中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第24講 矩形的性質(zhì)與判定(講義1考點(diǎn)+1命題點(diǎn)21種題型)(原卷版)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第五章四邊形第24講矩形的性質(zhì)與判定（思維導(dǎo)圖+1考點(diǎn)+1命題點(diǎn)21種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)矩形04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)矩形的性質(zhì)與判定?題型01矩形性質(zhì)的理解?題型02根據(jù)矩形的性質(zhì)求角度?題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長?題型04根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長，面積?題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)?題型06利用矩形的性質(zhì)證明?題型07矩形的折疊問題?題型08矩形判定定理的理解?題型09添加一個(gè)條件使四邊形是矩形?題型10證明四邊形是矩形?題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度?題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長?題型13根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求周長，面積?題型14根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題?題型15與矩形有關(guān)的新定義問題?題型16與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題?題型17與矩形有關(guān)的動點(diǎn)問題?題型18與矩形有關(guān)的最值問題?題型19矩形與函數(shù)綜合?題型20與矩形有關(guān)的存在性問題?題型21與矩形有關(guān)的材料閱讀類問題

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求矩形的有關(guān)證明與計(jì)算★★★理解矩形的概念；探索并證明矩形的性質(zhì)定理與判定定理.【考情分析】矩形是特殊的平行四邊形，其對角線相等、內(nèi)角為直角，故矩形的考查經(jīng)常與直角三角形的勾股定理相結(jié)合，利用矩形的性質(zhì)解折疊問題是中考中的?？碱}型，注意折疊前、后對應(yīng)的線段與角大小相等，試題形式多樣，難度中等.【命題預(yù)測】矩形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會考查，預(yù)計(jì)2025年各地中考還將出現(xiàn).其中，矩形還經(jīng)常成為綜合壓軸題的問題背景來考察，而矩形其他出題類型還有選擇、填空題的壓軸題，難度都比較大，需要加以重視.解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一矩形1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.【易錯(cuò)點(diǎn)】對于矩形的定義要注意兩點(diǎn)（缺一不可）：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.2.矩形的性質(zhì)定理：性質(zhì)符號語言圖示邊兩組對邊平行且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角四個(gè)角都是直角∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°對角線兩條對角線互相平分且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AO=CO=BO=DO【補(bǔ)充】1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經(jīng)常會用到等腰三角形的性質(zhì)解決問題.3）利用矩形的性質(zhì)可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.3.矩形的對稱軸1）矩形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)為對稱中心.2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸且對稱軸都是經(jīng)過對邊中點(diǎn)的直線；3）過對稱中心的任意直線可將矩形分成全等的兩部分.4.矩形的判定判定定理符號語言圖示角一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形三個(gè)角是直角的四邊形是矩形在四邊形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形對角線對角線相等的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形矩形判定思路：1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，當(dāng)△EBC是等邊三角形時(shí)，∠AEB為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°2．（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊BC上，且BE=CF．求證：AF=DE．3．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=60°，AB=2，則AC的長為（）A．6 B．5 C．4 D．34．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是邊AB的中點(diǎn)，∠AOD=∠BOC．求證：四邊形ABCD是矩形．5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件中，不能判定?ABCD為矩形的是（

）A．∠A=90B．∠B=∠CC．AC=BD D．AC⊥BD04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定?題型01矩形性質(zhì)的理解1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠ACB=∠ACD2．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AC平分∠BAD B．AB=BC C．AC=BD D．AC⊥BD3．（2023·湖南·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列說法正確的是（

）

A．點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心 B．點(diǎn)O為線段AB的對稱中心C．直線BD為矩形ABCD的對稱軸 D．直線AC為線段BD的對稱軸4．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，然后向左扭動框架，觀察所得四邊形的變化．下面判斷錯(cuò)誤的是（

）

A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對角線BD的長度減小C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變QUOTEQUOTEQUOTE?題型02根據(jù)矩形的性質(zhì)求角度1．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在直線b上，若∠2=41°，則∠1的度數(shù)為（

