向量應(yīng)用（2個知識點(diǎn)4類熱點(diǎn)題型講練習(xí)題鞏固）

9．4向量應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算、分析和解決實際問題的能力．（1）能用向量方法解決簡單的幾何問題.（2）能用向量方法解決簡單的力學(xué)問題和其他實際問題.

知識點(diǎn)01向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題．（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．【即學(xué)即練1】（2024·高一課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是AD，BC的三等分點(diǎn).設(shè)，.(1)用，表示，.(2)如果，EF，EG有什么位置關(guān)系?用向量方法證明你的結(jié)論.【解析】（1）；.（2）.證明如下：由（1）知，，，.，.知識點(diǎn)02向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：（1）問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．（2）建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型．（3）求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等．（4）回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題．【即學(xué)即練2】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，兩個力和同時作用在一個物體上，其中的大小為，方向向東，的大小為，方向向北，求它們的合力．

【解析】如下圖，，，以、為鄰邊作平行四邊形，由題意可知，，則四邊形為矩形，，設(shè)兩個力和的合力為，則，由勾股定理可得，在中，，所以，，所以，它們的合力大小為，方向約為北偏東.

題型一：利用向量證明平面幾何問題【典例11】如圖，在中，已知分別為上的點(diǎn)，且.

(1)求；(2)求證：；(3)若線段上一動點(diǎn)滿足，試確定點(diǎn)的位置.【解析】（1）依題意，記，因為，所以，，因為，所以，則，故.（2）因為，所以，所以，則，即.（3）因為，所以是的中點(diǎn)，故，因為，所以，即，所以是線段的中點(diǎn).【典例12】如圖所示，已知在正方形中，E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)M.

(1)設(shè)，，用，表示，；(2)猜想與的位置關(guān)系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.【解析】（1），；（2），證明如下：由（1）知，，所以，設(shè)，則，所以，所以，得證.【方法技巧與總結(jié)】用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路（1）向量的線性運(yùn)算法的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題．（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題．【變式11】已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn).

(1)請用、表示向量；(2)設(shè)和的夾角為，若，且，求證：.【解析】（1）.（2），，.題型二：利用向量解決平面幾何求值問題【典例21】如圖，正方形的邊長為是的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

(1)求的余弦值．(2)若點(diǎn)自點(diǎn)逆時針沿正方形的邊運(yùn)動到點(diǎn)，在這個過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．【解析】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．則．由于就是的夾角．

的余弦值為．（2）設(shè)．．由題得．①當(dāng)點(diǎn)在上時，設(shè)，；②當(dāng)點(diǎn)在上時，設(shè)，，舍去．綜上，存在．【典例22】如圖，在中，已知邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn).

(1)求AM的長度；(2)求∠MPB的正弦值.【解析】（1）因為AM是中線，所以，所以，則；（2）由圖象知：為向量的夾角，因為，所以，，則，又，，所以，因為，所以.【方法技巧與總結(jié)】（1）用向量法求長度的策略①根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式求解．②建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若，則．（2）用向量法解決平面幾何問題的兩種思想①幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕祝ɑ字械南蛄勘M量已知?；驃A角），將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)求解．②坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．【變式21】如圖，正方形ABCD中，是AB的中點(diǎn)，是BC邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn).(1)設(shè)，求的值；(2)求的余弦值；(3)求和.【解析】（1）由題意知，，又，所以，故；（2）如圖，過點(diǎn)E作交于AF于點(diǎn)N，過A作于點(diǎn)H，設(shè)正方形的邊長為，則，由，得，，所以，由，得，所以，因為，所以，所以，即，解得，所以.（3）由（2）知，，得，故.【變式22】已知平面四邊形中，，向量的夾角為.(1)求證：；(2)點(diǎn)是線段中點(diǎn)，求的值.【解析】（1）根據(jù)題意，畫出示意圖如下圖所示由題意可知，，所以三角形ABD為等邊三角形，則，又，所以，即為直角三角形，且，所以，所以；（2）根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，因為點(diǎn)是線段中點(diǎn)，所以，則，所以，【變式23】在四邊形中，，，，其中，為不共線的向量．(1)判斷四邊形的形狀，并給出證明；(2)若，，與的夾角為，為中點(diǎn)，求．【解析】（1）因為，，所以，又因為，所以，又因為四點(diǎn)不共線，所以且，所以四邊形為梯形．（2）因為，所以，因為為中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，因為，所以．【變式24】如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).(1)求和的長度；(2)求.【解析】（1）是高，，在Rt中，，所以.是中線，，，（2），.另過D作交于，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，，.題型三：向量在物理中的應(yīng)用【典例31】如圖，甲、乙分處河的兩岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小為，且與M的前進(jìn)方向的夾角為，求乙所用的力．

