甘肅省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024~2025學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)卷高一數(shù)學(xué)（120分鐘150分）1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合，再利用并集概念得到答案.【詳解】根據(jù)題意，，，所以.故選：B.2.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分段函數(shù)，先求得再求解.【詳解】解：因?yàn)?，所?故選：D.3.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)判斷求出的范圍，即可下結(jié)論.【詳解】，由于為第二象限角，故，故.故選：D.4.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求解即可.【詳解】由題意可知，要得到的圖象，只需將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到的圖象.故選：D.5.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用配湊思想代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.6.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得，得到，再結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的圖象性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，則，解得，所以，則，即函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn).故選：A.7.已知函數(shù)，若（其中），則的最小值為（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得，利用均值不等式求最值即可.【詳解】，由，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故最小值為，故選：B.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，利用對(duì)稱性求解一個(gè)周期內(nèi)的值，進(jìn)而利用周期性求解即可.【詳解】由的圖象可知，，周期，故，又且，可得，故.又根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，所以，所以，故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)特殊值、不等式的性質(zhì)和作差法判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：，但是，所以A不正確；B選項(xiàng)：因?yàn)槌闪?，則，又，所以，B正確；C選項(xiàng)：若，則，所以，C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，則，又，所以，D正確；故選：BCD10.若角的終邊在第四象限，則的值可能為（）A.0 B.4 C.6 D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)終邊角的定義確定為第二象限角或第四象限角.分類討論是第二、四象限角，結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào)判斷即可求解.【詳解】由角的終邊在第四象限，得，則，因此是第二象限角或第四象限角.當(dāng)是第二象限角時(shí)，；當(dāng)是第四象限角時(shí)，.故選：CD.11.已知函數(shù)若函數(shù)所有零點(diǎn)的乘積為1，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】BD【解析】分析】令，可得，討論y=fx與圖象位置關(guān)系求解即可.【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象如圖.令，則函數(shù)，即，即，即.由題意函數(shù)所有零點(diǎn)乘積為1，可知的所有解的乘積為1，而的解可看作函數(shù)y=fx的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).結(jié)合的圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=fx的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，且，即，所以，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=fx的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，其中只有最左側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于等于0，則的所有解的乘積小于等于0，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=fx的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，且，即，所以，所以，符合題意.綜合以上，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）轉(zhuǎn)化法：利用換元法，令，將函數(shù)所有零點(diǎn)的乘積為1，轉(zhuǎn)化為的所有解的乘積為1；（2）數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，分類討論解決問(wèn)題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知函數(shù)的值域滿足，令即可求解.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以函?shù)值域滿足，所以，解得.故答案為：.13.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】將所求因式的二次項(xiàng)部分除以，把分式的分子分母同時(shí)除以，把代入求解即可.【詳解】由易知，又因?yàn)椋?故答案為：.14.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，滿足，若，則不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而得出的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，由是定義在上的奇函數(shù)，可得是定義在上的偶函數(shù).由對(duì)任意的，滿足，可得在上單調(diào)遞增，由，可得，所以在上單調(diào)遞減，且.不等式，即為，可得或即或解得或.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式亦為關(guān)鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合或.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合間的運(yùn)算可得；（2）根據(jù)題意?，根據(jù)和分類可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榛?，所以?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榛?，所?因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以?.當(dāng)時(shí)，符合題意，此時(shí)有，解得.當(dāng)時(shí)，要使?，只需解得.綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是16.隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進(jìn)，市民的出行也越來(lái)越便利.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，某條地鐵線路運(yùn)行時(shí)，發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，平均每班地鐵的載客人數(shù)（單位：人）與發(fā)車時(shí)間間隔近似地滿足函數(shù)關(guān)系（1）若平均每班地鐵的載客人數(shù)不超過(guò)1860人，試求發(fā)車時(shí)間間隔的取值范圍；（2）若平均每班地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益.【答案】（1）.（2）發(fā)車時(shí)間間隔為7分鐘，最大凈收益為260元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式求解即可；（2）根據(jù)題意求出的解析式，利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，超過(guò)1860，所以不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，載客人數(shù)不超過(guò)1860，即，解得或，由于，所以，可知的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，則根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以即當(dāng)時(shí)，每分鐘的凈收益的最大值為260元.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，每分鐘的凈收益的最大值為220元.綜上所述，當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為7時(shí)，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為260元.17.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）5（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，經(jīng)過(guò)驗(yàn)根，可得答案；（2）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的最小值，由題意化簡(jiǎn)不等式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，解得，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足題意.綜上，.【小問(wèn)2詳解】由題意得，，由（1）知，，易得在上單調(diào)遞增，故.，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最大值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；（3）若方程在上有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）令，根據(jù)正弦函數(shù)有界性知，原函數(shù)變?yōu)橐詾樽宰兞康拈_(kāi)口向下的二次函數(shù)，討論對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系分別求解即可；（2）利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解即可；（3）利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在?1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)求的范圍，將所有滿足條件的不等式列出來(lái)，求解出的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】令，則變?yōu)椋佼?dāng)，即時(shí)，，②當(dāng)，即時(shí)，，③當(dāng)，即時(shí)，，綜上可知，.【小問(wèn)2詳解】若要，則需，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)y=fx變?yōu)椋髥?wèn)題變?yōu)楹愠闪?，易知的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一部分，最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得，所以有，解得，故的取值范圍是；【小問(wèn)3詳解】令.由題意可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，所以原題可轉(zhuǎn)化為在?1,1內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令，則有，解得，即的取值范圍是.19.定義在上的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，，且.（1）求，判斷函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；（3）若存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）0，奇函數(shù).（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）.【解析】【分析】（1）賦值法得到，令，可得f?x=?fx（2）任取，且，則，從而證明出為R上的增函數(shù)；（3）變形后，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到，令，其中，得到為偶函數(shù)，定義法得到在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，求出，令，則，令，其中，由單調(diào)性求出，則，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)1詳解】在等式中，令，可得，解得.因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，令，可得，所以f?x=?fx因此，函數(shù)為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】函數(shù)為R上的增函數(shù).證明過(guò)程如下：任取，且，則，所以.因?yàn)?，所以，所以，函?shù)在R上為增函數(shù).【小問(wèn)3詳解】由存在使得，可得.因?yàn)楹瘮?shù)在R上為增函數(shù)，則.令，其中，則，即函數(shù)為偶函數(shù)，任取，且，則，因?yàn)?，則，則，所以，則，所以，函數(shù)在上