）A．41° B．51° C．49° D．59°2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在矩形ABCD邊上，連接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°，則∠AOF=．3．（2022·湖北十堰·中考真題）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡AF，AG分別架在墻體的點(diǎn)B，C處，且AB=AC，側(cè)面四邊形BDEC為矩形，若測得∠FBD=55°，則∠A=°．4．（2020·貴州黔南·中考真題）如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)C'，D'處，D'E與BF交于點(diǎn)G．已知∠BGD'A．30° B．45° C．74° D．75°?題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長1．（2024·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和D為圓心，以大于12BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F，②作直線EF分別與DC，DB，AB交于點(diǎn)M，O，N，若DM=5，CM=3，則MN=2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，DE⊥AC于點(diǎn)E，延長DE與BC交于點(diǎn)F．若AB=3，BC=4，則點(diǎn)F到BD的距離為．3．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若AC=23，∠AEO=120°，則FCA．1 B．2 C．2 D．34．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，連接PA，將PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PA'，連接CA'．若AD=9，AB=5，C

5．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形ABCD的面積是90，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC邊的三等分點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，OP=3，連接CP，則PC+PE的值為QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長，面積1．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF，若EF=23，則矩形ABCD的周長是（

A．163 B．83+4 C．42．（2022·湖北恩施·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B、D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)，作直線PQ，分別與AD、BC交于點(diǎn)M、N，連接BM、DN．若AD=4，AB=2．則四邊形MBND的周長為（A．52 B．5 C．10 3．（2022·湖南邵陽·中考真題）已知矩形的一邊長為6cm，一條對角線的長為10cm，則矩形的面積為4．（2023·廣西·中考真題）如圖，過y=kx(x>0)的圖象上點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線交y=?1x的圖象于B，D兩點(diǎn)，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，

A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·重慶·中考真題）如圖，⊙O是矩形ABCD的外接圓，若AB=4,AD=3，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

6．（2022·湖南湘潭·中考真題）為落實(shí)國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE=1m的水池且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？此時(shí)最大面積為多少？QUOTE?題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)1．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,2．以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC，若將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA'BA．?4,?2 B．?4,22．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的邊OB，OA分別在x軸、y軸正半軸上，點(diǎn)D在BC邊上，將矩形AOBC沿AD折疊，點(diǎn)C恰好落在邊OB上的點(diǎn)E處．若OA=8，OB=10，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是．

3．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形ABCD的邊AD=5,OA:OD=1:4，將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置，線段OD1恰好經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C落在y軸的點(diǎn)C1位置，點(diǎn)E

A．1,2 B．?1,2 C．5?1,2 D．4．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為9,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，以O(shè)A,OC為邊作矩形OABC．動點(diǎn)E,F分別從點(diǎn)O,B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA,BC向終點(diǎn)A,C移動．當(dāng)移動時(shí)間為4秒時(shí)，AC?EF的值為（

）

A．10 B．910 C．15 D．5．（2024·貴州安順·模擬預(yù)測）如圖，已知矩形ABCD的兩點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，點(diǎn)A和點(diǎn)B都在坐標(biāo)軸上，且B的坐標(biāo)為1,0，AB=2BC，則k=?題型06利用矩形的性質(zhì)證明1．（2024·山東東營·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線EF分別交AD，BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，O，下列條件中，不能證明△BOF≌△DOE的是（

