第十章概率講核心02（原卷版）

講核心1、基本事件個數(shù)的確定方法（1）列舉法：此法適合于基本事件個數(shù)較少的古典概型；（2）列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成坐標法；（3）樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉一種常用方法，適用于有順序的問題及較復雜問題中基本事件數(shù)的探求；2、求解古典概型的概率“四步”法3、解決有序和無序問題應注意兩點（1）關(guān)于不放回抽樣，計算樣本點個數(shù)時，既可以看做是有順序的，也可以看做是無順序的，其最后結(jié)果是一致的．但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產(chǎn)生錯誤．（2）關(guān)于有放回抽樣，應注意在連續(xù)取出兩次的過程中，因為先后順序不同，所以（a1，b），（b，a1）不是同一個樣本點．解題的關(guān)鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產(chǎn)品被取出的機會都是均等的．（一）概率計算【例題】1.在由1、2、3組成的不多于三位的自然數(shù)（可以有重復數(shù)字）中任意取一個，正好抽出兩位自然數(shù)的概率是______.2.已知甲袋中有2個白球、3個紅球、5個黑球；乙袋中有4個白球、3個紅球、3個黑球，各個球的大小與質(zhì)地相同．若從兩袋中各取一球，則2個球顏色不同的概率為_____．【練習題】3.盲盒是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒子．已知某盲盒產(chǎn)品共有種玩偶，小明依次購買個盲盒，則他能集齊這種玩偶的概率是（）A. B. C. D.4.一個籠子里有只白兔，只灰兔，現(xiàn)讓它們一一跑出籠子，假設每一只跑出籠子的概率相同，則先跑出籠子的兩只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（）A. B. C. D.5.為了活躍網(wǎng)課氣氛，某老師安排甲乙兩同學玩錘頭?剪刀?布的猜拳游戲，贏了的同學要講一個數(shù)學小故事，假設兩人都隨機出拳，共進行兩次游戲，則第一次游戲甲不講故事的概率為__________，兩次游戲甲乙恰好各講了一個數(shù)學小故事的概率為__________．（二）有放回抽樣與無放回抽樣【例題】6.一個口袋中有5個紅球，6個黃球，除了顏色外其他沒有區(qū)別．求：（1）若不放回的抽取兩球，均為紅球的概率；（2）若放回的抽取兩球，均不是紅球的概率．【練習題】7.一個信箱里裝有標號為1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后隨機地選取2封信，根據(jù)下列條件，分別求2封信上的數(shù)字為不相鄰整數(shù)的概率.（1）信的選取是無放回的；（2）信選取是有放回的.8.一個盒中裝有編號分別為1，2，3，4的四個形狀大小和質(zhì)地完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，求“取出的兩球編號之和大于4”的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號x，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號y，求事件“”發(fā)生的概率.9.某商場做促銷活動，顧客每購滿100元可抽獎一次．在一個口袋內(nèi)裝有除顏色外其余完全相同的5個小球，其中3個紅球、1個黑球、1個黃球．某顧客購滿100元，可抽獎一次．（1）若從中依次不放回地取出2個球，取出的球中有黃球，則送一件價值10元的禮品，求這位顧客能獲得一件價值10元的禮品的概率；（2）若從口袋中連續(xù)取兩次球，每次取1個球后放回，當取出的2個球中沒有紅球時，送一件價值50元的禮品，問這位顧客獲得一件價值50元的禮品的可能性會超過20%嗎？10.一個盒中裝有紅、白兩種顏色的玻璃球，其中紅球3個，白球2個．（1）若一次從盒中隨機取出2個玻璃球，求至少取到一個白色球的概率；（2）依次從盒中隨機取球，每次取一個，取后不放回．當某種顏色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是紅色玻璃球的概率．【易錯題小練習】11.袋中共有4個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、1個白球和2個黑球.從袋中任取兩球，則兩球顏色為一白一黑的概率為______；12.一只口袋裝有形狀大小都相同的只小球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中隨機摸出只球，試求（1）只球都是紅球的概率（2）只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”概率的幾倍？1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：（1）首先確定各事件之間是相互獨立的；（2）確定這些事件可以同時發(fā)生；（3）求出每個事件的概率，再求積．