中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第18講 等腰三角形(練習(xí))(原卷版)

第四章三角形第18講等腰三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用??題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明??題型03根據(jù)三線合一求解或證明??題型04在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形??題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)??題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明??題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)??題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合??題型09利用等邊三角形的性質(zhì)求解??題型10等邊三角形的判定??題型11等邊三角形性質(zhì)與判定綜合??題型12手拉手模型??題型13與等腰三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題??題型14與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題??題型15與等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題??題型16與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題??題型17與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題??題型18探究等腰三角形中存在的線段數(shù)量關(guān)系??題型01分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是一元二次方程x2?6x+8=0的兩根，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)m，n滿足|m?7+3?n|2=0，且m，n恰好是等腰△ABC3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）學(xué)完等腰三角形的性質(zhì)后，小麗同學(xué)將課后練習(xí)“一個(gè)等腰三角形的頂角是36°，求底角的度數(shù)”改為“等腰三角形的一個(gè)角是36°，求底角的度數(shù)”．下面的四個(gè)答案，你認(rèn)為正確的是（

）A．36° B．144° C．36°或72° D．72°或144°4．（2024·河南駐馬店·三模）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，若∠BDB'=120°，則BD的長(zhǎng)為5．（22-23八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）在等腰三角形中有一個(gè)角為40°，則腰上的高與底邊的夾角為．??題型02根據(jù)等邊對(duì)等角求解或證明6．（2024·陜西渭南·三模）如圖，點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心，連接OA、OB，若OA=2，則該正八邊形的面積為．（結(jié)果保留根號(hào)）7．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正五邊形ABCDE中，AD,CE相交于點(diǎn)F，連接BF，則∠CFB的度數(shù)是．8．（2024·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn)，且AC=CP，連接AP，則∠BAP的度數(shù)是（

）A．45° B．135° C．45°或135° D．30°或135°9．（2024·廣東河源·二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．(1)求證：AB∥(2)若AD=1，求四邊形ABCD的面積．10．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AF交EH于點(diǎn)G.若GE=GH，ABFH=56，AD=4??題型03根據(jù)三線合一求解或證明11．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC．若AE=4，則BD的邊長(zhǎng)為（A．2.5 B．3.5 C．2 D．312．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(k>0，x>0)的圖象上，點(diǎn)B、C在x軸上，BC=4OC，若△ABC13．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中點(diǎn)E，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若BD=8，DC=2，則DE的長(zhǎng)為．14．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在勞動(dòng)課上，小華同學(xué)所在小組進(jìn)行了風(fēng)箏框架設(shè)計(jì)比賽(1)小華設(shè)計(jì)的風(fēng)箏框架平面圖如圖1，已知.AB=AD，CB=CD，AC與BD交于點(diǎn)O(2)小明提出了改進(jìn)建議：制作風(fēng)箏框架只需要兩個(gè)支架AC和BD(如圖2)，當(dāng)AC垂直平分BD時(shí)即可固定風(fēng)箏.現(xiàn)在有總長(zhǎng)度為120cm的細(xì)木條用于制作該風(fēng)箏框架，小明同學(xué)想做面積最大的風(fēng)箏，請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)：當(dāng)AC15．（2024·山東聊城·三模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，連接EF，并延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)(1)連接DG，求證：四邊形AGDE是平行四邊形．(2)若使四邊形AGDE是菱形，△ABC應(yīng)為什么特殊三角形？點(diǎn)D在BC的什么位置？證明你的猜想．??題型04在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形16．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A，B兩個(gè)格點(diǎn)，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點(diǎn)C有個(gè)．17．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）圖①、圖②、圖③均是2×2的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、C均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作格點(diǎn)圖形，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，以AC為中線作△ABD，使AB=AD；(2)在圖②中，以AC為中線作Rt△AEF，使∠AEF=90°(3)在圖③中，以AC為中線作△AMN，使∠AMN為鈍角且tan∠MAC=18．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在2×4的方格紙ABCD中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，已知格點(diǎn)P，請(qǐng)按要求完成以下問(wèn)題．

(1)在圖中畫一個(gè)格點(diǎn)等腰三角形PEF，使得底邊長(zhǎng)為2；(2)在圖中再找一個(gè)格點(diǎn)G，使得P，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則該平行四邊形的面積為__________．19．（2024·河北邯鄲·三模）如圖中的點(diǎn)都在格點(diǎn)上，使△ABPn（n為1~4的整數(shù)）不是軸對(duì)稱圖形的點(diǎn)是（

