第06講復(fù)數(shù)的概念（春季講義）（人教A版2019）（原卷版）

第06講復(fù)數(shù)的概念【人教A版2019】模塊一模塊一數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念1．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的引入

為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們引入一個新數(shù)i，規(guī)定：

①，即i是方程的根；

②實數(shù)可以和數(shù)i進(jìn)行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.

在此規(guī)定下，實數(shù)a與i相加，結(jié)果記作a+i；實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.注意到所有實數(shù)以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數(shù)都在擴(kuò)充后的新數(shù)集中.(2)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(3)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.(4)復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).顯然，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即.

復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：

復(fù)數(shù)，

復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系，可用圖表示.2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相等.【題型1復(fù)數(shù)的基本概念】【例1.1】（2425高一下·全國·課后作業(yè)）下列四種說法正確的是（

）A．如果實數(shù)a=b，那么a?b+(a+b)iB．實數(shù)是復(fù)數(shù)．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何數(shù)的偶數(shù)次冪都不小于零．【例1.2】（2425高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（

）A．若x2+1=0，則x=C．z=x2+1i可能是實數(shù) 【變式1.1】（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）下列命題：①若a∈R，則a+1②若a，b∈R，且a>b，則a+③若x2?4+④實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.其中正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式1.2】（2425高一下·上?！ふn后作業(yè)）下列說法正確的是（

）A．i表示虛數(shù)單位，所以它不是一個虛數(shù)B．?1的平方根是±C．biD．若z=aa∈R，則復(fù)數(shù)z【題型2已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)】【例2.1】（2324高一下·重慶·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)a2?a?2+a?1A．a(chǎn)=?1 B．a(chǎn)≠?1且a≠2 C．a(chǎn)≠?1 D．a(chǎn)≠2【例2.2】（2324高一下·安徽安慶·期末）已知a，b均為實數(shù)，復(fù)數(shù)：z=a2?b+(b?2a)i，其中i為虛數(shù)單位，若z<3，則A．?1,3 B．(?∞,?1)∪(3,+∞) C．【變式2.1】（2324高一下·甘肅定西·期末）已知復(fù)數(shù)z=m(1)若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；(2)當(dāng)非零復(fù)數(shù)z的實部和虛部互為相反數(shù)時，求實數(shù)m的值．【變式2.2】（2425高一上·上海·課堂例題）求實數(shù)m的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)z=m(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)0.【題型3復(fù)數(shù)相等的求參問題】【例3.1】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知i為虛數(shù)單位，x,y為實數(shù)，若x+yi+2=3?4i+2yA．2 B．3 C．4 D．5【例3.2】（2324高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=2?ai,z2=b?1+2i，（a,b∈A．a(chǎn)=?1,b=1 B．a(chǎn)=2,b=?3C．a(chǎn)=2,b=3 D．a(chǎn)=?2,b=3【變式3.1】（2425高一·全國·課后作業(yè)）分別求滿足下列條件的實數(shù)x，y的值．(1)2x?1+(y+1)i(2)x2【變式3.2】（2324高一下·全國·課堂例題）求滿足下列條件的實數(shù)x，y的值：(1)x?2y?(2)(x+y?3)+(x?y?2)i(3)x+y+4i(4)x2模塊二模塊二復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角坐標(biāo)系中的點，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)

由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.2．復(fù)數(shù)的模向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數(shù)a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).3．共軛復(fù)數(shù)(1)定義

一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則.特別地，實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①.

②實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z∈R，利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實數(shù).4．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a,b)到坐標(biāo)原點的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.【題型4復(fù)數(shù)的幾何意義】【例4.1】（2425高二上·廣西南寧·階段練習(xí)）設(shè)z=3?2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例4.2】（2425高三上·河北承德·開學(xué)考試）已知z1=a+1?2iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式4.1】（2324高一下·廣東云浮·期末）已知復(fù)數(shù)z=m(1)若z是純虛數(shù)，求m；(2)在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點位于第三象限，求m的取值范圍.【變式4.2】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）求實數(shù)m的取值或取值范圍，使復(fù)數(shù)z=m(1)對應(yīng)的點在第三象限；(2)對應(yīng)的點在直線x+y+4=0上.【題型5共軛復(fù)數(shù)的有關(guān)計算】【例5.1】（2425高三上·陜西渭南·期中）已知復(fù)數(shù)z=3?2i（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)z=（A．3?2i B．3+2i C．?3?2i【例5.2】（2425高二上·重慶·期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是1,2，則z的共軛復(fù)數(shù)z=（A．1+2i B．1?2i C．【變式5.1】（2324高一下·山東煙臺·期中）若復(fù)數(shù)z滿足i?z+2=3?i，則A．?3?3i B．?3+3i C．3?3i【變式5.2】（2324高一下·河北·期中）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i?i2024A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型6復(fù)數(shù)的模的問題】【例6.1】（2024高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)1+ix=1+yi，其中x，y是實數(shù)，則|x+yA．1 B．2 C．3 D．2【例6.2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知z=(2a?1)+(a+1)i(a∈R)，則“|z|=2”是“a=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式6.1】（2324高一下·福建廈門·期末）若z=z?3=z?A．1 B．2 C．3 D．2【變式6.2】（2024·河南·一模）若x?i=1?2iA．1 B．2 C．3 D．4【題型7復(fù)數(shù)的向量表示】【例7.1】（2324高一·上?！ふn堂例題）如果復(fù)平面上的向量AB所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是?3+2i，那么向量BA所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

