高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊5.2.2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(二)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(二)含答案5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會利用弦切互化求關(guān)于sinα,cosα齊次式的值.2.能解決與sinα±cosα,sinαcosα有關(guān)的求值問題.3.會用同角三角函數(shù)關(guān)系解決相關(guān)的最值問題.【素養(yǎng)達(dá)成】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算類型一利用弦切互化求關(guān)于sinα,cosα的齊次式的值(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】已知tanα=-34(1)3sinα【解析】(1)因?yàn)閠anα=-34,所以3sinα+2cosαsinα-(2)2sin2α+3sinαcosα-cos2α.【解析】(2)因?yàn)閠anα=-34,所以2sin2α+3sinαcosα-cos2α==2tan2α+3tanα【總結(jié)升華】利用弦切互化求關(guān)于sinα,cosα的齊次式的值(1)形如asinα+(2)形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子,可以看作分母是1的分式,再將1變形為sin2α+cos2α,分子、分母同除以cos2α;(3)最終都化為tanα的形式,代入即可求解.【即學(xué)即練】已知4sinθ-2cos(1)求tanθ的值;【解析】(1)由4sinθ-2cosθ3sin得44tanθ-22=18tanθ+30,解得tanθ=2.(2)求1-4sinθcosθ+2cos2θ的值.【解析】(2)1-4sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ-由(1)得tanθ=2,所以tan2θ-4tanθ所以1-4sinθcosθ+2cos2θ=-15類型二與sinα±cosα,sinαcosα有關(guān)的求值(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】已知-π2<x<0,sinx+cosx=15(1)sinxcosx;【解析】(1)因?yàn)閟inx+cosx=15所以(sinx+cosx)2=152,即1+2sinxcosx=所以2sinxcosx=-2425,所以sinxcosx=-12(2)sinx-cosx;【解析】(2)由(1)知,sinxcosx=-1225(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+2425=49又-π2<x<0,所以sinx<0,cosx所以sinx-cosx<0,所以sinx-cosx=-75(3)1cos【解析】(3)因?yàn)閟inx+cosx=15,sinx-cosx=-7所以1cos2x-sin2x【總結(jié)升華】與sinα±cosα,sinαcosα有關(guān)的求值(1)對于三角函數(shù)式sinα±cosα,sinαcosα之間的關(guān)系,通過(sinα±cosα)2=1±2sinα·cosα進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)若已知sinα±cosα,sinαcosα中三者之一,利用方程思想可以求得其余的三角函數(shù)值.(3)sinα±cosα符號的判斷需要依據(jù)角的范圍而定.【即學(xué)即練】(2024·青島高一檢測)已知sinα+cosα=15(1)當(dāng)α∈(0,π)時,求tanα的值;【解析】(1)因?yàn)?sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=125得2sinαcosα=-2425<0因?yàn)棣痢?0,π),所以α∈(π2(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=4925因?yàn)閟inα>0,cosα<0,所以sinα-cosα=75,得sinα+cosα=15sinαtanα=sinαcosα(2)求1-2sin【解析】(2)1-2sin=sin2α+cos2由(1)(cosα-sinα)2=4925可得cosα-sinα=±75類型三與同角三角函數(shù)關(guān)系相關(guān)的最值問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(2024·菏澤高一檢測)已知θ∈(0,π),則12sin2θ-cos2【解析】θ∈(0,π),0<sinθ≤1,12sin2θ-cos2θ=1≥212sin2當(dāng)且僅當(dāng)12sin2θ=sin2θ,即sin所以12sin2θ-cos2θ答案:2-1【總結(jié)升華】與同角三角函數(shù)關(guān)系相關(guān)的最值問題(1)根據(jù)sin2α+cos2α=1,將所求最值的式子化為能利用基本不等式求最值的形式;(2)要特別注意基本不等式求最值的前提與等號成立的條件.【即學(xué)即練】若對任意的θ∈(0,π3),不等式1sin2θ+4cos2θ【解析】因?yàn)棣取?0,π3所以sinθ>0,cosθ>0,tanθ>0,所以1sin2θ+4cos=cos2θsin2θ+4sin2θ當(dāng)且僅當(dāng)4tan2θ=1tan2θ,即tanθ所以1sin2θ所以|2x-1|≤9,解得-4≤x≤5,即實(shí)數(shù)x的取值范圍是[-4,5].