中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測9.3 空間中的垂直關(guān)系（講）（原卷版）

9.3空間中的垂直關(guān)系【考點梳理】1．線線垂直如果兩條直線所成的角是(無論它們是相交還是異面)，那么這兩條直線互相垂直．2．直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說，記作．直線l叫做，平面α叫做．直線與平面垂直時，它們惟一的公共點P叫做．垂線上任意一點到垂足間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到平面的．(2)判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的都垂直，則該直線與此平面垂直．推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．用符號表示：a∥b，a⊥α?b⊥α.(3)性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線．3．直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的，叫做這條直線和這個平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角．任一直線與平面所成角θ的范圍是．4．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范圍是．5．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理：一個平面過另一個平面的，則這兩個平面垂直．(3)性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于的直線與另一個平面垂直．考點一線線垂直、線面垂直、點到面的距離【例題】（1）以下哪個條件能判斷直線l與平面垂直（

）A．直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直B．直線l與平面內(nèi)兩條平行直線垂直C．直線l與平面內(nèi)兩條直線垂直D．直線1與平面內(nèi)兩條相交直線垂直（2）若直線平面，直線平面，則直線a與直線b的位置關(guān)系為（

）A．異面 B．相交 C．平行 D．平行或異面（3）在正方體的六個面中，與垂直的平面有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個（4）已知正方體棱長為，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．（5）已知m，n為兩條不同的直線，為平面，有下列命題：①，；②，；③，，其中正確的命題是．（填序號）【變式】（1）若一條直線與平面垂直，下列平面中的兩條直線與垂直，可以保證直線與平面垂直的是（

）①四邊形的兩邊

②正六邊形的兩邊

③圓的兩條直徑

④三角形的兩邊A．①② B．①③ C．②③ D．③④（2）設(shè)表示兩條不同的直線，表示平面，且，則“”是“”成立的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件（3）如圖1，在正四棱柱中，分別是，的中點，則以下結(jié)論中不成立的是（）A．與垂直 B．與垂直C．與異面 D．與異面（4）如圖所示，在三棱錐中，平面，，的延長線交于點，則圖中與垂直的直線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條（5）平行四邊形的對角線交點為O，點P在平行四邊形所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，則PO與平面ABCD的位置關(guān)系是．考點二面面垂直、線面角、二面角【例題】（1）已知空間中兩平面，直線，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件（2）如圖所示，在正方體中，直線與平面所成的角是（

）A． B． C． D．（3）長方體中，，，則二面角為（

）A． B． C． D．（4）在長方體的側(cè)面中，與平面ABCD垂直的平面有（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個（5）如圖所示，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的是_______(填序號)．①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.【變式】（1）下列命題錯誤的是（

）A．若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線B．如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線也與這個平面平行C．如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行D．一個平面垂直于二面角的棱，它和二面角的兩個面的交線形成的角就是二面角的一個平面角（2）以下說法正確的是（

）A．空間異面直線的夾角取值范圍是B．直線與平面的夾角的取值范圍是C．二面角的取值范圍是D．向量與向量夾角的取值范圍是（3）如圖，在棱長為2的正方體中，?分別為棱?的中點，則與平面所成角的正切值是（）A． B． C． D．（4）如圖，三棱臺的下底面是正三角形，，則二面角的大小是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°（5）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．（6）如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的有．(寫出全部正確命題的序號).①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.【方法總結(jié)】1．判斷(證明)線線垂直的方法(1)根據(jù)定義；(2)如果直線a∥b，a⊥c，則b⊥c；(3)如果直線a⊥面α，c?α，則a⊥c；(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零．2．證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：兩相交直線a，b?α，a⊥c，b⊥c?c⊥α；(2)a∥b，a⊥α?b⊥α；(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β；(4)利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝m，a?α，a⊥m?a⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m?m⊥γ.3．證明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β；(2)用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角；(3)如果一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面：α∥β，α⊥γ?β⊥γ.4．平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用當(dāng)兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