A．P1 B．P2 C．P3??題型05根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)20．（2024·廣西桂林·一模）如圖，在等邊△ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠E=30°，則CE的長(zhǎng)為．21．（2024·貴州畢節(jié)·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在AB上，AD=4，CD=10，則BD的長(zhǎng)為

22．（2024·海南海口·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則點(diǎn)E到AB的距離為，DEEF的值是23．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一，如圖是高錳酸鉀制取氧氣的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的13處BE=13AB，已知試管AB=24cm，試管傾斜角α為10°，實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管BF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且ED⊥CF，測(cè)得DE=27.36cm，∠ABF=145°，求DF的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：24．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且AD平分∠BAC，若AB=5，AC=4，則△ABD與△ACD的面積比為（

）A．5：4 B．4:5 C．16:2525．（2024·新疆烏魯木齊·一模）在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，且AB=5，AE=BC=4，則CD的長(zhǎng)為．??題型06根據(jù)等角對(duì)等邊證明26．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，O是AB邊的中點(diǎn)，D是CO上一點(diǎn)，AE∥BD交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：AE=BD；(2)若∠ACB=90°，∠BDO=∠CAO，AC=6，求BD的長(zhǎng)．27．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了正方形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)：正方形對(duì)角線上任意一點(diǎn)與正方形其他兩個(gè)頂點(diǎn)相連形成的線段一定相等．該學(xué)習(xí)小組進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：若過(guò)該點(diǎn)作其中一條線段的垂線與正方形的兩邊相交形成的較長(zhǎng)線段和前面形成的兩條線段也有關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)下列探究思路完成作圖和解答：(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE．分別交邊AD、BC于點(diǎn)G、F．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)求證：EC=EF=AE．??題型07確定構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)28．（2023九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn)．(1)從A、D、E、F四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，以這點(diǎn)及點(diǎn)B、C為頂點(diǎn)畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概率；(2)從A、D、E、F四點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)及點(diǎn)B、C為頂點(diǎn)畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率．29．（2023蘭州市模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上，∠ABO=60°，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得ΔPAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．830．（2020·江蘇泰州·一模）已知點(diǎn)A(2，m)，點(diǎn)P在y軸上，且△POA為等腰三角形，若符合條件的點(diǎn)P恰好有2個(gè)，則m=．31．（2024君山區(qū)一模）已知坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(1,1)，試在x軸上找到一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)??題型08等腰三角形性質(zhì)與判定綜合32．（2024通遼市模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面積是10．AB的垂直平分線ED分別交AC,AB邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段ED上一動(dòng)點(diǎn)，則△PBF周長(zhǎng)的最小值為

33．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF，則34．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，到△AB'C'，連接CC'，交AB于點(diǎn)P35．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將等腰Rt△ABC的斜邊BC向上平移至AD（點(diǎn)B和A重合），連接CD，M為線段CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AM并將其繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AN，連接MN交BC于點(diǎn)E，連接BN(1)求證：△ABN≌△ACM；(2)求證：EN=EM；(3)如圖2，分別取AM,CE的中點(diǎn)P,Q,連接PQ，試探究線段PQ和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．??題型09利用等邊三角形的性質(zhì)求解36．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于☉O，連接AO，DO，已知△AOD是等邊三角形，DO是∠ADC的平分線，則∠ABC=（）

