第05講624向量的數(shù)量積（知識清單10類熱點題型講練分層強化訓(xùn)練）

第05講6.2.4向量的數(shù)量積課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功。②掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量。③會計算平面向量的數(shù)量積。④會利用向量數(shù)量積的有關(guān)運算律進(jìn)行計算或證明。1.通過閱讀課本在向量前面知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功；2.理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義；3.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的意義，為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量數(shù)量積打好基礎(chǔ)；4.平面向量是數(shù)量積運算是平面向量運算的核心，對于提升數(shù)學(xué)運算能力，和邏輯推理能力有著十分重要的作用；5.熟練運用會利用向量數(shù)量積的有關(guān)運算律進(jìn)行計算或證明，以及實際應(yīng)用有著十分重要的作用.知識點01：平面向量數(shù)量積的物理背景如圖,一個物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移s,且力F與位移s的夾角為，那么力F所做的功.其中是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量,也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.從物理角度來看數(shù)量積的意義,有利于理解數(shù)量積的概念,兩個向量的數(shù)量積可以運算,其結(jié)果是一個數(shù)量.知識點02：向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量,,是平面上的任意一點,作,,則叫做向量與的夾角.(2)向量的夾角范圍.(3)特殊情況：①，與同向；②，與垂直，記作；③，與反向.【即學(xué)即練1】（2324高一下·西藏林芝·期中）已知，，，則與的夾角（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】向量夾角的計算【分析】利用向量的夾角公式直接求解即可.【詳解】因為，，，所以，因為，所以.故選：B知識點03：平面向量數(shù)量積的概念（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積).記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0特別提醒:（1）“·”是數(shù)量積的運算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“×”；(2)數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量,不再是向量；(3)向量數(shù)量積的正負(fù)由兩個向量的夾角決定:當(dāng)是銳角時,數(shù)量積為正；當(dāng)是鈍角時,數(shù)量積為負(fù)；當(dāng)是直角時,數(shù)量積等于零.【即學(xué)即練2】（2324高一下·河南·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為60°，其中，，則（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】C【知識點】平面向量數(shù)量積的定義及辨析【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】.故選：C（2）投影如圖,設(shè),是兩個非零向量,,,作如下變換:過的起點和終點,分別作所在直線的垂線,垂足分別為,,得到,我們稱上述變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.特別提醒:①為向量在上的投影的數(shù)量；②為向量在上的投影的數(shù)量；③投影的數(shù)量（）是一個值，不是向量.【即學(xué)即練3】（2425高二上·四川內(nèi)江·開學(xué)考試）已知向量，滿足，，且，的夾角為，則向量在向量方向上的投影向量的模為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求投影向量【分析】根據(jù)投影向量的知識求得正確答案.【詳解】向量在向量方向上的投影向量的模為.故選：B知識點4：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè),是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則①.

