高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)單元形成性評(píng)價(jià)·模塊終結(jié)性評(píng)價(jià)單元形成性評(píng)價(jià)(四)(第九章)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)單元形成性評(píng)價(jià)·模塊終結(jié)性評(píng)價(jià)單元形成性評(píng)價(jià)(四)(第九章)含答案單元形成性評(píng)價(jià)(四)(第九章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.為了解某中學(xué)高一年級(jí)600名學(xué)生的身高情況,抽查了其中100名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.下列敘述錯(cuò)誤的是()A.以上調(diào)查屬于全面調(diào)查B.每名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)個(gè)體C.100名學(xué)生的身高是總體的一個(gè)樣本D.600名學(xué)生的身高是總體【解析】選A.以上調(diào)查屬于抽樣調(diào)查,A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤,符合題意.2.①一次數(shù)學(xué)考試中,某班有12人的成績(jī)?cè)?00分以上,30人的成績(jī)?cè)?0~100分,12人的成績(jī)低于90分,現(xiàn)從中抽取9人了解有關(guān)考試題目難度的情況;②運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員為參加4×100m接力賽的6支隊(duì)伍安排跑道.針對(duì)這兩件事,恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為()A.分層隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,分層隨機(jī)抽樣D.分層隨機(jī)抽樣,分層隨機(jī)抽樣【解析】選A.①中,考試成績(jī)?cè)诓煌謹(jǐn)?shù)段之間的同學(xué)有明顯的差異,用分層隨機(jī)抽樣比較恰當(dāng);②中,總體包含的個(gè)體較少,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比較恰當(dāng).3.假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo),現(xiàn)從800袋中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn),利用隨機(jī)數(shù)表抽樣時(shí),先將800袋牛奶按000,001,…,799進(jìn)行編號(hào),如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第7列開始向右讀,則抽取檢測(cè)的第5袋牛奶的編號(hào)是()(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A.199 B.175 C.507 D.012【解析】選B.找到第8行第7列的數(shù)開始向右讀,前五個(gè)符合條件的是785,667,199,507,175,故抽取檢測(cè)的第5袋牛奶的編號(hào)是175.4.某校高二年級(jí)有50人參加2023屆“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽,將他們競(jìng)賽的成績(jī)制成了如下的頻率分布表,根據(jù)該表估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均分為()分組[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.20.40.30.1A.70 B.73 C.78 D.81.5【解析】選C.估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均分x=65×0.2+75×0.4+85×0.3+95×0.1=78.5.某校的體能測(cè)試結(jié)果分為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個(gè)等級(jí),已知甲、乙兩個(gè)班的體能測(cè)試結(jié)果數(shù)據(jù)分別用條形圖和扇形圖描述,如圖所示,若乙班的學(xué)生人數(shù)為50,則下列結(jié)論不正確的是()A.甲、乙兩個(gè)班共有學(xué)生100人B.乙班體能測(cè)試等級(jí)不合格的有5人C.甲班體能測(cè)試等級(jí)為良好以上(包含良好)的人數(shù)與乙班一樣D.甲班體能測(cè)試等級(jí)為合格的人數(shù)比乙班多【解析】選D.對(duì)于A,由題中甲班體能測(cè)試等級(jí)條形圖可知甲班人數(shù)為8+22+14+6=50,故甲、乙兩個(gè)班共有學(xué)生100人,故A選項(xiàng)說法正確,不符合題意;對(duì)于B,由題中乙班體能測(cè)試等級(jí)扇形圖可知,乙班體能測(cè)試等級(jí)不合格的人數(shù)為50×10%=5,故B選項(xiàng)說法正確,不符合題意;對(duì)于C,甲班體能測(cè)試等級(jí)為良好以上(包含良好)的人數(shù)為8+22=30,乙班體能測(cè)試等級(jí)為良好以上(包含良好)的人數(shù)為48%×50+12%×50=30,即甲班體能測(cè)試等級(jí)為良好以上(包含良好)的人數(shù)與乙班一樣,故C選項(xiàng)說法正確,不符合題意;對(duì)于D,甲班體能測(cè)試等級(jí)為合格的人數(shù)為14,乙班等級(jí)為合格的人數(shù)為(1-48%-12%-10%)×50=15,故D選項(xiàng)說法不正確,符合題意.6.