高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)第三章 階段提升課含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)第三章階段提升課含答案階段提升課題型一求函數(shù)的定義域、值域1.定義域:使各式子有意義的集合的交集;2.值域:在函數(shù)的定義域下函數(shù)值的取值范圍,一般是利用函數(shù)的圖象或函數(shù)的單調(diào)性求值域;3.核心素養(yǎng):掌握集合的運(yùn)算,解簡(jiǎn)單的不等式,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).【典例1】(1)函數(shù)f(x)=(x-2)0+2xA.(0,4)B.[-4,2)∪(2,4]C.(-4,2)∪(2,4)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)【解析】選C.由題意,16-x2>0x-所以函數(shù)f(x)=(x-2)0+2x216-(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域是[-2,4],則函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)的定義域是()A.[-4,2] B.[-2,2]C.[-2,4] D.[-4,-2]【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的定義域是[-2,4],所以-2≤-x≤4,可得-4≤x≤2,即f(-x)的定義域?yàn)閇-4,2],所以函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)的定義域取交集,可得[-2,2].(3)函數(shù)y=3x2-2x,x【解析】因?yàn)閥=3x2-2x則y1=3x,y2=-2x在-所以y=3x2-所以3×(-1)2-即-1≤y≤52,所以函數(shù)的值域?yàn)?答案:-【補(bǔ)償訓(xùn)練】函數(shù)y=x2-2x-3,x∈[0,4)的值域?yàn)?

【解析】y=f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,4)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(1)=-4,所以f(x)max=f(4)=5,綜上可得函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-4,5).答案:[-4,5)【總結(jié)升華】1.求函數(shù)定義域的類型與方法(1)已給出函數(shù)解析式:函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.(2)常見求定義域形式:根式,根號(hào)下非負(fù);分式,分母不為0;0次冪,底數(shù)不為0.(3)復(fù)合函數(shù)問題:①若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],f(g(x))的定義域應(yīng)由a≤g(x)≤b解出;②若f(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在[a,b]上的值域.提醒:f(x)中的x與f(g(x))中的g(x)地位相同.2.求函數(shù)值域的一般方法(1)配方法:二次函數(shù)或換元后為二次函數(shù)型的函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域.(2)單調(diào)性法:函數(shù)為一般函數(shù)或者復(fù)合函數(shù),先確定函數(shù)的單調(diào)性,再求函數(shù)的值域.題型二函數(shù)的圖象1.問題類型:(1)根據(jù)函數(shù)的解析式及性質(zhì)判斷函數(shù)圖象;(2)利用函數(shù)的圖象可以直觀觀察函數(shù)的定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等;2.解題關(guān)鍵:熟悉一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及冪函數(shù)圖象;3.核心素養(yǎng):掌握簡(jiǎn)單的基本函數(shù)圖象,提升直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).【典例2】(1)已知函數(shù)f(x)=-x,x≤0-x2+2x,x>0,方程A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.因?yàn)閒2(x)-bf(x)=0,所以f(x)=0或f(x)=b,作函數(shù)f(x)=-x結(jié)合圖象可知,f(x)=0有兩個(gè)不同的根,f(x)=b(0<b<1)有三個(gè)不同的根,且5個(gè)根都不相同,故方程的根的個(gè)數(shù)是5.(2)已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|.①畫出函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②求集合M={m|使方程f(x)=m有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根}.【解析】①根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|=x2其圖象如圖:則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)和(1,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)和(3,+∞);②根據(jù)題意,若方程f(x)=m有四個(gè)不相等的實(shí)根,則函數(shù)y=f(x)與直線y=m有4個(gè)不同的交點(diǎn),由函數(shù)的圖象,必有0<m<4,即M={m|0<m<4}.【總結(jié)升華】作函數(shù)圖象的方法(1)描點(diǎn)法:求定義域;化簡(jiǎn);列表、描點(diǎn)、連線.(2)變換法:熟知函數(shù)圖象的平移、伸縮、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn).①平移:(其中h>0,k>0).y=f(x)y=f(x±h)y=f(x)y=f(x)±k②對(duì)稱:y=f(x)y=f(-x)y=f(x)y=-f(x)y=f(x)y=-f(-x)提醒:利用單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性簡(jiǎn)化作圖.題型三函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)性質(zhì):主要有單調(diào)性和奇偶性;2.?？碱}型:主要是利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求值、比較大小、解不等式;3.解題關(guān)鍵:解不等式時(shí)經(jīng)常結(jié)合圖象,要注意勿漏定義域;4.核心素養(yǎng):掌握單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明,會(huì)簡(jiǎn)單的綜合運(yùn)用,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).【典例3】(1)設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)必為()A.增函數(shù)且是奇函數(shù)B.增函數(shù)且是偶函數(shù)C.減函數(shù)且是奇函數(shù)D.減函數(shù)且是偶函數(shù)【解析】選A.