②.③當(dāng)與同向時,；④當(dāng)與反向時,；⑤或；⑥；⑦.知識點5：向量數(shù)量積的運算律①交換律：②對數(shù)乘的結(jié)合律：③分配律：④⑤題型01平面向量數(shù)量積有關(guān)的定義及辨析【典例1】（2324高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知識點】平面向量數(shù)量積的定義及辨析【分析】由零向量、向量數(shù)乘、數(shù)量積等概念和性質(zhì)，即可判斷正誤，進(jìn)而確定答案.【詳解】零向量與任何向量的數(shù)量積都為0，故①錯誤；0乘以任何向量都為零向量，故②正確；向量的加減、數(shù)乘滿足結(jié)合律，而向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故③錯誤；不一定有，如滿足條件，結(jié)論不成立，故④錯誤；故選：A【典例2】（多選）（2324高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）下面給出的關(guān)系式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知識點】平面向量數(shù)量積的定義及辨析、用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運算律【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積定義及運算性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】因為數(shù)與向量相乘為向量，所以，故正確；向量的數(shù)量積滿足交換律，所以，故正確；根據(jù)數(shù)量積定義知，數(shù)量積為一實數(shù)，所以為，表示與共線的向量，而為，表示與共線的向量，所以不一定成立，故錯誤；根據(jù)數(shù)量積定義知，故正確；故選：.【變式1】（2324高二下·福建泉州·期末）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．【答案】B【知識點】平行向量（共線向量）、平面向量數(shù)量積的定義及辨析、數(shù)量積的運算律、垂直關(guān)系的向量表示【分析】利用向量垂直及數(shù)量積的定義可判斷A，根據(jù)平面向量數(shù)乘的分配律即可判斷B，利用數(shù)量積的定義可判斷CD．【詳解】對于A，若和，都垂直，顯然，至少在模的方面沒有特定關(guān)系，所以命題不成立；對于B，這是平面向量數(shù)乘的分配律，顯然成立；對于C，若，則，，而與不一定相等，所以命題不成立；對于D，與分別是一個和，共線的向量，顯然命題不一定成立．故選：B．【變式2】（多選）（2324高一下·四川樂山·期末）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．若，，則 D．，則【答案】BD【知識點】平面向量數(shù)量積的定義及辨析、平面向量數(shù)量積的幾何意義、數(shù)量積的運算律【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及定義判斷即可.【詳解】對于A：表示與共線的一個向量，表示與共線的一個向量，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：因為，即，又，所以，即向量與在向量方向上的投影相同，故C錯誤；對于D：若，則，即，所以，則，故D正確；故選：BD題型02平面向量數(shù)量積的幾何意義【典例1】（2324高一下·云南麗江·期中）在平行四邊形中，過點作的垂線，垂足為，且，則.【答案】【知識點】向量加法法則的幾何應(yīng)用、平面向量數(shù)量積的定義及辨析【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運算法則和向量的數(shù)量積的幾何意義，即可求解.【詳解】如圖所示，在平行四邊形中，連接，交于點，則.故答案為：.【典例2】（2324高三上·湖北荊門·階段練習(xí)）如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動點（含端點）則的取值范圍為（

）

A． B．C． D．【答案】C【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合已知圖形得出的最值，再利用數(shù)量積即可求出.【詳解】，由投影的定義知，結(jié)合圖形得，當(dāng)過P的直線與半圓弧相切于P點且平行于BC時，最大為，此時；當(dāng)P在C或B點重合時，最小為，此時∴故選：C【變式1】（2324高一下·北京·階段練習(xí)）如圖，在圓C中弦AB的長度為6，則．【答案】18【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義、用定義求向量的數(shù)量積【分析】取線段AB的中點D，得，利用向量數(shù)量積的運算，結(jié)合解直角三角形，求得．【詳解】取線段AB的中點D，得，所以.所以．故答案為：18．【變式2】（2324高一下·河南濮陽·階段練習(xí)）如圖，已知網(wǎng)格小正方形的邊長為1，點是陰影區(qū)域內(nèi)的一個動點（包括邊界），O，A在格點上，則的取值范圍是.【答案】【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義、用定義求向量的數(shù)量積【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義求解.【詳解】，即的等于與在方向上的投影的乘積，，結(jié)合圖形可知，所以的取值范圍為.故答案為：.題型03用定義法求向量數(shù)量積【典例1】（2425高二上·重慶·階段練習(xí)）已知兩個單位向量，的夾角為，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】A【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運算律【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為兩個單位向量，的夾角為，所以，所以.故選：A【典例2】（2425高二上·廣東潮州·開學(xué)考試）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深刻的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則.

