江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習專題二三角函數(shù)與平面向量第3講平面向量學(xué)案文蘇教版

PAGE1-第3講平面對量[2024考向?qū)Ш絔考點掃描三年考情考向預(yù)料2024202420241．平面對量的概念及線性運算江蘇高考對平面對量考查命題熱點是：平面對量的幾何意義、數(shù)量積、兩向量平行與垂直．試題常以填空題形式出現(xiàn)，數(shù)量積是命題熱點．平面對量常與三角函數(shù)、解析幾何等學(xué)問相結(jié)合，以解答題形式呈現(xiàn)，難度中等．2．平面對量的數(shù)量積第12題第13題3．平面對量與其他學(xué)問點的綜合運用第12題第16題1．必記的概念與定理(1)零向量模的大小為0，方向是隨意的，它與隨意非零向量都共線，記為0．(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為eq\f(a,|a|)．(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)．(4)假如直線l的斜率為k，則a＝(1，k)是直線l的一個方向向量．2．平面對量的兩個重要定理(1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa．(2)平面對量基本定理：假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．3．平面對量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°，a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°．4．記住幾個常用的公式與結(jié)論(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)．(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)．(4)設(shè)a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)．(5)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．(6)兩向量a，b的夾角公式：cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(7)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0，則a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0．a(chǎn)⊥b(b≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．5．須要關(guān)注的易錯易混點(1)向量共線的充要條件中要留意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有多數(shù)個．(2)只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)隨意向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．(3)要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向的信息也有大小的信息．(4)“a·b>0”是“θ為銳角”的必要不充分條件，“a·b<0”是“θ為鈍角”的必要不充分條件．平面對量的概念及線性運算[典型例題](1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．(2)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的模分別為1，1，eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為α，且tanα＝7，eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為45°．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則m＋n＝________．【解析】(1)因為ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))所以m－n＝2－5＝－3．(2)法一：以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(1，0)，由tanα＝7，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得sinα＝eq\f(7,5\r(2))，cosα＝eq\f(1,5\r(2))，設(shè)C(xC，yC)，B(xB，yB)，則xC＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|cosα＝eq\r(2)×eq\f(1,5\r(2))＝eq\f(1,5)，yC＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|sinα＝eq\r(2)×eq\f(7,5\r(2))＝eq\f(7,5)，即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(7,5)))．又cos(α＋45°)＝eq\f(1,5\r(2))×eq\f(1,\r(2))－eq\f(7,5\r(2))×eq\f(1,\r(2))＝－eq\f(3,5)，sin(α＋45°)＝eq\f(7,5\r(2))×eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,5\r(2))×eq\f(1,\r(2))＝eq\f(4,5)，則xB＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|cos(α＋45°)＝－eq\f(3,5)，yB＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|sin(α＋45°)＝eq\f(4,5)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＝m－\f(3,5)n，,\f(7,5)＝\f(4,5)n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4)，))所以m＋n＝eq\f(5,4)＋eq\f(7,4)＝3．法二：由tanα＝7，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得sinα＝eq\f(7,5\r(2))，cosα＝eq\f(1,5\r(2))，則cos(α＋45°)＝eq\f(1,5\r(2))×eq\f(1,\r(2))－eq\f(7,5\r(2))×eq\f(1,\r(2))＝－eq\f(3,5)，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝1×eq\r(2)×eq\f(1,5\r(2))＝eq\f(1,5)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(3,5)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))2＋neq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，即eq\f(1,5)＝m－eq\f(3,5)n①，同理可得eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))2，即1＝－eq\f(3,5)m＋n②，聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4)，))所以m＋n＝eq\f(5,4)＋eq\f(7,4)＝3．【答案】(1)－3(2)3eq\a\vs4\al()(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．(3)應(yīng)用平面對量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．[對點訓(xùn)練]1．(2024·徐州模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC．若eq\o(BD,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x－y的值為________．