A．30° B．40° C．60° D．80°37．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等邊△OAB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x軸上，OA=2，將等邊△OAB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至△OA'B'的位置，則點(diǎn)38．（2024·安徽合肥·三模）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在BC，AB上，連接AE，CF，兩線交于點(diǎn)G，連接BG，DG，∠FGB=∠CGD，CE=1．(1)求AE的長(zhǎng)；(2)求證：BG=2GD；(3)求AG的長(zhǎng)39．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）平面圖形的鑲嵌往往給人以美的享受，如圖1是用邊長(zhǎng)相等的正六邊形與正三角形進(jìn)行的無(wú)縫隙、不重疊的平面鑲嵌．我們選取其中一個(gè)正六邊形和三個(gè)與之相鄰（正上方、左下方和右下方）的正三角形組成的圖形部分，將其放在平面直角坐標(biāo)系中．如圖2，點(diǎn)A，B，C均為正六邊形和正三角形的頂點(diǎn)．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，連接OB，OC，則△BOC??題型10等邊三角形的判定40．（2023·江西贛州·一模）在學(xué)習(xí)《2.1圓》時(shí)，小明遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1（1）、1（2），△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90°．試證明A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上．小明想到了如下證法：在圖1（1）、1（2）中取BC中點(diǎn)M，連接AM,DM，則有AM=BM=CM及DM=BM=CM，即AM=BM=CM=DM，所以A、B、C、D四點(diǎn)在以M為圓心，MB為半徑得圓上，根據(jù)以上探究問(wèn)題得出的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：(1)如圖2，在△ABC中，三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，若∠BAC=64°，則∠EDF=°．(2)如圖3，已知AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，G為CD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合），若∠EGF=60°，求證：CD=141．（2023·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）某學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)時(shí)遇到了∠ACB=∠AED=90°下面的問(wèn)題：如圖1，在△ABC和△ADE中，，∠CAB=∠EAD=60°，點(diǎn)E，A，C在同一直線上，連接BD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，連接EF，CF，試判斷△CEF的形狀并說(shuō)明理由．問(wèn)題探究（1）小婷同學(xué)提出解題思路：先探究△CEF的兩條邊是否相等，如EF=CF．以下是她的證明過(guò)程：請(qǐng)根據(jù)以上證明過(guò)程，解答下列兩個(gè)問(wèn)題：①在圖1上作出證明中所描述的輔助線．②在證明的括號(hào)中填寫理由（請(qǐng)?jiān)赟AS，ASA，AAS，SSS中選擇）．證明：延長(zhǎng)線段EF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∵F是BD的中點(diǎn)，∴BF=DF．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（

）．∴EF=FG，∴CF=EF=1問(wèn)題拓展在（1）在探究結(jié)論的基礎(chǔ)上，請(qǐng)你幫助小婷求出∠CEF的度數(shù)，并判斷△CEF的形狀．??題型11等邊三角形性質(zhì)與判定綜合42．（2023·廣東深圳·三模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖，已知三只螞蟻A、B、C在半徑為1的⊙O上靜止不動(dòng)，第四只螞蟻P在⊙O上的移動(dòng)，并始終保持∠APC=∠CPB=60°．(1)請(qǐng)判斷△ABC的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請(qǐng)你回答這個(gè)結(jié)論：△ABC是______三角形；(2)“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵丳在⊙O上的移動(dòng)時(shí)，線段PA、PB、PC三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請(qǐng)你寫出這種數(shù)量關(guān)系：______，并加以證明；(3)“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻M同時(shí)隨著螞蟻P的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線段PC的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BM的長(zhǎng)度一定存在最小值，請(qǐng)你求出線段BM的最小值是______（不寫解答過(guò)程，直接寫出結(jié)果）．43．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分別交BC，CD于點(diǎn)M，N．(1)【動(dòng)手操作】如圖①，若M是邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)題意在圖①中畫出∠MAN，則∠BAM=________度；(2)【問(wèn)題探究】如圖②，當(dāng)M為邊BC上任意一點(diǎn)時(shí)，求證：AM=AN；(3)【拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P，N分別在邊BC，CD上，在菱形內(nèi)部作∠PAN=∠B，連接AP，若AP=13，求線段DN44．（2024·黑龍江雞西·二模）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE，AB，(2)如圖2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB，BD，DE，AE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；(3)如圖3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，則線段AE長(zhǎng)度的最大值是．45．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證DE=EB；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，猜想ED和EB數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部時(shí)，EH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作GE∥AB，交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG=5CG，BH=1．求CG的長(zhǎng)．46．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O為五邊形ABCDE的外接圓，AB=BC，AE=DE，連接其對(duì)角線，交于點(diǎn)F，G，H，N，M．(1)求證：∠AFG=∠AGF；(2)當(dāng)∠CAD=時(shí)，△NED是等邊三角形，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，若AF=4，tan∠BAF=33??題型12手拉手模型47．（2023·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過(guò)查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)觀察猜想：如圖①，已知△ABC,△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上，且不與點(diǎn)B、C重合，連接CE，易證△ABD≌△ACE，進(jìn)而判斷出AB與CE的位置關(guān)系是___________(2)類比探究：如圖②，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC=60°，試說(shuō)明點(diǎn)B，D，E在同一直線上；(3)解決問(wèn)題：如圖③，已知點(diǎn)E在等邊△ABC的外部，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)．48．（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)研究小組以“手拉手圖形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)操作判斷