【答案】/【知識點】用定義求向量的數(shù)量積【分析】連接，則，根據(jù)給定條件及正八邊形的特征，利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】在正八邊形中，連接，則，

而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故答案為：【典例3】（2324高一·上?！ふn堂例題）在中，，，．求．【答案】【知識點】用定義求向量的數(shù)量積【分析】先由已知求出，再根據(jù)數(shù)量積定義即可計算求解.【詳解】因為，所以，又，，所以.【變式1】（2425高三上·廣東·開學(xué)考試）已知等邊三角形的邊長為1，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】用定義求向量的數(shù)量積【分析】利用向量的數(shù)量積定義即可求解.【詳解】因為等邊三角形的邊長為1，所以.故選：D.【變式2】（2324高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）向量，滿足，，向量與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運算律【分析】由條件根據(jù)數(shù)量積的定義求，再結(jié)合數(shù)量積的運算律求.【詳解】因為，，向量與的夾角為，所以，所以.故選：A.【變式3】（2425高三上·上海松江·階段練習(xí)）若向量與的夾角為，，，則．【答案】1【知識點】用定義求向量的數(shù)量積【分析】利用向量數(shù)量積的定義，代入公式計算即可.【詳解】若向量與的夾角為，，，則，故答案為：1.題型04已知數(shù)量積求?！镜淅?】（2324高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求模【分析】先由數(shù)量積的定義求出，再由模的平方運算代入數(shù)量積求解可得.【詳解】∵，，且與的夾角為，∴，∴，故．故選：A.【典例2】（2425高三上·北京·階段練習(xí)）已知向量滿足與的夾角為，則．【答案】【知識點】已知數(shù)量積求?！痉治觥坑深}，先求得的值，再求得，最后開方可得答案.【詳解】，故答案為:【典例3】（2324高一下·陜西西安·期中）已知，是兩個單位向量，且與的夾角為(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求模、數(shù)量積的運算律【分析】（1）利用數(shù)量積的定義直接求解即可；（2）結(jié)合數(shù)量積的運算律，利用向量模的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因為，是兩個單位向量，且與的夾角為，所以；（2）.【變式1】（2425高二上·北京延慶·階段練習(xí)）向量滿足與的夾角為，則．【答案】2【知識點】已知數(shù)量積求?！痉治觥肯惹螅纯傻媒?【詳解】，所以.故答案為：2.【變式2】（2324高一下·吉林長春·階段練習(xí)）已知向量與的夾角，且，，則．【答案】【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、已知數(shù)量積求?！痉治觥坑深}意先求出，再由向量模長公式即可求解.【詳解】由題，所以.故答案為：.【變式3】（2324高一下·江蘇無錫·期末）已知向量的夾角為，且，則.【答案】1【知識點】數(shù)量積的運算律、已知數(shù)量積求模、用定義求向量的數(shù)量積【分析】先利用向量數(shù)量積運算法則計算出，從而得到模長.【詳解】，故故答案為：1題型05向量夾角問題【典例1】（2324高一下·福建龍巖·階段練習(xí)）已知，是夾角為60°的兩個單位向量，設(shè)向量，，則與夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】向量夾角的計算、數(shù)量積的運算律、已知數(shù)量積求?！痉治觥坑嬎愠觯?，計算出，得到答案.【詳解】，其中，故，，故，所以，所以與夾角為.故選：C【典例2】（2324高一下·山東臨沂·期末）已知非零向量，滿足，且在方向的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】向量夾角的計算、數(shù)量積的運算律、垂直關(guān)系的向量表示、求投影向量【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示可得，再利用投影向量的意義求出，進(jìn)而求出向量夾角.【詳解】由，得，則，由在方向的投影向量是，得，因此，則，又，，所以與的夾角是.故選：C【典例3】（2425高三上·山東聊城·階段練習(xí)）已知非零向量滿足，則與的夾角為．【答案】【知識點】數(shù)量積的運算律、向量夾角的計算【分析】借助向量數(shù)量積公式與夾角公式計算即可得.【詳解】由，故，，又，故.故答案為：.【變式1】（2425高二上·寧夏固原·開學(xué)考試）已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】向量夾角的計算【分析】利用向量的夾角公式直接求解即可.【詳解】因為，所以.