）

A．O為矩形ABCD兩條對角線的交點(diǎn) B．EO=FOC．AE=CF D．EF⊥BD2．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知矩形ABCD．(1)尺規(guī)作圖：作對角線AC的垂直平分線，交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接AE、CF．求證：四邊形3．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD．(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；(2)已知矩形紙條寬度為2cm，將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形ABCD的面積為8cm2，求此時(shí)直線AD、CD所夾銳角4．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，且AE⊥BD．(1)求證：AD(2)F為線段AE延長線上一點(diǎn)，且滿足EF=CF=12BD?題型07矩形的折疊問題1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿邊EF折疊，使點(diǎn)D在邊BC中點(diǎn)M處．若AB=4，BC=6，則CF=．2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．53．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD'N，AD'交折痕MN于點(diǎn)EA．8cm B．16924cm C．1674．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形ABCD中，E,F分別在AD,BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對稱點(diǎn)P落在CD上，B的對稱點(diǎn)為G，PG交BC于H．(1)求證：△EDP∽△PCH．(2)若P為CD中點(diǎn)，且AB=2,BC=3，求GH長．(3)連接BG，若P為CD中點(diǎn)，H為BC中點(diǎn)，探究BG與AB大小關(guān)系并說明理由．5．（2023·青海西寧·中考真題）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，MD'與BC

【猜想】】MN=CN【驗(yàn)證】請將下列證明過程補(bǔ)充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊∴∠CMD=∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC（矩形的對邊平行）∴∠CMD=（∴=（等量代換）∴MN=CN（）【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若CD=2，MD=4，求EC的長．?題型08矩形判定定理的理解1．（2022·山東聊城·中考真題）要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（

）A．測量兩條對角線是否相等B．度量兩個(gè)角是否是90°C．測量兩條對角線的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等D．測量兩組對邊是否分別相等2．（2024·廣西貴港·二模）請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)．×年×月×日星期日只用卷尺也能判斷矩形今天，我在一本數(shù)學(xué)課外叢書上看到這樣一個(gè)有趣的問題，工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí)，他是這樣做的：首先利用卷尺（有刻度）測量兩組對邊的長度是否分別相等；其次利用卷尺測量該門窗的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形．我有如下思考：工人師傅的做法究竟是依據(jù)什么原理得到四邊形是矩形？已知在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AC=BD．求證：四邊形ABCD是矩形．證明：……．任務(wù)：(1)上述做法是依據(jù)了矩形的一個(gè)判定定理：________________；(2)補(bǔ)全材料中的證明過程；(3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一種方法判定四邊形是矩形？（寫出簡要的測量方法）?題型09添加一個(gè)條件使四邊形是矩形1．（2023·上海·中考真題）在四邊形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是（

）A．AB∥CD B．AD=BC C．∠A=∠B D．∠A=∠D2．（2022·甘肅武威·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形ABCD成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是．3．（2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，點(diǎn)M在?ABCD的邊AD上，BM=CM，請從以下三個(gè)選項(xiàng)中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4

(1)你添加的條件是_________（填序號）；(2)添加條件后，請證明?ABCD為矩形．4．（2024·江蘇南京·中考真題）如圖．線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線．(1)求證：AF與DE互相平分；(2)當(dāng)線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ADFE為矩形？請說明理由．?題型10證明四邊形是矩形1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線BO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．2．（2024·新疆·中考真題）如圖，△ABC的中線BD，CE交于點(diǎn)O，點(diǎn)F，G分別是OB，OC的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；(2)當(dāng)BD=CE時(shí)，求證：?DEFG是矩形．3．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠DCB的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是AE和CF的中點(diǎn)．

(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)連接EF．若EF=AF，請判斷四邊形GEHF的形狀，并證明你的結(jié)論．?題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點(diǎn)（與點(diǎn)B,D不重合），GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足．連接EF,AG，并延長AG交EF于點(diǎn)H．

(1)求證：∠DAG=∠EGH．(2)判斷AH與EF是否垂直，并說明理由．2．（2023·江西·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<360°）得到AP，連接PC，PD．當(dāng)△PCD為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為

3．（2024·重慶銅梁·一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線AC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF．若∠BEF=α，則∠CDP一定等于（

）A．90°?α B．2α C．180°?3α D．45°+α4．（2023·河南新鄉(xiāng)·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，BD=2，DE∥AC，將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D、E旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別是D'、E'，當(dāng)A、D'?題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長1．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點(diǎn)C處，且BCAB=5?12．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2．點(diǎn)P在邊AC上，過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F．連接PF，取PF的中點(diǎn)E．在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長為．3．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，∠ABE=30°，將△ABE沿BE折疊得△FBE，連接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB=2，則DF的長為．

