中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測11.2 二項式定理（講）（解析版）

11.2二項式定理【考點梳理】1．二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)，這個公式所表示的規(guī)律叫做二項式定理．(a＋b)n的二項展開式共有n＋1項，其中各項的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0，1，2，…，n})叫做二項式系數(shù)，式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk．通項為展開式的第k＋1項．2．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(n－2,n)，…，Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n)，…，Ceq\o\al(n,n)＝Ceq\o\al(0,n).(2)增減性與最大值二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是遞增的；當k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是遞減的．當n是偶數(shù)時，中間的一項Ceq\s\up6(\f(n,2))n取得最大值．當n是奇數(shù)時，中間的兩項Ceq\s\up6(\f(n－1,2))n和Ceq\s\up6(\f(n＋1,2))n相等，且同時取得最大值．(3)各二項式系數(shù)的和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.考點一求展開式的特定項、項數(shù)問題【例題】（1）在的展開式中，常數(shù)項為（

）A．80 B． C．160 D．【答案】D【解析】由于互為倒數(shù)，故常數(shù)項為第4項，即常數(shù)項為，故選：D.（2）的展開式中系數(shù)最大的項是（

）A．第5項 B．第6項C．第5項、第6項 D．第6項、第7項【答案】B【解析】由的展開式的通項為，知展開式中系數(shù)最大的項即二項式系數(shù)最大的項，即最大，所以，即第6項的系數(shù)最大，故選：B.（3）若的展開式有9項，則自然數(shù)的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因為的展開式共有項，所以，所以，故選：B．（4）已知的展開式中含的項的系數(shù)為（

）A．30 B．-30 C．25 D．-25【答案】A【解析】展開式的第項為，令，得，故展開式中含的項的系數(shù)為，故選：A．（5）已知展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的第5項是（

）A．6 B．15 C． D．【答案】D【解析】由題意得：，解得：，則展開式的通項公式為，第五項是，故選：D.（6）在的展開式中，含x3項的系數(shù)為.【答案】【解析】展開式的通項公式為，令，得，所以含項的系數(shù)為，故答案為：.【變式】（1）若的展開式中各項系數(shù)的和為256，則的值為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】D【解析】設(shè)，令得，解得，故選：D.（2）已知二項式展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項為（

）A． B． C．15 D．20【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，解得，則展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為：，故選：B.（3）的展開式中的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【解析】由題可得，令,則，所以，故選：C.（4）．的展開式中，項的系數(shù)是（

）A．30 B．30 C．60 D．60【答案】C【解析】由題意，當時，項的系數(shù)是，故選：C.（5）已知的展開式中各二項式系數(shù)之和為128，則展開式中的常數(shù)項為．【答案】7【解析】由題意得，得，所以展開式的通項，由，得，所以展開式的常數(shù)項是，故答案為：7.（6）在展開式中，含的項的系數(shù)是．【答案】20【解析】的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，故在展開式中，含的項的系數(shù)為20，故答案為：20.考點二展開式的系數(shù)、系數(shù)和問題【例題】（1）已知，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】依題意，當時，，故選：B.（2）已知的展開式中第項和第項的二項式系數(shù)相等，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，所以，，故選：A.（3）已知，則（

）A．31 B．32 C．15 D．16【答案】A【解析】逆用二項式定理得，即，所以n=5，所以，故選:A.（4）在的展開式中，含的項的系數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．11【答案】C【解析】因為中只有和中含的項，的含的項為，的含的項為，所以的展開式中含的項的系數(shù)是，故選：C.（5）已知，若，則自然數(shù)n等于．【答案】4【解析】令，則，所以，故答案為：4.【變式】（1）已知，設(shè)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因為，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得，所以，令，得，即，故選：C.（2）若的展開式中，第3項的二項式系數(shù)與第7項的二項式系數(shù)相等，則（

）．A．10 B．9 C．8 D．7【答案】【解析】根據(jù)二項式系數(shù)的對稱性知，則，故選：C．（3）已知，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】令，得，①令，得，②兩式相加，得，令得：，，故選：B.（4）設(shè)，則___________.【答案】1【解析】令,則，即，故答案為：1.（5）在的展開式中，二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為，則展開式的項數(shù)為.【答案】【解析】由題意，二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為，令，可得展開式的各項系數(shù)之和為，因為二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為，可得，即，解得，所以二項式展開式的項數(shù)為，故答案為：.【方法總結(jié)】1．二項展開式的通項主要用于求二項式的指數(shù)、項和系數(shù)，在運用公式時要注意以下幾點：(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是第k＋1項，而不是第k項．(2)求展開式的一些特殊項，通常都是由題意列出方程求出k，再求所需的某項(有時需先求n)．計算時要注意n，k的取值范圍及它們的大小關(guān)系．(3)求展開式的某一項的系數(shù)，先要準確地寫出通項，特別要注意符號問題，然后將通項中的系數(shù)和字母分離．2．要注意二項展開式中二項式系數(shù)與某一項系數(shù)的區(qū)別．在(a＋b)n的展開式中，系數(shù)