已知點(diǎn)C為△ABC和△CDE的公共頂點(diǎn)，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<a<360°，連接BD，AE，如圖1，若△ABC和△CDE①線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是________；②直線BD與直線AE相交所夾銳角的度數(shù)是________；(2)遷移探究

如圖2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)拓展應(yīng)用：如圖3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=42，當(dāng)點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng)．49．（2024·山東泰安·二模）【建立模型】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，且它們的們頂角∠BAE=∠DAC，連接BD，CE，試猜想BD與【模型應(yīng)用】（2）如圖2，△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=30°，AC為邊向外作等邊△ACD，連接BD，求【模型變式】（3）如圖3，在（2）的條件下，以AC為腰在線段AC的左側(cè)作等腰△ACD，AD=AC，∠CAD=120°，直接寫出BD的長(zhǎng)．50．（2024·甘肅金昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠EAC，連接BC，DE交于點(diǎn)F，且B，A，E三點(diǎn)共線．【模型建立】（1）如圖①，△ABD和△ACE是等腰三角形，AB=AD,AC=AE，①求證：△ABC≌②判斷∠BAD與∠BFE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【模型應(yīng)用】（2）如圖②，△ABD和△ACE都是等邊三角形，連接AF，求證：FA平分∠BFE；【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若AB=2AE=2，求AF的長(zhǎng)．51．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）幾何探究與實(shí)踐(1)【模型認(rèn)識(shí)】如圖1所示，已知在△ABC中，∠BAC>90°，分別以AB、AC為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形ABD和ACE，連接BE、CD，則BE與CD的關(guān)系是：；(2)【初步應(yīng)用】如圖2所示，連接DE，求證：S四邊形(3)【深入研究】在（2）的條件下，試判斷△ABC和△ADE的面積有何關(guān)系，并加以證明；(4)【拓廣探索】如圖3，在△ABC中，∠BAC=75°，AB=42，AC=2，以BC為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形BCP，且∠PBC=90°，連接AP，試直接寫出AP??題型13與等腰三角形有關(guān)的折疊問(wèn)題52．（2024·湖北十堰·一模）如圖，已知△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，F(xiàn)，G分別為邊AB，AC邊上的點(diǎn)，將△AFG沿FG折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在53．（2024·山東日照·二模）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，D為邊AC的中點(diǎn)，E為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'．當(dāng)A'E⊥AC時(shí)，

54．（23-24九年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過(guò)折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).折一折：把邊長(zhǎng)為6的正△AND三角形紙片，其沿直線GH折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'填一填，做一做：(1)圖①中陰影部分的周長(zhǎng)為.(2)圖①中，若∠A'GN=80°，則(3)圖①中的相似三角形(包括全等三角形)共有對(duì)；(4)如圖②，點(diǎn)A'落在邊AD上，若A'N55．（2024·河南周口·二模）綜合與實(shí)踐如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)BD<1(1)操作發(fā)現(xiàn)按下列步驟操作：第一步：將△BCD沿CD折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，CG與AB相交于點(diǎn)O；第二步：取AD上一點(diǎn)E，連接CE，將△ACE沿CE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)G重合．根據(jù)以上操作，∠DCE與∠DGE之間的數(shù)量關(guān)系為__________；線段DE與BD,AE之間的數(shù)量關(guān)系為__________．(2)深入探究如圖2，在（1）的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交CG于點(diǎn)F，連接EF．試判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由．(3)問(wèn)題解決在（2）的條件下，當(dāng)AB=12,CF:FG=5:7時(shí)，請(qǐng)直接寫出折痕CD的長(zhǎng)．??題型14與等腰三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題56．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．(1)填空：∠AEB的度數(shù)為______；②線段AD，(2)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，(3)如圖3，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=6，平面上一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為4，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD，連DA，DB，57．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，且滿足AD=CE，連接AE，BD，當(dāng)線段CF的長(zhǎng)度最小時(shí)，S△ABFS△ABC58．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）【感知】如圖①，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連結(jié)BE．由ED=AD，∠ADC=∠EDB，

