重慶市渝中區(qū)2024年重點(diǎn)學(xué)校保送生數(shù)學(xué)試卷（含答案）

重慶市渝中區(qū)2024年重點(diǎn)學(xué)校保送生數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二總分評(píng)分一、填空題（每題7分，共70分）1．有1、2、﹣2三個(gè)數(shù)，小明分別對(duì)這三個(gè)數(shù)求了絕對(duì)值；小亮分別對(duì)這三個(gè)數(shù)求了倒數(shù)；小穎分別對(duì)這三個(gè)數(shù)求了﹣2次冪．將小明、小亮、小穎三人求得的數(shù)各任意選一個(gè)相乘，則乘積恰好為整數(shù)的概率為．2．已知a?1a=1，則[3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，∠CAB＝90°，以點(diǎn)A為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作⊙A，交BC邊于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，則陰影部分的面積為．4．將圖1所示的菱形沿兩條對(duì)角線剪開后重新拼成圖2、圖3兩種圖案，其中圖2得到的大正方形的面積為5，圖3得到的圖形的外輪廓的周長(zhǎng)為4+45，則圖1中sin∠CEB＝5．若關(guān)于x的一元一次不等式組x?m??1x+12?x46．若實(shí)數(shù)p、q，滿足1p4+1p2=87．如圖所示，已知銳角△ABC中，AB=10，BC＝6，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADE位置，恰好使得CE⊥BC于C，且CE＝BC，連接BD，則BD的長(zhǎng)為8．我們把不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，又把x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分，記作{x}，則有x＝[x]+{x}．如：[2.4]＝2，{2.4}＝0.4，2.4＝[2.4]+{2.4}；[﹣2.4]＝﹣3，{﹣2.4}＝0.6，﹣2.4＝[﹣2.4]+{﹣2.4}，則下列說(shuō)法正確的是（填序號(hào)）．①[1?②如[1③若1＜|x|＜2且{x}④方程5[x]+2＝{x}+4x的實(shí)數(shù)解有4個(gè)．9．如果一個(gè)四位自然數(shù)abcd的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足ab+cd=bc，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“神奇數(shù)”，例如：四位數(shù)1428，∵14+28＝42，∴1428是“神奇數(shù)”；又如四位數(shù)3526，因?yàn)?5+26≠52，∴3526不是“神奇數(shù)”．若一個(gè)“神奇數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)abc與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)10．如圖所示，平面直角坐標(biāo)中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B、C在第二象限，S△OAB＝92，將△OAB沿OB翻折至△OA'B，反比例函數(shù)y=122x恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)A'，連接A二、解答題（11題10分，12、13題每題15分，14、15題每題20分）11．近年來(lái)，抽盲盒成為當(dāng)下青少年喜歡的消費(fèi)方式，小王同學(xué)就樂(lè)于收集某商家出品的星球大戰(zhàn)系列盲盒和精靈天團(tuán)系列盲盒，十月份他在線下實(shí)體店購(gòu)買了若干盒星球大戰(zhàn)盲盒和精靈天團(tuán)盲盒，分別花費(fèi)260元和375元，若星球大戰(zhàn)的單價(jià)比精靈天團(tuán)的單價(jià)少10元，精靈天團(tuán)的數(shù)量比星球大戰(zhàn)的數(shù)量多1個(gè)．（1）十月份，小王購(gòu)買的星球大戰(zhàn)和精靈天團(tuán)的盲盒單價(jià)分別為多少元？（2）十一月份，商家在“雙十一”開啟了打折促銷活動(dòng)．其中星球大戰(zhàn)的單價(jià)下降了5元，精靈天團(tuán)的單價(jià)下降了4512．如圖1，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，兩對(duì)角線交點(diǎn)為O，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB邊從A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A→D→C方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△DOF的面積為y1，△BEF的面積為y2（y1≠0，y2≠0）．（1）請(qǐng)直接寫出y1、y2關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量t的取值范圍．（2）在圖2給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)y1的一條性質(zhì)．（3）結(jié)合函數(shù)圖象，求出△DOF和△BEF面積相等時(shí)的t的值．13．如圖，筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”．如圖，半徑為3m的筒車⊙O按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1圈，筒車與水面分別交于點(diǎn)A、B，筒車的軸心O距離水面的高度OC長(zhǎng)為2.4m，筒車上均勻分布著若干個(gè)盛水筒．