高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時過程性評價五十八　簡單的三角恒等變換(二)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時過程性評價五十八簡單的三角恒等變換(二)含答案五十八簡單的三角恒等變換(二)(時間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)3cos15°-4sin215°cos15°等于 ()A.12 B.22 C.1 D【解析】選D.3cos15°-4sin215°cos15°=3cos15°-2sin15°·sin30°=3cos15°-sin15°=-2(12sin15°-32=-2sin(-45°)=2.2.(5分)sin8°+3cos8°A.2 B.1 C.22 D.【解析】選A.sin8=2(=2sin(8°+60°)3.(5分)若3sinα-cosα=105,則cos(α+π3)等于 (A.105 B.-105 C.1010 D【解析】選D.因?yàn)?sinα-cosα=2(32sinα-12cosα)=-2cos(α+π3)所以cos(α+π3)=-104.(5分)公元前6世紀(jì),古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時,發(fā)現(xiàn)了黃金分割數(shù)5-12,其近似值為0.618,這是一個偉大的發(fā)現(xiàn),這一數(shù)值也表示為a=2sin18°,若a2+b=4,則a2bA.12B.2C.5+12【解析】選B.因?yàn)閍=2sin18°,a2+b=4,所以b=4-a2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,所以a2b1-cos72°5.(5分)若3sinx+cosx=4-m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.[2,6] B.[-6,6]C.(2,6) D.[2,4]【解析】選A.因?yàn)?sinx+cosx=4-m,所以32sinx+12cosx=所以sinπ3sinx+cosπ3cosx=所以cos(x-π3)=4因?yàn)?1≤cos(x-π3)所以-1≤4-m2≤1,所以2≤6.(5分)(多選)已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+sin2x,則下列說法正確的是 ()A.f(x)的最大值為2B.f(x)的最小正周期為πC.f(x)關(guān)于直線x=-π8D.f(x)在(0,π4)【解析】選BCD.因?yàn)閒(x)=12sin2x+1-cos2x2=12(sin2x-cos2x)+12=22sin(所以f(x)max=22+12=2+12,最小正周期T當(dāng)x=-π8時,sin(2x-π4所以直線x=-π8為對稱軸當(dāng)x∈(0,π4)時,2x-π4∈(-π4,所以f(x)在(0,π4)綜上有B,C,D正確,A不正確.7.(5分)噴泉是流動的藝術(shù),美妙絕倫的噴泉給人以無限的享受,若不考慮空氣阻力,當(dāng)噴泉水柱以與水平方向夾角為α的速度v噴向空氣中時,水柱在水平方向上移動的距離為D=v2gsin2α,能夠達(dá)到的最高高度為H=v24g(1-cos2α)(如圖所示,其中g(shù)為重力加速度).若tanα=52,則【解題指南】先表示HD,然后結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡即可求解【解析】HD=v2=2sin2α8sinαcosα=答案:58.(5分)如圖,扇形OAB的半徑為1,圓心角為π2,若P為AB上異于A,B的點(diǎn),且PQ⊥OB交OB于點(diǎn)Q,當(dāng)△POQ的面積大于38時,∠POQ的取值范圍為【解析】設(shè)∠POQ=θ(0<θ<π2)則PQ=sinθ,OQ=cosθ,所以S△POQ=12sinθcosθ=14由14sin2θ>38,得sin2θ>又2θ∈(0,π),所以π3<2θ<2π則π6<θ<π所以∠POQ的取值范圍為(π6,π3答案:(π6,π9.(10分)已知函數(shù)f(x)=23sinxcosx+2cos2x.(1)求函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸的距離;【解析】f(x)=23sinxcosx+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1(1)函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸的距離為T2=π(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π6,π3]上的最大值與最小值,以及此時x【解析】(2)因?yàn)閤∈[-π6,π3所以2x+π6∈[-π6,5π所以當(dāng)2x+π6=π2,即x=π6時,f當(dāng)2x+π6=-π6,即x=-π6時,f(10.