課時(shí)2一元線性回歸模型與非線性回歸問題綜合課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.2.2第二課時(shí)一元線性回歸模型與非線性回歸問題綜合邯鄲市荀子中學(xué)郭素霞

1.能通過具體實(shí)例說明一元線性回歸模型修改的依據(jù)與方法.2.通過對(duì)具體問題的進(jìn)一步分析，能將某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題并加以解決，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3.能通過實(shí)例說明決定系數(shù)R2的意義和作用，提高數(shù)據(jù)分析能力。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

2.最小二乘估計(jì)：

利用殘差圖直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型的假設(shè)。殘差散點(diǎn)圖應(yīng)均勻地分布在橫軸兩側(cè)，呈帶狀，寬度越窄，說明模型擬合精度越高。3.分析模型的回歸效果方法：新知引入

經(jīng)驗(yàn)表明，對(duì)于同一樹種，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.編號(hào)123456789101112胸徑/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2樹高/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7

思路點(diǎn)撥

新知引入解:以胸徑為橫坐標(biāo)，樹高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如圖：

在右圖中，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.用d表示胸徑,h表示樹高相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線如圖所示.計(jì)算可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為新知引入編號(hào)胸徑/cm樹高觀測值/m樹高預(yù)測值/m殘差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.21.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出樹高的預(yù)測值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如下表所示.2.以胸徑為橫坐標(biāo),殘差為縱坐標(biāo),作殘差圖,得下圖.觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對(duì)值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對(duì)稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).可見經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程由胸徑預(yù)測樹高.新知引入思考

人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”.

下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).

試依據(jù)這些成對(duì)數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.編號(hào)12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95解：以成對(duì)數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，

世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，

得到散點(diǎn)圖.圖中，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.相關(guān)系數(shù)

r

=-0.86新知學(xué)習(xí)用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄，

t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份，利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系.根據(jù)最小二乘法,由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：將經(jīng)驗(yàn)回歸直線疊加到散點(diǎn)圖，得到下圖：思考

從圖中可以看到,經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了散點(diǎn)的變化趨,請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)觀察圖形,你能看出其中存在的問題嗎?

第一個(gè)世界紀(jì)錄所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，并且前后兩時(shí)間段中的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的上方，中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的下方.這說明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.①新知學(xué)習(xí)思考

如何修正模型，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征？

思路點(diǎn)撥

仔細(xì)觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近?；仡櫼延械暮瘮?shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=-lnx圖象具有類似的形狀特征.注意到100m短跑的第一個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年,因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周圍，其中c1、c2為未知參數(shù)，且c2<0.非線性經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)新知學(xué)習(xí)思考

如何利用成對(duì)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c1和c2.

y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)

y=f(x)=c1+c2x令x=ln(t-1895)編號(hào)12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95通過x=ln(t-1895)，將年份變量數(shù)據(jù)進(jìn)行變換(精確到0.01)編號(hào)12345678x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95由散點(diǎn)圖可知，現(xiàn)在散點(diǎn)的分布呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征，故可以一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.畫散點(diǎn)圖②新知學(xué)習(xí)思考

對(duì)于通過創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程，你能判斷哪個(gè)回歸方程擬合的精度更好嗎？

在同一坐標(biāo)系中畫出成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖、非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的圖像(藍(lán)色)以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的圖像(紅色)，如圖所示.

我們發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非?？拷{(lán)色的圖像,表明非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)回歸方程①.方法一：直接觀察法新知學(xué)習(xí)思考

對(duì)于通過創(chuàng)紀(jì)錄時(shí)間預(yù)報(bào)世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個(gè)回歸模型，得到了兩個(gè)回歸方程，你能判斷哪個(gè)回歸方程擬合的精度更好嗎？方法二：殘差分析

觀察各項(xiàng)殘差的絕對(duì)值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)回歸方程②遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于①，即經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的擬合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①.編號(hào)12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差(精確到0.001)如下表所示.用

ti表示編號(hào)為

i的年份數(shù)據(jù)，用

yi

表示編號(hào)為

i的記錄數(shù)據(jù)，則經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為

--（殘差絕對(duì)值）新知學(xué)習(xí)可知Q2小于Q1，因此在殘差平方和最小的標(biāo)準(zhǔn)下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果.殘差平方和越小，模型擬合效果越好方法二：殘差分析--（殘差的平方和）新知學(xué)習(xí)方法三：利用決定系數(shù)R2在R2表達(dá)式中，由于

與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無關(guān)，殘差平方和

與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān)，因此

R2

越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2

越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.