4．（2024·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE=DF．

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若AB=BO，當(dāng)∠ABE等于多少度時(shí)，四邊形ABCD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時(shí)BCAB?題型13根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求周長，面積1．（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三個(gè)頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)均在Rt△ABC的邊上，且鄰邊之比為1：2，畫出符合題意的圖形，并直接寫出矩形周長的值．2．（2021·安徽·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，過菱形ABCD的對稱中心O分別作邊AB，BC的垂線，交各邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH的周長為（

）A．3+3 B．2+23 C．2+33．（2021·山東煙臺·中考真題）綜合實(shí)踐活動課上，小亮將一張面積為24cm2，其中一邊BC為8cm的銳角三角形紙片（如圖1），經(jīng)過兩刀裁剪，拼成了一個(gè)無縫隙、無重疊的矩形BCDE（如圖2），則矩形的周長為4．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE,AD，設(shè)△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S,S1,S2

A．△ABE的面積 B．△ACD的面積 C．△ABC的面積 D．矩形BCDE的面積5．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．(1)求證：四邊形EBCF是矩形．(2)設(shè)△ABE的面積為S1，△ACE的面積為S2，矩形EBCF的面積為S3，則S1，?題型14根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2021·四川雅安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE∥BF交AC于點(diǎn)N．交AB于點(diǎn)E，連接FN，EM．有下列結(jié)論：①四邊形NEMF為平行四邊形，②DN2=MC?NC；③△DNF為等邊三角形；④當(dāng)AO=AD時(shí)，四邊形DEBF2．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在對角線BD上，過點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)AM:MD=1:2

3．（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)E在BC邊上，且AE=AD，DF⊥AE于點(diǎn)F，連接DE，BF，BF的延長線交DE于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)G．以下結(jié)論：①AF=DC，②OF：BF=CE：CG，③S△BCG=2S△DFG，④圖形中相似三角形有6對，則正確結(jié)論的序號是4．（2020·廣西柳州·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AD上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰好落在線段BF上的H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）?題型15與矩形有關(guān)的新定義問題1．（2024·上海浦東新·一模）新定義1：將寬與長的比等于黃金分割比的矩形稱為黃金矩形