【遷移】如圖②，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，連結(jié)BE交AD于點(diǎn)F，AE=EF，求證：AC=BF．下面是小明同學(xué)的部分證明過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使DM=FD，連結(jié)MC．【拓展】如圖③，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連結(jié)AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，連結(jié)BE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連結(jié)DF、AF．若AD=6，則??題型15與等腰三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題59．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）定義：若兩個(gè)三角形中，有兩組邊對(duì)應(yīng)相等且其中一組等邊所對(duì)的角對(duì)應(yīng)相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個(gè)三角形為“融通三角形”，相等的邊所對(duì)的相等的角稱為“融通角”．(1)①如圖1，在△ABC中，CA=CB，D是AB上任意一點(diǎn)，則△ACD與△BCD“融通三角形”；（填“是”或“不是”）②如圖2，△ABC與△DEF是“融通三角形”，其中∠A=∠D，AC=DF，BC=EF(2)若互為“融通三角形”的兩個(gè)三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度數(shù)．(3)如圖3，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=4，∠CAB=30°，∠B=105°，∠D+∠B=180°，且△ACD與60．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)M在四邊形ABCD內(nèi)，點(diǎn)M和四邊形的一組對(duì)邊組成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形都是以對(duì)邊為斜邊的等腰直角三角形，那么定義該四邊形ABCD為蝴蝶四邊形．例如，如圖1，在四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB，MC=MD【概念理解】如圖2，正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M．判斷正方形ABCD是否為蝴蝶四邊形，說(shuō)明理由．【性質(zhì)探究】如圖3，在蝴蝶四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°【拓展應(yīng)用】在蝴蝶四邊形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB=2,MC=MD=1，當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)61．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的正對(duì)sad．在△OMN中，OM=ON，頂角O的正對(duì)記作sad∠O=底邊腰=MNON．由此可知一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)也是相互唯一確定的，所以我們可按上述方式定義的正對(duì)，例如，sad60°=1,sad90°=2，請(qǐng)根據(jù)材料，完成以下問(wèn)題：如圖1，P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），點(diǎn)C,D分別是線段AP,BP的中點(diǎn)，以AC,CD，(1)【閱讀應(yīng)用】①若等邊三角形△ACE,△CDF,△DBG的邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則a,b,c三者之間的關(guān)系為______；②sad∠EPG=(2)【猜想證明】如圖2，連接EF,FG，猜想sad∠EFG(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，連接EF,EG，若AB=12,EF=27，則△EPG的周長(zhǎng)是多少？此時(shí)AP??題型16與等腰三角形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題62．（2022·寧夏銀川·一模）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1，以斜邊OA2為直角邊作等腰Rt△OA2A63．（23-24九年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，有一等腰直角三角形OBA，∠OAB=90°，直角邊OA在x軸正半軸上，且OA=1，將Rt△OBA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)擴(kuò)大邊長(zhǎng)的1倍，得到等腰直角三角形OB1A1（即A1O=2AO），同理，將Rt△OB1A

A．?22023,22023 B．2202364．（2024·山東濟(jì)寧·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，掃過(guò)的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點(diǎn)A2；將OA2繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA3，掃過(guò)的面積記為S2，A3A4⊥O

A．22020π B．22021π C．65．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，所有三角形均為等邊三角形，已知點(diǎn)A13,0，A32,0，A54,0，A7