(10分)如圖,矩形ABCD的長AD=23,寬AB=1,A,D兩點(diǎn)分別在x,y軸的正半軸上移動,B,C兩點(diǎn)在第一象限,求OB2的最大值.【解析】過點(diǎn)B作BH⊥OA,垂足為H.設(shè)∠OAD=θ(0<θ<π2),則∠BAH=π2-OA=23cosθ,BH=sin(π2-θ)=cosθ,AH=cos(π2-θ)=sin所以點(diǎn)B坐標(biāo)為(23cosθ+sinθ,cosθ),OB2=(23cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+23sin2θ=7+43sin(2θ+π3)由0<θ<π2,知π3<2θ+π3所以當(dāng)θ=π12時,OB2取得最大值7+43【綜合應(yīng)用練】11.(5分)若不等式4sin2x+43sinxcosx+5≤m在[0,π2]上有解,則實(shí)數(shù)m()A.11 B.5 C.-5 D.-11【解析】選B.設(shè)y=4sin2x+43sinxcosx+5=2(1-cos2x)+23sin2x+5=4sin(2x-π6)+7因?yàn)閤∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,所以y=4sin(2x-π6)+7∈又y≤m有解,故實(shí)數(shù)m的最小值為5.12.(5分)若函數(shù)f(x)=|3sinx+4cosx+m|的最大值是8,則m等于 ()A.3 B.13C.3或-3 D.-3或13【解析】選C.因?yàn)閒(x)=|3sinx+4cosx+m|,所以f(x)=|5sin(x+φ)+m|,因?yàn)?5≤5sin(x+φ)≤5,所以當(dāng)m>0時,f(x)max=|5+m|=8,解得m=3;當(dāng)m<0時,f(x)max=|-5+m|=8,解得m=-3.13.(5分)已知函數(shù)f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0)在[0,π]上有兩個零點(diǎn),則ω的取值范圍為 ()A.(116,176) B.[116C.(53,83) D.[53【解析】選B.f(x)=3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)由x∈[0,π],又ω>0,則可令t=ωx+π6∈[π6,ωπ+π又函數(shù)y=2sint在t∈[π6,ωπ+π6則2π≤ωπ+π6<3π,解得ω∈[116,1714.(5分)如圖所示,有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個角有部分損壞,現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二,則應(yīng)按角度x=來截.

【解析】設(shè)原正方形鋼板的邊長為a,截后的正方形鋼板邊長為b,則a2b2=32,又a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=62所以sin(x+π4)=3因?yàn)?<x<π2,π4<x+π4所以x+π4=π3或2π3,則x=π答案:π12或15.(10分)如圖,已知OPQ是半徑為5,圓心角為θ(tanθ=2)的扇形,C是扇形弧上的動點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.當(dāng)矩形ABCD的周長最大時,求BC邊的長.【解析】由tan得sin設(shè)∠COP=α,則AD=BC=OCsinα=5sinα,OB=OCcosα=5cosα,在Rt△OAD中,∠AOD=θ,所以O(shè)A=ADtanθ=52所以CD=AB=OB-OA=5cosα-52sinα所以矩形ABCD的周長為2(AB+BC)=2×(5cosα-52sinα+5sinα)=5(sinα+2cosα)=55sin(α+θ當(dāng)α+θ=π2時,矩形ABCD的周長取最大值55,此時BC=5sinα=5sin(π2-θ)=5cosθ=【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知小朋友從傾斜度為θ的滑梯上下滑的長度s與t2和sinθ的積成正比,當(dāng)θ=π6時,小朋友下滑2秒時的長度恰好為10米(1)求s關(guān)于時間t的函數(shù)表達(dá)式;【解析】(1)由題意,設(shè)s=kt2sinθ,t≥0,k≠0,當(dāng)θ=π6,t=2時,s所以10=k×22sinπ6,解得k所以s關(guān)于時間t的函數(shù)表達(dá)式為s=5t2sinθ,t≥0.