新定義2：將頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平②如圖2，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平③折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖3中所示的AD處④展平紙片，按照所得到的點(diǎn)D折出DE(1)根據(jù)以上折紙法，求證：矩形BCDE為黃金矩形(2)如圖5，已知∠A=36°，△ABC為黃金三角形，BC=1，求：(3)在（2）的條件下，截取BD=BC交AC于D，截取CE=CD交線段BD于E，過E作任意直線與邊AB，BC交于P，Q兩點(diǎn)，試判斷：2．（2024·江蘇蘇州·二模）大家都知道黃金比的美，但是漫畫家創(chuàng)造一個(gè)可愛的漫畫形象時(shí)，通常會去選擇運(yùn)用白銀比而非黃金比．因?yàn)榘足y比例創(chuàng)造出來的形象要比用形黃金比例創(chuàng)造出的形象更憨態(tài)可掬，溫和可人．通過上網(wǎng)查閱資料，小希同學(xué)發(fā)現(xiàn)白銀比的定義：如圖1，點(diǎn)C把線段AB分成兩部分，如果ACBC=2，那么點(diǎn)C為線段AB的“白銀分割點(diǎn)”，如圖2，矩形ABCD中，BC應(yīng)用：（1）如圖3，矩形ABCD是一張A4紙，AD>AB，將矩形邊AB翻折，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在BC上，將矩形邊CD翻折，使得點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在BC上，折痕交于點(diǎn)O，再將∠ABO對折，發(fā)現(xiàn)AB與BO恰好重合，求證：矩形ABCD是“白銀矩形”．（2）如圖4，在（1）的條件下，矩形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE折疊，使得點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，延長BF交CD的延長線于點(diǎn)G，說明點(diǎn)E為線段GC的“白銀分割點(diǎn)”．（3）已知線段AB（如圖5），作線段AB的一個(gè)“白銀分割點(diǎn)”．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要做法）3．（2024·廣東惠州·二模）新定義：如果一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是另外一個(gè)矩形的周長和面積的一半，則這個(gè)矩形是另一個(gè)矩形的“減半”矩形．(1)驗(yàn)證：矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形，其中矩形ABCD的長為12、寬為2，矩形EFGH長為4、寬為3．(2)探索：一矩形的長為2、寬為1時(shí)，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．4．（2023·陜西咸陽·二模）【定義新知】如圖1，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)F落在BC邊上，再將紙片沿CE折疊，點(diǎn)D的對稱點(diǎn)也與F重合，折疊后的兩個(gè)三角形拼合成一個(gè)三角形(△BCE)，這個(gè)三角形稱為疊合三角形．類似地，對多邊形進(jìn)行折疊，若折疊后的圖形恰好可以拼合成一個(gè)無縫隙、無重疊的矩形，則這樣的矩形稱為疊合矩形．(1)圖1中疊合△BCE的底邊BC與高EF的長度之比為_______；(2)將?ABCD紙片按圖2中的方式折疊成一個(gè)疊合矩形MNPQ，若AD=13，MN=5，求疊合矩形MNPQ的面積；【問題解決】(3)已知四邊形ABCD紙片是一個(gè)直角梯形，滿足AB∥CD，AB⊥BC，AB點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，EF⊥BC，小明把該紙片折疊，得到疊合正方形．①如圖3，若線段EF是其中的一條折痕，請你在圖中畫出疊合正方形的示意圖，并求出AB和CD的長；②如圖4，若線段EF是疊合正方形的其中一條對角線，請你在圖中畫出疊合正方形的示意圖，并求出此時(shí)AB和CD的長．?題型16與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題1．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以O(shè)A1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，連接OA2交A1B于點(diǎn)C2．（2022·廣東中山·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時(shí)針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1~矩形ADCB；再連接AC1，A．5×522022 B．2×523．（2023·黑龍江雞西·三模）如圖，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC邊上的高AB=1，點(diǎn)P1、Q1、H1分別在邊AB、AC、BC上，且四邊形P1Q1H1B為矩形，P1Q1:P1B=2:3，點(diǎn)P2、Q

4．（2022·河北唐山·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OAP1B的頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)P1在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，過P1A的中點(diǎn)B1作矩形B1（1）點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2）作出矩形B18A17A18?題型17與矩形有關(guān)的動點(diǎn)問題1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形ABCD中，BD為其對角線，一動點(diǎn)P從D出發(fā)，沿著D→B→C的路徑行進(jìn)，過點(diǎn)P作PQ⊥CD，垂足為Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為x，PQ?DQ為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2，則AD的長為（

）A．423 B．83 C．72．（2023·吉林·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿折線BC?CD向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動．連接PO并延長交邊CD于點(diǎn)M，連接QO并延長交折線DA?AB于點(diǎn)N，連接PQ，QM，MN，NP，得到四邊形PQMN．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x（s）（0<x<4），四邊形PQMN的面積為y（cm

(1)BP的長為__________cm，CM的長為_________cm．（用含x的代數(shù)式表示）(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)當(dāng)四邊形PQMN是軸對稱圖形時(shí)，直接寫出x的值．3．（2024·吉林長春·中考真題）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動時(shí)遇到一個(gè)幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB=3，點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，且AM=CN，試探究線段MN長度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動點(diǎn)問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動路徑，進(jìn)而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點(diǎn)C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點(diǎn)P，作射線AP．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：AM=MP；（2）∠CAP的大小為度，線段MN長度的最小值為________．【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一條兩端點(diǎn)位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在DE上．在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長度也隨之改變，但需始終保持AM=DN．鋼絲繩MN長度的最小值為多少米．4．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知AB=AC,∠A>90°，點(diǎn)E為AC上一動點(diǎn)，將△ABE以BE為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，∠EDC=2∠ACB．”小紅：“若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，給出AC與DC的長，就可求出BE的長．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，求證：∠EDC=2∠ACB；（2）如圖2，若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AC=4,CD=3，求BE的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成∠A<90°的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，則求BC的長．?題型18與矩形有關(guān)的最值問題1．（2024·海南·中考真題）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D'在邊BC上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C'，則DE的最小值為，2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（