若樣本x1+2,x2+2,…,xn+2的平均數(shù)為10,方差為2,則樣本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均數(shù)和方差分別是()A.19,12 B.23,12C.23,18 D.19,8【解析】選D.設(shè)樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,由已知可得∑i=1n解得x=8,所以樣本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均數(shù)為∑i=1n因?yàn)椤苅所以方差為∑i=1n(7.(2024·昆明高一檢測(cè))云南人“打跳”的視頻頻頻沖上各大平臺(tái)熱搜.唱最樸素的歌,跳最熱情的舞,云南人的快樂就是這么簡(jiǎn)單.某平臺(tái)為了解“打跳”視頻的受歡迎程度,對(duì)20~60歲的人群進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查,其中喜歡“打跳”視頻的有100人,把這100人按照年齡分成4組,然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)從第二組和第四組的人中分層隨機(jī)抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查,則應(yīng)從第二組抽取的人數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選B.由題圖可知,第二組的頻率為0.2,頻數(shù)為20,第四組的頻率為0.3,頻數(shù)為30,按分層隨機(jī)抽樣抽取10人,則應(yīng)從第二組抽取的人數(shù)為10×2050=48.某班統(tǒng)計(jì)一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分與方差,計(jì)算完畢以后才發(fā)現(xiàn)有位同學(xué)的卷子還未登記分,只好重算一次.已知原平均分和原方差分別為x,s2,新平均分和新方差分別為x1,s12,若此同學(xué)的得分恰好為xA.x=x1,s2=s12 B.x=x1,C.x=x1,s2>s12 D.x<x1,【解析】選C.設(shè)這個(gè)班有n個(gè)同學(xué),得分分別為a1,a2,…,ai,…,an,第i個(gè)同學(xué)的得分沒登記(ai=x),第一次計(jì)算時(shí)總分為(n-1)x,方差為s2=1n-1·[(a1-x)2+…+(ai-1-x)2+(ai+1-x)2+…+(an-x)第二次計(jì)算時(shí),平均數(shù)x1=(n-方差s12=1n[(a1-x)2+…+(ai-1-x)2+(ai+1-x)2+…+(an-x)2+(x-x)2]=n-1ns2二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對(duì)得6分,選對(duì)但不全的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量分別為56,46,53,48,51,53,71,58,56,56,64,66,則關(guān)于該地區(qū)的月降水量,以下說法正確的是()A.20%分位數(shù)為51B.75%分位數(shù)為61C.中位數(shù)為56D.平均數(shù)為57【解析】選ABC.將數(shù)據(jù)從小到大排列為46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,共12個(gè)數(shù)據(jù),因?yàn)?2×20%=2.4,所以20%分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)據(jù),即為51,故A正確;因?yàn)?2×75%=9,所以75%分位數(shù)為58+642該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為56+562該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為46+48+51+53+53+56+56+56+58+64+66+7112=56.5,故D錯(cuò)誤10.甲、乙兩支女子曲棍球隊(duì)在去年的國(guó)際聯(lián)賽中,甲隊(duì)平均每場(chǎng)的進(jìn)球數(shù)是3.2,全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3;乙隊(duì)平均每場(chǎng)的進(jìn)球數(shù)是1.8,全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3.下列說法中正確的是()A.乙隊(duì)的技術(shù)比甲隊(duì)好B.乙隊(duì)比甲隊(duì)發(fā)揮穩(wěn)定C.乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球D.甲隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞【解析】選BCD.