2022-2024年高考數(shù)學(xué)分類匯編：函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（八大考點(diǎn)）

=在直

4M02函照的就念導(dǎo)及多初等篩照I

目制魯港。絹施留

考點(diǎn)三年考情（20222024）命題趨勢(shì)

2023年全國(guó)n卷

2023年全國(guó)乙卷（理）

考點(diǎn)1:已知奇偶性求參數(shù)2024年上海卷

2022年全國(guó)乙卷（文）

2023年全國(guó)甲卷（理）

2022年天津卷

2023年天津卷

2024年全國(guó)甲卷（理）

考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別

2024年全國(guó)I卷

2022年全國(guó)乙卷（文）

2022年全國(guó)甲卷（理）

2022年北京卷從近三年高考命題來看，本節(jié)

考點(diǎn)3：函數(shù)模型及應(yīng)用2024年北京卷

是高考的一個(gè)重點(diǎn)，函數(shù)的單

2023年全國(guó)I卷

2023年全國(guó)乙卷（理）調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期

2022年北京卷

性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)

考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性2023年北京卷

質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性2024年全國(guó)I卷注周期性、對(duì)稱性、奇偶性結(jié)

2024年天津卷

合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)

2023年全國(guó)I卷

零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考

2022年浙江卷

考點(diǎn)5：分段函數(shù)問題

2024年上海夏季查.

考點(diǎn)6：函數(shù)的定義域、值2022年北京卷

域、最值問題2022年北京卷

2023年全國(guó)I卷

考點(diǎn)7：函數(shù)性質(zhì)（對(duì)稱性、

2022年全國(guó)I卷

周期性、奇偶性）的綜合運(yùn)

2024年全國(guó)I卷

用

2022年全國(guó)n卷

2022年天津卷

2022年浙江卷

考點(diǎn)8：指對(duì)塞運(yùn)算

2024年全國(guó)甲卷（理）

2023年北京卷

曾窟饗綴。闔滔運(yùn)溫

考點(diǎn)1:已知奇偶性求參數(shù)

1.(2023年新課標(biāo)全國(guó)n卷數(shù)學(xué)真題)若"%)=(尤+a)lnJ為偶函數(shù)，貝吐=().

2x+l

A.-1B.0C.；D.1

【答案】B

【解析】因?yàn)槿耍?為偶函數(shù)，則/(I)=(1+fl)In1=(-1+(Z)In3,解得a=0,

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=xln2尤I(2x-l)(2x+l)>0,解得x>工或兀v-L

2x+122

則其定義域?yàn)榛蜿P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

2(——12x+l21]2x—l

〃f)=(-x)ln=(-x)ln=(-x)ln2x+lJ=xln=〃x),

2(-x)+l2x-l2x+l

故此時(shí)“X)為偶函數(shù).

故選：B.

2.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知/(x)=T;是偶函數(shù)，則”=()

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因?yàn)椤ü?=與二為偶函數(shù)，則f3TJ)=上-_(T-e(")［

e-1J1/J\/已辦一1e一?一］e^-l

又因?yàn)閄不恒為0,可得e*_e("f￡=0，即e，=e①％，

貝ljx=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

3.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知/(耳=丁+即XGR,且是奇函數(shù)，貝1］。=

【答案】。

【解析】因?yàn)椤癤)是奇函數(shù)，故〃T)+f(x)=0即d+o+(f)3+a=。，

故a=0,

故答案為：0.

4.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)若/(x)=lna+J—+6是奇函數(shù)，則〃=,b=.

【答案】-；；ln2.

【解析】［方法一］:奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性

若a=0,則〃x)的定義域?yàn)閧x|xwl},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

QW0

若奇函數(shù)的/(%)=/川。+J-I+6有意義，貝!Jxwl且〃+。。

1一％1-x

「.xwl且%wl+L

a

?函數(shù)/(尤)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

?-1+~=-1,解得〃=一＞

a2

由/(0)=。得，big+b=O,

:.b=ln2,

故答案為：-；；ln2.

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

，/、71I77|Q-〃x+l|17Iax-a-17

/(x)=lna-\-----\+b=ln\---------\+b=ln\----------Fb

1—x1—x1—X

ax+a+\

/(t)=In+/?

