2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六單元平面向量及其應(yīng)用B卷（含解析）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測(cè)評(píng)卷

第六單元平面向量及其應(yīng)用

B卷培優(yōu)提能過關(guān)卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.（2021?全國高考真題）在一A3C中，已知6=120。，ac=M，AB=2,則BC=（）

A.1B.72C.75D.3

2.（2021?全國高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)

海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，OE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的

高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EW都稱為“表目距”，GC與的差稱為“表目距的差”則

海島的高AB=（）

表高X表距口表高X表距

A■表目距的差+表問表目距的差一表問

表高義表距1表肝n表高X表距一

c.表目距的差+表距'表目距的差表巨

3.（2021?全國高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位：m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有4

B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面上的投影4,3',。'滿足N4C6'=45°,NA'5'C'=60°.由C點(diǎn)

測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15。，88'與CC的差為100;由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面

A'8'C的高度差A(yù)4'—CC約為（石。1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

4.（2021?四川德陽市.高三二模）圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的

直角三角形和一個(gè)小的正方形拼成個(gè)大的正方形，某同學(xué)深受啟發(fā)，設(shè)計(jì)出一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的

鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，如圖2,若AD=4,BD=2,那么=

B.-2D.-6

5.（2021.重慶一中高三模擬）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高

曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABC。

中，△ABC滿足“勾3股4弦5"，且A8=3,E為上一點(diǎn)，BEL4c若氏143E+4AC，貝廠+〃的值

為（）

6.（2021?遼寧高三模擬）英國數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引

以為傲的研究成果之一.定理的內(nèi)容是：三角形A8C的三條邊長分別為a,b,c,分別延長三邊兩端，使

其距離等于對(duì)邊的長度，如圖所示，所得六點(diǎn)4，。2，四,4,。1，32仍在一個(gè)圓上，這個(gè)圓被稱為康威圓.現(xiàn)

有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）

A.9萬

7.（2021?全國高三模擬）如圖，在正方形ABCD中，邊長為E是邊上的一點(diǎn)，ZEAB=3Q°,

2

以A為圓心，AE為半徑畫弧交CD于點(diǎn)尸，P是弧E尸上（包括邊界點(diǎn)）任一點(diǎn)，則AP3P的取值范

圍是（)

11161_SV3

A.B.C.D.4

2T

8.（2021.黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高三模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”

氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在C處（點(diǎn)C在水平地面的下方，。為與水平地面的交

點(diǎn)）進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A,3兩地相距100米，NS4c=60。，其中A到C

的距離比3到C的距離遠(yuǎn)40米.A地測(cè)得該儀器在。處的俯角為NQ4C=30。，A地測(cè)得最高點(diǎn)H的

仰角為NQ4H=45°,則該儀器的垂直彈射高度8為（）

(米米

A.210米B.210g■米C.210+2106)D.420

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2021?吉林松原市.高三月考）在.ABC中，內(nèi)角A,5c的對(duì)邊分別為"c,下列說法中正確的是

()

A.若一ABC為銳角三角形且A>5,則sinA>cos5

B.若sin2A=sin25,貝LABC為等腰三角形

C.若A>5,貝IsinA>sin5

D.若a=8,c=10,8=60。，則符合條件的一A5c有兩個(gè)

10.（2021.河北唐山市.唐山一中高三模擬）設(shè)0是已知的平面向量且a/。，向量匕，c和a在同一平面

內(nèi)且兩兩不共線，關(guān)于向量a的分解，下列說法正確的是（）

A.給定向量〃，總存在向量c，使a=Z?+c；

B.給定向量/，和c，總存在實(shí)數(shù)九和〃，使a=X/?+〃c；

C.給定單位向量匕和正數(shù)〃，總存在單位向量°和實(shí)數(shù)％,使a=XZ7+〃c；

D.給定正數(shù);I和〃，總存在單位向量辦和單位向量C,使a=+

11.（2021.江蘇南京市.高三一模）設(shè)（9（0,0）,A（l,0）,5（0,1）,點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，茄=九期,

若OP-AB?PA-PB，則實(shí)數(shù)4的值可以為（）

111

A.1B.—C.—D.一

234

12.（2021?珠海市第二中學(xué)高三模擬）《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八

卷共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在

卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊。，6,c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求