因?yàn)榧钻?duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為3.2,乙隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球數(shù)為1.8,甲隊(duì)平均數(shù)大于乙隊(duì)平均數(shù)較多,所以甲隊(duì)技術(shù)比乙隊(duì)好,所以A不正確;因?yàn)榧钻?duì)全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3,乙隊(duì)全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,乙隊(duì)的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲隊(duì),所以乙隊(duì)比甲隊(duì)發(fā)揮穩(wěn)定,所以B正確;因?yàn)橐谊?duì)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,說明每次進(jìn)球數(shù)接近平均值,乙隊(duì)幾乎每場(chǎng)都進(jìn)球,甲隊(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為3,說明甲隊(duì)表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞,所以C,D正確.11.某電影藝術(shù)中心為了解短視頻平臺(tái)的觀眾年齡分布情況,向各大短視頻平臺(tái)的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問卷,共回收有效問卷4000份,根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖,則下列說法正確的是()A.a=0.028B.在4000份有效問卷中,短視頻觀眾年齡在10~20歲的有1320人C.估計(jì)短視頻觀眾的平均年齡為32歲D.估計(jì)短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲【解析】選CD.對(duì)于A,因?yàn)?0.015+0.033+a+0.011+0.011)×10=1,所以a=0.030,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由題中頻率分布直方圖,短視頻觀眾年齡在10~20歲的對(duì)應(yīng)頻率為0.15,所以短視頻觀眾年齡在10~20歲的有4000×0.15=600(人),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,平均年齡為x=(0.015×15+0.033×25+0.03×35+0.011×45+0.011×55)×10=32(歲),故C正確;對(duì)于D,設(shè)75%分位數(shù)為x,則0.015×10+0.033×10+(x-30)×0.03=0.75,解得x=39,故D正確.三、填空題(每小題5分,共15分)12.高一和高二兩個(gè)年級(jí)的同學(xué)參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽,高一年級(jí)有450人,高二年級(jí)有350人,通過按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了容量為160的樣本,得到高一和高二兩個(gè)年級(jí)的競(jìng)賽成績(jī)的平均分分別為80分和90分,則高一、高二抽取的樣本量分別為________;此次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均分約為________分.

【解析】由題意可得高一年級(jí)抽取的樣本量為450450+350×160=90,高二年級(jí)抽取的樣本量為350450+350×160=70,此次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均分約為x=9090+70×80+7090+70答案:90,7084.37513.中小學(xué)生的視力狀況受到社會(huì)的廣泛關(guān)注,某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了400名,對(duì)他們的視力狀況進(jìn)行一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖,如圖所示.從左至右五個(gè)小組的頻率之比是5∶7∶12∶10∶6,則這400名學(xué)生視力的眾數(shù)約為________,中位數(shù)約為________.

【解析】由題圖可知,眾數(shù)的估計(jì)值為4.7.第五小組的頻率為0.5×0.3=0.15,由從左至右五個(gè)小組的頻率之比是5∶7∶12∶10∶6,可得第一小組的頻率為0.15×56=0.第二小組的頻率為0.15×76=0.175第三小組的頻率為0.15×126=0.所以中位數(shù)在第三小組,第三小組的矩形面積為0.3,則第三小組的高為0.3設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為x,則0.125+0.175+(x-4.55)×1=0.5,解得x=4.75.答案:4.74.7514.某校采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法采集了高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身高情況,部分調(diào)查數(shù)據(jù)如表:項(xiàng)目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差高一100167120高二100170150高三100173150則總樣本方差s2=________.