(2)請確定θ的值,使小朋友從點(diǎn)A滑到O所需的時間最短.【解析】(2)由題意,∠OBA為直角,可得OA=OBcosθ,所以O(shè)Bcosθ=5t化簡可得t=OB5cosθsin所以當(dāng)θ=π4時,時間t最短【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)已知函數(shù)f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x.若關(guān)于x的方程f(x)-m=2在x∈[π4,π2]上有解,則實(shí)數(shù)m【解析】f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x=1-cos(π2+2x)-3cos2x=1+sin2x-3cos2x=1+2sin(2x-π3),關(guān)于x的方程f(x)-m=2在x∈[π4,π2]上有解?關(guān)于x的方程f(x)=m+2在x∈[π4,π2]上有解?m+2的范圍與函數(shù)f(x)=1+2sin(2x-π3),x∈[π4,π2]的值域相同.當(dāng)x∈[π4,π2]時,2x-π3所以2≤m+2≤3,解得m∈[0,1].答案:[0,1]五十二正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)函數(shù)f(x)=-2tan(2x+π6A.{x∈R|x≠π6B.{x∈R|x≠-π12C.{x∈R|x≠kπ+π6,k∈D.{x∈R|x≠kπ2+π6,【解析】選D.由2x+π6≠π2+kπ,得x≠π6+kπ所以函數(shù)f(x)=-2tan(2x+π6)的定義域是{x∈R|x≠kπ2+π6,2.(5分)函數(shù)y=1tanx(-π4<x<πA.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,+∞)【解析】選B.因?yàn)?π4<x<π4且x≠0,所以-1<tanx<1且tanx≠0,所以y>1或y3.(5分)由正切函數(shù)的圖象可知,“tanx>0”是“x>0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選D.由正切函數(shù)的圖象可知,當(dāng)tanx>0時,不一定有x>0;當(dāng)x>0時,不一定有tanx>0,所以“tanx>0”是“x>0”的既不充分也不必要條件.4.(5分)不等式tanx≤-1的解集是()A.(2kπ-π2,2kπ-π4](kB.[2kπ-π4,2kπ+3π2](kC.(kπ-π2,kπ-π4](kD.[2kπ+π2,2kπ+3π4](k【解析】選C.由于正切函數(shù)是周期等于π的周期函數(shù),由不等式tanx≤-1,結(jié)合正切函數(shù)的圖象,可得在一個周期(-π2,π2)上,不等式的解集為(-π2,-π4],故在R上,不等式tanx≤-1的解集是(kπ-π2,kπ-π【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·昆明高一檢測)已知0≤x≤π,且|tanx|≥1,則x的取值范圍是()A.[0,π4]∪[3π4,π] B.[π4,π2)∪(C.[0,π4]∪(π2,3π4] D.[π4,π2【解析】選B.將|tanx|≥1轉(zhuǎn)化為tanx≥1或tanx≤-1,如圖所示:由正切函數(shù)圖象知x∈[π4,π2)∪(π2,5.(5分)已知函數(shù)f(x)=tanωx(0<ω<1),且經(jīng)過點(diǎn)(π2,1),則函數(shù)f(x)=tanωxA.π2 B.π C.2π D.【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)(π2所以tanωπ2=1,則ωπ2=kπ+π所以ω=2k+12(k∈又0<ω<1,所以ω=12所以函數(shù)的最小正周期為T=π126.(5分)(多選)下列關(guān)于函數(shù)y=tan(x+π3A.在區(qū)間(-5π6,πB.最小正周期是πC.圖象關(guān)于點(diǎn)(π4D.圖象關(guān)于直線x=π6【解析】選CD.令kπ-π2<x+π3<kπ+π2,解得kπ-5π6<x<kπ+π6,k∈易知該函數(shù)的最小正周期為π,故B正確,不符合題意;令x+π3=kπ2,解得x=kπ2-π3,k∈Z,任取正切函數(shù)曲線沒有對稱軸,因此函數(shù)y=tan(x+π3)的圖象也沒有對稱軸,故D錯誤,符合題意7.(5分)函數(shù)y=tan2x-2tanx+2的最小值為.