因?yàn)镕(x)=f(x)-f(-x),所以F(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(x),所以F(x)必定是奇函數(shù).又f(x)是定義在R上的增函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f(-x)是定義在R上的減函數(shù),故f(x)-f(-x)是一個(gè)增函數(shù),所以F(x)為增函數(shù)且為奇函數(shù).(2)已知函數(shù)f(x)=mx2+23x①求實(shí)數(shù)m和n的值;②求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上的最值.【解析】①因?yàn)閒(x)=mx所以f(-x)=-f(x),即mx2+2即-3x+n=-3x-n,得n=-n,解得n=0,此時(shí)f(x)=mx因?yàn)閒(2)=53所以f(2)=4m+26=53綜上知,m=2,n=0.②由①得f(x)=2x2+23x由對(duì)勾函數(shù)可知函數(shù)y=x+1x在(0,1),(-1,0)上單調(diào)遞減,在(1,+∞),(-∞,-1)上單調(diào)遞增則函數(shù)f(x)在[-2,-1]上單調(diào)遞增,即f(x)min=f(-2)=-53,f(x)max=f(-1)=-4所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上的最小值為-53,最大值為-4【總結(jié)升華】1.解決函數(shù)性質(zhì)綜合問題的方法根據(jù)函數(shù)的奇偶性解答或作出圖象輔助解答,先證明函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.2.研究抽象函數(shù)的性質(zhì)的方法(1)要緊扣其定義;(2)注意根據(jù)解題需要給x靈活賦值.題型四函數(shù)的應(yīng)用1.?？碱}型:成本最少、利潤(rùn)最高等問題;2.數(shù)學(xué)模型:一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等數(shù)學(xué)模型;3.解題關(guān)鍵:能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型,建立合適的數(shù)學(xué)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;4.核心素養(yǎng):通過構(gòu)造解決實(shí)際問題,重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【典例4】一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元,年產(chǎn)量為x(x∈N*)件.當(dāng)x≤20時(shí),年銷售總收入為(33x-x2)萬元;當(dāng)x>20時(shí),年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬元.(年利潤(rùn)=年銷售總收入-年總投資)(1)求y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式;【解析】(1)當(dāng)0<x≤20時(shí),y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100,當(dāng)x>20時(shí),y=260-100-x=160-x,故y=-x2+32x-100(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí),所得年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?【解析】(2)由(1)得y=-x2+32x-100當(dāng)0<x≤20時(shí),y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,所以x=16時(shí),ymax=156,當(dāng)x>20時(shí),160-x<140,故該工廠的年產(chǎn)量為16件時(shí),所得年利潤(rùn)最大,最大年利潤(rùn)是156萬元.【總結(jié)升華】能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型,特別注意實(shí)際問題與自變量取值范圍的聯(lián)系.階段綜合測(cè)評(píng),請(qǐng)使用“單元形成性評(píng)價(jià)(三)”第四章階段提升課題型一指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用1.問題類型:已知函數(shù)的值域、函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程的解的個(gè)數(shù)或兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的取值范圍;2.解題關(guān)鍵:熟悉基本初等函數(shù)圖象的作法與簡(jiǎn)單的圖象平移、翻折變換;3.核心素養(yǎng):提升直觀想象與邏輯推理能力.【典例1】(1)已知函數(shù)f(x)=x+1,x≤a2x,x>aA.(-∞,0] B.[0,1]C.[0,+∞) D.(-∞,1]【解析】選B.根據(jù)題意可得,在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)y=x+1和y=2x的圖象如圖所示:由圖可知,當(dāng)x=0或x=1時(shí),兩圖象相交,若f(x)的值域是R,以實(shí)數(shù)a為分界點(diǎn),可進(jìn)行如下分類討論:當(dāng)a<0時(shí),顯然兩圖象之間不連續(xù),即值域不為R;同理當(dāng)a>1時(shí),值域也不是R;當(dāng)0≤a≤1時(shí),兩圖象相接或者有重合的部分,此時(shí)值域是R;綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1].(2)(多選)(2024·太原高一檢測(cè))已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=1-log2x,0<x≤2log2x-1,2<x≤43-x12,A.15 B.26 C.32 D.41【分析】先判斷函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的特點(diǎn),設(shè)a<b<c,由圖象得ab是個(gè)定值,結(jié)合c的取值范圍,即可得出結(jié)果.【解析】選BC.作出f(x)的圖象如圖:當(dāng)x>4時(shí),由f(x)=3-x12=0,得若a,b,c互不相等,不妨設(shè)a<b<c,因?yàn)閒(a)=f(b)=f(c),所以由圖象可知0<a<2<b<4<c<9,由f(a)=f(b),得1-log2a=log2b-1,即log2a+log2b=2,即log2(ab)=2,則ab=4,所以abc=4c,因?yàn)?<c<9,所以16<4c<36,即16<abc<36,所以abc的取值范圍是(16,36).【總結(jié)升華】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是利用數(shù)形結(jié)合思想求函數(shù)的交點(diǎn)、最值、解不等式的工具,在具體問題中,要能夠熟練作出函數(shù)的圖象,并會(huì)進(jìn)行平移、對(duì)稱、翻折變換.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)=2x+2,x≤1,lo【解析】因?yàn)閒(x)=2當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí),易知f(x)=2x+2在(-∞,1]上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)=log2(x-1)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.