解析】【分析】（1）由題意，利用面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，即可得到OA為三棱錐A?BCD的高，再利用體積公式代入計(jì)算即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式代入計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意，將線段比值設(shè)為向量關(guān)系，借助向量表示點(diǎn)，再分別求出兩個(gè)平面的法向量，用法向量表示出已知條件，代入計(jì)算即可.（1）∵AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，∴OA⊥BD，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，OA?平面ABD，∴OA⊥平面BCD，則OA為三棱錐A?BCD的高，又△OCD是邊長為1的等邊三角形，則S△BCD且VA?BCD=3即三棱錐A?BCD的高為1.（2）分別取CB、CD的中點(diǎn)為F、G，連結(jié)OF、OG，∵O為BD的中點(diǎn)，△OCD是邊長為1的等邊三角形，∴△BCD是直角三角形，BD=2OD=2，CD=1，BC=BD∵CB、CD的中點(diǎn)為F、G，∴OF//CD，OG//BC，OF⊥OG，由（1）得，AO是三棱錐A?BCD底面BCD的高，△AOB是直角三角形，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OG、OA所在的直線為x,y,z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，F(xiàn)(12,0,0)，G(0,32,0)，A(0,0,1)，∴CD=(?1,0,0)，BC=(0,3設(shè)n1=(x則n1?BC令z1=1，則x1=2，n1cosn∴直線CD和平面ABC所成角的正弦值等于25（3）在棱AD上存在點(diǎn)E，使二面角E?BC?D的大小為45°.設(shè)AE=λ由（2）知，BC=(0,3,0)AD=?1BE=OA=0,0,1是平面設(shè)n2=(x2,即?λ+1取x2=2λ?1，z∵二面角E?BC?D的大小為45°，∴cosn2,整理得3λ2?10λ+3=0，解得λ=所以AE=13所以在棱AD上存在點(diǎn)E，使二面角E?BC?D的大小為45°，AEDE18．【答案】（1）證明：以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

因?yàn)檎襟wABCD?A所以A0,0,0，B2,0,0，又因?yàn)辄c(diǎn)M為棱A1D1上一點(diǎn)，

設(shè)A所以AB1=所以AB所以AB1⊥（2）解：由（1）建系可知，A10,0,2，B2,0,0因?yàn)镸為A1D1所以A1B=2,0,?2，設(shè)平面BDM的法向量為m=則m⊥BDm⊥DM令z=1，則x=y=2.所以m=所以點(diǎn)A1到平面BDM的距離d=（3）解：棱A1D1上不存在點(diǎn)M，使得A由（1）建系可知，A10,0,2，C2,2,0，B因?yàn)镸為棱A1D1上一點(diǎn)，設(shè)所以A1C=2,2,?2，設(shè)面BDM的法向量為n=則m⊥BDm令z=2?a，則x=y=2，所以n=若A1C⊥平面BDM，則所以2?a=?2，解得a=4，

故在棱A1D1上不存在點(diǎn)M，使得A【解析】【分析】（1）利用已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，則得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)M為棱A1D1上一點(diǎn)，

設(shè)A1M=a（2）由（1）建系可知，A10,0,2，B2,0,0，D0,2,0，利用M為A1D1（3）由（1）建系可知，A10,0,2，C2,2,0，B2,0,0，D0,2,0，利用M為棱A1D1上一點(diǎn)，設(shè)A1M=a0≤a≤2，則M0,a,2，從而得出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出平面BDM的法向量，再利用A1（1）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)檎襟wABCD?A所以A0,0,0，B2,0,0，又M為棱A1D1上一點(diǎn)，設(shè)A所以AB1=所以AB所以AB1⊥（2）由（1）建系可知，A10,0,2，B2,0,0因?yàn)镸為A1D1所以A1B=2,0,?2，設(shè)面BDM的法向量為m=則m⊥BDm⊥DM令z=1，則x=y=2.所以m=所以點(diǎn)A1到平面BDM的距離d=（3）棱A1D1上不存在點(diǎn)M，使得A由（1）建系可知，A10,0,2，C2,2,0，B因?yàn)镸為棱A1D1上一點(diǎn)，設(shè)所以A1C=2,2,?2，設(shè)面BDM的法向量為n=則m⊥BDm令z=2?a，則x=y=2.所以n=若A1C⊥平面BDM，則所以2?