高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第十章　10.1　10.1.3　古典概型(1)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第十章10.110.1.3古典概型(1)含答案10.1.3古典概型(1)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【素養(yǎng)達(dá)成】1.理解古典概型的概念及特點(diǎn).數(shù)學(xué)抽象2.掌握利用古典概型概率公式解決簡單的概率計(jì)算問題的方法.數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.二、古典概率模型的概念(古典概型)如果試驗(yàn)具有如下共同特征:(1)有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);(2)等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.三、古典概率模型的計(jì)算一般地,設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn),則定義事件A的概率P(A)=kn=n其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).【教材深化】從集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的觀點(diǎn)來考察事件A的概率,有利于幫助我們生動(dòng)、形象地理解事件A與樣本空間的關(guān)系,有利于理解公式P(A)=kn.如圖所示,把一次試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的n個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合Ω,其中每一個(gè)結(jié)果就是Ω中的一個(gè)元素,把含k個(gè)結(jié)果的事件A看作含有k個(gè)元素的集合,則集合A是集合Ω的一個(gè)子集,故有P(A)=k【教材挖掘】(P235思考)問題:我們討論過彩票搖號(hào)試驗(yàn)、拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)及擲一枚質(zhì)地均勻骰子的試驗(yàn),它們的共同特征有哪些?提示:樣本空間的樣本點(diǎn)是有限個(gè),每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限,則該試驗(yàn)符合古典概型.(×)提示:不僅要求一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限,還要求發(fā)生的可能性大小相等,故錯(cuò)誤.(2)從裝有三個(gè)大球、一個(gè)小球的袋中,取出一球的試驗(yàn)是古典概型.(×)提示:因?yàn)榍虻拇笮〔煌?所以抽取時(shí)取到每個(gè)球不具有等可能性,不滿足古典概型的特征.(3)若一個(gè)古典概型的樣本點(diǎn)總數(shù)為n,則每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性均為1n.(提示:按照古典概型的概率公式可得.類型一古典概型的判斷(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(多選)(2024·南陽高一檢測)下列情境適合用古典概型來描述的是()A.向一條線段內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn),觀察點(diǎn)落在線段上不同位置B.五個(gè)人站一排,觀察甲、乙兩人相鄰的情況C.從一副撲克牌(去掉大、小王共52張)中隨機(jī)選取1張,這張牌是紅色牌D.某同學(xué)隨機(jī)地向靶心進(jìn)行射擊,這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè):命中10環(huán),命中9環(huán),命中1環(huán)和脫靶【解析】選BC.對(duì)于A,試驗(yàn)結(jié)果有無數(shù)個(gè),顯然不是古典概型,故錯(cuò)誤;對(duì)于B,試驗(yàn)結(jié)果有限且等可能,故正確;對(duì)于C,試驗(yàn)結(jié)果有限且等可能,故正確;對(duì)于D,顯然試驗(yàn)并非等可能,故錯(cuò)誤.【總結(jié)升華】判斷古典概型的兩個(gè)依據(jù)(1)樣本點(diǎn)總數(shù)有限.(有限性)(2)各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.(等可能性)【即學(xué)即練】(多選)下列問題中是古典概型的是()A.小楊種下一粒種子,求種子能長出果實(shí)的概率B.從甲地到乙地共n條路線,且這n條路線長短各不相同,求某人任選一條路線正好選中最短路線的概率C.在區(qū)間[1,4]上任取一數(shù),求這個(gè)數(shù)大于2的概率D.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率【解析】選BD.對(duì)于選項(xiàng)A,種子長出果實(shí)、不長出果實(shí)的發(fā)生不是等可能的,故A不是古典概型;對(duì)于選項(xiàng)C,區(qū)間[1,4]中的樣本點(diǎn)有無限多個(gè),故C不是古典概型;選項(xiàng)B和D中的樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的,且是有限個(gè).類型二簡單的古典概型概率的計(jì)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(教材P238例9提升)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相等的1個(gè)白球和已編有不同號(hào)碼的3個(gè)黑球,從中摸出兩個(gè)球,求:(1)樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)n;(2)事件“摸出兩個(gè)黑球”包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);(3)摸出兩個(gè)黑球的概率.