作出f(x)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,f(1)=4,f(17)=log2(17-1)=4,因?yàn)閒(x)在(-∞,a]上的最大值為4,所以a的取值范圍為[1,17].答案:[1,17]題型二指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用1.問題類型:求函數(shù)的值域或解不等式;2.解題關(guān)鍵:會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性;3.核心素養(yǎng):提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【典例2】(2024·朔州高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=loga2+3x2-3x((1)求f(x)的定義域,判斷f(x)的奇偶性并給出證明;【解析】(1)令2+3x2-3x>0,解得-23<x<23,則f(因?yàn)閒(-x)=loga2+3(-x)2-3(-x)=loga2-3x2+3x(2)若f(2m-1)+f(3m-2)<0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(2)f(2m-1)+f(3m-2)<0,即f(2m-1)<-f(3m-2)=f(2-3m).因?yàn)閒(x)=loga2+3x2-3x=log令u=42-3x-1,易得u=42-當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(-23,23)上單調(diào)遞減,則-23<2-3m<2m-1<23,解得35當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(-23,23)上單調(diào)遞增,則-23<2m-1<2-3m<23,解得49綜上,當(dāng)0<a<1時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是(35,56);當(dāng)a>1時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是(49,【總結(jié)升華】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用(1)以指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的值域問題,主要涉及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性;(2)與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的解不等式問題,主要應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,要特別注意自變量的取值范圍.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=a-2(1)求a,b的值;【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,即a-1b又因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以a-12xb+12x當(dāng)x≠0時(shí),有b·2x+1=b+2x,即(b-1)(2x-1)=0,又因?yàn)楫?dāng)x≠0時(shí),有2x-1≠0,所以b-1=0,所以b=1.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,所以a=1,b=1.(2)判斷f(x)的單調(diào)性;【解析】(2)由(1)知:函數(shù)f(x)=1-2x1+2因?yàn)閥=1+2x在R上單調(diào)遞增,且1+2x>1,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減.(3)若存在t∈[0,4],使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立,求k的取值范圍.【解析】(3)因?yàn)榇嬖趖∈[0,4],使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以不等式可轉(zhuǎn)化為f(k+t2)<f(2t2-4t),又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是減函數(shù),所以k+t2>2t2-4t,所以k>t2-4t,令g(t)=t2-4t=(t-2)2-4,由題意可知:問題等價(jià)為k>g(t)min,又因?yàn)間(t)min=g(2)=-4,所以k>-4.2.(2024·石家莊高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定義域?yàn)?4(1)設(shè)t=log2x,求t的取值范圍;【解析】(1)t=log2x在14故t=log2x∈log(2)求函數(shù)的最大值與最小值,并求出取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.【解析】(2)f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=(log2x)2+3log2x+2,令m=log則函數(shù)變形為y=m2+3m+2=(m+32)2-1當(dāng)m=-32時(shí),ymin=-14,此時(shí)log2x=-32,解得x=2當(dāng)m=2時(shí),ymax=12,此時(shí)log2x=2,解得x=4.題型三函數(shù)的零點(diǎn)1.問題類型:已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍;2.解題關(guān)鍵:掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理與化歸轉(zhuǎn)化思想;3.核心素養(yǎng):提升邏輯推理與直觀想象能力.【典例3】(1)已知函數(shù)f(x)=2x-1,x<1(x-a)(A.(0,12) B.[1C.[12,1) 【解析】選C.當(dāng)x<1時(shí),2x-1=0,得x=0,成立,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn),所以x≥1時(shí),(x-a)(x-2a)=0有1個(gè)實(shí)數(shù)根,因?yàn)閍為正數(shù),只需滿足a<1≤2a,解得12≤a<1(2)若函數(shù)f(x)=alog2x+a·4x+3在區(qū)間(12,1)上有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(-∞,-3) B.(-32,-3C.(-3,-34) D.(-32,-【解析】選C.函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x,y=4x在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增的,而f(x)=a(log2x+4x)+3,當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)a<0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3無零點(diǎn),則當(dāng)a≠0時(shí),函數(shù)f(x)=alog2x+a·4x+3在(0,+∞)上連續(xù)且單調(diào).