黑龍江省哈爾濱市第七十三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)哈田中（哈73中）2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高一學(xué)年期中考試數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘卷面分值：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須將答案書寫在專設(shè)答題頁(yè)規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答.在試題卷上答題無(wú)效.5.考試結(jié)束后，只交試卷答題頁(yè).第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C2.若,則有（）A.最小值6 B.最小值8 C.最大值8 D.最大值3【答案】A【解析】【分析】由均值不等式計(jì)算即可得解.【詳解】由題意，，由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故有最小值6.故選：A3.若函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)y=fx的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)定義判斷即可得.【詳解】由函數(shù)定義可排除C，由值域?yàn)榭膳懦鼳、B，只有D選項(xiàng)為定義域?yàn)?，值域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象.故選：D.4.已知函數(shù)，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)定義代入即可求解.【詳解】.故選：D.5.函數(shù)的值域（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分離常數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)的值域?yàn)?故選：D6.函數(shù)是定義在的増函數(shù)，則滿足的x取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性將原不等式化為，從而可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的增函數(shù)，由，得，解得，即，故選：B7.對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分離參數(shù)后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出的最值即可；【詳解】分離參數(shù)得，要使對(duì)任意，不等式恒成立，只需.又因?yàn)?，令，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以，所以，所以.故選：D.8.定義在上的奇函數(shù)，，且對(duì)任意不等的正實(shí)數(shù)，都有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，結(jié)合題設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而分類討論求解不等式，可得答案.【詳解】不妨令，則，因?yàn)?，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又為定義在上的奇函數(shù)，則，則在上單調(diào)遞增，又，所以，①當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，解得，②當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，解得，綜上可得，不等式的解集為.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各式錯(cuò)誤的是（）A. B.C.（） D.【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；BCD選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和根式的運(yùn)算法則得到答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)顯然等式不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：ABC.10.如圖，在不對(duì)某種病毒采取任何防疫措施的情況下，從疫情發(fā)生開(kāi)始某地區(qū)感染人數(shù)（千人）與時(shí)間（周）的關(guān)系式為（且），則下列說(shuō)法中正確的有（）A.疫情開(kāi)始后，該地區(qū)每周新增加的感染人數(shù)都相等B.隨著時(shí)間推移，該地區(qū)后一周新增加的感染人數(shù)會(huì)是前一周的2倍C.估計(jì)該地區(qū)感染人數(shù)翻一番所需時(shí)間只需1周D.根據(jù)圖象，估計(jì)疫情發(fā)生一個(gè)月后該地區(qū)感染人數(shù)會(huì)超過(guò)8000人【答案】BCD【解析】【分析】首先求函數(shù)的解析式，再結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由圖象可知，，即，得，所以，A.第三周，即時(shí)，感染人數(shù)為千人，所以第一周到第二周增加1千人，第二周到第三周增加千人，故A錯(cuò)誤；B.由可知，第周的感染人數(shù)為，則第周的感染人數(shù)為，第周的感染人數(shù)為，則第周新增感染人數(shù)為，第周新增感染人數(shù)為，，故B正確.C.第一周是1千人，第二周是2千人，該地區(qū)感染人數(shù)翻一番所需時(shí)間只需1周，故C正確；D第四周，即時(shí)，感染人數(shù)千人，所以估計(jì)疫情發(fā)生一個(gè)月后該地區(qū)感染人數(shù)會(huì)超過(guò)8000人，故D正確.故選：BCD11.已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，若在?1,1上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)b的可能取值為（）A. B.0 C.1 D.3【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，由冪函數(shù)的定義可得的取值，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】由冪函數(shù)，可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞增，不符合題意；又由函數(shù)在上不單調(diào)，則滿足，即，解得，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)BC符合題意.故選：BC.第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則______.【答案】3【解析】【分析】由冪函數(shù)確定，再結(jié)合在圖象上，即可求解.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，故，又，得，所以，故答案為：313.下列函數(shù)中，______是指數(shù)函數(shù).①；②；③；④；⑤（是常數(shù)）；⑥.【答案】①【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義，一一判斷各函數(shù)，即得答案.【詳解】因?yàn)樾稳缜业暮瘮?shù)為指數(shù)函數(shù)，其中a為常數(shù)；故①為指數(shù)函數(shù)；②不是指數(shù)函數(shù)；③不是指數(shù)函數(shù)；④的底數(shù)不是常數(shù)，故不是指數(shù)函數(shù)；⑤（是常數(shù)）為冪函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)；⑥，由于取負(fù)值或0，1時(shí)，函數(shù)即不是指數(shù)函數(shù)，故不能確定為指數(shù)函數(shù).故答案為：①.14.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】13【解析】【分析】令，則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得，解得，令（），則，所以，開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸為，所以在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，解得.故答案為：13.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.化簡(jiǎn)求值：（1）；（2）.（3）；（4）已知，計(jì)算：.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)即可.（2）（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，結(jié)合分母有理化計(jì)算即可.（4）多次進(jìn)行完全平方運(yùn)算，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求解.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】.【小問(wèn)3詳解】.【小問(wèn)4詳解】，即，，，即，，.16.某造紙廠擬造一座占地面積為的矩形二級(jí)污水處理池，池的深度一定，池的外周墻壁建造單價(jià)400元/m，中間一條隔離壁建造單價(jià)為100元/m，池底建造單價(jià)為60元/（墻壁厚忽略不計(jì)）．污水處理池的長(zhǎng)為多少時(shí)可使總造價(jià)最低？總造價(jià)最低為多少？【答案】15米，總造價(jià)最低為36000元【解析】【分析】設(shè)污水處理池的寬為米，長(zhǎng)為米，從而得到總造價(jià)，再利用基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，則長(zhǎng)為米．則總造價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．此時(shí)，所以當(dāng)長(zhǎng)為15米時(shí)，總造價(jià)最低為36000元．17.已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）在單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）先轉(zhuǎn)化，判斷其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋驗(yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增.定義法證明如下：任取，，則，，所以，故在單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由（1）得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.18.已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解；（2）利用韋達(dá)定理表示，再利用二次函數(shù)，即可求最值.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，解得或，原不等式的解集為或；【小問(wèn)2詳解】令，由得，故，，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.19.已知，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）判斷的單調(diào)性，并用函數(shù)單