高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)三　向量的減法運(yùn)算含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)三向量的減法運(yùn)算含答案三向量的減法運(yùn)算(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·欽州高一檢測(cè))在△ABC中,=a,=b,則=()A.a+b B.a-bC.b-a D.-a-b【解析】選C.=-=b-a.2.(5分)(2024·北京高一檢測(cè))化簡(jiǎn)+-的結(jié)果等于()A. B. C. D.【解析】選D.+-=-=.3.(5分)(2024·唐山高一檢測(cè))設(shè)e是單位向量,=e,=-e,||=1,則四邊形ABCD是()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解析】選B.因?yàn)?e,=-e,所以=e=-,即∥,所以||=||=|e|=1,所以四邊形ABCD是平行四邊形,因?yàn)閨|=1,即||=||,由菱形的判定定理可知,四邊形ABCD是菱形.4.(5分)(2024·北京高一檢測(cè))對(duì)于任意兩個(gè)向量a和b,下列命題中正確的是()A.|a+b|≤|a-b| B.|a-b|≤|a+b|C.|a+b|≤|a|+|b| D.|a-b|≤|a|-|b|【解析】選C.對(duì)于A,當(dāng)a,b≠0,且a,b同方向時(shí),|a+b|>|a-b|,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)a,b≠0,且a,b反方向時(shí),|a-b|>|a+b|,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,得|a+b|≤|a|+|b|,故C正確;對(duì)于D,根據(jù)向量減法的三角形法則,得|a-b|≥|a|-|b|,故D錯(cuò)誤.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選)已知a,b為非零向量,則下列命題中正確的是()A.若|a|+|b|=|a+b|,則a與b方向相同B.若|a|+|b|=|a-b|,則a與b方向相反C.若|a|+|b|=|a-b|,則a與b有相等的模D.若||a|-|b||=|a-b|,則a與b方向相同【解析】選ABD.如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當(dāng)a,b不共線時(shí),根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.當(dāng)a,b同向時(shí)有|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|.當(dāng)a,b反向時(shí)有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|.5.(5分)(2024·常州高一檢測(cè))在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,若=a,=b,=c,則|a-b+c|等于()A.0 B.1 C.2 D.2【解析】選C.|a-b+c|=|-+|=|++|=|+|=2||=2.6.(5分)(多選)(2024·常州高一檢測(cè))下列能化簡(jiǎn)為的是()A.-+B.+(+)C.(+)+(-)D.+-【解析】選ABC.對(duì)于A,-+=-=,故A正確;對(duì)于B,++=+=,故B正確;對(duì)于C,(+)+(-)=+=,故C正確;對(duì)于D,+-=-,故D不符合題意.7.(5分)下列各向量運(yùn)算的結(jié)果與相等的有__________.(填序號(hào))

①+;②-;③-;④-【解析】由題意知,①④正確.答案:①④8.(5分)如圖所示,已知一點(diǎn)O到平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的向量分別為r1,r2,r3,則=____________.(用r1,r2,r3表示)

【解析】=+=+=+-=r3+r1-r2.答案:r3+r1-r29.(5分)(2024·撫順高一檢測(cè))如圖,在△ABC中,若D是邊BC的中點(diǎn),E是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則-+=________.

【解析】-+=+-=-.因?yàn)镈是邊BC的中點(diǎn),所以=,所以-+=0.答案:010.(10分)如圖所示,O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),=a,=b,=c,求作向量b+c-a.【解析】以,為鄰邊作平行四邊形OBDC,連接OD,AD,所以=+=b+c,所以=-=b+c-a.故為所求作向量.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·浙江四校聯(lián)考)在四邊形ABCD中,O為任意一點(diǎn),若-+-=0,則()A.四邊形ABCD是矩形B.四邊形ABCD是菱形C.四邊形ABCD是正方形D.四邊形ABCD是平行四邊形【解析】選D.因?yàn)?+-=0,則+=0,即=,可知AB,CD兩邊平行且相等,所以四邊形ABCD是平行四邊形,但沒有足夠條件判斷ABCD是否為矩形、菱形或正方形,故ABC錯(cuò)誤,D正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·撫順高一檢測(cè))在平行四邊形ABCD中,|+|=|-|,則必有()A.=0B.=0或=0C.四邊形ABCD為矩形D.四邊形ABCD為正方形【解析】選C.因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,顯然||≠0,||≠0,則≠0,≠0,故A,B錯(cuò)誤;因?yàn)?=,-=,則||=||,即平行四邊形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)度相等,故四邊形ABCD為矩形,故C正確;因?yàn)闆]有確定||,||是否相等,故無法確定四邊形ABCD是否為正方形,故D錯(cuò)誤.12.(5分)(多選)(2024·張掖高一檢測(cè))如圖,D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),則-=()A. B. C. D.【解析】選BCD.因?yàn)镈,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),所以DF∥BE,且DF=BE,DF∥EC,且DF=EC,所以=,=,所以-=-===.13.(5分)(2024·洛陽高一檢測(cè))已知非零向量a,b滿足:|a|=|b|=|a-b|,作=a,=a+b,則∠AOB=__________.