法是：“以小斜幕并大斜幕減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實(shí)，一

為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即s=J；［c2a2—（。2+；一”溝.現(xiàn)有.A5公滿足

sinA:smB:smC=2:3：V7，且,A5C的面積4ABC，請(qǐng)運(yùn)用上述公式判斷下列命題正確的是

（）

A.「A5C周長為5+J7

B._A8C三個(gè)內(nèi)角A,C,B滿足關(guān)系A(chǔ)+5=2C

C.ABC外接圓半徑為名包

3

D.A3c中線C。的長為亞

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2021?北京高一模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2,AC與BD交于點(diǎn)E,尸是的中點(diǎn)，Q

為AC上任意一點(diǎn)，則PQ-3O=

4

14.(2021?四川眉山市高三模擬)銳角三角形ABC中，sinZBAC=-,NBAC平分線交于點(diǎn)。,

“1=竽」蜴+-6,則忸中

15.(2021?寧夏銀川市?高三模擬(理))己知A(l,1),3(0,1),C(l,0),M為線段上一點(diǎn)，

且CM=XCB，若則實(shí)數(shù)X的取值范圍是.

16.(2021?山東泰安市?高三模擬)在一個(gè)三角形ABC中，到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形

的費(fèi)馬點(diǎn)，經(jīng)證明它也滿足NAP5=/BPC=NCPA=120，因此費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心，如

圖，在.A3C外作等邊人48,再作的外接圓，則外接圓與線段瓦)的交點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn).若

AB=1,BC=2,ZCAB=90,則B4+PB+PC=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(2021?全國高考真題)在A3c中，角A、B、。所對(duì)的邊長分別為。、〃、c,b=a+l,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求一ABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)。，使得，ABC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

(2021?北樂局考真題)已知在，ABC中，c=2Z?cos_B,C=—

3

(1)求3的大小;

（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使，A6C存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度.

①c=■'/1b；②周長為4+2j^;③面積為S.sc=3f；

19.（2021?全國高考真題）記二A6c是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知從=,點(diǎn)。在

邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2OC,求cos/ABC.

20.（2021?福建三明市?高三模擬）在①。sin5+csinC=----bsinC+asinA；②

cos2C+sinBsinC=sin2B+cos2A；?2b=2?cosC+c這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題

中并作答.

在AA3C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知AA3C外接圓的半徑為2,且___________.

（1）求角A；

⑵若AC=6,是AABC的內(nèi)角平分線，求的長度.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

21.（2021?山西太原市高三二模）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建

造一個(gè)觀景臺(tái)尸，已知射線A5,AC為兩邊夾角為120。的公路（長度均超過3千米），在兩條公路A5,

AC上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)M，N,從觀景臺(tái)尸到M,N建造兩條觀光線路PM，PN,測(cè)得AM=下）

千米，4"=百千米.

（1）求線段"N的長度；

（2）若ZMPN=60°,求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值.

22.（2021?寶山區(qū)?上海交大附中高三模擬）第十屆中國花博會(huì)于2021年5月21日在崇明舉辦，其標(biāo)志

建筑—世紀(jì)館以“蝶戀花”為設(shè)計(jì)理念，擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度280米，屋

面板只有250毫米，相當(dāng)于一張2米長的桌子，其桌面板的厚度不到2毫米.

圖1為館建成后的世紀(jì)館圖：圖2是建設(shè)中的世紀(jì)館；圖3是場(chǎng)館的簡(jiǎn)化圖.

（圖I）（圖2）

如（圖3）是由兩個(gè)半圓及中間的陰影區(qū)域構(gòu)成的一個(gè)軸對(duì)稱圖形，A47/尸P7/OO7/5?,其中A4'=280

米；圓心距。0'=160米：半徑R=75米：橢圓中心P與圓心。的距離PO=40米，C、C為直線FP

與半圓的交點(diǎn)，ZCOB=60°.

（1）設(shè)1=計(jì)算sina的值；

（2）計(jì)算NCQP的大小（精確到1。）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.（2021?全國高考真題）在，.A3C中，已知6=120。，AC=M，AB=2,則BC=（）

A.1B.V2C.V5D.3

【答案】D

【解析】設(shè)筋=（?,74。=6,5。=。，

結(jié)合余弦定理：〃="+/-2accos3可得：19=?2+4-2x?xcosl20?

即：a2+2a—15=0>解得：a=3（a=—5舍去）,

故6C=3.

故選：D.

2.（2021?全國高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)

海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，OE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的

高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”則

海島的高AB=（）

A表高x表距口表高x表距

,表目距的差一表圖B.表目距的差一表圖

表高義表距表高X表距一表距

,表目距的差表距D.