因?yàn)?≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.在一元線性回歸模型中R2=r2，即決定系數(shù)R2等于響應(yīng)變量與解釋變量的樣本相關(guān)系數(shù)r的平方.由上述殘差表可算出經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的決定系數(shù)R2分別為

由于

因此經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多.新知學(xué)習(xí)知識(shí)歸納（2）殘差平方和（1）殘差分析好的回歸方程對(duì)應(yīng)的殘差散點(diǎn)圖應(yīng)是均勻地分布在橫軸兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi).且?guī)顓^(qū)域越窄，說明模型擬合效果越好．列殘差表畫殘差圖（3）決定系數(shù)R2法殘差平方和越小，說明模型擬合效果越好.R2越大，說明模型擬合效果越好.新知學(xué)習(xí)知識(shí)歸納在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測時(shí),需注意以下問題1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2.我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3.樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4.不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值.事實(shí)上,它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值.新知學(xué)習(xí)知識(shí)歸納(1)確定研究對(duì)象,明確哪個(gè)變量是解釋變量,哪個(gè)變量是響應(yīng)變量．(2)畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型．(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù).(5)得出結(jié)果后需進(jìn)行線性回歸分析.①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數(shù)R2取值越大，說明模型的擬合效果越好.建立線性回歸模型的基本步驟：新知學(xué)習(xí)知識(shí)歸納建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟：1.確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是響應(yīng)變量；2.由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型；3.通過變換，將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型；4.按照公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．新知學(xué)習(xí)例1典例解析某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號(hào)12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345（1）畫出散點(diǎn)圖.（2）建立年推銷金額y關(guān)于工作年限x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（3）說明回歸模型擬合效果的好壞;（4）若第6名推銷員的工作年限為11年，預(yù)測他的年推銷金額．

參考數(shù)據(jù)：新知學(xué)習(xí)解：(1)以工作年限為x軸，推銷金額為y軸，畫出散點(diǎn)圖如圖：

散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)。

(3)，所以回歸模型擬合效果很好.

新知學(xué)習(xí)典例解析練習(xí)1

已知某種商品的價(jià)格

x(元)與需求量

y(件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求

y對(duì)

x的回歸直線方程，并說明回歸模型擬合效果的好壞．解：所以所以，所求回歸直線方程為：新知學(xué)習(xí)列出殘差表，如下：00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4所以，回歸模型的擬合效果很好.新知學(xué)習(xí)方法點(diǎn)撥建立線性回歸模型的基本步驟：(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是響應(yīng)變量．(2)畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型．(4)按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù).(5)得出結(jié)果后需進(jìn)行線性回歸分析.①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數(shù)R2取值越大，說明模型的擬合效果越好.需要注意的是：若題中給出了檢驗(yàn)回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進(jìn)行分析檢驗(yàn)即可.新知學(xué)習(xí)例2典例解析

某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用x(單位:千萬元)對(duì)年銷售量

y

(單位:千萬件)的影響，統(tǒng)計(jì)了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用

xi與年銷售量

yi(i=1,2,???,10)的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示.(1)利用散點(diǎn)圖判斷

y

=

a+bx

和

y

=

c?xd(其中

c，d

均為大于

0

的常數(shù))哪一個(gè)更適合作為年銷售量

y

和年研發(fā)費(fèi)用

x

的回歸方程類型(只要給出判斷即可，不必說明理由)；(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令

ui=lnxi，vi=lnyi，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如表.

根據(jù)第(1)問的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求

y

關(guān)于

x

的回歸方程.151528.2556.5新知學(xué)習(xí)解：(1)由散點(diǎn)圖可知，選擇回歸類型

y=c?xd更合適.(2)對(duì)

y=c?xd兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=lnc+dlnx，即

v=lnc+du.由表中數(shù)據(jù)得即所以，y

關(guān)于

x

的回歸方程為

新知學(xué)習(xí)練習(xí)2典例解析下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值．新知學(xué)習(xí)

(2)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

新知學(xué)習(xí)殘差表如下：(3)當(dāng)x＝40時(shí)，y＝e0.272x-3.876≈1146.新知學(xué)習(xí)方法點(diǎn)撥(1)指數(shù)函數(shù)型

y＝ebx＋a

處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線

性回歸模型的方法求出a，b.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.非線性回歸問題的處理方法新知學(xué)習(xí)1．如果兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度很高，那么其

R2的值應(yīng)接近于

(

)A．0.5B．2C．0 D．1D2．兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖所示，可考慮用如下函數(shù)進(jìn)行擬合比較合理的是 (

)B

隨堂練習(xí)4.某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本y（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù):x12345678y1126144.53530.5282524

(1)用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；(2)用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好(精確到0.01)，并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；隨堂練習(xí)參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，υ1)，(u2，υ2)，…，(un，υn)，其回歸直線υ＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：隨堂練習(xí)

因?yàn)閨r1|<|r2|，所以用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，當(dāng)x=10時(shí)，y=21（元），所以當(dāng)產(chǎn)量為10千件時(shí)，每件產(chǎn)品的非原料成本為21元隨堂練習(xí)非線性回歸分析(1)指數(shù)型函數(shù)

y=ebx+a

類函數(shù)

y=ebx+a

的圖象，如圖所示②處理方法：兩邊取對(duì)數(shù)得ln

y=lnebx+a，即lny=bx+a令z=lny，把原始數(shù)據(jù)（x,y）轉(zhuǎn)化為（x,z），再根據(jù)求解線性回歸模型的方法求出

a，b線性回歸分析課堂小結(jié)(2)對(duì)數(shù)型函數(shù)

y=blnx+a

類函數(shù)

y=blnx+a的圖象，如圖所示②處理方法：