【解析】由題意知,總樣本平均數(shù)為x=100300×167+100300×170+所以總樣本方差為s2=100300×[120+(167-170)2]+100300×[150+(170-170)2]+100300×[150+(173-170)答案:146四、解答題(共77分)15.(13分)如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖,且在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8.(1)求樣本在[15,18)內(nèi)的頻率;(2)求樣本容量;(3)若在[12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06,求在[18,33]內(nèi)的頻數(shù).【解析】(1)由題中樣本頻率分布直方圖得樣本在[15,18)內(nèi)的頻率等于475×3=4(2)因?yàn)闃颖驹赱15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8,由(1)可知,樣本容量為8÷425=50(3)因?yàn)樵赱12,15)內(nèi)的小矩形面積為0.06,故樣本在[12,15)內(nèi)的頻率為0.06,故樣本在[15,33]內(nèi)的頻數(shù)為50×(1-0.06)=47,又在[15,18)內(nèi)的頻數(shù)為8,故在[18,33]內(nèi)的頻數(shù)為47-8=39.16.(15分)在一次高二年級(jí)統(tǒng)一考試中,數(shù)學(xué)試卷有一道滿分為10分的選做題,學(xué)生可以從A,B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試,為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況,計(jì)劃從900名學(xué)生的選做題成績(jī)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本,為此將900名學(xué)生的選做題的成績(jī)隨機(jī)編號(hào)為001,002,…,900.(1)若采用隨機(jī)數(shù)法抽樣,并按照以下隨機(jī)數(shù)表,以第一行第十三列的數(shù)字5為起點(diǎn),從左向右依次讀數(shù),每次讀取三位隨機(jī)數(shù),一行數(shù)讀完之后接下一行左端.寫出樣本編號(hào)的中位數(shù).6171629915065129169358057709515126878585548766475473320811124495926316295624294826996165535837788070(2)若采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣,按照學(xué)生選擇A題目或B題目,將成績(jī)分為兩層,且樣本中選擇A題目的成績(jī)有8個(gè),平均數(shù)為7,方差為4;樣本中選擇B題目的成績(jī)有2個(gè),平均數(shù)為8,方差為1.試用樣本估計(jì)該校900名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)與方差.【解析】(1)根據(jù)題意,讀取的編號(hào)依次是512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重復(fù)),687,858,554,876,647,547,332.將有效的編號(hào)由小到大排序,得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,故樣本編號(hào)的中位數(shù)為647+6872=667(2)設(shè)樣本中選擇A題目的成績(jī)的平均數(shù)為x,方差為s2;樣本中選擇B題目的成績(jī)的平均數(shù)為y,方差為t2,則x=7,s2=4,y=8,t2=1,所以樣本的平均數(shù)為88+2x+28+2y=45方差為88+2×[s2+(x-7.2)2]+28+2×[t2+(y-7.2)2]=45×[4+(7-7.2)2]+15×[1+(8-7.2)2故估計(jì)該校900名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)為7.2,方差為3.56.17.(15分)已知A,B兩家公司的員工月均工資(單位:萬元)情況分別如圖1,圖2所示.(1)以每組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值為代表,根據(jù)圖1估計(jì)A公司員工月均工資的平均數(shù)、中位數(shù),你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)據(jù)更能反映該公司普通員工的工資水平?請(qǐng)說明理由;(2)小明擬到A,B兩家公司中的一家應(yīng)聘,以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù),他應(yīng)該選哪個(gè)公司?【解析】(1)A公司員工月均工資的平均數(shù)為0.3×0.21+0.5×0.29+0.7×0.27+0.9×0.21+29×0.02=1.166(萬元).由題圖1可知A公司員工月均工資在0.6萬元以下的比例為0.21+0.29=0.5,所以A公司員工月均工資的中位數(shù)約為0.6萬元.用中位數(shù)更能反映該公司普通員工的工資水平,理由如下:因?yàn)槠骄鶖?shù)受每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響,越離群的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響越大,該公司少數(shù)員工的月收入很高,在這種情況下平均數(shù)并不能較好地反映普通員工的工資水平,而中位數(shù)不受少數(shù)極端數(shù)據(jù)的影響,可以較好地反映普通員工的工資水平.(2)B公司員工月均工資的平均數(shù)為(0.3×0.375+0.5×0.75+0.7×2.75+0.9×1+1.1×0.125)×0.2=0.69(萬元),由題圖2可知,B公司員工月均工資在0.6萬元以下的頻率為(0.375+0.75)×0.2=0.225,在0.8萬元以下的頻率為(0.375+0.75+2.75)×0.2=0.775.