表目距的差

【答案】A

【解析】如圖所示：

DEEHFG

由平面相似可知,——，而DE=FG,所以

ABAC

DEEHCGCG-EHCG-EH

而CH=CE-EH=CG—EH+EG,

~AB~~AH~~AC~AC-AH~~CH

CG-EHEGEGxDE_表高x表距

即=+XDE+DE+表高.

CG-EHCG-EH一表目距的差

故選：A.

3.（2021?全國高考真題（理））2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位：m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有4

B,C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影4,3',。'滿足/4。8=45°,NA'5'C'=60°.由C點(diǎn)

測(cè)得8點(diǎn)的仰角為15。，88'與CC的差為1。。；由8點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面

48'。'的高度差A(yù)4'—CC'約為（百。1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

A

zn?\

【解析】

過。作CH,班'，過3作

故A4-CC'=A4」（班期）=A4'—班'+100=AD+100,

由題，易知出為等腰直角三角形，所以仞=〃.

所以A4'—CC'=+100=46'+100.

因?yàn)?CH=15°,所以

tanl5°

在右人'5'。中，由正弦定理得：

43'_CB，_100_100

sin45°sin75°tan15°cos15°sin150'

J6_J?

而sin150=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos450sin300=---------

由z100x4xJ^-i

所以2=100(^+1)^273

展-叵

所以裕'—。。=45'+100。373.

故選：B.

4.（2021?四川德陽市?高三二模）圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的

直角三角形和一個(gè)小的正方形拼成個(gè)大的正方形，某同學(xué)深受啟發(fā)，設(shè)計(jì)出一個(gè)圖形，它是由三個(gè)全等的

鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，如圖2,若AD=4,BD=2,那么=

)

A.2B.-2

【答案】D

【解析】解：由題意可知，ZFDE=ZDEF=ZEFD=60°,

:.ZAEC=ZCFB=ZBDA=120°f

又?AD=4,BD=2,

,\BF=CE=AD=4fBD=DF=CF=EF=AE=DE=2,

BE?CD=(BD+DE),(CF+FD)

=BD?CF+BD,FD+DE?CF+DE?FD

=|BZ)|-1CF|-cosl20°+|BD|-|Fr)|-cosl80o

+1DE|-|CF|-cos60°+|￡>E|-|Fr)|-cosl20o

=2x2x(-1)+2x2x(-l)+2x2x1+2x2x(-1)=-2-4+2-2=-6.

5.（2021.重慶一中高三模擬）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高

曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABC。

中，AABC滿足“勾3股4弦5"，且AB=3,E為AC上一點(diǎn)，8后，47.若54=43￡+〃4。，貝￡+〃的值

為（）

【答案】B

【解析】解：由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系

氏4=(0,3),AC=(4,-3),設(shè)3E=(a,3),

因?yàn)锽ELAC,

..9

所以AC-8E=4a—9=0，解得。=:.

4

9

由BA=BE+//AC,得(0,3)=A(—,3)+〃(4,—3),

北竺,

—X+4〃=0,

所以｛4尸解得＜25

9

3/1—3//=3,//=-—

7

所以X+〃=--,

25

故選：B.

6.（2021.遼寧高三模擬）英國數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引

以為傲的研究成果之一.定理的內(nèi)容是：三角形A3C的三條邊長分別為。，b,c,分別延長三邊兩端，使

其距離等于對(duì)邊的長度，如圖所示，所得六點(diǎn)A，c2,用，A，G，員仍在一個(gè)圓上，這個(gè)圓被稱為康威圓.現(xiàn)

有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）

14〃

A.9TIB.亍

【答案】C

【解析】康威圓的圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心,

故選:C.

7.（2021?全國高三模擬）如圖，在正方形ABCD中，邊長為也，E是邊上的一點(diǎn)，ZEAB=30°,

2

以A為圓心，AE為半徑畫弧交CD于點(diǎn)尸，尸是弧E尸上（包括邊界點(diǎn)）任一點(diǎn)，則APBP的取值范

圍是（)

1拒1

1-5

A.T2B.c.，'彳D.T4

【答案】B

【解析】過P作PH，AB于點(diǎn)H,因?yàn)镹EAB=30°,AB=—，所以AE=1，BE=DF=-

22

因?yàn)槭腔≌希òㄟ吔琰c(diǎn)）任一點(diǎn)，所以卜尸|=1,

ULIUL1UUUU

又因?yàn)?P=AP—AB，

所以AP?BP=AP?(AP—A3)=AP?—AP?A5=—AP?AB

=1-AP-AB=1-|AP||AB|COSZPAB=1-|AB|(|AP|COSZPA5)=1-|AB||AH|,

所以當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合時(shí)，此時(shí)==L最小，且最小為=，所以APBP，

21111224

且最大為1-遮;

4

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)3重合，|AB||A用最大，且最大為3=3，所以AP3戶最

1111224

小為1—2=’,

44

所以AP-3P的取值范圍是--~■

故選：B.