【解析】由于4個(gè)球的大小相等,摸出的每個(gè)球的可能性是均等的,所以是古典概型.(1)將黑球編號(hào)為黑1,黑2,黑3,從裝有4個(gè)球的口袋內(nèi)摸出兩個(gè)球,樣本空間Ω={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)},其中共有6個(gè)樣本點(diǎn);(2)事件“摸出兩個(gè)黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共3個(gè)樣本點(diǎn);(3)樣本點(diǎn)總數(shù)為6,事件“摸出兩個(gè)黑球”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故該概率p=36=12,即摸出兩個(gè)黑球的概率為【總結(jié)升華】求解古典概型“四步”法【即學(xué)即練】(2024·威海高一期末)甲、乙兩校各有2名教師報(bào)名支教,若從報(bào)名的4名教師中任選2名,則選出的2名教師來自不同學(xué)校的概率為()A.14 B.13 C.23 【解析】選C.設(shè)甲校報(bào)名支教的2名教師為A1,A2,乙校報(bào)名支教的2名教師為B1,B2,從這報(bào)名的4名教師中任選2名,共有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)這6種情況,選出的2名教師來自不同學(xué)校共有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)這4種情況,所以所求概率為46=2【補(bǔ)償訓(xùn)練】從1,3,4,5,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù).(1)求這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率;(2)求這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率.【解析】(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω={13,14,15,18,31,34,35,38,41,43,45,48,51,53,54,58,81,83,84,85},共包含20個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)“這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)”為事件A,則A={13,15,31,35,41,43,45,51,53,81,83,85},共包含12個(gè)樣本點(diǎn),所以P(A)=1220=3(2)設(shè)“這個(gè)兩位數(shù)能被3整除”為事件B,則B={15,18,45,48,51,54,81,84},共包含8個(gè)樣本點(diǎn),所以P(B)=820=2類型三較復(fù)雜的古典概型概率的計(jì)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(教材P237例8提升)將一顆骰子先后拋擲兩次,記錄向上的點(diǎn)數(shù),求:(1)點(diǎn)數(shù)之和為7的概率;(2)擲出兩個(gè)4點(diǎn)的概率;(3)點(diǎn)數(shù)之和能被3整除的概率.【解析】如圖所示,坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和,樣本點(diǎn)與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).由圖知,樣本點(diǎn)總數(shù)為36個(gè).(1)記“點(diǎn)數(shù)之和為7”為事件A,從圖中可以看出,事件A包含的樣本點(diǎn)共有6個(gè)(已用虛線圈出),故P(A)=636=1(2)記“擲出兩個(gè)4點(diǎn)”為事件B,事件B包含的樣本點(diǎn)只有1個(gè),即(4,4),故P(B)=136(3)記“點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C,從圖中可以看出,事件C包含的樣本點(diǎn)共有12個(gè)(已用實(shí)線圈出),故P(C)=1236=1【總結(jié)升華】較復(fù)雜的古典概型概率的求解策略在求概率時(shí),若事件可以表示成有序數(shù)對(duì)的形式,則可以把全體樣本點(diǎn)用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示,即采用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得更形象、直觀、方便.【即學(xué)即練】隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則()A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2【解析】選C.如圖①所示,坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)同時(shí)拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和,樣本點(diǎn)與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).由圖知,樣本點(diǎn)總數(shù)為36個(gè).記“點(diǎn)數(shù)之和不超過5”為事件A,從圖①中看出,事件A包含的樣本點(diǎn)有10個(gè)(已用虛線圈出),故p1=P(A)=1036=5記“點(diǎn)數(shù)之和大于5”為事件B,與事件A構(gòu)成對(duì)立事件,則事件B包含的樣本點(diǎn)有36-10=26(個(gè)),故p2=P(B)=2636=13記“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”為事件C,從圖②中看出事件C包含的樣本點(diǎn)有18個(gè)(已用實(shí)線圈出),故p3=P(C)=1836=12.所以518<12<1318,即p1<p10.1.3古典概型(2)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【素養(yǎng)達(dá)成】1.