設(shè)B公司員工月均工資的中位數(shù)為x萬元,則(x-0.6)×2.75=0.5-0.225,解得x=0.7.小明應(yīng)選擇B公司應(yīng)聘,理由如下:B公司員工工資數(shù)據(jù)較為集中,月均工資的平均數(shù)和中位數(shù)均能反映該公司普通員工的平均工資水平,B公司員工月均工資平均數(shù)為0.69,中位數(shù)為0.7,大于A公司員工月均工資的中位數(shù)0.6,所以以公司普通員工的工資水平作為決策依據(jù),小明應(yīng)該選B公司應(yīng)聘.18.(17分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量表得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(3)已知在這些數(shù)據(jù)中,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,105)內(nèi)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為94,方差為40,所有這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為100,方差為202,求質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間[105,125]內(nèi)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的方差.【解析】(1)由題意可知,分組[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125]對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.06,0.26,0.38,0.22,0.08.則頻率分布直方圖如圖所示:(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2×0.26+(100-100)2×0.38+(110-100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104.(3)由題意知,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,105)內(nèi)的產(chǎn)品有70件,設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值為x1,x2,…,x70,平均數(shù)為x=94,方差為sx則質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[105,125]內(nèi)的產(chǎn)品有30件,設(shè)質(zhì)量指標(biāo)值分別為y1,y2,…,y30,平均數(shù)為y,方差為sy則這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為z=100,方差為sz2=202,則100z=70x+30所以y=114,又因?yàn)閟x2=170則∑i又因?yàn)閟z2=1100(∑i=1則∑j所以sy2=130∑19.(17分)中國(guó)獨(dú)有的文書工具,即筆、墨、紙、硯,有文房四寶之名,起源于南北朝時(shí)期.其中宣紙“始于唐代,產(chǎn)于涇縣”,因唐代涇縣隸屬宣州管理,故因地得名宣紙,宣紙按質(zhì)量等級(jí)分為:正牌(優(yōu)等品)、副牌(合格品)、廢品三等.某公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作,年產(chǎn)宣紙10000刀(1刀=100張),該公司按照某種質(zhì)量指標(biāo)x給宣紙確定等級(jí)如表所示:x的范圍(44,48]∪(52,56](48,52][0,44]∪(56,60]質(zhì)量等級(jí)副牌正牌廢品在該公司所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)抽取了一刀進(jìn)行檢驗(yàn),得到頻率分布直方圖如圖所示,已知每張正牌宣紙的利潤(rùn)為15元,副牌宣紙的利潤(rùn)為8元,廢品的利潤(rùn)為-20元.(1)試估計(jì)該公司的年利潤(rùn);(2)市場(chǎng)上有一種售價(jià)為100萬元的機(jī)器可以改進(jìn)宣紙的生產(chǎn)工藝,但這種機(jī)器的使用壽命只有一年,且只能提高宣紙的質(zhì)量,不能增加宣紙的年產(chǎn)量.據(jù)調(diào)查,這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)x如表所示:x的范圍(x-2,x+2)(x-6,x+6)頻率0.68270.9545其中x為質(zhì)量指標(biāo)x的平均值,但是由于人們對(duì)傳統(tǒng)手工工藝的認(rèn)可,改進(jìn)后的正牌和副牌宣紙的利潤(rùn)都將下降3元/張,該公司是否應(yīng)該購(gòu)買這種機(jī)器?請(qǐng)你為該公司提出合理建議,并說明理由.(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)【解析】(1)由題中頻率分布直方圖得,一刀宣紙有正牌100×0.1×4=40(張),有副牌100×0.05×4×2=40(張),有廢品100×0.025×4×2=20(張),所以該公司一刀宣紙的利潤(rùn)的估計(jì)值為40×15+40×8+(-20)×20=520(元),所以估計(jì)該公司的年利潤(rùn)為520萬元.(2)由題中頻率分布直方圖得,x=42×0.025×4+46×0.05×4+50×0.1×4+54×0.05×4+58×0.025×4=50.由題中表格數(shù)據(jù)可得一刀宣紙中正牌的張數(shù)估計(jì)為100×0.6827=68.27,廢品的張數(shù)估計(jì)為100×(1-0.9545)=4.55,副牌的張數(shù)估計(jì)為100×(0.9545-0.6827)=27.18,所以一刀宣紙的利潤(rùn)為68.27×12+27.18×5-4.55×20=864.14(元),10000刀宣紙的利潤(rùn)為10000×864.14=8641400(元)=864.14(萬元),所以購(gòu)買這種機(jī)器后該公司的利潤(rùn)為864.14-100=764.14(萬元),因?yàn)?64.14>520,所以建議該公司購(gòu)買這種機(jī)器.