A．3?2i B．3+2i C．?3+2i【例7.2】（2324高三下·重慶·階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)1+i2對應(yīng)的點為A，復(fù)數(shù)3+4i對應(yīng)的點為B，復(fù)數(shù)?1+mi對應(yīng)的點為C，若AB⊥A．12 B．?12 C．3【變式7.1】（2324高一·上?！ふn堂例題）設(shè)在復(fù)平面上的點A與點B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zA與zB，對于下列各組復(fù)數(shù)，分別求向量AB和向量(1)zA=2?3i(2)zA=1【變式7.2】（2324高一下·浙江臺州·期中）已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i，向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i，向量BC對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1)點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)三角形ABC的面積.【題型8與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題】【例8.1】（2025高一·上?！ｎ}練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z且z=1，則z?2?2i的最小值是（A．22 B．22?1 C．2【例8.2】（2324高一下·福建福州·期中）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=2，則|z+3+4i|最小值是（A．3 B．4 C．5 D．6【變式8.1】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知復(fù)數(shù)z1=3(1)求z1及z(2)設(shè)z∈C，滿足z2≤|z|≤z【變式8.2】（2425高一·全國·單元測試）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2?2i|=2，且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為(1)確定點M的集合構(gòu)成圖形的形狀；(2)求|z?1+2i一、單選題1．（2024高一·全國·專題練習(xí)）下列命題正確的個數(shù)是（

）①1+i2=0；②若a,b∈R，且a>b，則a+iA．1 B．2C．0 D．32．（2324高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z=a2?b2+a+A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)<0且C．a(chǎn)>0且a≠b D．a(chǎn)>0且a=3．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）已知復(fù)數(shù)z=?1+2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=a+2b+a?bi,A．－1 B．0C．1 D．25．（2425高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，向量OA對應(yīng)的復(fù)數(shù)z1=2+i，OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2，則

A．5 B．3 C．10 D．46．（2324高一下·上?！て谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．設(shè)z=a+bia,b∈R則zB．復(fù)數(shù)z與z在復(fù)平面中對應(yīng)的點分別在x軸上方和下方C．設(shè)復(fù)數(shù)z1與z2滿足zD．若復(fù)數(shù)z1與z2滿足z7．（2324高一下·江蘇蘇州·期中）已知復(fù)數(shù)z滿足z?1=1，則z+2+4i（i是虛數(shù)單位）的最小值為（A．17?1 B．4 C．17+18．（2324高一下·廣東廣州·期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：eix=cosx+isinxA．eB．|eC．復(fù)數(shù)eπD．若z1=eπ3i，z2=二、多選題9．（2324高一下·四川達(dá)州·期中）下列四種說法不正確的是（）A．如果實數(shù)a=b，那么a?b+(a+b)iB．實數(shù)是復(fù)數(shù)．C．如果a=0，那么z=a+biD．任何數(shù)的偶數(shù)次冪都不小于零．10．（2324高一下·內(nèi)蒙古興安盟·期末）已知復(fù)數(shù)z=1?2i，則（

A．z的共軛復(fù)數(shù)為1+2B．z是純虛數(shù)C．z的模是5D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限11．（2324高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=m2+2m?3+(m?1)i，其中mA．若z為純虛數(shù)，則m=1或?3B．若復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點位于第四象限，則m<?3C．若m=2，則z的虛部為?D．若z=a?2i?(a∈三、填空題12．（2324高一下·黑龍江哈爾濱·期中）復(fù)數(shù)m2?1+m+1i是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為13．（2324高一下·上海嘉定·期末）已知復(fù)平面上有點C2，4和點D，使得向量CD所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1+i，則點D的坐標(biāo)為14．（2324高一下·陜西西安·期中）若復(fù)數(shù)z滿足z?1?2i=1(i為虛數(shù)單位)，則z的最大值為四、解答題15．（2425高一·全國·隨堂練習(xí)）求適合下列各方程的實數(shù)x，y的值：(1)x+y?xy(2)x2(3)2x?1+y+116．（2324高一下·吉林長春·期中）已知復(fù)數(shù)z=m2(1)當(dāng)z是