若以某個(gè)盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間．（參考數(shù)據(jù)sin37.5°≈0.6，cos37.5°≈0.8sin2（1）浮出水面2.5秒后，盛水筒P距離水面約多高？（2）若接水槽MN所在直線是⊙O的切線，且與直線AB交于點(diǎn)M，已知MO＝8m，求盛水筒P從最高點(diǎn)開始，至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間可以將水倒入水槽MN中（即點(diǎn)P恰好在直線MN上）？14．平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣13x2（1）求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖1，已知點(diǎn)G是線段AB上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作GP∥y軸交CD于P，在線段AC和線段CD上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)K、L，且滿足KL＝2，M是KL的中點(diǎn)，當(dāng)GP+DP取得最大值時(shí)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)R，使得RP+RM的值最??？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)以及RP+RM的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，E是線段BO上一定點(diǎn)，且滿足OE：OB＝43：9，連接AE，將線段AE沿y軸向下平移6個(gè)單位至HF，連接EF，T是線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A、H同時(shí)繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，應(yīng)對(duì)點(diǎn)分別是A'、H'．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△EA'H'是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)A'的坐標(biāo)．

答案解析部分1．【答案】7【解析】【解答】解：|1|=1，|1、2、?2的倒數(shù)分別為1、12、?1?2=1，2?2畫樹狀圖為：共有27種等可能的結(jié)果，其中乘積恰好為整數(shù)的結(jié)果數(shù)為7，所以乘積恰好為整數(shù)的概率=7故答案為：727【分析】根據(jù)絕對(duì)值、倒數(shù)、冪的乘方結(jié)合題意畫出樹狀圖，進(jìn)而即可得到共有27種等可能的結(jié)果，其中乘積恰好為整數(shù)的結(jié)果數(shù)為7，從而即可求解。2．【答案】-2【解析】【解答】解：[=======a∵a?1∴a當(dāng)a2?1=a時(shí)，原式故答案為：?2【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)得到[a3．【答案】93【解析】【解答】解：連接AE，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD//∴∠DAE=∠AEB，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABC，∴∠DAE=∠ABC，∴ΔAED?ΔBAC(∴∠ACB=∠ADE=30°，BC=AD=6∴∠ABC=60°，AB=1∵AB=AE=3，∴ΔABE是等邊三角形，∴AE=BE，∠EAB=60°，∵∠CAB=90°，∴∠CAE=90°?∠EAB=90°?60°=30°，∠ACB=90°?∠B=90°?60°=30°，∴∠CAE=∠ACB，∴AE=CE，∴CE=BE，∴S∴S∵∠CAE=30°，AE=3，∴S∴S故答案為：93【分析】連接AE，先根據(jù)平行線四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得到AD=BC，∠DAE=∠AEB，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合題意證明∠DAE=∠ABC，從而根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)證明ΔAED?ΔBAC(SAS)即可得到∠ACB=∠ADE=30°，BC=AD=6，再結(jié)合等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得到AE=BE4．【答案】4【解析】【解答】解：由題意可知：圖2得到的大正方形的面積為5，所以每一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5，在圖3中，圖形的外輪廓的周長(zhǎng)為4+45，

∴BE=AH=CF=DG=1，設(shè)OH=x，則OD=OA=x+1，在RtΔDOH中，由勾股定理可得：x2解得：x1=1，∴在圖一中，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE，CD=1，ED=2，