單元形成性評(píng)價(jià)(五)(第十章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.4,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.3,則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.4 B.0.3 C.0.7 D.0.6【解析】選B.由題得不用現(xiàn)金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.2.(2024·黃浦高二期末)擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,觀察朝上的點(diǎn)數(shù),若A表示事件“點(diǎn)數(shù)大于3”,B表示事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,則事件“點(diǎn)數(shù)為5”可以表示為()A.A∩B B.A∩B C.A∪B D.A∪B【解析】選B.A∩B表示“點(diǎn)數(shù)為2”,A∩B表示“點(diǎn)數(shù)為5”,A∪B表示“點(diǎn)數(shù)為3或2或1或4或6”,A∪B表示“點(diǎn)數(shù)為1或3或4或5或6”.3.甲、乙兩人做游戲,下列游戲中不公平的是()A.擲一枚骰子,向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝,向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝B.同時(shí)拋兩枚相同的骰子,向上的點(diǎn)數(shù)之和大于7則甲勝,否則乙勝C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色則甲勝,是黑色則乙勝D.甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字,若是同奇或同偶則甲勝,否則乙勝【解析】選B.對(duì)于A,C,D,甲勝、乙勝的概率都是12,游戲是公平的;對(duì)于B,點(diǎn)數(shù)之和大于7和點(diǎn)數(shù)之和小于7的概率相等,但點(diǎn)數(shù)等于7時(shí)乙勝,所以甲勝的概率小,游戲不公平4.(2024·上饒高一期末)若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是m,n,則點(diǎn)P(m,n)在直線x+y=8上的概率是()A.112 B.19 C.536 【解析】選C.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是m,n,則點(diǎn)P(m,n)有6×6=36(種)可能,其中滿足m+n=8,m,n∈{1,2,3,4,5,6}的數(shù)對(duì)有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5種可能,所以點(diǎn)P(m,n)在直線x+y=8上的概率是5365.(2024·北京高二期中)據(jù)天氣預(yù)報(bào),春節(jié)期間甲地的降雪概率是0.4,乙地的降雪概率是0.3.這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雪相互之間沒有影響,那么春節(jié)期間兩地都不降雪的概率是()A.0.7 B.0.42 C.0.12 D.0.46【解析】選B.設(shè)“甲地降雪”為事件A,“乙地降雪”為事件B,“甲、乙兩地都不降雪”即事件A與B同時(shí)發(fā)生,即A∩B,P(A)=1-0.4=0.6,P(B)=1-0.3=0.7,利用獨(dú)立事件的性質(zhì)可知,事件A與B相互獨(dú)立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42,所以甲、乙兩地都不降雪的概率為0.42.6.在普通高中新課程改革中,某地實(shí)施“3+1+2”選課方案,該方案中的“2”指的是政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門,假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等,那么政治和地理至少有一門被選中的概率是()A.16 B.12 C.23 【解析】選D.在政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門共有6種情況,分別為政治+地理、政治+化學(xué)、政治+生物、地理+化學(xué)、地理+生物、化學(xué)+生物.其中政治和地理至少有一門的情況包含5種,分別為政治+地理、政治+化學(xué)、政治+生物、地理+化學(xué)、地理+生物,故政治和地理至少選一門的概率為P=567.從甲袋中摸出1個(gè)白球的概率為13,從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是12,從兩個(gè)袋內(nèi)各摸1個(gè)球,那么概率為56A.2個(gè)球都是白球 B.2個(gè)球都不是白球C.2個(gè)球不都是白球 D.2個(gè)球恰好有1個(gè)白球【解析】選C.設(shè)2個(gè)球都是白球?yàn)槭录嗀,2個(gè)球都不是白球?yàn)槭录﨎,2個(gè)球不都是白球?yàn)槭录﨏,2個(gè)球恰好有1個(gè)白球?yàn)槭录﨑.因?yàn)閺募状忻蚺c從乙袋中摸球是相互獨(dú)立事件,所以P(A)=13×12=16,P(B)=23×因?yàn)槭录﨏與事件A是對(duì)立事件,所以P(C)=1-16=5因?yàn)槭录﨑可劃分為從甲袋中摸出白球或乙袋中摸出白球這兩個(gè)互斥事件,所以P(D)=13×12+23×18.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上有此圖象,結(jié)構(gòu)是“戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)”.