[解析]如圖，延長DC，AB交于點E，因為∠DCA＝2∠BAC，所以∠BAC＝∠CEA．又∠ABC＝90°，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BE,\s\up6(→))．因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝－xeq\o(BE,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))．因為C，D，E三點共線，所以－x＋y＝1，即x－y＝－1．[答案]－12．(2024·江門模擬)已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________．[解析]如圖所示，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，則P為以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，則λ＝－2．[答案]－2平面對量的數(shù)量積[典型例題](2024·高考江蘇卷)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點O．若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\f(AB,AC)的值是________．【解】法一：以點D為坐標原點，BC所在的直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，不妨設(shè)B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b－a,3)，\f(2c,3)))，則直線OA：y＝eq\f(c,b)x，直線CE：(b－2a)y＝c(x－a)，聯(lián)立可得Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)，－\f(c,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a－2b,3)，－\f(2c,3)))＝eq\f(b2＋c2－2ab,3)，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化簡得4ab＝b2＋c2＋a2，則eq\f(AB,AC)＝eq\r(\f(（b＋a）2＋c2,（b－a）2＋c2))＝eq\r(\f(6ab,2ab))＝eq\r(3)．法二：由A，O，D三點共線，可設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，由E，O，C三點共線可設(shè)eq\o(EO,\s\up6(→))＝μeq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝μ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝(1－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(1－μ)·eq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，由平面對量基本定理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（1－μ）＝\f(λ,2)，,μ＝\f(λ,2)，))解得μ＝eq\f(1,4)，λ＝eq\f(1,2)，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則6eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝6×eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,2)(eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2)＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，化簡得3eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2，則eq\f(AB,AC)＝eq\r(3)．eq\a\vs4\al()向量數(shù)量積是高考命題的熱點，可以說是必考內(nèi)容．向量數(shù)量積主要應(yīng)用于三類問題：一是角度問題，二是求模問題，三是與三角形結(jié)合解決有關(guān)問題．涉及數(shù)量積和模的計算問題，通常有兩種求解思路：(1)干脆利用數(shù)量積的定義，在利用定義計算時，要擅長將相關(guān)向量分解為圖形中模、夾角和已知的向量進行計算．求平面對量的模時，常把模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方．(2)建立坐標系，通過坐標運算求解．[對點訓(xùn)練]3．(2024·蘇北四市高三模擬)已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝1，若點C滿意|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|的取值范圍是________．[解析]由題意可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝2cos∠AOB＝1，則cos∠AOB＝eq\f(1,2)，∠AOB＝eq\f(π,3)．以點O為坐標原點，OA所在直線為x軸，過點O且與OA垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，則A(eq\r(2)，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(6),2)))，設(shè)C(x，y)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－x，\f(\r(6),2)－y))，又|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－x))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)－y))eq\s\up12(2)＝1，即點C的軌跡是以點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(\r(6),2)))為圓心，以1為半徑的圓．|eq\o(OC,\s\up6(→))|的幾何意義是點C到坐標原點的距離，又圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(\r(6),2)))到坐標原點的距離為eq\r(6)，所以eq\r(6)－1≤|eq\o(OC,\s\up6(→))|≤eq\r(6)＋1．[答案][eq\r(6)－1，eq\r(6)＋1]4．(2024·益陽、湘潭調(diào)研)已知非零向量a，b滿意a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b與a－b的夾角為eq\f(π,3)，則t的值為________．[解析]因為a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|．又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|．因為a＋b與a－b的夾角為eq\f(π,3)，所以eq\f(（a＋b）·（a－b）,|a＋b|·|a－b|)＝coseq\f(π,3)，整理得eq\f(|a|2－|b|2,t2|a|2)＝eq\f(1,2)，即(2－t2)|a|2＝2|b|2．又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋eq\f(（2－t2）|a|2,2)＝t2|a|2，解得t2＝eq\f(4,3)．因為t＞0，所以t＝eq\f(2\r(3),3)．[答案]eq\f(2\r(3),3)平面對量與三角函數(shù)的綜合運用[典型例題](2024·蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，3))，b＝(1，4cosα)，α∈(0，π)．(1)若a⊥b，求tanα的值；(2)若a∥b，求α的值．【解】(1)因為a⊥b，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋12cosα＝0，即eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＋12cosα＝0，即eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(25,2)cosα＝0，又cosα≠0，所以tanα＝－eq\f(25\r(3),3)．