1+x

函數(shù)/(尤)為奇函數(shù)

ax-a\ax+a+1

/(x)+/(-x)=In--------\+ln\------+--2-b=0

1-x111+x

Q2%2一(〃+1)2

In+2b=0

.《=^^n2〃+i=()n〃=」

112

—2b=In—=—2ln2=>A=ln2

4

1,7c

/.a=——,b=Ini

2

［方法三］:

因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)=lna+-+b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

L-X

由。+1匚70可得，(1一同S+1-6)工0,所以x="L-l,解得：a=-}-,即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1—xa2

(^,-l)u(-l,l)u(l,+w),再由"0)=0可得，b=\n2.即〃x)=ln-〈+J-+ln2=ln產(chǎn)，在定義域

21—X1—X

內(nèi)滿足〃T)=—“X),符合題意.

故答案為：-不；ln2.

—I,+Qx+sin[x+]]為偶函數(shù)，則〃二

5.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)若/(x)=(x

【答案】2

【解析】因?yàn)閥=/(無)=(x-l)2+ax+sin[x+5)=(x-l)2

+QX+COS%為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

所以d-如=/但〕，ipf---lT--?+cosf--Kf-[Y7171

—1H--（2+COS—，

(""J12J212J12J22

則3=仁+1[一[]—1]=2兀，故〃=2,

此時(shí)/(x)=(%—1)2+2%+cosx=x2+1+cosX

所以/(-X)=(-兀)2+1+COS(-X)=%2+1+COS.c=〃x），

又定義域?yàn)镽,故〃可為偶函數(shù)，

所以〃=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)2：函數(shù)圖像的識(shí)別

〃x）=BT的圖像為（）

6.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)

以，A

B._______________V------:_A

-1O1X—~￥X

A僅

，人

1「、

【答案】D

【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椴凡?。｝,

且〃T）==-/W,

函數(shù)/'（X）為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

卜T、o,c選項(xiàng)錯(cuò)誤;

又當(dāng)XV。時(shí)，〃力=

X

當(dāng)X>1時(shí)，仆）=J=X一工函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

XX

故選：D.

7.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)〃X）的部分圖象如下圖所示，則“X）的解析式可能為（

5sin%

B.

x2+1

5ex+5e-x5cosx

C.D.

九2+2x2+1

【答案】D

【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,其為偶函數(shù)，且/（-2）=/（2）<0,

5sin(-x)5sinx

由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除;

(-%)2+1X2+1

當(dāng)時(shí)%2（；，）〉o,即、c中（0,+s）上函數(shù)值為正，排除;

>0、5e+eA

X2+2

故選：D

8.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)〃尤）=f2+⑹一/卜欣在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（

［解析］/(—x)=—x2+1-"—ex)sin(—x)=—x2+(e“—e-x)sinx=f(x),

又函數(shù)定義域?yàn)閇-2.8,2.8],故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

sinl>-1+［e——.7ieI11c

又41)=T+sin—=——11----->--------->0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

9.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)V[0,2汨時(shí)，曲線y=sinx與y=2sin[3xW]的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，=$皿尤的的最小正周期為7=2兀，

函數(shù)y=2sin（3x-胃的最小正周期為T=g,

所以在xe[0,2可上函數(shù)y=2sin（3x-。有三個(gè)周期的圖象，

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

10.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[-3,3]的大致圖像,

則該函數(shù)是（）

2xcosx2sin%

D.y=

x2+1x2+1

【解析】設(shè)/（尤）=/，則”1）=0,故排除B;

2xcosx

設(shè)/?(%)=當(dāng)x[o,用時(shí)，0<cosx<l,

%2+1

LLt、i1(\2%cosx2%..?>.1*

所以/7(元)=—;~—<—~-<1,故排除C；

人~I-I4J.

設(shè)g（x）=］當(dāng)，則8⑶二手＞0,故排除D.

故選：A.

H.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)y=（313-，）cosx在區(qū)間一］看的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】令〃司=（3，-3-，）COSX,XG,

則/（-x）=（3一"一3芯）cos（-x）=_（3"-3一Bcosx=-f（x）,

所以為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)時(shí)，3-3-*>0,cosx>0,所以/（x）>0,排除C.

故選：A.