故選：C【變式2】（2425高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知為單位向量，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】數(shù)量積的運算律、向量夾角的計算【分析】根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運算律，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)與的夾角為，因為，即，解得，因為，所以．故選：D.【變式3】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若單位向量滿足，則的夾角為．【答案】【知識點】向量夾角的計算、數(shù)量積的運算律、垂直關(guān)系的向量表示【分析】借助平面向量數(shù)量積公式計算即可得.【詳解】由題意可得，故，由，故.故答案為：.題型06向量垂直關(guān)系【典例1】（2425高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知為單位向量，且則夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】數(shù)量積的運算律、向量夾角的計算、垂直關(guān)系的向量表示【分析】根據(jù)，得到，將等式展開由平面向量數(shù)量積的定義即可得到答案.【詳解】設(shè)的夾角為，因為，為單位向量，所以，所以.故選：B.【典例2】（2425高三上·云南·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，若，則實數(shù)．【答案】/【知識點】數(shù)量積的運算律、垂直關(guān)系的向量表示【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運算律計算即得.【詳解】由，得，即，而，，則，所以.故答案為：【典例3】（2324高一下·四川瀘州·階段練習(xí)）如圖，在中，已知P為線段AB上的一點，，，且與的夾角為．

(1)若，求；(2)若，且，求實數(shù)λ的值．【答案】(1)(2)【知識點】已知數(shù)量積求模、垂直關(guān)系的向量表示、用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運算律【分析】（1）先求出，再用中線的向量表達(dá)式，結(jié)合數(shù)量積計算即可；（2）運用垂直的向量結(jié)論，再結(jié)合基底，運算即可.【詳解】（1）由已知，，夾角為，可得．因為，所以可得．所以；（2）因為，則，所以.【變式1】（2425高三上·浙江·階段練習(xí)）已知非零向量，，則“”是“向量”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識點】充要條件的證明、數(shù)量積的運算律、垂直關(guān)系的向量表示【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及數(shù)量積的運算律判斷即可.【詳解】因為，為非零向量，若，則，則，所以，所以，故充分性成立；若，則，所以，所以，則，故必要性成立；所以“”是“向量”的充要條件.故選：C．【變式2】（2024·湖北·一模）已知平面向量滿足，且，則.【答案】【知識點】已知數(shù)量積求模、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運算律【分析】由向量數(shù)量積的運算律和向量垂直的表示直接計算即可得解.【詳解】因為，所以，則，所以.故答案為：.【變式3】（2425高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）若，，與的夾角為，且，則的值為．【答案】【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的運算律【分析】由及數(shù)量積的運算即可求解.【詳解】因為，，與的夾角為，則，若，則,可得，即，解得.故答案為：.題型07已知模求數(shù)量積【典例1】（2425高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知向量，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】已知模求數(shù)量積、數(shù)量積的運算律【分析】利用平面向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】由得，兩式相減得，，所以，則.故選：A.【典例2】（2425高二上·湖北宜昌·階段練習(xí)）已知向量滿足，則的夾角為．【答案】【知識點】已知模求數(shù)量積、向量夾角的計算【分析】由題意得，根據(jù)夾角的余弦值公式結(jié)合的夾角范圍即可求解.【詳解】因為，則，又，，可得，，.故答案為：.【典例3】（2324高一·上?！ふn堂例題）設(shè)向量、滿足，，，分別求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】數(shù)量積的運算律、已知模求數(shù)量積【分析】（1）由兩邊平方即可求解；（2）利用平面向量數(shù)量積公式即可求解.【詳解】（1）因為，所以，解得；（2）.【變式1】（2425高三上·湖南·階段練習(xí)）已知向量，滿足，，則（

）A．3 B． C．1 D．【答案】D【知識點】數(shù)量積的運算律、已知模求數(shù)量積【分析】由已知得，，進(jìn)而兩式作差并整理即可得答案.【詳解】因為向量，滿足，，所以，，即，①，

