中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)10.1 計(jì)數(shù)原理（講）（解析版）

10.1計(jì)數(shù)原理【考點(diǎn)梳理】1．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有n類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法……在第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題，區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事．4．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)的方法最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析——是需要分類(lèi)還是需要分步．(1)分類(lèi)要做到“不重不漏”．分類(lèi)后再分別對(duì)每一類(lèi)進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立，分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．考點(diǎn)一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【例題】（1）現(xiàn)有5幅不同的油畫(huà)，2幅不同的國(guó)畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)，從這些畫(huà)中選一幅布置房間，則不同的選法共有（

）A．7種 B．9種 C．14種 D．70種【答案】C【解析】分為三類(lèi)：從國(guó)畫(huà)中選，有2種不同的選法;從油畫(huà)中選，有5種不同的選法;從水彩畫(huà)中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有5+2+7=14(種)不同的選法，故選：C.（2）為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了11個(gè)接種點(diǎn)，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)立了19個(gè)接種點(diǎn)．某市民為了在同一接種點(diǎn)順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點(diǎn)的選法共有（

）A．11種 B．19種 C．30種 D．209種【答案】C【解析】該市民可選擇的接種點(diǎn)為兩類(lèi)，一類(lèi)為鄉(xiāng)鎮(zhèn)接種點(diǎn)，另一類(lèi)為城區(qū)接種點(diǎn)，所以共有種不同接種點(diǎn)的選法，故選：C．（3）從甲地出發(fā)前往乙地，一天中有4趟汽車(chē)、3趟火車(chē)和1趟航班可供選擇．某人某天要從甲地出發(fā)，去乙地旅游，則所有不同走法的種數(shù)是（

）A．16 B．15 C．12 D．8【答案】D【解析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可知共有4＋3＋1＝8種不同的走法，故選：D.（4）解1道數(shù)學(xué)題，有兩種方法，有2個(gè)人只會(huì)用第一種方法，有3個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這5個(gè)人中選1個(gè)人能解這道題目，則不同的選法共有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．9種【答案】B【解析】根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得：不同的選法共有（種），故選：B.（5）書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū).從書(shū)架上任取1本書(shū)，不同的取法有_種.【答案】9【解析】由題意，若從第一層取書(shū)，則有4種不同的取法，若從第二層取書(shū)，則有3種不同的取法，若從第三次取書(shū)，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種，故答案為：9.【變式】（1）某班有男生13人，女生17人，從中選一名學(xué)生為數(shù)學(xué)課代表，則不同的選法共有（

）A．30種 B．17種 C．221種 D．13種【答案】A【解析】從該班男中選一名同學(xué)為數(shù)學(xué)課代表有13種方法，從該班女中選一名同學(xué)為數(shù)學(xué)課代表有17種方法，不同的選法的種數(shù)有種，故選：A．（2）立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果．王老師的果籃里有草莓，蘋(píng)果，芒果3種水果．李老師的果籃里有蘋(píng)果，櫻桃，香蕉，獼猴桃4種水果．小華可以任選一個(gè)水果．小華可能拿到的水果有（

）．A．7種 B．6種 C．12種 D．11種【答案】B【解析】王老師有3種水果，李老師有4種水果．其中蘋(píng)果是重復(fù)的，所以小華可能拿到的水果總共有（種），故選：B.（3）已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，則當(dāng)集合C中有且只有一個(gè)元素時(shí)，C的情況有種．【答案】7【解析】分兩種情況：當(dāng)集合C中的元素屬于集合A時(shí)，有3種；當(dāng)集合C中的元素屬于集合B時(shí)，有4種．因?yàn)榧螦與集合B無(wú)公共元素，所以集合C的情況共有3＋4＝7(種)，故答案為：7.（4）一個(gè)三層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文書(shū)12本，數(shù)學(xué)書(shū)14本，英語(yǔ)書(shū)11本，從中任取一本，則不同的取法有______種．【答案】37【解析】一個(gè)三層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文書(shū)12本，數(shù)學(xué)書(shū)14本，英語(yǔ)書(shū)11本，從中任取一本，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的取法有種，故答案為：37．（5）在最強(qiáng)大腦第七季比賽中，選手通過(guò)激烈角逐，分別坐上S、A、B、C等4個(gè)圈層．各個(gè)圈層分別有4人，12人，16人，24人．小明從中選擇一人作為他的私人教練有種選法．【答案】【解析】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得：不同選法共有（種），故答案為：.考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理【例題】（1）某景區(qū)南面設(shè)有兩個(gè)進(jìn)出口，北面設(shè)有三個(gè)進(jìn)出口，游客可從任何一個(gè)進(jìn)出口進(jìn)入景區(qū)，再?gòu)牧硗庖粋€(gè)進(jìn)出口離開(kāi)景區(qū)，游客進(jìn)出景區(qū)的不同方式有（