【解析】y=(tanx-1)2+1,由于tanx∈R,所以當(dāng)tanx=1時,函數(shù)取最小值1.答案:18.(5分)已知函數(shù)f(x)=tan(x+φ)的圖象的一個對稱中心為(π3,0),且|φ|<π2,則φ=【解析】因?yàn)閒(x)=tan(x+φ),所以由x+φ=kπ2(k∈Z)得,x=kπ2-φ因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=tan(x+φ)的圖象的一個對稱中心為(π3,0),且|φ|<π所以φ=π6或-π答案:π6或-9.(10分)求函數(shù)y=tan2x的定義域、值域和最小正周期,并作出它在區(qū)間[-π,π]上的簡圖.【解析】對于函數(shù)y=tan2x,令2x≠kπ+π2,k∈Z,求得x≠kπ2+π4故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ2+π4,由于函數(shù)y=tanx的值域?yàn)镽,故函數(shù)y=tan2x的值域?yàn)镽;它的最小正周期T=π2其在區(qū)間[-π,π]上的簡圖如下:10.(10分)(1)(2024·襄陽高一檢測)若函數(shù)y=tan(ωx+π4)在區(qū)間[-π3,π3]上單調(diào)遞減,且在[-π3,π3]上的最大值為【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=tan(ωx+π4)在[-π3,π3π|ω|>2π3,則-32<ω<0.又函數(shù)在[-π3,π3]上的最大值為3,所以-πω3+π4=π3+kπ,k∈因?yàn)?32<ω<0,所以k=0時,ω=-1(2)求函數(shù)y=3tan(π6-x4【解析】(2)函數(shù)y=3tan(π6-x4)=-3tan(x4-π6)的最小正周期T由-π2+kπ<x4-π6<π2+k求得-43π+4kπ<x<83π+4kπ,k所以函數(shù)y=-3tan(x4-π6)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-43π+4kπ,83π+4kπ),【綜合應(yīng)用練】11.(5分)下列圖形分別是①y=|tanx|;②y=tanx;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-3π2,3π2)內(nèi)的大致圖象,那么由a到A.①②③④ B.①③④②C.③②④① D.①②④③【解析】選D.y=tan(-x)=-tanx在(-π2,π2)上單調(diào)遞減,只有圖象d符合,即d對應(yīng)12.(5分)(2024·泰安高一檢測)與函數(shù)y=tan(2x+π4A.x=π2 B.y=π2 C.x=π8 D【解析】選C.對于A,當(dāng)x=π2時,y=tan(π+π4)=1,直線x=π2與函數(shù)y=tan(2x+π對于C,當(dāng)x=π8時,y=tan(π4+π4)=tanπ2無意義,直線x=π8與函數(shù)y對于B和D,正切函數(shù)的值域是R,所以直線y=π2和y=π8都與函數(shù)y=tan(2x+π13.(5分)已知函數(shù)y=tanωx在區(qū)間(-π2,πA.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1【解析】選B.因?yàn)閥=tanωx在(-π2,π2)內(nèi)單調(diào)遞減,所以ω<0且T=π|ω14.(5分)比較下列兩個數(shù)的大小(用“>”或“<”填空):(1)tan2π7tan10π【解析】(1)tan10π7=tan3π7,且0<2π7<3π又y=tanx在(0,π2所以tan2π7<tan3π7,即tan2π7答案:(1)<(2)tan6π5tan(-13π5【解析】(2)tan6π5=tanπ5,tan(-13π5因?yàn)?<π5<2π5<又y=tanx在(0,π2所以tanπ5<tan2π5,則tan6π5<tan(-答案:(2)<15.(10分)已知函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象與x軸相交的兩個相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為(π6,0)和(5π(1)求f(x)的解析式.【解析】(1)由題可