(2)若a∥b，則4cosαsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝3，即4cosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinα＋\f(1,2)cosα))＝3，所以eq\r(3)sin2α＋cos2α＝2,所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝1，因為α∈(0，π)，所以2α＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，所以2α＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,6)．eq\a\vs4\al()在平面對量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面對量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的學(xué)問解決平面對量問題，在解決此類問題的過程中，只要依據(jù)題目的詳細要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以依據(jù)向量或者三角函數(shù)的學(xué)問解決問題．[對點訓(xùn)練]5．(2024·江蘇省四星級學(xué)校聯(lián)考)已知向量a＝(2，cos2x)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))，－\r(3)))，函數(shù)f(x)＝a·b．(1)若f(α)＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))的值；(2)若函數(shù)g(x)＝af(x)＋b的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，值域為[1－eq\r(3)，3]，求實數(shù)a，b的值．[解]由題意知f(x)＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－eq\r(3)cos2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＋1－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1．(1)因為f(α)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＋1＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＝－eq\f(1,4)．又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2α－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＝eq\f(\r(15),4)．因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,3)))＋1＝2sin2α＋1，sin2α＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(5)－1,8)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝2×eq\f(3\r(5)－1,8)＋1＝eq\f(3\r(5)－1,4)＋1＝eq\f(3\r(5)＋3,4)．(2)因為g(x)＝af(x)＋b＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋a＋b，由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))可得，2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))．明顯a≠0，①當a＞0時，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝3,（1－\r(3)）a＋b＝1－\r(3)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝0))；②當a＜0時，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝1－\r(3),（1－\r(3)）a＋b＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝4－\r(3)))．綜上，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝4－\r(3)))．1．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．[解析]由題意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3)．))[答案]－eq\f(1,3)2．(2024·江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知平面對量a，b是相互垂直的單位向量，且c·a＝c·b＝－1，則|a－2b＋3c|＝________．[解析]設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，則c·a＝x＝－1，c·b＝y(tǒng)＝－1，所以c＝(－1，－1)，所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以|a－2b＋3c|＝eq\r(（－2）2＋（－5）2)＝eq\r(29)．[答案]eq\r(29)3．(2024·南京、鹽城高三模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝eq\f(1,3)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為________．[解析]由eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→)))，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝eq\f(1,3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(－9＋3)＝－2．[答案]－24．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與b的夾角θ＝________．[解析]因為a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3．所以cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(3,1×6)＝eq\f(1,2)．所以向量a與b的夾角為eq\f(π,3)．[答案]eq\f(π,3)5．(2024·無錫市高三模擬)已知平面對量α，β滿意|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，則α的模的取值范圍為________．[解析]法一：由|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝α，eq\o(AB,\s\up6(→))＝β－α，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝β，在△OAB中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝1，則由正弦定理eq\f(OB,sin60°)＝eq\f(OA,sin∠ABO)，得OA＝eq\f(2\r(3),3)sin∠ABO∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))，即0<|α|≤eq\f(2\r(3),3)．法二：設(shè)|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由關(guān)于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0<u≤eq\f(2\r(3),3)，即0<|α|≤eq\f(2\r(3),3)．[答案]eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))6．