【解析】根據(jù)題意，設(shè)合力，則，且，則，所以，所以，設(shè)，由，得所以，故乙所用的力，與M的前進(jìn)方向夾角的余弦值為．【典例32】（1）如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子上，，，求和處所受力的大小.（忽略繩子重量）（2）一個物體在一個平面內(nèi)受到、、三個力的作用，沿合力方向移動了10米，求合力做的位移和功.其中，方向為北偏東；，方向為北偏東；，方向為北偏西.【解析】（1）設(shè)、處所受力分別為、，的重力用表示，則.以重力作用點(diǎn)為、的始點(diǎn)，作平行四邊形，使為對角線，則，，，則，，∴，∴四邊形為矩形.∴，.∴處受力的大小為，處受力的大小為.（2）如圖，以物體初始位置為原點(diǎn)，以正東方向為軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意可得，，，設(shè)合力為，所以，則，則，所以位移，所做的功為.【方法技巧與總結(jié)】用向量解決物理問題的一般步驟（1）問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．（2）模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型．（3）參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值．（4）問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．【變式31】一條河的兩岸平行，河寬.一艘船從A處出發(fā)航行到河的正對岸B處.航行的速度，水流的速度，水流方向向正東方向，求行駛航程最短時，所用的時間是多少.（結(jié)果精確到0.1min）【解析】若行駛航程最短，則航行方向與河岸垂直，如圖所示，設(shè)該船航行時的速度為，水流的速度為，合速度為，已知，，則，所以.所以行駛航程最短時，所用的時間是3.1min.【變式32】一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點(diǎn)出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸上的點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向.(1)若游船沿到達(dá)北岸點(diǎn)所需時間為，求的大小和的值；(2)當(dāng)時，游船航行到北岸的實際航程是多少？【解析】（1）設(shè)游船的實際速度大小為，由，得，.如圖所示速度合成示意圖，由，得，.所以的大小為的值為.（2）當(dāng)時，設(shè)到達(dá)北岸點(diǎn)所用時間為，作出向量加法示意圖如圖所示，

，則，在Rt中，，從而，因此，故游船的實際航程為.【變式33】一個物體受到同一平面內(nèi)三個力，，的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m，其中，方向為北偏東30°；，方向為北偏東60°；|，方向為北偏西30°．求這三個力的合力所做的功．【解析】如圖所示，以物體的重心為原點(diǎn)，正東方向為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，,,又因為位移，∴合力所做的功(J).∴合力所做的功為J．題型四：平面幾何中的平行（共線）問題【典例41】如圖，已知分別是的三條高，試用向量的方法求證：相交于同一點(diǎn)．【解析】設(shè)交于點(diǎn)，以下只需證明點(diǎn)在上，因為，，所以，.即，，兩式相減，得：即，所以，，又，所以，三點(diǎn)共線，在上．【典例42】如圖，點(diǎn)O是平行四邊形的中心，分別在邊上，且，求證點(diǎn)在同一直線上.【解析】證明：設(shè)，，由，知分別是的三等分點(diǎn)，所以，.所以.又為和的公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在同一直線上.【方法技巧與總結(jié)】利用向量方法可以解決平面幾何中的平行（共線）等問題，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，另一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo)．【變式41】如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)、是線段上的兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)．(1)求的值；(2)求的值；(3)直線分別交線段、于，兩點(diǎn)，若、、三點(diǎn)在同一直線上，求的值．【解析】（1）設(shè)，，，即；（2），，；（3）設(shè)，即，，因為在上，所以，即，，即，即，即，由于，，三點(diǎn)共線，所以，，，設(shè)，則，即，又在上，則，即，，由于，，三點(diǎn)共線，所以，即，所以，.

1．在日常生活中，我們會看到兩個人共提一桶水或者共提一個行李包這樣的情景．假設(shè)行李包或者水桶所受重力為G，作用在行李包或者水桶上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，有最小值 D．越小越費(fèi)力，越大越省力【答案】A【解析】由題意可得，則，解得，對A：當(dāng)時，，故A正確；對B：當(dāng)時，，即，故B錯誤；對于C：對于，因為在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞增，所以越小越省力，越大越費(fèi)力，且無最小值，故CD錯誤；故選：A.2．（多選題）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動時設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列四個選項中，其中正確的是（

）A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變【答案】AC【解析】設(shè)水的阻力為，繩的拉力為，繩與水平方向的夾角為，則，.增大，減小，增大，增大，船的浮力減小.故選：AC.3．（多選題）如圖，正方形的邊長為是中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上任意點(diǎn)；，則下列結(jié)論正確的有（

）A．最大值為1 B．最大值為1C．最大值是2 D．最大值是【答案】ACD【解析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，,，所以，，，由，得，且，,，對于A，當(dāng)時，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選：ACD．4．（多選題）正六邊形ABCDEF的邊長為2，G為正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的值可能為（