【解析】構(gòu)造如圖所示的平行四邊形,=a,=a+b,則=b,=a-b,則△AOC為正三角形,故∠COA=60°,則平行四邊形OABC為菱形,故OB平分∠COA,則∠AOB=30°.答案:30°【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選)對(duì)于菱形ABCD,給出下列各式,其中結(jié)論正確的為()A.=B.||=||C.|-|=|+|D.|+|=|-|【解析】選BCD.菱形中向量與的方向是不同的,但它們的模是相等的,所以B正確,A錯(cuò)誤;因?yàn)閨-|=|+|=2||,|+|=2||,且||=||,所以|-|=|+|,所以C正確;因?yàn)閨+|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以D正確.14.(10分)化簡(jiǎn):(1)+--;(2)(++)-(--).【解析】(1)+--=(-)+(-)=+=;(2)(++)-(--)=(+)+-=++=+=0.15.(10分)如圖所示,O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),設(shè)=a,=b,=c,求證:b+c-a=.【證明】方法一:因?yàn)閎+c=+=+=,+a=+=,所以b+c=+a,所以b+c-a=.方法二:因?yàn)閏-a=-=-=+=,-b=-=+=,所以c-a=-b,所以b+c-a=.三十直線與平面平行的性質(zhì)定理(時(shí)間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)若直線l∥平面α,則過l作一組平面與α相交,記所得的交線分別為a,b,c…,那么這些交線的位置關(guān)系為()A.都平行B.都相交且一定交于同一點(diǎn)C.都相交但不一定交于同一點(diǎn)D.都平行或交于同一點(diǎn)【解析】選A.因?yàn)橹本€l∥平面α,所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….2.(5分)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【解析】選B.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,因?yàn)锳B?平面ABC,A1B1?平面ABC,所以A1B1∥平面ABC,因?yàn)檫^A1B1的平面與平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.3.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,若EF∥平面AB1C,則線段EF的長(zhǎng)度為()A.12 B.1 C.2 D.【解析】選C.因?yàn)镋F∥平面AB1C,EF?平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因?yàn)辄c(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,所以點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),所以EF=12AC=24.(5分)(多選)下列說法中正確的是()A.一條直線如果和一個(gè)平面平行,它就和這個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行B.一條直線和一個(gè)平面平行,它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線無公共點(diǎn)C.過直線外一點(diǎn),有且僅有一個(gè)平面和已知直線平行D.如果直線l和平面α平行,那么過平面α內(nèi)一點(diǎn)和直線l平行的直線在α內(nèi)【解析】選ABD.根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知:直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行,A正確.根據(jù)線面平行的定義,直線與平面平行,則直線與平面內(nèi)的任何直線無公共點(diǎn),B正確.C中可以作無數(shù)個(gè)平面與直線平行,錯(cuò)誤.根據(jù)直線l與平面α內(nèi)一定點(diǎn)可以確定一個(gè)平面β,則平面α與平面β的交線與直線l平行,且在平面α內(nèi),D正確.5.(5分)(多選)如圖,在四棱錐P-ABCD中,M,N分別是AC,PC上的點(diǎn),且MN∥平面PAD,則()A.MN∥PD B.MN∥平面PABC.MN∥AD D.MN∥PA【解析】選BD.因?yàn)镸N∥平面PAD,MN?平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA,因?yàn)镻A?平面PAB,MN?平面PAB,因此,MN∥平面PAB.6.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若過A,C,B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l,則l與A1C1的位置關(guān)系是________.