②所以，得：，即，所以.故選：D【變式2】（2324高二下·貴州畢節(jié)·期末）若平面內(nèi)三點O，M，N滿足，，，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【知識點】數(shù)量積的運算律、向量加法的法則、已知模求數(shù)量積【分析】由題意可知：，根據(jù)模長公式結(jié)合數(shù)量積的運算律分析求解.【詳解】因為，則，即，解得.故選：B.【變式3】（2324高一下·貴州貴陽·期末）已知向量滿足，則.【答案】【知識點】數(shù)量積的運算律、已知數(shù)量積求模、已知模求數(shù)量積【分析】根據(jù)已知模長應(yīng)用數(shù)量積的運算律計算即可.【詳解】因為，所以，又因為，所以所以.故答案為：.題型08已知模求參數(shù)【典例1】（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知向量的夾角為，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】已知模求參數(shù)、垂直關(guān)系的向量表示【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算公式結(jié)合已知直接計算即可.【詳解】因為，所以，即，因為，向量的夾角為，所以，所以，即.故選：A.【典例2】（2324高一下·湖北宜昌·期中）已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】數(shù)量積的運算律、解正弦不等式、已知模求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】，結(jié)合題意得，結(jié)合即得解.【詳解】，因為，所以，又，所以．故選：B．【典例3】（2324高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面中三個向量、、的模均為2，它們相互之間的夾角均為120°．(1)求證：向量垂直于向量；(2)向量在上的投影向量；(3)已知（），求k的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【知識點】垂直關(guān)系的向量表示、用定義求向量的數(shù)量積、求投影向量、已知模求參數(shù)【分析】（1）運用向量的數(shù)量積運算律和定義式計算推理即得；（2）根據(jù)向量在上的投影向量的定義式，代入相關(guān)量計算即得；（3）由向量的模的定義將題設(shè)不等式展開，代入已知量，解不等式即得.【詳解】（1）因為，且、、之間的夾角均為120°，所以，所以向量垂直于向量．（2）因，，向量在上的投影向量.（3）由，得，得，所以，因為，代入上式，得，解得或．故k的取值范圍為．【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知平面向量，滿足，，，則實數(shù)k的值為（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】A【知識點】已知模求參數(shù)、數(shù)量積的運算律【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運算律求解即得.【詳解】將兩邊同時平方，得，而，，，因此，即依題意，又，所以.故選：A【變式2】（2425高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知單位向量，滿足，且，則正數(shù)的值為.【答案】【知識點】已知模求參數(shù)、數(shù)量積的運算律【分析】由數(shù)量積的定義求出，再對兩邊同時平方代入化簡即可得出答案.【詳解】因為，是單位向量，且，所以，所以，所以，解得：或.則正數(shù)的值為.故答案為：.【變式3】（2324高一下·浙江嘉興·期末）已知平面向量，且.(1)求與的夾角的值；(2)當(dāng)取得最小值時，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【知識點】數(shù)量積的運算律、已知模求參數(shù)、向量夾角的計算【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運算律及向量的夾角公式求解即可；（2）根據(jù)向量模長的公式及數(shù)量積的運算律得，然后利用一元二次函數(shù)求解最值.【詳解】（1）由，，可得，又，所以，又，所以；（2）因為，，所以，所以的最小值為，此時.題型09向量的投影【典例1】（2425高二上·安徽·開學(xué)考試）已知平面向量和滿足在上的投影向量為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】數(shù)量積的運算律、求投影向量【分析】根據(jù)在上的投影向量公式可求得，從而可求解.【詳解】因為在上的投影向量為，所以，則在上的投影向量為.故A正確.故選：A.【典例2】（2425高二上·云南大理·開學(xué)考試）已知向量滿足，則在方向上的投影向量為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【知識點】求投影向量【分析】根據(jù)投影向量的定義，列出公式，計算可得答案.【詳解】因為，所以.根據(jù)投影向量的定義可知：在方向上的投影向量為.故選：C.