(2024·高三第一次調(diào)研測試)在平面四邊形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝2，則|eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))|的最小值為______．[解析]以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))．設(shè)D(0，b)，C(m，n)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，n))＝m＋eq\f(1,2)＝3，解得m＝eq\f(5,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，b))＝eq\f(3,2)＋nb＝2，得nb＝eq\f(1,2)．易得eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4，n＋2b)，則|eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(16＋（n＋2b）2)≥eq\r(16＋8nb)＝2eq\r(5)，當且僅當n＝2b時取等號，故|eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))|的最小值為2eq\r(5)．[答案]2eq\r(5)7．(2024·南通市高三模擬)如圖，在同一平面內(nèi)，點A位于兩平行直線m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1，3．點B，C分別在m，n上，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值是________．[解析]以直線n為x軸，過點A且垂直于n的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，則A(0，3)，設(shè)C(c，0)，B(b，2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(b，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(c，－3)，從而(b＋c)2＋(－4)2＝52，即(b＋c)2＝9，又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bc＋3≤eq\f(（b＋c）2,4)＋3＝eq\f(21,4)，當且僅當b＝c時取等號．[答案]eq\f(21,4)8．(2024·南京高三模擬)在凸四邊形ABCD中，BD＝2，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝5，則四邊形ABCD的面積為________．[解析](eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC2,\s\up6(→))－eq\o(DB2,\s\up6(→))＝5，即AC2－BD2＝5．因為BD＝2，所以AC＝3，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)AC×BD＝eq\f(1,2)×2×3＝3．[答案]39．(2024·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(一))如圖，點A，B，C在半徑為5的圓O上，E是OA的中點，AB＝8，AC＝6，eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y是實數(shù))，則eq\f(\o(CE,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),x－y)的值是______．[解析]連結(jié)BC，依據(jù)題意，可知AB2＋AC2＝102，又圓O的半徑為5，則直徑是10，所以BC恰好是圓O的直徑，所以AB⊥AC．eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，此時x＝eq\f(1,4)，y＝－eq\f(3,4)，x－y＝eq\f(1,4)－(－eq\f(3,4))＝1．又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))2)＝－eq\f(11,4)，故eq\f(\o(CE,\s\up6(→))·\o(AE,\s\up6(→)),x－y)＝－eq\f(11,4)．[答案]－eq\f(11,4)10．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式eq\o(CD,\s\up6(→))2≥(m－2)eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＋m(eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)))對隨意實數(shù)a，b，c，d都成立，則實數(shù)m的最大值是________．[解析]原不等式可化為(a－c)2＋(b－d)2≥(m－2)·(ac＋bd)＋mbc，即a2＋b2＋c2＋d2－m(ac＋bd＋bc)≥0，整理成關(guān)于實數(shù)a的不等式為a2－mca＋b2＋c2＋d2－mbd－mbc≥0，此式恒成立，從而Δ1＝m2c2－4(b2＋c2＋d2－mbd－mbc)≤0，再整理成關(guān)于實數(shù)d的不等式為d2－mbd＋b2＋c2－mbc－eq\f(1,4)m2c2≥0，從而Δ2＝m2b2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋c2－mbc－\f(1,4)m2c2))≤0，再整理成關(guān)于實數(shù)b的不等式為(4－m2)b2－4mcb＋4c2－m2c2≥0，從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－m2>0,Δ3＝16m2c2－4（4－m2）（4c2－m2c2）≤0))，解得1－eq\r(5)≤m≤－1＋eq\r(5)，所以m的最大值是eq\r(5)－1．[答案]eq\r(5)－111．(2024·江蘇省高考名校聯(lián)考(一))已知在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若向量m＝(cosA，cosB)，n＝(b＋2c，a)，且m⊥n．(1)求角A的大小；(2)若a＝4eq\r(3)，b＋c＝8，求AC邊上的高h的值．[解](1)因為m⊥n，所以m·n＝0，所以(b＋2c)cosA＋acosB＝0，由正弦定理得cosAsinB＋2cosAsinC＋cosBsinA＝0，即sin(A＋B)＋2cosAsinC＝0，因為A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，所以sinC＋2cosAsinC＝0．又C∈(0，π)，所以sinC＞0，所以cosA＝－eq\f(1,2)．因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(2π,3)．(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosA＝－\f(1,2)＝\f(b2＋c2－a2,2bc)，,b＋c＝8，,a＝4\r(3)，))解得b＝c＝4．又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)h·AC，所以h＝2eq\r(3)．12．(2024·蘇州期末檢測)已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)，且a，b共線，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3eq\r(5)cosφ，0＜φ＜eq\f(π,2)，求φ的值．[解](1)因為a∥b，所以sinθ－2cosθ＝0，即tanθ＝2．所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3．(2)由(1)知tanθ＝2，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5)，因為5cos(θ－φ)＝3eq\r(5)cosφ，所以5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3eq\r(5)cosφ，即eq\r(5)cosφ＋2eq\r(5)sinφ＝3eq\r(5)cosφ，所以cosφ＝sinφ，即tanφ＝1，又0＜φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)．13．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，co