其各行各列及對(duì)角線點(diǎn)數(shù)之和皆為15.如圖,若從五個(gè)“陽數(shù)”中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù),則能使這三個(gè)數(shù)之和等于15的概率是()A.310 B.15 C.23 【解析】選B.從五個(gè)“陽數(shù)”1,3,5,7,9中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)共有10種取法,符合題意的有2種{1,5,9}和{3,5,7},故所求概率為210=1二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對(duì)得6分,選對(duì)但不全的得部分分,有選錯(cuò)的得0分)9.(2024·瀘州高二期末)下列說法正確的是()A.甲、乙、丙三位同學(xué)爭(zhēng)著去參加一個(gè)公益活動(dòng),抽簽決定誰去,則先抽的概率大些B.若事件A發(fā)生的概率為P(A),則0≤P(A)≤1C.如果事件A與事件B互斥,那么一定有P(A)+P(B)=1D.已知事件A發(fā)生的概率為P(A)=0.3,則它的對(duì)立事件A發(fā)生的概率P(A)=0.7【解析】選BD.對(duì)于A,甲、乙、丙三位同學(xué)抽簽決定誰去,則每位同學(xué)被抽到的概率都是13對(duì)于B,由概率的性質(zhì)可知,0≤P(A)≤1,故B正確;對(duì)于C,如果事件A與事件B對(duì)立,那么一定有P(A)+P(B)=1,但互斥事件不一定對(duì)立,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)槭录嗀發(fā)生的概率為P(A)=0.3,所以它的對(duì)立事件A發(fā)生的概率P(A)=1-0.3=0.7,故D正確.10.(2024·攀枝花高二期末)某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次,記事件A為“第一次中靶”,事件B為“至少一次中靶”,事件C為“至多一次中靶”,事件D為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是()A.A∩B=AB.B與C是互斥事件C.C∪D=ΩD.B與D是互斥事件,且是對(duì)立事件【解析】選AD.由題意可知,事件Ω為“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”“兩次都沒有中靶”;事件B為“至少一次中靶”,即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都中靶”;事件C為“至多一次中靶”,即“第一次中靶且第二次沒有中靶”“第一次沒有中靶且第二次中靶”“兩次都沒有中靶”;事件D為“兩次都沒有中靶”;故A∩B=A,B與C不是互斥事件,B與D是互斥事件,且是對(duì)立事件,C∪D≠Ω.11.已知事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=13,P(B)=12,則(A.P(A)=2B.P(AB)=1C.P(A+B)=2D.P(AB+AB)=5【解析】選AC.根據(jù)事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=13,P(B)=1可得P(A)=1-P(A)=1-13=2而P(B)=1-P(B)=1-12=12,所以P(AB)=P(A)P(B)=13×1由獨(dú)立事件的概率可知P(AB)=P(A)P(B)=13×12=所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=13+12-16由概率加法公式可得P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=13×12+23×12三、填空題(每小題5分,共15分)12.用兩種不同的顏色給圖中三個(gè)矩形隨機(jī)涂色,每個(gè)矩形只涂一種顏色,則任意相鄰兩個(gè)矩形顏色不同的概率是________.

【解析】由于只有兩種顏色,不妨將其設(shè)為1和2.樣本點(diǎn)有111,112,121,211,221,212,122,222,共8種,其中任意相鄰兩個(gè)矩形顏色不同的結(jié)果有121,212,共2種,故所求概率P=28=1答案:113.在某次考試中,第22題和23題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題.設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為12,則其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率為________;甲、乙2名學(xué)生都選做第22題的概率為________【解析】設(shè)事件A表示“甲選做第22題”,事件B表示“乙選做第22題”,則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB∪AB”,且事件A,B相互獨(dú)立.因?yàn)镻(AB∪AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=12×12+1-12×1-12=12所以甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率為12因?yàn)镻(A)P(B)=12×12=14答案:1214.“三個(gè)臭皮匠,賽過諸葛亮”,這是我們常說的口頭禪,主要是說集體智慧的強(qiáng)大.假設(shè)李某智商較高,他獨(dú)自一人解決項(xiàng)目M的概率為P1=0.9;同時(shí),有n個(gè)水平相同的人也在研究項(xiàng)目M,他們各自獨(dú)立地解決項(xiàng)目M的概率都是0.5.現(xiàn)在李某單獨(dú)研究項(xiàng)目M,且這n個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)也同時(shí)研究項(xiàng)目M,且這n個(gè)人研究項(xiàng)目M的結(jié)果相互獨(dú)立.設(shè)這n個(gè)人組成的團(tuán)隊(duì)解決項(xiàng)目M的概率為P2,若P2≥P1,則n的最小值是________.