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(12,1)上有零點(diǎn),則由零點(diǎn)存在定理得f(12)·即(-a+2a+3)(4a+3)<0,解得-3<a<-34所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-3,-34)【總結(jié)升華】函數(shù)的零點(diǎn)(1)已知函數(shù)f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍,可以轉(zhuǎn)化為研究方程f(x)=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)或兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)已知函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍,可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理列不等式求解.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(2024·北京高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=4x-2x+a有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則a的取值范圍是()A.(0,1) B.(0,14C.(-14,14) D.(-【分析】將f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程t2-t+a=0在(0,+∞)內(nèi)有t1,t2兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列不等式求解即可.【解析】選B.令2x=t>0,則y=t2-t+a,函數(shù)t=2x單調(diào)遞增,所以要想f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則需要函數(shù)y=t2-t+a,t>0有兩個(gè)零點(diǎn),即方程t2-t+a=0在(0,+∞)內(nèi)有t1,t2兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以Δ=1-4a>02.函數(shù)f(x)=(12)-x-3x+a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (A.(1,+∞)B.(-52C.(-∞,-52)∪D.(-∞,-52【分析】先判斷出f(x)=(12)-x-3x+a在(0,+∞)上是增函數(shù),利用零點(diǎn)存在定理列不等式可求a【解析】選B.因?yàn)閥=2x和y=-3x所以f(x)=2x-3x+a所以只需f(1)·f(2)<0即可,即(-1+a)·(52+a)<0,解得-52<a題型四函數(shù)模型的應(yīng)用1.問題類型:用函數(shù)模型解決實(shí)際問題;2.解題關(guān)鍵:建立函數(shù)模型,從具體情境中提煉數(shù)據(jù);3.核心素養(yǎng):提升數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【典例4】(1)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響,醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來一直保持持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力,計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元,最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái),需另投入成本G(x)萬元,且G(x)=x2+120①寫出年利潤(rùn)W(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式(利潤(rùn)=銷售收入-成本);②當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【解析】①由題意可得:當(dāng)0<x≤50時(shí),W(x)=200x-(x2+120x)-200=-x2+80x-200,當(dāng)50<x≤100時(shí),W(x)=200x-(201x+4900x-2100)-200=-(x故W(x)=-x②當(dāng)0<x≤50時(shí),W(x)=-x2+80x-200=-(x-40)2+1400,得x=40時(shí)W(x)max=1400萬元;當(dāng)50<x≤100時(shí),W(x)=-(x+4900x)+1900≤-2x·4900此時(shí)W(x)max=1760萬元.綜上可知,該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是1760萬元.(2)(2024·麗水高一檢測(cè))某廠家為增加某種商品的銷售量,決定投入廣告.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,廣告投入費(fèi)用f(x)(單位:萬元)與增加的銷售量x(單位:千件)(0≤x≤16)滿足下列數(shù)據(jù):增加的銷售量x01245廣告投入費(fèi)用f(x)0.0000.4520.8161.3281.500為了描述廣告投入費(fèi)用f(x)與增加的銷售量x的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=0.5x+a,f(x)=klogax+b(a,b,c,k∈R)①選出你認(rèn)為最符合題意的函數(shù)模型,并說明理由;②根據(jù)你選擇的函數(shù)模型,求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;你認(rèn)為增加的銷售量x為多少時(shí),每千件的廣告投入費(fèi)用最少?【解析】①因?yàn)閒(x)=0.5x+a,在區(qū)間[0,16]上單調(diào)遞減,所以與題表中數(shù)據(jù)矛盾,該模型不合適.因?yàn)閒(x)=klogax+b,則函數(shù)在x=0處無意義,所以與題表中數(shù)據(jù)矛盾,該模型不合適.故選擇f(x)=ax3+bx2+cx是最合適的模型.②將(1,0.452),(2,0.816),(4,1.328)代入f(x)=ax3+bx2+cx可得,a+b所以f(x)=0.002x3-0.05x2+0.5x(0≤x≤16);設(shè)每千件的廣告投入費(fèi)用為W(x),則W(x)=0.002x3-0.05x2+0.5xx=0.002x2-0.所以當(dāng)x=12.5時(shí),W(x)最小,最小值為0.1875,故增加的銷售量達(dá)到12.5千件時(shí),才能使每千件的廣告投入費(fèi)用最少.【總結(jié)升華】函數(shù)模型的應(yīng)用(1)明確題意,建立數(shù)學(xué)模型;(2)通過數(shù)學(xué)模型求解相關(guān)問題;(3)將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題.【真題1】(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是 ()A.(-∞,-2] B.[-2,0)C.(0,2] D.[2,+∞)【解析】選D.函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則有函數(shù)y=x(x-a)=(x-a2)2-a24在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,因此a所以a的取值范圍是[2,+∞).溯源(教材P120習(xí)題4.2T9)已知