??題型17與等腰三角形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題66．（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△DAC、△ECB都是等邊三角形，AE、DC交于點(diǎn)M，DB、EC交于點(diǎn)N，DB、AE交于點(diǎn)P，連結(jié)MN，給出下面四個(gè)結(jié)論：①M(fèi)N∥AB；②∠DPM=60°；③∠AEB=90°67．（2024·黑龍江·二模）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N，連接FN，NE．下列結(jié)論：①AE=AF；②AB2=BM?BE；③△AEF是等邊三角形；④BF=AN；⑤四邊形AENFA．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤68．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D為斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直角邊AB，AC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），且保持BE=AF，連接DE，DF，EF．設(shè)BE=a，CF=b，EF=c．在點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，給出下面三個(gè)結(jié)論：①a+b>c；②a2+b2=A．①② B．②③ C．①③ D．①②③69．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD=12，線段PQ在邊BA上運(yùn)動(dòng)，PQ=12，有下列結(jié)論：①CP與QD可能相等；②△AQD與△BCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為31316；④四邊形??題型18探究等腰三角形中存在的線段數(shù)量關(guān)系1．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【思考嘗試】（1）如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC邊上的一點(diǎn)，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問(wèn)題啟發(fā)，思考提出新的問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F(xiàn)為邊BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°．用等式寫出線段【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在△ABC中，∠BAC為直角，∠ABC=45°，平面內(nèi)存在一點(diǎn)D，使CD⊥BD．若AD=42，CD=2，求△ABC2．（2024·貴州黔南·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B，C，E在同一條直線上時(shí)，AE與CD的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【問(wèn)題探究】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，C，E在同一條直線上時(shí)，BE，CD交于點(diǎn)F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求【拓展延伸】（3）如圖3，連接CE，AD，G是線段CE的中點(diǎn)，連接BG，求BGAD3．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：如圖1，已知點(diǎn)D是等邊三角形△ABC邊BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．動(dòng)手操作：第一步：連接AD，以A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接DE；第二步：以D為旋轉(zhuǎn)中心，將線段DC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DF，連接BF，交DE于點(diǎn)M．特例探究：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F恰好在AB上，請(qǐng)寫出線段EM與DM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；探索發(fā)現(xiàn)：（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D不是BC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)BC=6，CD=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出AM的長(zhǎng)．4．（2024·重慶江津·模擬預(yù)測(cè)）在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D，E分別為AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)且滿足AD=BE，連接DE，AE(1)如圖1，AD<DB，當(dāng)DE=5，AC=32時(shí)，求(2)如圖2，AC上有一點(diǎn)F滿足∠EDF=45°時(shí)，試探究DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，連接CD，AE交于點(diǎn)O，當(dāng)AE+CD取最小值時(shí)，直接寫出S△AOC1．（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實(shí)踐：九年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長(zhǎng)∠BAD的度數(shù)腰長(zhǎng)兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°222圖③130°__________________請(qǐng)補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系：______．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD=1，∠BAC=60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展運(yùn)用】（3）如圖④，△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D在邊AC上，BD=BC=AD．以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧與線段BD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點(diǎn)．請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并分析1BM2．（2024·江蘇南通·中考真題）在△ABC中，∠B=∠C=α0°<α<45°，AH⊥BC，垂足為H，D是線段HC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)H，C重合），將線段DH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學(xué)經(jīng)過(guò)深入研究，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E落在邊AC上時(shí)，點(diǎn)D為HC的中點(diǎn)；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，AH2A．小明正確，小麗錯(cuò)誤 B．小明錯(cuò)誤，小麗正確C．小明、小麗都正確 D．小明、小麗都錯(cuò)誤4．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BC?CA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停止，連接DP．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，DP2為y．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿BC勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y①AB=3；②當(dāng)t=5時(shí)，y=1；③當(dāng)4≤t≤6時(shí)，1≤y≤3；④動(dòng)點(diǎn)P沿BC?CA勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻t1，t2t1<t2分別對(duì)應(yīng)y1和A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④4．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的表達(dá)式為y=x，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,0)，以O(shè)為圓心，OA1為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)B1，過(guò)點(diǎn)B1作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)A2；以O(shè)為圓心，OA2為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)B2，過(guò)點(diǎn)B2作直線l的垂線交x軸于點(diǎn)A3；以O(shè)為圓心，OA3為半徑畫弧，交直線l5．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為3,0，△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是1,0，△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向?yàn)镺→M→N→P→O→M→?）做無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，A1的坐標(biāo)是2,0；第二次滾動(dòng)后，A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A2，A2的坐標(biāo)是2,0；第三次滾動(dòng)后，A2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A3，A1．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，⊙O的周長(zhǎng)為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（

）

A．4 B．43 C．6 D．2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則∠ACD的度數(shù)是（A．45° B．39° C．29° D．21°3．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接CE，點(diǎn)D恰好落在線段CE上，若CD=3，BC=1，則AD的長(zhǎng)為（

）A．5 B．10 C．2 D．24．（2024·河南·中考真題）如圖，⊙O是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑在⊙O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（

A．8π3 B．4π C．165．（2024·福建·中考真題）小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OE⊥OF．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°6．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為對(duì)角線BD，AC的三等分點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)G，若∠AGF=α，則∠FAG用含A．45°?α2 B．90°?α2 C．45°+α27．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B及AC的中點(diǎn)M，BC∥x軸，AB與y軸交于點(diǎn)N．則ANA．13 B．14 C．158．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖1，△ABC與△A1B1C1滿足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1CA．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)9．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，以CD邊為邊作正方形CDFH，連接BH，則∠BHC=°．10．（2024·寧夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，則該直線的解析式可能為（寫出一個(gè)即可）．11．（2024·湖北·中考真題）如圖，由三個(gè)全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)與中間的小等邊三角形DEF