）A． B． C．12 D．16【答案】ABC【解析】連接與相交于點(diǎn)，由正六邊形的幾何性質(zhì)，⊥，，正六邊形ABCDEF的邊長為2，故，，故，故點(diǎn)在上的投影為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，此時的投影向量為，與方向相同此時取得最大值，最大值為，故當(dāng)與重合時，的投影向量為，與方向相反，此時取得最小值，最小值為，故，ABC正確，D錯誤.故選：ABC5．（多選題）如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船在靜水中的速度的大小，水流方向為正東方向，其速度的大小為，這艘船到達(dá)河對岸的時間精確到0.1min，采用四舍五入法.則（

）參考數(shù)據(jù)：

A．這艘船到達(dá)河對岸的渡河時間最短時，B．這艘船到達(dá)河對岸的渡河時間最短為3minC．這艘船到達(dá)河對岸的渡河時間最短為3.1minD．這艘船到達(dá)河對岸的航程最短時，渡河時間最短【答案】AB【解析】對于A：設(shè)與的夾角為，船行駛的時間為，，當(dāng)為鈍角時，當(dāng)為銳角時，當(dāng)為直角時，則當(dāng)為鈍角時，，當(dāng)為銳角時，，所以當(dāng)船垂直于對岸行駛，即，所用時間最短，故A正確；對于B：由A可知，這艘船到達(dá)河對岸的渡河時間最短為，故B正確，C錯誤；對于D：設(shè)點(diǎn)是河對岸一點(diǎn)，與河岸垂直，那么當(dāng)這艘船實際沿著方向行駛時，船的航程最短，由下圖可知，設(shè)，則，此時，船的航行時間，故D錯誤；故選：AB6．（多選題）在正方形中，，點(diǎn)E滿足，則下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．存在t，使得 D．的最小值為2【答案】BC【解析】由題可以A為原點(diǎn)，AB、AD分別為和軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則由題意，故，對于A，當(dāng)時，則由可知，所以，又，故，故A正確；對于B，當(dāng)時，則由可知，所以，，所以，故B錯誤；對于C，由可得，故，，則，故不存在t，使得，故C錯誤；對于D，由C得，故，又，故當(dāng)時，取得最小值為，故D正確.故選：BC.7．在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足若設(shè)，則可用表示為；若，則．【答案】【解析】由E是線段CD的中點(diǎn)，，可得，，則，則，所以；由題意知，，，，，則.故答案為：；.8．已知平面向量，其中為單位向量．若與的夾角為，記為的最小值，則的最大值是．【答案】【解析】令，，，為單位向量．，則，由于與的夾角為，所以，，故不妨取，，四點(diǎn)共圓情況，,外接圓的直徑為，在優(yōu)弧上，，表示起點(diǎn)為，終點(diǎn)在直線上的向量，由于，到的距離為，設(shè)到的最大距離為由于為的最小值，則當(dāng)時最小，故的最大值為，此時過圓心且故答案為：．9．若平面上的三個力作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知，且與的夾角為，則與的夾角為．【答案】【解析】如圖以和的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，以的方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，因為且與的夾角為，可得，所以．因為三個力作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)，所以，即，則，所以．設(shè)與的夾角為，則．因為，所以，所以與的夾角為．故答案為：.10．如圖，一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行．已知船的速度大小為，水流速度的大小為，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程共需要時間．【答案】【解析】當(dāng)實際速度垂直于河岸，船的航程最短．設(shè)實際速度、船速、水流速度分別為、、，如圖，，已知，則，河寬，所以，船的航行時間．所以，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要．故答案為：.11．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓E（正方形ABCD內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為.【答案】【解析】因為正方形的邊長為2，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在點(diǎn)或點(diǎn)時，，當(dāng)在弧中點(diǎn)時，，所以的取值范圍為，因為，，所以，因為，所以，故，所以，即的取值范圍為0,4.故答案為：0,4.12．邊長為4的正方形，點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界），滿足，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，則的最小值為.【答案】【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，根據(jù)題意可得：，，，，設(shè)為，則，，，因為，所以，，，，所以，易知線段方程為：，，，因為點(diǎn)在上，所以，，，所以，，，所以，，，，，則，當(dāng)時取得最小值為.故答案為：13．如圖所示，的頂點(diǎn)是我國在南海的三個戰(zhàn)略島嶼，各島嶼之間建有資源補(bǔ)給站在圖中的D，E，F(xiàn)上，島嶼到補(bǔ)給站的距離為島嶼到的，島嶼和島嶼到補(bǔ)給站的距離相等，補(bǔ)給站在靠近島嶼的BC的三等分點(diǎn)上，設(shè)．

(1)用表示；(2)從島嶼望島嶼和島嶼成