8.（2021?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高三模擬（理））某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”

氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在。處（點(diǎn)C在水平地面ABO的下方，。為C"與水平地面ABO的交

點(diǎn)）進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A,3兩地相距100米，ZBAC=&）°,其中A到C

的距離比3到C的距離遠(yuǎn)40米.A地測(cè)得該儀器在C處的俯角為NQ4C=30。，A地測(cè)得最高點(diǎn)〃的

仰角為NQ4H=45°,則該儀器的垂直彈射高度CH為()

A.210米B.2106米C.(210+2106)米D.420米

【答案】C

【解析】設(shè)5C=x,所以AC=x+40,在A3c中，44c=60。，AB=100,所以，

=1002+(X+40)2-2X100X(^+40)XCOS60,即x=380,AC=x+40=420.

在RAAOC中，NQ4c=30°,所以O(shè)C=210,。4=210石，又在HjAW中，NOAH=45。,

所以O(shè)H=OA=2106，因此CH=OC+OH=210+210G.

故答案為：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(2021.吉林松原市?高三月考)在「.ABC中，內(nèi)角A,5c的對(duì)邊分別為a,4c,下列說法中正確的是

()

A.若ABC為銳角三角形且A>5,則sinA>cos5

B.若sin2A=sin26,貝「ABC為等腰三角形

C.若A>5,則sinA>sin5

D.若a=8,c=10,3=60。，則符合條件的一ABC有兩個(gè)

【答案】AC

JT

【解析】對(duì)于A,因?yàn)槿魹殇J角三角形且A>5,所以A+3〉,，

所以4〉會(huì)一3,所以51114〉5111砥-3)=35,故A正確；

對(duì)于B,若sin2A=sin25,則2A=25或2A=%-25.

若2A=25,則A3C為等腰三角形；

JT

若2A=?—25,則A+3=—,則&A8C為直角三角形，故B不正確；

2

ah

對(duì)于C,由可得。>人，所以一>—結(jié)合正弦定理可得sinA>sin5,故C正確；

2R2R

2,2_T2

對(duì)于D,。=8,c=10,B=60°,cosB=—------------，

lac

22_i_102_A2

即cos60°=——,解得b=2扃，只有一個(gè)解，故D不正確，

2x8x10

故選：AC.

10.(2021.河北唐山市?唐山一中高三模擬)設(shè)。是已知的平面向量且a7。，向量,c和a在同一平面

內(nèi)且兩兩不共線，關(guān)于向量°的分解，下列說法正確的是()

A.給定向量沙，總存在向量c,使a=/?+c；

B.給定向量/，和°，總存在實(shí)數(shù)4和〃，使a=X〃+〃c；

C.給定單位向量匕和正數(shù)〃，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)％，使。=力?+〃c；

D.給定正數(shù)/I和〃，總存在單位向量6和單位向量c，使a=48+〃c.

【答案】AB

【解析】對(duì)于A,給定向量匕，總存在向量c=a—b，使a=b+c，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)橄蛄俊?6，°在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，由平面向量基本定理可得：

總存在實(shí)數(shù)4和〃，使a=XZ?+〃c,故B正確；

對(duì)于C,設(shè)a=(O,4),給定匕=(1,0),〃=1，則不存在單位向量c和實(shí)數(shù)之，使a=/l〃+〃c，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)。=(0,4),給定；=則不存在單位向量和單位向量之，使a=+故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.(2021.江蘇南京市.高三一模)設(shè)0(0,0),A(l,0),8(0,1)，點(diǎn)尸是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，筋=￡5,

若OP-AB>PA-PB，則實(shí)數(shù)4的值可以為()

111

A.1B.—C.—D.一

234

【答案】ABC

【解析】設(shè)p(x,y),由A尸=%AB(O<4<1)得(％—Ly)=2(-=42),

%-1——A/、

所以《W"),

由OP-ABPAPJB得(1—X,X),(一1,1)2(彳,一—1/一X)，

幾-1+幾2幾(幾-1)-幾(1-X),

22-1>222-22,222-42+1<0=>1--<2<1+—，

22

由于0W4W1,所以1—走WXW1.