進(jìn)一步理解古典概型的定義.數(shù)學(xué)抽象2.熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式.數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算類型一“放回”與“不放回”的古典概型問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】口袋內(nèi)有紅、白、黃大小完全相同的三個(gè)小球,求:(1)從中任意摸出兩個(gè)小球,摸出的是紅球和白球的概率;(2)從袋中摸出一個(gè)后放回,再摸出一個(gè),兩次摸出的球是一紅一白的概率.【解析】(1)無放回地取球.任意摸出兩個(gè)小球的樣本空間為{(紅,白),(紅,黃),(白,黃)},所以摸出的是紅球和白球的概率為13(2)有放回地取球.樣本空間為{(紅,紅),(紅,白),(紅,黃),(白,白),(白,紅),(白,黃),(黃,紅),(黃,白),(黃,黃)},而事件“摸出一紅一白”包括(紅,白),(白,紅)2個(gè)樣本點(diǎn),所以兩次摸出的球是一紅一白的概率為29【變式1】保持本例前提條件不變,若從袋中摸出一個(gè)后放回,再摸出一個(gè),求第一次摸出紅球,第二次摸出白球的概率.【解析】有放回地取球.樣本空間為{(紅,紅),(紅,白),(紅,黃),(白,白),(白,紅),(白,黃),(黃,紅),(黃,白),(黃,黃)},第一次摸出紅球,第二次摸出白球,只有(紅,白)1個(gè)樣本點(diǎn),故所求概率為19【變式2】保持本例前提條件不變,若從袋中依次無放回地摸出兩球,求第一次摸出紅球,第二次摸出白球的概率.【解析】無放回地取球.樣本空間為{(紅,白),(紅,黃),(白,紅),(白,黃),(黃,紅),(黃,白)},所以第一次摸出紅球,第二次摸出白球的概率是16【總結(jié)升華】解題時(shí)要注意是“有放回抽取”還是“不放回抽取”,若是“有放回抽取”,則在每次抽取之前,產(chǎn)品種類及個(gè)數(shù)都不發(fā)生變化,因此某件新產(chǎn)品被抽到的概率也不變;若是“不放回抽取”(假設(shè)每次抽取的結(jié)果都可知),則在每次抽取之前,所剩產(chǎn)品種類及個(gè)數(shù)都在發(fā)生變化,因此某件產(chǎn)品被抽到的概率也在不斷變化.【即學(xué)即練】(2024·長沙高一檢測)某班6名同學(xué)的數(shù)學(xué)、語文成績(滿分為150分)對(duì)應(yīng)如表:數(shù)學(xué)成績122105113127130135語文成績116121127135130140規(guī)定成績不低于120分的為優(yōu)秀.(1)現(xiàn)從這6名同學(xué)中抽2人,問這2人的數(shù)學(xué)成績都為優(yōu)秀的概率是多少?(2)從這6名同學(xué)中抽3人,求恰有1人兩科成績均為優(yōu)秀的概率.【解析】(1)記事件M=“這2人的數(shù)學(xué)成績都為優(yōu)秀”.由題表可知這6人中有4人的數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀,設(shè)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的4名同學(xué)分別為1,2,3,4,數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀的2名同學(xué)分別為a,b,則樣本空間Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)},共有15個(gè)樣本點(diǎn),M={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6個(gè)樣本點(diǎn),所以P(M)=615=2(2)由題表知兩科成績均為優(yōu)秀的有3人,設(shè)這3名同學(xué)分別為5,6,7,兩科成績不都優(yōu)秀的3名同學(xué)分別為A,B,C.記事件N=“抽取的3人中,恰有1人兩科成績均為優(yōu)秀”,則樣本空間Ω2={(5,6,7),(5,6,A),(5,6,B),(5,6,C),(5,7,A),(5,7,B),(5,7,C),(6,7,A),(6,7,B),(6,7,C),(5,A,B),(5,A,C),(5,B,C),(6,A,B),(6,A,C),(6,B,C),(7,A,B),(7,A,C),(7,B,C),(A,B,C)},共有20個(gè)樣本點(diǎn),N={(5,A,B),(5,A,C),(5,B,C),(6,A,B),(6,A,C),(6,B,C),(7,A,B),(7,A,C),(7,B,C)},共有9個(gè)樣本點(diǎn),所以P(N)=920類型二古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】某中學(xué)為普及法律知識(shí),組織高一學(xué)生學(xué)習(xí)法律常識(shí)小冊子,并隨機(jī)抽出100名學(xué)生進(jìn)行法律常識(shí)考試,并將其成績制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)這100人的平均成績;(2)若在這100人中,成績在[90,100]的學(xué)生中恰有2位是男生,現(xiàn)從樣本中成績在[90,100]的學(xué)生中抽取3人去校外參加社會(huì)法律知識(shí)競賽,求其中恰有一位男生的概率.【解析】(1)由頻率分布直方圖可知,(0.005+0.04+0.03+a+0.005)×10=1,解得a=0.020,所以這100人的平均成績?yōu)?55×0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73,即這100人的平均成績?yōu)?3分.(2)依題意可知成績在[90,100]的有100×0.005×10=5(人),其中有2位是男生,3位是女生,設(shè)3位女生分別為a,b,c,2位男生分別為A,B.