考點(diǎn)3：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

12.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和吆尸的

關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；尸表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)T=220,尸=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)7=270,尸=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,尸=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】當(dāng)7=220,尸=1026時(shí)，lgP>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)T=270,P=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)7=300,P=9987時(shí)，IgP與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)

誤.

當(dāng)T=360,P=729時(shí)，因2<lg尸<3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

13.（2。24年北京高考數(shù)學(xué)真題）生物豐富度指數(shù)八而是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表

示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)S沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由N]變?yōu)镸，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.33=2$B.2N[=3N\

C.=MD.Nl=N,

【答案】D

S—1S—1

【解析】由題意得17=2」，K=315,則2.1111乂=3.15111乂，即21nM=3m例，所以匹=N；.

JLJLJLViAll/Vo

故選：D.

14.（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的

強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)4=20x1g二，其中常數(shù)。o（p°>O）是聽覺下限閾值，。是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源

Po

的聲壓級(jí):

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車105060

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為P”P2，P3,則（）.

A.A>p2B.p2>10p3

C.p3=IO。。。D.Pi<100p2

【答案】ACD

【解析】由題意可知：Lpie[60,90],Lp2e[50,60],Lft=40,

對(duì)于選項(xiàng)A：可得4f啜一2°x嗤3啥

因?yàn)閝“理,則與一L「20xlg且20,即1g且20,

,2P1

所以221且口.>0,可得p/p2,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：可得4,一=20xlg&-20xlgB=20xlg運(yùn),

PoPoP3

因?yàn)長(zhǎng)p?—Lp3=Lp2—40N10,貝ij20xlg￡210,

所以上2ViU且〃2，,3〉0,可得p22715P3，

，3

當(dāng)且僅當(dāng)4z=50時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?=20xlg△=40,即1g上=2,

PoPo

可得乙=100,即03=10000,故C正確；

Po

對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：4］-%2=20xlg包,

22

且乙一乙<90-50=40,則20x1g且M40,

'12Pi

即1g且42,可得&W100,且p"2>0,所以RVlOOpz，故D正確;

PlP1

故選：ACD.

考點(diǎn)4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性

15.（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)ae（O,l）,若函數(shù)〃出=優(yōu)+（1+?）*在（0,+“）上單調(diào)遞增,

則a的取值范圍是.

【答案】

【解析】由函數(shù)的解析式可得（（尤）=o'lna+（1+a）'In（1+a）20在區(qū)間（0,+S）上恒成立,

則（1+a）'In（1+a）2-優(yōu)Ina,即［詈］2-4看）在區(qū)間他+⑹上恒成立'

故［曰=1"京、,而4+1?1，2），故叩+加。，

ln(a+l)>-Ina+21故組

故即<a<lf

0<〃<10<。<1

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為:

16.（2。22年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)―備，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有（）

A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0

D.=；

C./(-%)+/(%)=1

【答案】C

112X1

【解析】/(-x)+/(x)=------1-----=-----1-----=1,故A錯(cuò)誤，C正確;

1+2一“1+2"1+2、1+2龍

]__12%___1__2

/(-x)-/(x)=不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤;

1+2-X~1+2X1+2X-1+2X-2X+1--2"+l

故選：C.

17.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A./（x）=-lnxB./。）=上

2

c./?=--D./（X）=3M

【答案】c

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閥=inx在（0,+e）上單調(diào)遞增，y=-x在（0,+8）上單調(diào)遞減,

所以"X）=-InX在（0,+8）上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閥=2工在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=:在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以/■（x）=（在（0,+s）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閥=:在（0,+8）上單調(diào)遞減，>=-％在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以〃尤）=-：在（0,+e）上單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)椤啊陓=3日=33=若，f（l）=3M=3°=l,/（2）=3IM=3,

顯然〃》）=3日在（0,+s）上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

18.（2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)/。）=一][26：""二°在區(qū)上單調(diào)遞增，則。的取值

[e'+ln（x+l）,x>0

范圍是（）

A.（一8,。]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+?0

【答案】B

【解析】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，且x20時(shí)，/（力=3+111（工+1）單調(diào)遞增,

__0

則需滿足2x（-1）,解得一ivavo,

-a<e°+In1

即a的范圍是

故選：B.