2

1畀1-4，1],所以ABC正確，D錯(cuò)誤.

2

故選:

12.(2021.珠海市第二中學(xué)高三模擬)《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八

卷共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在

卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求

法是：“以小斜塞并大斜幕減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實(shí)，一

為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即S=J；[c2a2—(>3卜現(xiàn)有一A3。滿足

sinA:sin3:sinC=2:3:J7,且二A5C的面積S^ABC=孚，請(qǐng)運(yùn)用上述公式判斷下列命題正確的是

()

A.A3C周長為5+近

B.ABC三個(gè)內(nèi)角A,C,2滿足關(guān)系A(chǔ)+5=2C

C...。外接圓半徑為坦

3

D.ABC中線CD的長為亞

2

【答案】ABD

【解析】現(xiàn)有△ABC滿足sinA：sinB：sinc=2：3：近，

所以4：b：c=2：3：J7,

設(shè)〃=2/,b=3t,c-y/jt,/>0,

^2/2_24/+9產(chǎn)-7/_1

利用余弦定理cose-巴二^—-

2ab12?~2

由于（0,兀），

所以。=—?

3

2?

所以A+B=—,故A+B=2C,所以AABC三個(gè)內(nèi)角A,C,3成等差數(shù)列，故2正確;

3

利用SAABC=36,

2

所以LabsinC=—,2t?3t?=-—―,解得t=1.

2222

所以：4=2,Z?=3,c=布,

所以△ABC的周長為5+J7,故A正確；

二五二巫=r-

利用正弦定理siriC~73~3―2凡△ABC外接圓半徑R為'巴，故C錯(cuò)誤;

—3

2

如圖所示：

利用余弦定理：CD2=AC2+AD2-2AC-AD-COSA=9+--2x3x—x,

4274

解得8=叵，故。正確.

2

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2021?北京高一模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2,AC與BD交于前E,P是的中點(diǎn)，Q

為AC上任意一點(diǎn)，則PQIO=.

【答案】2

【解析】解：正方形ABCD的邊長為2,AC與BD交于點(diǎn)E，得：AC±BD,

尸是仍的中點(diǎn)，。為AC上任意一點(diǎn)，,4=2后，

PQ.3D=|叫陷cosZQPD=|BD|-|PE|=242x=2.

故答案為：2.

4

14.（2021?四川眉山市高三模擬）銳角三角形ABC中，sinZBAC=-,N&4C平分線交于點(diǎn)。,

\AD\=^-,\AB\+\AC\^6,則忸C|=.

【答案】2舊

4

【解析】解：因?yàn)樵阡J角三角形ABC中，sinZBAC=-,

3

所以cos/BAC=《，

、7J1Ar,。2^-BAC.3,NBAC2y/5

所UG以Icos/BAC=2cos--------1=-,解&73得Bcos-------=二一,

2525

由于㈤C平分線交5c于點(diǎn)力,|AD|=竽，

乙乙乙乙乙

11人911人C1c,NBAC/BAC11八八|?/BAC/i.??同「八

n即nScMBC=-|AB||AC|X2sin——cos——=-|AD|sin—(|AB|+|AC|)

乙乙乙乙乙

所以|川|仙1=5,

所以由余弦定理得：|3C「=\ABf+|AC|2-2\AB\\AC\cosZBAC

=(\AB\+\AC\f-2\AB\\AC\-2\AB\\AC\COSZBAC=36-10-6=20,

所以忸C|=2逐

故答案為：2非

15.(2021?寧夏銀川市?高三模擬(理))已知A(l,1),3(0,1),C(l,0),M為線段上一點(diǎn),

S.CM=ACB>若MABC>MBMC，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

「V21

【答案】1--,1

%=]一/t

【解析】解析：設(shè)點(diǎn)〃(羽y),由。w=4CB，得(x—l,y)=2(—1,1),所以1,

y=A

因?yàn)镸A?3C>MB-MC?所以。一羽1一丁>(1,-1)之(一%,1-丁)(1一4,一y)，

即1—%—1+yN—X+%2—y+y2,化簡(jiǎn)得+y2_2y<Q

X—1—X,

將《。代入X2+y2—2y?0,得(1—X)2+x2—2%<0,即2^2—42+140,

-<2<1+—.

22

因?yàn)镸為線段6C上一點(diǎn)，且CM=/ICB，所以0W2W1.綜上，可知

2

故實(shí)數(shù)2的取值范圍是1-軍,1.