∵四邊形ABEC是菱形，∴菱形的面積=1即：12解得：CH=4在RtΔCEH中，sin∠CEH=故答案為：4【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理解直角三角形即可求解。5．【答案】-6【解析】【解答】解：解關(guān)于x的一元一次不等式組x?m??1x+12?根據(jù)題意得，?6<m?1<1，∴?5<m<2，解關(guān)于y的分式方程1y?1+3=my∵分式方程的解為整數(shù)，?5<m<2且2m+3∴滿足條件的整數(shù)m的值為?4，?2，∴所有滿足條件的整數(shù)m的值之和是?4?2=?6．故答案為：?6【分析】先解不等式組結(jié)合不等式組的解集得到?5<m<2，再解分式方程即可得到?5<m<2且2m+36．【答案】33【解析】【解答】解：∵若實(shí)數(shù)p、q，滿足1p∴1p2和?q是一元二次方程x∴1p2?q=?1，∴(∵q>0，∴1∴1故答案為：33【分析】先根據(jù)題意得到1p2和?q是一元二次方程x2+x=8，即x2+x?8=0，的兩根，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到7．【答案】6【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，AF⊥CE，如圖所示：∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AC，∴CF=EF=3，∵CE⊥BC，∴四邊形AFCG是矩形，∴AG=3，根據(jù)勾股定理BG=10?9∴AF=CG=5，在RtΔACG中，AC=5∵AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，∴AB∴ΔABD∽ΔACE，∴BDCE=∴BD=6故答案為：6【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，AF⊥CE，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AC，進(jìn)而得到CF=EF=3，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AG=3，從而根據(jù)勾股定理求出BG，AC，進(jìn)而運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)證明ΔABD∽ΔACE即可求解。8．【答案】①【解析】【解答】解：①∵2<5∴?3<?5∴?2<1?5∴[因此①是正確的；②∵[∴?2?1解得?6?m<?4，因此②是錯(cuò)誤的；③∵1<|∴當(dāng)x<0時(shí)，?2<x<?1，∴[∵{∴x=[∴當(dāng)x>0時(shí)，1<x<2，∴[∵{∴x=[綜上，x的值為?3+2或2因此③是錯(cuò)誤的；④∵x=[x]∴5[∴5{∵0?{∴0?5{∴0?[∴?2?[x]<3，則[x當(dāng)[x]=?2∴{∴x=[當(dāng)[x]=?1∴{∴x=[當(dāng)[x]=0∴{∴x=[當(dāng)[x]=1∴{∴x=[當(dāng)[x]=2∴{∴x=[綜上，方程5[x]+2={因此④是錯(cuò)誤的．故答案為：①．【分析】根據(jù)題意估算無(wú)理數(shù)的大小即可判斷①；由[12m+1]=?2知?2?12m+1<?1，進(jìn)而解不等式組即可判斷②；根據(jù)題意分類討論：當(dāng)x<0時(shí)，?2<x<?1，當(dāng)x>0時(shí)，1<x<2，進(jìn)而即可判斷③；先根據(jù)題意得到5{x}=[9．【答案】4725【解析】【解答】解：由題意可得，“神奇數(shù)”的千位上的數(shù)字為a，百位上的數(shù)字為b，十位上的數(shù)字為c，個(gè)位上的數(shù)字為d．∴(∴10a?9b+9c+d=0，∴d=9b?10a?9c．∵abc=100a+10b+c，∴=100a+110b+11c+d=100a+110b+11c+9b?10a?9c=90a+119b+2c．∵abc與bcd∴90a+119b+2c∴b+c是9的倍數(shù)，∴b+c=9．∵d=9b?10a?9c=9(b?c)?10a，a，b，∴b=8時(shí)，c=1，a=6，d=3；b=7時(shí)，c=2，a=4，d=5；b=6時(shí)，c=3，a=2，d=7．∴這些“神奇數(shù)”為：6813，4725，2637．∴這些“神奇數(shù)”的平均數(shù)為：6813+4725+26373故答案為：4725．【分析】根據(jù)ab+10．【答案】(?【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A'作A'D⊥x軸于D，A'G⊥OB于G，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，BF⊥DA'交DA'∵四邊形OABC為矩形，且SΔOAB∴S∵將ΔOAB沿OB翻折至△OA∴S△OA∴S根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得：SΔOBE∵A'D⊥x∴四邊形A'∵S設(shè)A'(a,?則A'D=??122a，OD=?a，BE=?12√2∴S∴(整理得：2a即(2a+b∵a<b<0，∴2a+b<0，∴a?2b=0，∴a=2b，∴點(diǎn)A'設(shè)直線OB的表達(dá)式為：y=mx，將B(b,?122∴直線OB的表達(dá)式為：y=?12∴S△OA∴1∴A又∵A'G⊥OB∴四邊形A'∴A設(shè)直線A'C的表達(dá)式為：則t=m=?12∴直線A'C的表達(dá)式為：入將點(diǎn)A'(2b,?∴直線A'C的表達(dá)式為：對(duì)于y=?122b2x+∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(∵A'D⊥x∴∠A'DO=∠BF∵∠BA∴∠FA∴∠DA∴△A'OD∽△∴BF:∵A'(∴BF=?b，A'D=?62b∴(整理得：b4∴b=?6，b=∴3∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?故答案為：(?【分析】過(guò)點(diǎn)A'作A'D⊥x軸于D，A'G⊥OB于G，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，BF⊥DA'交DA'的延長(zhǎng)線于F，過(guò)C作CH⊥OB于H，先根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)得到∠BA'O=90°，S△OA'B=SΔOAB=SΔOBC=92，進(jìn)而根反比例函數(shù)k的幾何意義即可得到SΔOBE=S△OA'D==62，由此可得S△OA'B=SΔOBE+S梯形A'BED?S△OA'D=S梯形A'BED=92，設(shè)A'(a,?11．