【解析】如圖,易知AC∥平面A1B1C1D1.又因?yàn)槠矫鍭CB1經(jīng)過直線AC與平面A1B1C1D1相交于直線l,所以AC∥l,又因?yàn)锳C∥A1C1,所以l∥A1C1.答案:平行7.(5分)如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP=a3,過P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=__________【解析】因?yàn)镸N∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,所以MN∥PQ.因?yàn)镸N∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC.因?yàn)锳P=a3,所以DP=DQ=2a3.所以PQ=2×2答案:228.(5分)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為AA1的中點(diǎn),點(diǎn)P在側(cè)棱CC1上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P________時(shí),A1P∥平面BCD.

【解析】如圖,假設(shè)A1P∥平面BCD.因?yàn)锳1P?平面AA1C1C,平面AA1C1C∩平面BDC=DC,所以A1P∥CD.又因?yàn)镈為AA1的中點(diǎn),所以P為CC1的中點(diǎn).答案:是CC1的中點(diǎn)9.(10分)求證:若兩個(gè)相交平面分別過兩條平行直線,則它們的交線和這兩條平行直線平行.【證明】已知:a∥b,a?α,b?β,α∩β=l.求證:a∥b∥l.如圖所示,因?yàn)閍∥b,b?β,a?β,所以a∥β,又因?yàn)閍?α,α∩β=l,所以a∥l,又因?yàn)閍∥b,所以a∥b∥l.【綜合應(yīng)用練】10.(5分)設(shè)a,b是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面,若a∥α,a?β,α∩β=b,則α內(nèi)與b相交的直線與a的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交C.異面 D.平行或異面【解析】選C.條件即為線面平行的性質(zhì)定理,所以a∥b,又a與α無公共點(diǎn),所以α內(nèi)與b相交的直線與a異面.11.(5分)(多選)在空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí),下面結(jié)論正確的有()A.E,F,G,H一定是各邊的中點(diǎn)B.G,H一定是CD,DA的中點(diǎn)C.AE∶EB=AH∶HD且BF∶FC=DG∶GCD.四邊形EFGH是平行四邊形或梯形【解析】選CD.由BD∥平面EFGH和線面平行的性質(zhì)定理,得BD∥EH,BD∥FG,則AE∶EB=AH∶HD且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形或梯形.12.(5分)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),N是平面ABCD外一點(diǎn),設(shè)AC∩BD=O,P為NC上一點(diǎn),若OP∥平面NEF,則NP∶PC=__________.

【解析】設(shè)AC∩EF=H,連接NH.因?yàn)镺P∥平面NEF,平面NEF∩平面NHC=NH,OP?平面NHC,所以O(shè)P∥NH,所以NP∶PC=HO∶OC.在正方形ABCD中,因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以HO∶OC=1∶2.所以NP∶PC=1∶2.答案:1∶2【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC上的動(dòng)點(diǎn),D是AA1上的動(dòng)點(diǎn),且ADDA1=m,AE∥平面(1)若E是BC的中點(diǎn),則m的值為________;

(2)若E是BC上靠近B的三等分點(diǎn),則m的值為________.

【解析】(1)如圖,設(shè)G是CB1上一點(diǎn),連接DG,GE.因?yàn)锳E∥平面DB1C,所以AE∥DG.又AD∥平面CBB1C1,所以AD∥EG,則四邊形DAEG是平行四邊形.故DA=GE,所以G是CB1的中點(diǎn).故AD=DA1,即ADDA1=1,即(2)如圖,設(shè)H是CB1上一點(diǎn),連接DH,HE.因?yàn)锳E∥平面DB1C,所以AE∥DH,又AD∥BB1,所以AD∥平面CBB1C1,所以AD∥EH,故四邊形DAEH是平行四邊形,則AD=EH,因?yàn)镋H∥BB1,所以EHBB1=CE所以ADAA1=EH則ADDA1=2,即答案:(1)1(2)213.(10分)求證:如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行,那么這條直線和它們的交線平行.【證明】已知直線a,l,平面α,β滿足α∩β=l,a∥α,a∥β.求證:a∥l.證明如下:如圖所示,過a作平面γ交平面α于b,因?yàn)閍∥α,所以a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c,因?yàn)閍∥β,所以a∥c.則b∥c.又因?yàn)閎?β,c?β,所以b∥β.又因?yàn)閎?α,α∩β