19.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

x22

人e-x「cosx+x-sin%+4x

A.y——B.y=------------C.y=D.y=----n------

x+1x+1x+1J朋

【答案】B

【解析】對(duì)A,設(shè)〃x)==^,函數(shù)定義域?yàn)镽,但4-1)=￡匕，〃1)=與，則〃一1片〃1),故

xH-122

A錯(cuò)誤;

對(duì)B'設(shè)g(x)="'函數(shù)定義域?yàn)镽’

cos(-x)+(-x)-cosx+x2

且g(-x)==g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確;

X2+1

對(duì)C,設(shè)=函數(shù)定義域?yàn)閧尤IxH-l},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,設(shè)磯x)=sinx：4x,函數(shù)定義域?yàn)镽,因?yàn)殒?)=吧1±1,^(-l)=-sinl~4,

eee

則。⑴則e(x)不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

20.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)〃尤)=甸在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()

A.B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,-H?)

【答案】D

【解析】函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)人"=2*(、)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)>=道》-4)=。一|)2一*在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此■|zl,解得422,

所以。的取值范圍是[2,+8).

故選：D

考點(diǎn)5：分段函數(shù)問題

-爐+2,xW1,

21.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)已知函數(shù)〃x)=<11[則/;若當(dāng)

XH-----1,X>1,

X

xe[a,b]^fl</(x)<3,則人―a的最大值是

【答案】——3+V5/^/5+3

【解析】由已知/(9=一］g：+2=：，/(：)=：+；一1=H,

所以小叫嗎，

當(dāng)x?l時(shí)，由14/(尤)<3可得1W-Y+2W3,所以一IVxVl,

當(dāng)x>l時(shí)，由l4/(x)W3可得lWx+』-lV3,所以l<x<2+g,

X

1K/(X)K3等價(jià)于—1WX42+6,所以［a,句0一1,2+石］,

所以的最大值為3+6.

37

故答案為：--,3+^3.

2o

22.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)已知=則/(3)=

【答案】73

【解析】因?yàn)椤?=1￡；；°,故"3)=6,

故答案為：百.

考點(diǎn)6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題

23.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)函數(shù)/(%)=1+71=T的定義域是

X

【答案】(y,o)u(o』

【解析】因?yàn)樗詔o，解得E且XW0,

故函數(shù)的定義域?yàn)?9,0)口(0』

故答案為：(7),0)口(0』

-ax+1,x<a,

24.(2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=若存在最小值，則。的一個(gè)取

(x-2),x>a.

值為;a的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

1,x<0

【解析】若。=0時(shí)，fM={'、c，.??/(x)mi=。；

(x-2),x>0n

若a<0時(shí)，當(dāng)尤<。時(shí)，f(x)=-ax+l單調(diào)遞增，當(dāng)xf-8時(shí)，f(x)-co,故/(x)沒有最小值，不符合題

目要求；

若。>0時(shí)，

當(dāng)％<〃時(shí)，f(x)=-ax+1單調(diào)遞減，/(%)>/(〃)=-a2+1,

0(0<tz<2)

當(dāng)x〉a時(shí)，f(x).={.

3J7mn\a-2)2(a>2)

??一〃2+120或一。2+1之(。-2)2,

解得0<6Z<l,

綜上可得m；

故答案為：o(答案不唯一)，i

考點(diǎn)7：函數(shù)性質(zhì)(對(duì)稱性、周期性、奇偶性)的綜合運(yùn)用

25.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,〃沖)=+,

則(),

A.40)=0B./(1)=0

C.“X)是偶函數(shù)D.》=。為/(6的極小值點(diǎn)

【答案】ABC

【解析】方法一：

因?yàn)?(孫)=y2fW+%2/(y)>

對(duì)于A,令尤=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令X=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/(l)=o,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則f(-l)=。，

令y==f(x)+x2/(-l)=f(x),

又函數(shù)/(丈)的定義域?yàn)镽,所以/(x)為偶函數(shù)，故c正確，

對(duì)于D,不妨令/(x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)/(X)無極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)?(孫)=y2/(x)+%2/(y)，

對(duì)于A,令無=y=0,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令X=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),貝IJF⑴=。，故B正確.