2

16.(2021?山東泰安市?高三模擬)在一個(gè)三角形ABC中，到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形

的費(fèi)馬點(diǎn)，經(jīng)證明它也滿足NAP5=NBPC=NCR4=120，因此費(fèi)馬點(diǎn)也稱為三角形的等角中心，如

圖，在..A5C外作等邊八48,再作的外接圓，則外接圓與線段3。的交點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn).若

AB=1,BC=2,ZCAB=90,則B4+PB+PC=.

【答案】g

【解析】根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)有，ZAPB=ZBPC=ZCPA=120

則NPAB+NP5A=60，又AB=LBC=2,NG4B=90,

故6C=2,ZABC=60，即NP3C+NPA4=60

所以/PAB=NPBC,從而有APAB-APBC

PAPBAB1

貝nl！I===—,

PBPCBC2

則PC=2P5=4K4,

在△E4B中，由余弦定理知，

PA2+PB2-12=2PAPBcosl20，

解得尸3=亞，PA=^-

77

則P。=生2,PA+PB+PC^^fl

7

故答案為：幣

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(2021.全國高考真題)在A3c中，角A、B、。所對(duì)的邊長分別為。、〃、c,b=a+l,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求_45c的面積；

(2)是否存在正整數(shù)4，使得，ABC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）竺也；（2）存在，且〃=2.

4

【解析】（1）因?yàn)?sinC=3sinA,貝ij2C=2（Q+2）=3Q,則〃=4,故Z?=5,c=6,

cosC，+”一廠:L所以，。為銳角，則sinC=Jl—cos2C=辿,

2ab88

國N°\AV3515手

內(nèi)上匕，S=—absmC=—x4x5x--=----；

△AAARbre2284

（2）顯然。>人>〃，若.為鈍角三角形，則C為鈍角，

222

%—六K田十曰「+b-C〃2+（〃+l）2_（〃+2）24Z-2（2-3

由余弦7E理可得COSC=----------=--------Y——\----=----1<0，

lab+

解得—?jiǎng)t0v，v3,

由三角形三邊關(guān)系可得Q+Q+1>Q+2,可得a>l,aeZ,故a=2.

27r

18.（2021?北京高考真題）已知在」A5C中，c=2〃cos5,C=——.

3

（1）求3的大??；

（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使.ABC存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度.

①c=6b；②周長為4+2也；③面積為入芋；

JT

【答案】（1）7=（2）答案不唯一，具體見解析.

O

【解析】（1）c=2bcosB,則由正弦定理可得sinC=2sin5cos5,

.?.sin23=sing=￥，-C，,8e

TTn

.?.2B=-,解得3=—；

36

73

（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得￡=溝0=4-=百，

bsinB1

2

與。=夜。矛盾，故這樣的；A5C不存在；

JT

若選擇②：由（1）可得A=—,

6

設(shè)，A3C的外接圓半徑為H，

7T

則由正弦定理可得〃=Z?=2Hsin—=H,

6

c=27?sin—=^7?,

3

則周長a+b+c=2R+辰=4+26,

解得R=2,則a=2,c=25/3，

由余弦定理可得5C邊上的中線的長度為：

J(2⑹2+產(chǎn)―2x2Gxlxcos?="

7T

若選擇③：由(1)可得A=—,即a=b,

6

則SABC='a6sinC=,解得a=退，

A"。2224

則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

/+⑶12X”QXCOS2=心+國立=叵.

V\2)23V422

19.(2021?全國高考真題)記A5c是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知，點(diǎn)。在

邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AZ)=2。。，求cosZABC.

7

【答案】(1)證明見解析；(2)cosZABC=—.

12

【解析】

cbsinCc

(1)由題設(shè)，8。=上理一，由正弦定理知:,即二-------=一,

sinZABCsinCsinZABCsinZABCb

**?BD=――,又b?=ac，

b

：.BD=b,得證.

2bb

(2)由題意知：BD=b,AD=——，DC=—

33

,24〃213〃2,2〃210〃2

b+-----c------cb+---a------a

：.cosZADB=----J-=-2-^—,同理cosZCDB=------=—

”2b4b2b2b-

2b------2b?-...

3333

ZADB=7r-ZCDB,

13b222IO/72

-----ca------1

—=—，整理得2/+02=J_巴，又/=ac，

4b2b3

.?.2/+與=匚忙，整理得6/—11。2〃+3必=o,解得［=J_或*

a-3b"