中職高考數學一輪復習講練測5.1 弧度制及任意角的三角函數（講）（解析版）

5.1弧度制及任意角的三角函數【考點梳理】1．任意角(1)角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．我們規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個零角．(2)象限角使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合．角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．①α是第一象限角可表示為{α|2kπ<α<2kπ+eq\f(π,2)，k∈Z}；②α是第二象限角可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z))；③α是第三象限角可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z))；④α是第四象限角可表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(3,2)π<α<2kπ＋2π，k∈Z))或{α|2kπ－eq\f(π,2)<α<2kπ，k∈Z}．(3)非象限角如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．①終邊在x軸非負半軸上的角的集合可記作{α|α＝2kπ，k∈Z}；②終邊在x軸非正半軸上的角的集合可記作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋π，k∈Z))；③終邊在y軸非負半軸上的角的集合可記作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；④終邊在y軸非正半軸上的角的集合可記作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z))；⑤終邊在x軸上的角的集合可記作{α|α＝kπ，k∈Z}；⑥終邊在y軸上的角的集合可記作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；⑦終邊在坐標軸上的角的集合可記作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(kπ,2)，k∈Z))．(4)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S＝{β|β＝α＋2kπ,k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.2．弧度制(1)把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))＝eq\f(l,r)，l是半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長．(2)弧度與角度的換算：360°＝2πrad，180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad，反過來1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))≈57.30°＝57°18′.(3)若圓心角α用弧度制表示,則弧長公式l＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))r;扇形面積公式S扇＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))r2＝eq\f(1,2)lr．3．任意角的三角函數(1)任意角的三角函數的定義設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P(x，y)與原點的距離為r(r>0)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．※cotα＝eq\f(x,y)(y≠0)，secα＝eq\f(r,x)(x≠0)，cscα＝eq\f(r,y)(y≠0)．(2)正弦、余弦、正切函數的定義域三角函數定義域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))(3)三角函數值在各象限的符號sinαcosαtanα4．特殊角的三角函數值0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π0eq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)1eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)0－10eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),2)－1010eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)不存在－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)0不存在0考點一任意角和弧度制【例題】（1）下列說法正確的是（

）A．終邊相同的角相等 B．相等的角終邊相同C．小于的角是銳角 D．第一象限的角是正角【答案】B【解析】終邊相同的角相差周角的整數倍，A不正確；相等的角終邊一定相同；所以B正確；小于的角是銳角可以是負角，C錯；第一象限的角是正角，也可以是負角，D錯誤，故選：B.（2）與終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴與終邊相同的角是，故選：D.（3）角所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，角位于第三象限，故選：C.（4）已知圓心角是2弧度的扇形的周長為4，則扇形的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由扇形的周長公式得，解得，所以扇形的面積為，故選：A.（5）已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】依題意可知，半圓的弧長為，圓心角的弧度數為，由弧長公式可得該圓錐的母線長為，故選：C.（6）與終邊相同的角的集合是____________．【答案】{β|β=+2kπ，k∈Z}【解析】所有與角α終邊相同的角連同角α在內，可構成一個集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}={β|β=α+2kπ，k∈Z}．與終邊相同的角的集合是{β|β=+2kπ，k∈Z}，故答案為：{β|β=+2kπ，k∈Z}.【變式】（1）教室里的鐘表慢了30分鐘，在同學將它校正的過程中，時針需要旋轉多少弧度?（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將鐘表校正的過程中，需要順時針旋轉時針，其大小為，故時針需要旋轉弧度，故選：A.（2）已知，則下列四個角中與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】與終邊相同的角的集合為：，令，得，故選：A.（3）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當k＝2n(n∈Z)時，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此時的終邊和0≤≤的終邊一樣，當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此時的終邊和π≤≤π＋的終邊一樣，故選：B．（4）已知某扇形的周長是，面積是，則該扇形的圓心角的弧度數為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．1或5【答案】C【解析】設扇形的弧長為，半徑為，所以，解得或，所以圓心角的弧度數是或，故選：C.（5）已知圓錐的底面直徑為2，圓錐的側面展開圖是半圓，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設圓錐的母線長為x，其側面展開圖的弧長為，所以，解得，所以圓錐的表面積為，故選：B.（6）已知角，則與α終邊相同的最小正角是____________．【答案】140°【解析】與終邊相同的角的集合為，令，解得，故當時，滿足條件，故答案為：140°.考點二任意角的三角函數【例題】（1）已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為角的終邊與單位圓交于點，所以根據三角函數的定義可知，，故選：C．（2）已知角的終邊經過點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由題意，解得，故選：C．（3）已知是角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是角終邊上一點，所以，則，故選：A.（4）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸.若是角終邊上一點，且，則（

）A．－6 B．－8 C．－10 D．－12【答案】B【解析】因為，是角終邊上一點，所以，，解得.故選：B.（5）若滿足，則的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由可知的終邊在第三象限或第四象限，又，則的終邊在第三象限，故選：C.【變式】（1）已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據三角函數的定義可知，，故選：A．（2）已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊經過點，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由三角函數的定義可得，故選：A.（3）已知，則角位于第________象限．【答案】二或三【解析】當為第一象限角時，，，；當為第二象限角時，，，；當為第三象限角時，，，；當為第四象限角時，，，，綜上，若，則位于第二或第三象限，故答案為：二或三.（4）已知角的頂點在坐標原點，始邊在軸非負半軸上，且角的終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，角的頂點在坐標原點，始邊在軸非負半軸上，且角的終邊上一點，所以，，所以，故選：D．（5）已知角的頂點與平面直角坐標系的原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點，若，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因為角終邊經過點，且，所以，解得，故選：C.【方法總結】1．要注意銳角與第一象限角的區(qū)別，銳角的集合僅是第一象限角的集合的一個真子集，即銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角．2．在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用．如α＝2k