【典例3】（2425高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）在中，是邊上的一點，且滿足，則在方向上的投影向量是（用表示）【答案】【知識點】平面向量數(shù)量積的定義及辨析、求投影向量、平面向量數(shù)量積的幾何意義【分析】由數(shù)量積的運算公式可以得到，再根據(jù)題中條件得到,最后利用投影向量的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，則，又，則，又，則，即，故，又向量在方向上的投影向量是，故答案為：.【變式1】（2324高一下·吉林·期中）已知向量，滿足，且，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】已知模求數(shù)量積、求投影向量【分析】根據(jù)已知條件利用模的平方求出數(shù)量積，再結(jié)合投影向量的定義即可求解.【詳解】由已知，且，則，解得，故在上的投影向量是＝.故選：B.【變式2】（2324高一下·黑龍江哈爾濱·期中）已知平面向量，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求投影向量【分析】利用投影向量的定義計算可得答案.【詳解】因為向量，所以向量在上的投影向量為.故選：D.【變式3】（2425高二上·廣西柳州·開學(xué)考試）已知向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求投影向量【分析】根據(jù)投影向量的計算公式，結(jié)合已知條件，直接求解即可.【詳解】由題可知：，故在方向上的投影向量為.故選：B.題型10利用平面向量數(shù)量積求最值（范圍）【典例1】（2324高一下·福建福州·期末）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形的邊長為，點是正八邊形的內(nèi)部（包含邊界）任一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義、用定義求向量的數(shù)量積【分析】延長交于點，延長交于點，轉(zhuǎn)化為求的最值，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得的范圍．【詳解】延長交于點，延長交于點，如圖所示：根據(jù)正八邊形的特征，可知，又，所以，，則的取值范圍是.故選：B.【典例2】（2324高一下·江蘇蘇州·期末）如圖，在等腰直角中，，，為的中點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)得到線段設(shè)為線段上的點，則的最小值為．【答案】【知識點】向量與幾何最值、數(shù)量積的運算律、用定義求向量的數(shù)量積【分析】引入?yún)?shù)，利用向量數(shù)量積的運算律將所求式子表示為的函數(shù)即可求解.【詳解】連接，，，因為，為，的中點，所以四邊形為矩形，則，，．設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為．故答案為：.【變式1】（2324高一下·海南·期末）如圖，正六邊形的邊長為1，點為其中心，點在邊和（包含端點）上運動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、向量減法的法則、向量加法的法則【分析】根據(jù)向量加減法的平行四邊形和三角形法則，得，再由數(shù)量積的定義可知，的最值.【詳解】因為，所以，由題意得，，設(shè)與的夾角為，則，當(dāng)點在點處時，取得最小值為，當(dāng)點在點處時，取得最大值為，所以的取值范圍是.故選：A.【變式2】（2324高一下·上?！て谀┍本┒瑠W會開幕式上的“雪花”元素驚艷了全世界（如圖②），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形（如圖①）.已知這個正六邊形的邊長為1，且P是其內(nèi)部一點（包含邊界），則的取值范圍是.【答案】【知識點】用定義求向量的數(shù)量積【分析】由的幾何意義表示向量在方向上的投影乘以，在借助圖像可知當(dāng)點在C點處時，有最大值，由此即可求出答案.【詳解】，幾何意義表示向量在方向上的數(shù)量投影乘以，由圖可知：當(dāng)點P在點C處時，有最大值，此時，，所以的最大值是.，所以取值范圍為.故答案為：.A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2425高三上·上?！ら_學(xué)考試）設(shè)、是非零向量，則“”是“為銳角”的（

）條件.A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要【答案】C【知識點】判斷命題的必要不充分條件、用定義求向量的數(shù)量積【分析】先考慮必要性，再考慮充分性可得解.【詳解】當(dāng)“為銳角”時，，所以“”是“為銳角”的必要條件；當(dāng)時，，所以“”是“為銳角”的不充分條件.所以“”是“為銳角”的必要不充分條件.故選：C.2．（2425高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）若，，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】向量夾角的計算【分析】根據(jù)向量垂直列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運算以及向量夾角的知識求得正確答案.【詳解】因為，所以，由于，所以，由于，所以.故選：B3．