【解析】這n個(gè)人組成團(tuán)隊(duì)不能解決項(xiàng)目M的概率為1-12n=12n,則P2=1-12n.由1-12n≥0.9,得12n≤110.又n∈N*,解得n≥4.答案:4四、解答題(共77分)15.(13分)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練,已知甲命中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別是13,13,13,乙命中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別是18,1(1)求甲運(yùn)動(dòng)員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率;(2)現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽,每一輪比賽兩人各射擊1次,環(huán)數(shù)高于對(duì)方為勝,環(huán)數(shù)低于對(duì)方為負(fù),環(huán)數(shù)相等為平局,規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者,比賽結(jié)束,求恰好進(jìn)行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率.【解析】(1)記X表示甲運(yùn)動(dòng)員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和,則X=18包含“第一次命中10環(huán)且第二次命中8環(huán)”“第一次命中8環(huán)且第二次命中10環(huán)”“第一次命中9環(huán)且第二次命中9環(huán)”這三種情況,所以甲運(yùn)動(dòng)員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率P=2×13×13+13×1(2)記Ai表示甲在第i輪勝利,Bi表示甲在第i輪平局,Ci表示甲在第i輪失敗(i=1,2,3),則P(Ai)=13×58+14+13×58=12,P(Bi)=13,P(①若甲獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽,則第2輪、第3輪甲連續(xù)勝利,第1輪甲沒有獲得勝利,其概率P1=1-12×12×12=1②若乙獲得最終勝利結(jié)束3輪比賽,則第2輪、第3輪乙連續(xù)勝利,第1輪乙沒有獲得勝利,其概率P2=1-16×16×16=5所以經(jīng)過3輪比賽結(jié)束的概率P=P1+P2=18+5216=16.(15分)端午節(jié),又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等,源于自然天象崇拜,由上古時(shí)代祭龍演變而來.端午節(jié)與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱中國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日.某社區(qū)為豐富居民業(yè)余生活,舉辦了關(guān)于端午節(jié)文化習(xí)俗的知識(shí)競(jìng)賽,比賽共分為兩輪.在第一輪比賽中,每位選手均需參加兩關(guān)比賽,若其在兩關(guān)比賽中均達(dá)標(biāo),則進(jìn)入第二輪比賽.已知在第一輪比賽中,選手A,B第一關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是45,23;第二關(guān)達(dá)標(biāo)的概率分別是34,35.A(1)分別求出A,B進(jìn)入第二輪比賽的概率;(2)若A,B兩人均參加第一輪比賽,求兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率.【解析】(1)設(shè)事件A1=“A在第一輪第一關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”,事件A2=“A在第一輪第二關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”,事件B1=“B在第一輪第一關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”,事件B2=“B在第一輪第二關(guān)比賽中達(dá)標(biāo)”.則A進(jìn)入第二輪比賽的概率P(A1A2)=P(A1)P(A2)=45×34=B進(jìn)入第二輪比賽的概率P(B1B2)=P(B1)P(B2)=23×35=(2)由(1)可知A沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率為1-P(A1A2)=1-35=2B沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率為1-P(B1B2)=1-25=3則A,B兩人都沒有進(jìn)入第二輪比賽的概率為25×35=故A,B兩人中至少有一人進(jìn)入第二輪比賽的概率P=1-625=1917.(15分)某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員,對(duì)他們進(jìn)行年齡狀況和接受教育程度(學(xué)歷)的調(diào)查,其結(jié)果(人數(shù)分布)如表所示.項(xiàng)目35歲以下35~50歲50歲以上本科803020研究生x20y(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法在35~50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個(gè)容量為5的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2人,求至少有1人的學(xué)歷為研