2．使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生．（一）相互獨立事件的判斷【例題】13.已知下列各組事件：①擲一次骰子，事件A：點數(shù)為奇數(shù)，事件B：點數(shù)為偶數(shù)；②擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：兩次正面都朝上；③從10男10女中選兩個人分別擔任正副班長，事件A：正班長是男的，事件B：副班長是男的；④擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．其中A、B是獨立事件的序號是______.14.若，，，則事件A與B關(guān)系是（）A.互斥但不對立 B.對立C.相互獨立 D.既互斥又獨立【練習題】15.同時擲紅、藍兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”，則（）A.A與C互斥 B.B與D對立 C.A與相互獨立 D.B與C相互獨立16.袋中裝有質(zhì)地均勻的紅、白色球各一個，每次取一個，有放回地抽取兩次，設事件“第一次取到紅球”，事件“第二次取到紅球”，下列說法正確的是（）A.與為對立事件 B.C.與相互獨立 D.與為互斥事件17.某商場推出抽獎活動，在甲抽獎箱中有四張有獎獎票.六張無獎獎票；乙抽獎箱中有三張有獎獎票，七張無獎獎票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎箱中中獎的事件，B表示在乙抽獎箱中中獎的事件，C表示兩次抽獎均末中獎的事件.下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.事件A與事件相互獨立C.與和為 D.事件A與事件B互斥（二）相互獨立事件概率的計算【例題】18.已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：（1）甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；（2）甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；（3）甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．19.已知某著名高校今年綜合評價招生分兩步進行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進入第二步面試；若材料初審合格，則進入第二步面試．只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評價的錄取資格，且材料初審與面試之間相互獨立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報名參加該高校的綜合評價，假設甲、乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是，，，面試合格的概率分別是，，．（1）求甲考生獲得該高校綜合評價錄取資格的概率；（2）求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評價錄取資格的概率；（3）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評價錄取資格的概率．【練習題】20.已知甲運動員的投籃命中率為0.8，乙運動員投籃命中率為0.7，甲、乙各投籃一次．設事件A為“甲投中”，事件B為“乙投中”．（1）求甲、乙二人中恰有一人投中的概率；（2）求甲、乙二人中至少有一人投中概率．21.某中學為了豐富學生的業(yè)余生活，開展了一系列文體活動，其中一項是同學們最感興趣的3對3籃球?qū)官悾F(xiàn)有甲、乙兩隊進行比賽，已知甲隊每場獲勝的概率為，且各場比賽互不影響．（1）若采用三局兩勝制進行比賽（即先勝兩局者贏得比賽，同時比賽結(jié)束），求甲隊獲勝的概率；（2）若采用五局三勝制進行比賽（即先勝三局者贏得比賽，同時比賽結(jié)束），求乙隊在第四場比賽后即獲得勝利的概率．22.某停車場臨時停車按停車時長收費，收費標準為每輛汽車一次停車不超過半小時的免費，超過半小時的部分每小時收費3元（不足1小時的部分按1小時計算）.現(xiàn)有甲?乙兩人在該停車場臨時停車，兩人停車時長互不影響且都不超過2.5小時.（1）若甲停車的時長在不超過半小時，半小時以上且不超過1.5小時，1.5小時以上且不超過2.5小時這三個時段的可能性相同，乙停車的時長在這三個時段的可能性也相同，求甲?乙兩人停車付費之和為6元的概率；（2）若甲?乙停車半小時以上且不超過1.5小時的概率分別為，，停車1.5小時以上且不超過2.5小時的概率分別為，，求甲?乙兩人臨時停車付費不相同的概率.【例題】23.某校高一年級組織學科活動競賽，現(xiàn)隨機抽取了100名學生進行成績統(tǒng)計，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為：、、、、、．（1）求a的值及這100名學生成績的眾數(shù)；（2）若采用分層抽樣的方法，從成績在和內(nèi)的學生中共抽取7人，查看他們的答題情況來分析知識點上的缺漏，再從中隨機選取2人進行調(diào)查分析，求這2人中恰好有1人成績在內(nèi)的概率．