2024-2025學年北京市西城區(qū)第四中學高二下學期開學考試數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市西城區(qū)第四中學高二下學期開學考試數(shù)學試卷一、單選題：本大題共10小題，共50分。1.直線l:x+3y?4=0的傾斜角為A.π6 B.π3 C.2π32.雙曲線y24?xA.y=±32x B.y=±23x3.若(3?x)nn∈N?的展開式中所有二項式系數(shù)的和為32A.5 B.6 C.7 D.84.“a=0”是“直線x?ay+2a?1=0a∈R與圓x2+yA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.某圓錐曲線C是橢圓或雙曲線，若其中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過A?2,1和B32,?2A.12 B.22 C.6.正四面體ABCD中，E為AB中點，F(xiàn)為CD的中點，則異面直線EF與AC所成的角為(

)A.90° B.60° C.7.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有(

)A.12種 B.18種 C.24種 D.64種8.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點是坐標原點O，焦點為F，A是拋物線C上的一點，點A到x軸的距離為22.過點A向拋物線C的準線作垂線、垂足為B.若四邊形ABOFA.1 B.2 C.2 D.9.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，QA.存在點Q，使得C1Q//A1C

B.存在點Q，使得C1Q⊥A1C

C.對于任意點Q10.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，動點P在正方形ABCDA.拋物線的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.以上都不對二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.(2x+1x)4展開式的常數(shù)項是

12.已知拋物線y2=4x的焦點為F，點P在該拋物線上，且P的橫坐標為4，則PF=

13.圓x2+y2?2x?2ay+a2=0截直線x?2y+1=0所得弦長為14.已知兩點F1?2,0,F22,0.點P2cos15.已知曲線C:x?2x①曲線C是軸對稱圖形：②曲線C上恰好有4個整點(即橫，縱坐標均是整數(shù)的點)；③曲線C上存在一點P，使得P到點1,0的距離小于1；④曲線C所圍成區(qū)域的面積大于4．其中，所有正確結論的序號為

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.如圖，四邊形ABCD為梯形，AB//CD，四邊形ADEF為平行四邊形．(1)求證：CE//平面ABF；(2)若AB⊥平面ADEF,AF⊥AD,AF=AD=CD=1，AB=2，求直線AB與平面BCF所成角的正弦值．17.已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(1)求p的值和拋物線C的準線方程；(2)經(jīng)過點4,0的直線l與拋物線C交于M,N兩點，O為坐標原點.求∠MON的大小．18.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD,Q為棱PD的中點，PA⊥AD,PA=AB=2．

(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求平面ACQ與平面ABCD所成角的余弦值；(3)求點P到平面ACQ的距離．19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F1?1,0，且經(jīng)過點1,32．A,B分別是橢圓C的左，右頂點，點Px0,y0在橢圓C上(1)求橢圓C的短軸長和離心率；(2)若線段GH的中點為D，求點P坐標．20.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點分別為A(1)求橢圓E的方程；(2)過點T且斜率為k的直線交橢圓E于點C,D，線段CD的垂直平分線交y軸于點Q，點Q關于直線CD的對稱點為P.若四邊形PCQD為正方形，求k的值．21.對于正整數(shù)集合M={a1,a2,?,an}(n∈N?,n≥2)(1)試判斷集合A=5,7,9,13和B=(2)若集合C=a1,(3)若S={1,2,3,…,2026}，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素個數(shù)的最大值．

參考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.D

6.C

7.C

8.C

9.AD

10.B

11.24

12.5

13.1

14.3

15.①②④

16.1)因為AB/?/CD，CD?平面ABF,AB?平面ABF，所以CD//平面ABF，又平行四邊形ADEF中，DE//AF，DE?平面ABF,AF?平面ABF，所以DE//平面ABF，又CD∩DE=D，CD,DE?平面CDE，所以平面CDE//平面ABF，又CE?平面CDE，所以CE//平面ABF．(2)因為AB⊥平面ADEF,AF⊥AD,所以AB,AF,AD兩兩相互垂直，建立如圖所示空間直角坐標系A?xyz．AAB記平面BCF的一個法向量為n故n?BC故n=cosn故直線AB與平面BCF所成角的正弦值為6

17.(1)由題知，4=2p，解得p=2，所以拋物線方程為y2=4x，其準線方程為(2)設A4,0當直線l斜率不存在時，方程為x=4，則代入y2=4x，求得所以?OAM和?OAN是等腰直角三角形，所以∠MON=90當直線l斜率存在時，設直線l方程為y=kx?4，M則聯(lián)立y=kx?4y2所以x1+x且y1又cos∠MON=所以∠MON=90綜上，∠MON=90

18.1)證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，PA?平面PAD，所以PA⊥平面ABCD．(2)由(1)可知PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，所以分別以AB,AD,

A0,0,0，C2,2,0，B2,0,0，D0,2,0，PAC=2,2,0，設平面ACQ的一個法向量為：m=AC?m=0AQ?m=0所以m=由于PA⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為n=設平面ACQ與平面ABCD所成角為θ，所以cosθ=所以平面ACQ與平面ABCD所成角的余弦值為3(3)由(2)可知平面ACQ的一個法向量為：m=1,?1,1，而所以點P到平面ACQ的距離為AP?

19.(1)因為橢圓的左焦點F1?1,0，所以c=1，即因為經(jīng)過點1,32，所以聯(lián)立1a2所以橢圓的短軸長2b=23，離心率(2)由(1)知a=2，橢圓方程為x24+因為P與點A、B不重合，所以x0所以直線AP的斜率kAP=y過點D且與x軸垂直的直線方程為x=4，聯(lián)立y=y0x0+2同理直線BP:y=y因為GH的中點是點D，由中點坐標公式得6y0x因為點P在橢圓上，所以14+y所以點P的坐標為1,32或

20.(1)已知A1(?a,0)，A2則△TA1A2的面積因為離心率e=ca=2又因為a2=b2+c2所以橢圓E的方程為x2(2)將直線y=kx+1與橢圓x2+2y根據(jù)韋達定理，x1+x計算y1從而得到線段CD中點坐標為(?2k然后求線段CD垂直平分線方程：垂直平分線的斜率為?1根據(jù)點斜式可得垂直平分線方程為y?1進而得到點Q(0,?1最后根據(jù)四邊形PCQD為正方形時QC⊥QD：則QC展開得x進一步化簡為(將x1+x2=整理得(k2+1)(4

21.(1)因為A=5,7,9,13，因為7?5=2，所以集合因為B=2,5,8,11，5?2=3>2，8?2=6>2，11?2=9>2，8?5=3>2所以集合B是“好集合”．(2)證明：將集合1,2,?,18中的元素分為如下10個集合，1,3，2,4，5,7，6,8，9,11，10,12，13,15，14,16，17，18，所以從集合{1,2,…,18}中取12個元素，則前8個集合至少要選10個元素，所以必有2個元素取自前8個集合中的同一集合，即存在兩個元素的差的絕對值不大于2，所以C不可能是“好集合”．(3)因為D是“好集合”，所以對于D中的任意兩個不同的元素x，y，不妨