【答案】（1）解：設(shè)小王購(gòu)買的星球大戰(zhàn)的盲盒單價(jià)為x元，則精靈天團(tuán)的盲盒單價(jià)為（x+10）元，由題意得：260解得：x1＝65，x2＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝65，x2＝40都是原方程的解，但x2＝40不符合題意，舍去，∴x＝65，∴x+10＝65+10＝75，答：小王購(gòu)買的星球大戰(zhàn)的盲盒單價(jià)為65元，精靈天團(tuán)的盲盒單價(jià)為75元（2）解：由（1）可知，260x由題意得：（65﹣5）×4（1+5m%）+75（1﹣45整理得：m2﹣200m+1900＝0，解得：m1＝10，m2＝190（不合題意，舍去）．答：m的值為10【解析】【分析】（1）設(shè)小王購(gòu)買的星球大戰(zhàn)的盲盒單價(jià)為x元，則精靈天團(tuán)的盲盒單價(jià)為（x+10）元，根據(jù)題意即可列出分式方程，進(jìn)而即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到關(guān)于m的一元二次方程，進(jìn)而即可求解。12．【答案】（1）解：y1關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y1＝4?2t(y2關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y2＝?（2）解：如圖，即為所求函數(shù)的圖象，函數(shù)y1的一條性質(zhì)為：0≤t＜2時(shí)，y隨t的增大而減小，或2≤t≤4時(shí)，y隨t的增大而增大（3）解：由函數(shù)圖象可知：當(dāng)△DOF和△BEF面積相等時(shí)，t＝3﹣5或3【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，AF=2t，∴DF=AD?AF=4?2t，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，O是正方形的中心，∴ΔDOF的面積為y1∵AE=t，∴BE=4?t，∴ΔBEF的面積為y2當(dāng)點(diǎn)F在DC上時(shí)，DF=2t?4，∴ΔDOF的面積為y1∵S∴y綜上所述：y1關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為yy2關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為y【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，AF=2t，然后即可表示出DF，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合題意得到，ΔDOF的面積為y1=12DF×2=4?2t(0?t<2)，再結(jié)合題意即可表示出△BEF的面積；當(dāng)點(diǎn)F在13．【答案】（1）解：連接OA，OP，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC，垂足為D，如圖：由題意得，筒車每秒轉(zhuǎn)360°÷60＝6°，盛水簡(jiǎn)P浮出水面2.5秒后，此時(shí)∠AOP＝2.5×6＝15°，∵cos∠AOC＝2.∴∠AOC≈37.5°，∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝37.5°+15°＝52.5°，∴∠OPD＝37.5°，在Rt△POD中，OD＝OP?sin37.5°＝3×0.6＝1.8m，∴2.4﹣1.8＝0.6m，答：此時(shí)盛水簡(jiǎn)P距離水面的高度0.6m（2）解：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O上，且MN與⊙O相切，所以當(dāng)P在直線MN上時(shí)，此時(shí)P是切點(diǎn)，連接OP，所以O(shè)P⊥MN，在Rt△OPM中，cos∠POM＝OP∴∠POM＝68°．在Rt△OCM中，cos∠COM＝OCOM∴∠COM＝73°，∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180﹣68°﹣73°＝39°，∴需要的時(shí)間為39答：從最高點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，6.5秒后盛水筒P恰好在直線MN上【解析】【分析】（1）連接OA，OP，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC，垂足為D，由題意得筒車每秒轉(zhuǎn)360°÷60＝6°，進(jìn)而根據(jù)題意解直角三角形即可求解；

（2）先連接OP，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP⊥MN，從而結(jié)合題意解直角三角形即可求解。14．【答案】（1）解：由題意得，y＝﹣13∴A（0，3），∴tan∠ABC＝OAAB∵CD∥AB，∴tan∠BCD＝tan∠ABC＝33設(shè)點(diǎn)D（m，﹣13∴3?m1∴m＝﹣43，∴y＝﹣13∴D（﹣43，﹣5）（2）解：如圖1，設(shè)G（t，﹣13t2?233t+3∴GP+DP＝﹣33t2﹣3∴當(dāng)t＝﹣?3∴33∴P(?作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，PP'交AB于V，作P'W⊥PG于W，∴∠IP'P＝∠IPP'＝30°，∴∠P'IW＝60°，∵tan∠ACB＝OAOC∴∠ACB＝60°，∴∠BAC＝90°，∴P'V＝PV＝AC＝2OC＝23，∴PP'＝43，∴P'W＝1∵﹣3∴P'（﹣53∵∠ACD＝∠ACB+∠BCP＝60°+30°＝90°