【練習題】24.從某網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：、、…、，并整理得到如下的頻率分布直方圖．（1）從該網(wǎng)絡平臺推薦的影視作品中隨機抽取1部，估計評分不小于90分的概率；（2）用分層抽樣的方式從評分不小于90分的影視作品中隨機抽取5部作為樣本，設x為評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量，求x的值；（3）從（2）得到的樣本中隨機抽取2部影視作品提供給學生寒假觀看，求兩部影視作品的評分都在區(qū)間的概率．25.某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教育活動，為統(tǒng)計全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動的時間，從全區(qū)的黨員干部中隨機抽取n名，獲得了他們一周參與主題教育活動時間(單位：h)的頻率分布直方圖如圖所示，已知參與主題教育活動時間在內(nèi)的人數(shù)為92.（1）求n的值.（2）以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教育活動時間的平均值以及中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.01).（3）如果計劃對參與主題教育活動時間在內(nèi)的黨員干部給予獎勵，且在內(nèi)的分別評為二等獎和一等獎，那么按照分層抽樣的方法從獲得一、二等獎的黨員干部中選取5人參加社區(qū)義務宣講活動，再從這5人中隨機抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎的概率.26.近年來，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，語、數(shù)、英三門為必考科目，剩下三門為選考科目（物理、化學、生物、政治、歷史、地理）．選考科目采用賦分”，即原始分不直接使用，而是按照學生在本科目考試的排名來劃分等級，并以此打分得到最后的得分，假定某省規(guī)定：選考科目按考生原始分數(shù)從高到低排列，按照占總體15%，35%，35%，13%和2%劃定A、B、C、D、E五個等級，并分別賦分為90分、80分、70分、60分和50分．該省某高中高一（1）班（共40人）進行了一次模擬考試選考科目全考，單科全班排名，（已知這次模擬考試中歷史成績滿分100分）的頻率分布直方圖和地理成績的成績單如下所示，李雷同學這次考試地理70多分．地理成績4044435253536161626364

6571727373737475757676777882838385858586868888899192939396（1）采用賦分制前，求該班同學歷史成績的平均數(shù)與中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果精確到0.01）；（2）采用賦分制后，若李雷同學地理成績的最終得分為80分，那么他地理成績的原始分的所有可能值是多少?（3）若韓梅同學必選歷史，從地理、政治、物理、化學、生物五科中等可能地任選兩科，則她選考科目中包含地理的概率是多少?27.珠算是以算盤為工具進行數(shù)字計算的一種方法，2013年年底聯(lián)合國教科文組織將中國珠算項目列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．算盤的每個檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面的兩顆珠叫“上珠”，下面的5顆叫“下珠”，從最右邊兩檔的14顆算珠中任取1顆，則這一顆是上珠的概率為（）A. B. C. D.28.《易經(jīng)》是中國文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦中陽線之和為的概率（）A. B. C. D.29.據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年，是充分體現(xiàn)我國勞動人民智慧的一種計數(shù)方法．在算籌計數(shù)法中，用一根根同樣長短和粗細的小棍子（用竹子，木頭，獸骨，象牙，金屬等材料制成）以不同的排列方式來表示數(shù)字，如果用五根小木棍隨機擺成圖中的兩個數(shù)（小木棍全部用完），那么這兩個數(shù)的和不小于9的概率為________________．30.洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源．在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖形，結(jié)構(gòu)是“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)”．其各行各列及對角線點數(shù)之和皆為15．如圖，若從五個“陽數(shù)”中隨機抽取3個數(shù)，則能使這三個數(shù)之和等于15的概率是________．31.龍馬負