答案:[-4,5]5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.2.會用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行求值、化簡與證明.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算同角三角函數(shù)基本關(guān)系1.平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1(α∈R);2.商數(shù)關(guān)系:sinαcosα=tanα(α≠π2+kπ,【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)對任意角α,sin24α+cos24α=1都成立.(√)提示:由同角三角函數(shù)平方關(guān)系知,對任意角α,sin24α+cos24α=1都成立.(2)對任意角α,sinα2cos提示:當(dāng)α=π+2kπ(k∈Z)時,α2=π2+kπ(k∈Z),此時cosα(3)存在角α,β有sin2α+cos2β=1.(√)提示:當(dāng)β=α+kπ(k∈Z)時,cosβ=±cosα,所以sin2α+cos2β=1.(4)若sinx=a,則cosx的取值一定有2個.(×)提示:當(dāng)sinx=1時,由sin2x+cos2x=1得cosx=0,即cosx有且僅有一個取值.類型一利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(教材提升例6)(1)已知sinα=-22,α在第四象限,求cosα,tanα【解析】(1)因?yàn)閟inα=-22,α所以cosα=1-sin2α=22(2)已知tanα=-43,求sinα,cosα【解析】(2)因?yàn)閠anα=-43所以sin2α=sin2αsin2α當(dāng)α為第二象限角時,sinα=45,cosα=-3當(dāng)α為第四象限角時,sinα=-45,cosα=3(3)已知cosα=23,求sinα,tanα的值【解析】(3)因?yàn)閏osα=23>0,當(dāng)α為第一象限角時,sinα=1-cos2α=53,tanα=52,當(dāng)α為第四象限角時,sinα=-5【總結(jié)升華】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值(1)由已知三角函數(shù)的符號確定角的終邊所在的象限;(2)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出其余三角函數(shù)值;(3)根據(jù)角所在象限確定取正取負(fù).【即學(xué)即練】(多選)下列說法中正確的有()A.若sinα=32,則cosα=±B.已知角α∈(π,3π2),若tanα=3,則sinα=C.已知角α∈(0,π),若cosα=35,則tanα=D.對于任意角α都有tanα=sin【解析】選AC.對A,因?yàn)閟inα=32,所以cosα=±1-sin對B,因?yàn)閠anα=3,α∈(π,3π2),所以sinα對C,α∈(0,π),因?yàn)閏osα=35,所以α在第一象限,則tanα=sinαcos對D,當(dāng)α=π2+kπ,k∈Z時,cosα=0,tanα不存在,故不正確【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.在△ABC中,已知cosA=-513,求sinA,tanA的值【解析】在△ABC中,cosA=-513,所以A∈(π所以sinA=1-cos2A=1213,tanA2.在△ABC中,已知cosB+sinB=15,求sinBcosB的值【解析】在△ABC中,cosB+sinB=15(cosB+sinB)2=1+2sinBcosB=125所以sinBcosB=-1225類型二利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(2024·六安高一檢測)(教材提升練習(xí)T4)化簡:(1)2cos2α-11-【解析】(1)原式=2cos2α-(si=cos2α-sin(2)tan2α-sin2α-tan2αsin2α.【解析】(2)tan2α-sin2α-tan2αsin2α=tan2α(1-sin2α)-sin2α=sin2αcos2α·cos2α【總結(jié)升華】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(1)化切為弦,減少函數(shù)名稱;(2)構(gòu)造1=sin2α+cos2α,降低次數(shù).【即學(xué)即練】1.已知cosθ=13,則(tanθ+1tanθ)·sinθ【解析】(tanθ+1tanθ)·sinθ=(sinθcos=sin2θ=1cosθ答案:32.化簡:sin2αtanα+cos2αtanα【解析】sin2αtanα+cos2αtanα=sin2α·sinαcosα+cos2α·cosα=sin=(sin2α類型三利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(教材提升例7)求證:(1)1+2sinxcosx【證明】(1)左邊=1+2sinxcos=sinx+cosxcos(2)(cosα-1)2+sin2α=2-2cosα.【證明】(2)左邊=(cosα-1)2+sin2α=cos2α-2cosα+1+sin2α=2-2cosα=右邊,故得證.【總結(jié)升華】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明(1)從任意一邊開始,推出它等于另一邊;(2)用