（2024高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【知識點】已知數(shù)量積求模、已知模求數(shù)量積【分析】將分別進(jìn)行平方，借助的值聯(lián)系起它們的關(guān)系，從而求解.【詳解】由題知，，則，，則.故選：A4．（2425高一下·全國·隨堂練習(xí)）已知，，與的夾角為，則向量在方向上的投影數(shù)量為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【知識點】平面向量數(shù)量積的幾何意義【分析】根據(jù)給定條件，利用投影的意義求解即得.【詳解】向量，，與的夾角為，所以向量在方向上的投影數(shù)量為.故選：A5．（2425高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，已知是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個格點，點為平面外一點，且，，若，則（

）

A． B． C．6 D．【答案】D【知識點】向量加法的法則、已知數(shù)量積求?！痉治觥坑上蛄康木€性運算用表示出，再用模長公式得結(jié)果.【詳解】∵，∴，則所以．故選：D．6．（2425高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知，為單位向量，且在上的投影向量為，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】D【知識點】已知數(shù)量積求模、求投影向量【分析】先確定與的夾角，再求，進(jìn)而可解出.【詳解】解：因為在上的投影向量為，所以與的夾角為，所以，所以，所以.故選：D．7．（2425高二上·黑龍江大興安嶺地·開學(xué)考試）若，且，則和的夾角是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】向量夾角的計算【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得正確答案.【詳解】設(shè)的夾角為，由于，所以，所以，由于，所以.故選：B8．（2425高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】數(shù)量積的運算律、向量夾角的計算【分析】由條件先求得，再由向量夾角公式即可求解.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故選:A二、多選題9．（2324高一下·山東泰安·階段練習(xí)）設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【知識點】向量數(shù)乘的有關(guān)計算、用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運算律、垂直關(guān)系的向量表示【分析】選項A，利用數(shù)乘向量的定義知，，即可求解；選項B，由數(shù)乘向量及數(shù)量積的定義，即可求解；選項C，由數(shù)量積的定義即可求解；選項D，利用向量數(shù)量積的運算律，即可判斷出選項D的正誤.【詳解】對于A，因為，故A錯誤，對于B，因為表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，故B錯誤，對于C，因為，則，故C正確，對于D，由數(shù)量積的運算知，故D正確.故選：AB.10．（2024·安徽安慶·三模）已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．在方向上的投影向量為C．若，則 D．若，則【答案】AB【知識點】數(shù)量積的運算律、已知數(shù)量積求模、垂直關(guān)系的向量表示【分析】對于A,只需驗證和的數(shù)量積是否為0即可;對于B,在方向上的投影向量表示為;對于C,先求平方，再利用數(shù)量積即可求夾角;對于D,對式子進(jìn)行化簡，進(jìn)而判斷.【詳解】對于A，因為，是單位向量，所以，所以，故A正確；對于B，因為，是單位向量，所以在方向上的投影向量為，故B正確；對于C，因為，所以，又因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，所以，故D錯誤；故選：AB．三、填空題11．（2425高三上·山東聊城·階段練習(xí)）已知非零向量滿足，則與的夾角為．【答案】【知識點】數(shù)量積的運算律、向量夾角的計算【分析】借助向量數(shù)量積公式與夾角公式計算即可得.【詳解】由，故，，又，故.故答案為：.12．（2425高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知單位向量，滿足，且，則正數(shù)的值為.【答案】【知識點】數(shù)量積的運算律、已知模求參數(shù)【分析】由數(shù)量積的定義求出，再對兩邊同時平方代入化簡即可得出答案.【詳解】因為，是單位向量，且，所以，所以，所以，解得：或.則正數(shù)的值為.故答案為：.四、解答題13．（2425高二上·安徽阜陽·開學(xué)考試）已知平面向量，，，，且與的夾角為．(1)求和的值；(2)若與垂直，求λ的值．【答案】(1)，(2)【知識點】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運算律、已知數(shù)量積求模、利用向量垂直求參數(shù)【分析】（1）由向量數(shù)量積的定義求出，再利用向量數(shù)量積