）A．6種 B．12種 C．16種 D．20種【答案】D【解析】由題意可知游客進(jìn)入景區(qū)有5種方法，出景區(qū)有4種方法，則由分步計(jì)數(shù)原理可知，游客進(jìn)出景區(qū)的不同方式有種方法，故選：D.（2）由村去村的道路有4條，由村去村的道路有3條，從村經(jīng)村去村不同的走法有（

）A．7種 B．9種 C．11種 D．12種【答案】D【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理知有種不同的走法，故選：D.（3）某影劇院東側(cè)有3個(gè)大門(mén)，西側(cè)有2個(gè)大門(mén)，每個(gè)門(mén)都可進(jìn)出，某人到該影劇院看表演，則他進(jìn)、出門(mén)的方案有（

）A．6種 B．5種 C．20種 D．25種【答案】D【解析】由題意得，進(jìn)門(mén)有5種方案，出門(mén)有5種方案，所以共有種方案，故選：D.（4）現(xiàn)有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲，如果選一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，那么不同的選法種數(shù)為（

）A．7 B．64 C．12 D．81【答案】C【解析】由題意，有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長(zhǎng)褲，從中四件不同款式的上衣中，任選一件有種選法，從中三件不同顏色的長(zhǎng)褲中，任選一件有種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的選法，故選：C.（5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的橫坐標(biāo)在集合內(nèi)取值，縱坐標(biāo)在集合內(nèi)取值，則不同的點(diǎn)共有個(gè)．【答案】4【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)在集合內(nèi)取值，有2種情況，縱坐標(biāo)在集合內(nèi)取值，有2種情況，所以不同的點(diǎn)有個(gè)，故答案為：．（6）加工某個(gè)零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有種.【答案】【解析】每道工序?yàn)橐徊?，共?步，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，共有種，故答案為：.【變式】（1）某大學(xué)食堂備有6種葷菜、5種素菜、3種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配成不同套餐的種數(shù)為（

）A．30 B．14 C．33 D．90【答案】D【解析】因?yàn)閭溆?種素菜，5種葷菜，3種湯，所以素菜有6種選法，葷菜有5種選法，湯菜有3種選法，所以要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配制出不同的套餐有種，故選：D.（2）現(xiàn)有3位游客來(lái)黃山旅游，分別從4個(gè)景點(diǎn)中任選一處游覽，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．24 D．12【答案】B【解析】每位游客有4種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同選法的種數(shù)是，故選：B.（3）從甲地去乙地有3班火車(chē)，從乙地去丙地有2班輪船，則從甲地去丙地可選擇的旅行方式有種.【答案】6【解析】由分步計(jì)數(shù)的乘法原理，從甲地去丙地可選擇的旅行方式有種，故答案為：6.（4）某省新高考采用“”模式：“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①小明必選化學(xué)，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè)，選法有2種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有（種），故選：B.（5）有一項(xiàng)活動(dòng)，要從4名老師?7名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參加，若需要1名老師?1名學(xué)生參加，則有種不同的選法.【答案】60【解析】完成選人工作需要兩步，第一步先選老師，共有種選法，第二步再選學(xué)生，有兩類(lèi)，要么選男生共種選法；要么選女生共種選法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得到一共有15種選法，若需要1名老師?1名學(xué)生參加，需完成第一二步，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：則有種不同的選法，故答案為：60.（6）用0，2，4，6，8這五個(gè)數(shù)字，可以組成個(gè)三位正整數(shù)．【答案】100【解析】百位不能為0，有4種選法，十位有5種選法，個(gè)位有5種選法，所以共有種，故答案為：100.【方法總結(jié)】1．運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)．分類(lèi)應(yīng)滿足：完成一類(lèi)事情的任何一種方法，必須屬于某一類(lèi)且僅屬于某一類(lèi)，即類(lèi)與類(lèi)之間具有確定性與并列性，亦即類(lèi)與類(lèi)之間是獨(dú)立的、互斥的．2．運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，要確定分步的標(biāo)準(zhǔn)．分步必須滿足：完成一件事情必須且只須完成這幾步，即各個(gè)步驟是相互依存的，且“步”與“步”之間具有連續(xù)性．3．在處理具體的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，必須先分清是“分類(lèi)”還是“分步”，其次要搞清“分類(lèi)”與“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么，選擇合理、簡(jiǎn)潔的標(biāo)準(zhǔn)處理事件，可以避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏．4．對(duì)于既要運(yùn)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的復(fù)雜問(wèn)題，可以恰當(dāng)?shù)禺?huà)出示意圖或樹(shù)形圖來(lái)進(jìn)行分析，掌握這點(diǎn)對(duì)學(xué)習(xí)本節(jié)很重要，它可使問(wèn)題的分析過(guò)程更直觀、更明晰，便于探索規(guī)律．5．解答計(jì)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的總