大二奧數(shù)試題及答案

大二奧數(shù)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列數(shù)列中，哪一項(xiàng)不是等差數(shù)列？

A.2,5,8,11,14

B.3,6,9,12,15

C.1,4,7,10,13

D.4,10,16,22,28

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是？

A.(1,2)

B.(1,3)

C.(2,1)

D.(2,2)

3.下列函數(shù)中，哪一項(xiàng)是奇函數(shù)？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

4.下列方程中，哪個(gè)方程的解集是實(shí)數(shù)集？

A.x^2+1=0

B.x^2-1=0

C.x^2+2x+1=0

D.x^2-2x+1=0

5.一個(gè)正方體的棱長為2，那么它的體積是？

A.4

B.8

C.12

D.16

二、填空題（每題5分，共20分）

1.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=3，公比q=2，則第5項(xiàng)an=________。

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是________。

3.函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0處的導(dǎo)數(shù)是________。

4.方程x^2-4x+3=0的解是________。

5.正方體的表面積是________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求解不等式：2x-3<5。

2.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間(1,3)上的最大值和最小值。

3.已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為3,5,7，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=1，公差d=2，則對任意正整數(shù)n，有an=2n-1。

2.證明：在三角形ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，計(jì)劃每天生產(chǎn)20個(gè)，10天完成。實(shí)際生產(chǎn)過程中，每天比計(jì)劃多生產(chǎn)5個(gè)，結(jié)果提前2天完成任務(wù)。求實(shí)際生產(chǎn)了多少天？

2.已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-3)，點(diǎn)Q在y軸上，且|PQ|=5，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

六、綜合題（每題20分，共40分）

1.某班級有男生x人，女生y人，已知男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，全班共有50人，求男生和女生各有多少人。

2.在直角坐標(biāo)系中，直線l的方程為2x-y=4，直線m與直線l平行，且經(jīng)過點(diǎn)(3,-2)，求直線m的方程。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.答案：D

解析：等差數(shù)列的相鄰項(xiàng)之差是常數(shù)，因此B選項(xiàng)中的數(shù)列不是等差數(shù)列。

2.答案：A

解析：線段中點(diǎn)的坐標(biāo)是兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的平均值，即(2+(-3))/2=1，(3+1)/2=2。

3.答案：B

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，只有x^3滿足這一條件。

4.答案：B

解析：x^2-1=(x-1)(x+1)，解集為所有實(shí)數(shù)。

5.答案：B

解析：正方體的體積是棱長的立方，即2^3=8。

二、填空題答案及解析：

1.答案：31

解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，代入a1=3，q=2，得an=3*2^(5-1)=3*16=48。

2.答案：(1,-2)

解析：關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的y坐標(biāo)取相反數(shù)，x坐標(biāo)不變。

3.答案：-3

解析：f'(x)=3x^2-4，代入x=0，得f'(0)=-3。

4.答案：1,3

解析：因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。

5.答案：24

解析：正方體的表面積是6倍的棱長平方，即6*2^2=24。

三、解答題答案及解析：

1.答案：7

解析：將不等式2x-3<5兩邊同時(shí)加3，得2x<8，再同時(shí)除以2，得x<4，因此實(shí)際生產(chǎn)了7天。

2.答案：f(x)在(1,3)上的最小值為-1，最大值為1

解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在(1,3)內(nèi)是一個(gè)開口向上的拋物線，頂點(diǎn)為x=2，因此最小值在x=2時(shí)取得，f(2)=-1；最大值在x=1或x=3時(shí)取得，f(1)=f(3)=1。

3.答案：an=2n+1

解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，得an=3+2(n-1)=2n+1。

四、證明題答案及解析：

1.答案：證明如下：

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=2，得an=1+2(n-1)=2n-1，因此結(jié)論成立。

2.答案：證明如下：

解析：由等腰三角形的性質(zhì)，底角相等，因此∠B=∠C。

五、應(yīng)用題答案及解析：

1.答案：8

解析：設(shè)實(shí)際生產(chǎn)了n天，則總產(chǎn)量為20n，實(shí)際生產(chǎn)了20n=20*8，因此實(shí)際生產(chǎn)了8天。

2.答案：(0,-3)，(0,3)

解析：點(diǎn)Q在y軸上，x坐標(biāo)為0，根據(jù)|PQ|=5，得Q點(diǎn)的y坐標(biāo)可以是-3或3。

六、綜合題答案及解析：

1.答案：男生有40人，女生有10人

解析：由男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，得x=2y，又因?yàn)槿喙灿?0人，得x+y=50