對(duì)于C,令尤=y=-l,/(1)-/(-1)+/(-1)=2/(-1),貝廳(一1)=0,

令y=T/(t)=f(x)+x2f(-l)=于(x),

又函數(shù)/(九)的定義域?yàn)镽,所以〃尤)為偶函數(shù)，故C正確,

對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，對(duì)/(盯)=y2/(x)+%2/(y)兩邊同時(shí)除以,得到三*2=￡翌+32,

X2ln|x|,工

0,x=0

當(dāng)x＞0肘，f(x)=x2Inx,貝!J/r(x)=2xInx+x2?—=x(2Inx+1),

x

令外力＜0,得()＜%＜小令用%)＞。，得

故”x)在O,e一[上單調(diào)遞減，在e—1+8上單調(diào)遞增，

\7\7

/1A(-1\

因?yàn)椋?九)為偶函數(shù)，所以/(X)在-e2,0上單調(diào)遞增，在-8,e2上單調(diào)遞減,

\7\7

顯然，此時(shí)％=0是的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

26.(多選題)(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)〃%)及其導(dǎo)函數(shù)/'(%)的定義域均為R,記

g(x)=f'(x),若上-2“，g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.=°C./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】[方法一]:對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/⑴，因?yàn)榱恕兑?d為偶函數(shù)，所以/1|-2x]=/1|+2x]即=+①，所以

3

f(3-x)=f(x),所以/⑴關(guān)于尤=￡對(duì)稱，則/(-1)=/(4),故C正確;

對(duì)于g(x),因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，由①求

導(dǎo)，和g(x)=/'(無)，得[/]|?一尤]=/(■f+xj=-f(I一d=r(|+d=-g]|_d=g(|+d，所

以g(3—x)+g(x)=。，所以g(x)關(guān)于g，0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g]Tj=。，結(jié)合g(x)關(guān)于X=2對(duì)

稱，從而周期T=4X[2-|]=2,所以g"=g[￡|=O,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)Ax)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定Ax)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于X=2對(duì)稱，故可設(shè)g(x)=cos(7tr),則〃x)=1sin(7ix)+c,顯然A,D錯(cuò)

兀

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因?yàn)?2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以'|-2力=(|+2xj即/(l-x)"(|+尤)，g")=g(2-x),

所以〃3—x)=/(x),g(4-x)=g(x),則/(一1)=/(4),故C正確；

3

函數(shù)/?,冢乃的圖象分別關(guān)于直線％=玉％=2對(duì)稱，

2

又g(x)=/(%),且函數(shù)=幻可導(dǎo),

所以g0=O，g(3_x)=_g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以g1-￡|=8(胃=。，g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)Ax)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定了(x)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的

通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

27.(2024年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,f(x)>/^-l)+f(x-2),且當(dāng)x<3

時(shí)/(無)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)/(x)=x,所以/(1)=1,/(2)=2,

又因?yàn)閒(x)>AxT)+f(x-2),

則/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(Il)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(U)+/(IO)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1OOO,則依次下去可知f(20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

28.(2022年新高考全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且

22

了(元+y)+/(尤一y)=/(x)/(y),f(D=i,則工/(6=()

k=T

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】［方法一］:賦值加性質(zhì)

因?yàn)?(x+y)+〃x—y)=/(x)〃y)，令無=i,y=°可得，=所以/(0)=2,令x=o可得，

/(y)+/(-y)=2/(y),即〃y)=/(—y),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，令y=i得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(%),即有f(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知/(x+2)=—f(x—1),

/(x-l)^-/(x-4),故〃x+2)"(x-4),即〃x)=/(x+6),所以函數(shù)的一個(gè)周期為6.因?yàn)?/p>

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

f(5)=f(-l)=f(l)=l,/(6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)的/。)+/(2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡〃笈)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故選：A.

4=1

［方法二］:【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)

由〃x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy,可設(shè)/(x)=acos@x,則由方法一中/(0)=2,/(l)=l知a=2,acoso=l,

171

解得COSG=5，取刃=每，

所以/(x)=2cosgx,則

/(x+y)+/(x—y)=2cos［gx+Wy］+2cos(gx—gy］=4cosWxcosWy=/(x)/(y),所以/(x)=2cos?x

7=2%=6

符合條件，因此/(x)的周期三一，/(0)=2,/。)=1,且

3

/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡/(4)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故選：A.