從中任取3人的樣本點(diǎn)有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(b,A,B),(c,A,B),共10個(gè),其中恰有一位男生的樣本點(diǎn)有(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B),共6個(gè),所以恰有一位男生的概率P=610=3【總結(jié)升華】概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題的處理策略概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題,無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出信息,只要能夠從題中提煉出需要的信息,則此類問題即可解決,解決此類題目的步驟主要有:第一步:根據(jù)題目要求求出數(shù)據(jù)(有的用到按比例分配的分層隨機(jī)抽樣、有的用到頻率分布直方圖等知識(shí));第二步:列出樣本空間,計(jì)算樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù);第三步:找出所求事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù);第四步:根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求解;第五步:明確規(guī)范地表述結(jié)論.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(2024·常州高一檢測)某區(qū)為了全面提升高中體育特長生的身體素質(zhì),開設(shè)“田徑隊(duì)”和“足球隊(duì)”專業(yè)訓(xùn)練,在學(xué)年末體育素質(zhì)達(dá)標(biāo)測試時(shí),從這兩支隊(duì)伍中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行專項(xiàng)體能測試,得到該頻率分布直方圖:(1)估計(jì)兩組測試的平均成績;(2)若測試成績在90分以上的為優(yōu)秀,從兩組測試成績優(yōu)秀的學(xué)生中按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選出7人參加學(xué)校代表隊(duì),再從這7人中任選2人做隊(duì)長,求兩隊(duì)長都來自“田徑隊(duì)”的概率.【解析】(1)由題中田徑隊(duì)的頻率分布直方圖,得10×(0.016+0.024+0.032+m+0.008)=1,解得m=0.020,同理可得n=0.010.其中“田徑隊(duì)”的平均成績?yōu)閤=10×(55×0.016+65×0.024+75×0.032+85×0.020+95×0.008)=73,“足球隊(duì)”的平均成績?yōu)閥=55×0.02+65×0.58+75×0.24+85×0.10+95×0.06=71.(2)“田徑隊(duì)”中90分以上的有10×0.008×100=8(人),“足球隊(duì)”中90分以上的有10×0.006×100=6(人).所以抽取的比例為78+6=12,在“田徑隊(duì)”抽取8×12=4(人),記作a,b,c在“足球隊(duì)”抽取6×12=3(人),記作A,B,從中任選2人包含的樣本點(diǎn)有ab,ac,ad,aA,aB,aC,bc,bd,bA,bB,bC,cd,cA,cB,cC,dA,dB,dC,AB,AC,BC,共21個(gè),兩隊(duì)長都來自“田徑隊(duì)”包含的樣本點(diǎn)有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6個(gè),故兩隊(duì)長都來自“田徑隊(duì)”的概率為621=22.海關(guān)對(duì)同時(shí)從A,B,C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測,從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如表所示.工作人員用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量;(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.【解析】(1)因?yàn)闃颖玖颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是650+150+100=1所以樣本包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是50×150=1,150×150=3,100×所以這6件樣品中來自A,B,C三個(gè)地區(qū)的數(shù)量分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自A,B,C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A;B1,B2,B3;C1,C2,則從這6件樣品中抽取的2件商品,樣本空間Ω={(A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,C1),(A,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)},共15個(gè)樣本點(diǎn).每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.記事件D為“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”,則事件D包含的樣本點(diǎn)有(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2),共4個(gè),所以P(D)=415即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為415類型三古典概型與其他知識(shí)結(jié)合問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(2024·孝感高一檢測)已知函數(shù)f(x)=ax2-bx-1,集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8},若分別從集合P,Q中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a和b,構(gòu)成數(shù)對(duì)(a,b).(1)記事件A為“函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)”,求事件A的概率;(2)記事件B為“方程|f(x)