A．3 B．32 C．2 3．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8，點(diǎn)E是邊AD上的動點(diǎn)，連結(jié)CE，以CE為邊作矩形CEFG（點(diǎn)D，G在CE的同側(cè)），且CE=2EF，連結(jié)BF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B，E，F(xiàn)在同一直線上，求BF的長．(2)如圖2，若∠BCE=30°，設(shè)CE與BF交于點(diǎn)K．求證：BK=FK．(3)在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，BF的長是否存在最大（?。┲?？若存在，求出BF的最值；若不存在，請說明理由．4．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一動點(diǎn)．∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為（A．2 B．810521 C．2.4 5．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD互相垂直，AC=4，BD=6，則AD+BC的最小值是．

6．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點(diǎn)P是邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D，E，連接DE，則DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．125?題型19矩形與函數(shù)綜合1．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)y=?2x+6的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在線段AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)P分別作OA和OB的垂線，垂足為C，D．當(dāng)矩形OCPD的面積為4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A．2,2 B．12,5 C．1,4或12,5 2．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線y=axa>0上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動點(diǎn)OD>OB，以線段BD為對角線作矩形ABCD，AD∥x軸．反比例函數(shù)y=kx【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（2）如圖2，把矩形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,2時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形ABCD沿BD折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接AC交BD于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，AC長為半徑作⊙O．若OP=32，當(dāng)⊙O與△ABC的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k3．（2023·江蘇連云港·中考真題）【問題情境

建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中點(diǎn)，AE⊥BM，垂足為E．設(shè)BC=x,AE=y，試用含x的代數(shù)式表示y．

【由數(shù)想形

新知初探】（2）在上述表達(dá)式中，y與x成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若x取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結(jié)合

深度探究】（3）在“x取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②函數(shù)值y的取值范圍是?42<y<42；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖像上存在四點(diǎn)A、B、C、D【抽象回歸

拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是__________；一般地，當(dāng)k≠0,x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3條即可）．

?題型20與矩形有關(guān)的存在性問題1．（2021·湖南岳陽·中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(?1,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，直線l：y=kx+3經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動點(diǎn)，且位于x軸的上方，點(diǎn)Q為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)PQ//y軸時(shí)，作QM⊥PQ，交拋物線于點(diǎn)M（點(diǎn)M在點(diǎn)Q的右側(cè)），以PQ，QM為鄰邊構(gòu)造矩形PQMN，求該矩形周長的最小值；（3）如圖3，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在（2）的條件下，當(dāng)矩形PQMN的周長取最小值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)F，使得∠CBF=∠DQM？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB//OC，線段OA，AB的長分別是方程x2－9x+20=0的兩個(gè)根（OA<AB）,tan∠OCB=43（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；（2）P為OA上一點(diǎn)，Q為OC上一點(diǎn)，OQ=5，將?POQ翻折，使點(diǎn)O落在AB上的點(diǎn)O'處，雙曲線y=kx的一個(gè)分支過點(diǎn)O（3）在（2）的條件下，M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)'3．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?6,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動停止．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t=2時(shí)，S△POQ=(2)當(dāng)△POQ與△BQA相似時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)t=1時(shí)，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過P，Q兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)M．拋物線的頂點(diǎn)為N，問該拋物線上是否存在點(diǎn)D，使∠MQD=4．（2024·青海西寧·一模）綜合與探究如圖，拋物線y=12x2?x?4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸與x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為拋物線上第四象限的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)PF=AF時(shí)，求PE的長；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn)，使以P，E，Q，G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．?題型21與矩形有關(guān)的材料閱讀類問題1．