2024-2025學(xué)年北師大版高二數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：雙曲線中6類題型訓(xùn)練（解析版）

重難點(diǎn)02雙曲線專題訓(xùn)練

01思維導(dǎo)圖

02題型精練

題型01雙曲線的定義應(yīng)用

1.（23-24高二上?江西?期中）若N分別是雙曲線C：/-9=1的右支和圓。：（x-5）2+（y-l）2=1±

的動(dòng)點(diǎn)，且尸是雙曲線C的右焦點(diǎn)，貝+列的最小值為（）

A.5A/2-3B.572-2C.3V2-2D.372-1

【答案】A

【詳解】圓。：（x-5）2+（y-l）2=l的圓心。（5,1）,半徑廠=1,

2_________

雙曲線C：x~—^~=1則a=l,b=V3'c=-\la2+b2=2,

設(shè)左焦點(diǎn)為耳（-2,0）,則|孫|-|MF|=2a=2,^\MF\=\MFt\-2,

所以|W|+pWF|=pW|+|MFj-2N|s|-3=J（5+2）2+12-3=5五-3,

當(dāng)且僅當(dāng)M、N在線段。片與雙曲線右支、圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).

故選：A

2.（24-25高二下?上海?期中）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”提出直角三

角形的三邊邊長分別稱為“勾”“股”“弦”.如圖一直角三角形4BC的“勾”“股”分別為6,8,以48所在的直線

為x軸，N2的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則以4,B為焦點(diǎn)、,且過點(diǎn)C的雙曲線方程為.

24

【詳解】依題意，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，焦距2c=|/同=10,即c=5,

實(shí)軸長2a=—忸C||=8_6=2,即q=l,

于是虛半軸長6=-a2=2^/6，

2

所以所求雙曲線方程為--匕=1.

24

故答案為：x2-^=l

24

3.（23-24高二上?四川成都?期中）已知圓M：卜+石『+/=9的圓心為M圓N：k-退了+/=1的圓

心為N,一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心￡的軌跡為曲線C.

（1）證明：曲線C為雙曲線的一支；

（2）已知點(diǎn)尸（2,0）,不經(jīng)過點(diǎn)尸的直線/與曲線C交于4,8兩點(diǎn)，且強(qiáng).方=o.直線/是否過定點(diǎn)？若過

定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）直線/恒過定點(diǎn)，件0）

【詳解】⑴證明：由題意知圓環(huán)卜+石丁+了2=9的圓心為“（-百0）,圓N：［-君）'+必=1的圓

心為N（瓜0）

如圖，設(shè)圓E的圓心為￡（%/）,半徑為尸,

由題可得圓M半徑為3,圓N半徑為1,則|EA/|=r+3,|W|=r-l,

所以|我/0|-|七雙|=4<|亞亞|=26，

由雙曲線定義可知，￡的軌跡是以“，N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長為4的雙曲線的右支

2

又M（-行,0）,N（石,0）,所以動(dòng)圓的圓心E的軌跡方程為》-y=1,（X22）,

（2）設(shè)直線/的方程為％=即+/,

設(shè)/(再，必)，B(X2,y2),其中占22,x2>2,

由韋達(dá)定理得：%+%=年，，乂%=勺=，

又點(diǎn)尸(2,0),所以西=(再-2,乂)，麗=(馬-2,力)，

因?yàn)樯?麗=0，所以(國-2)(x2-2)+弘%=。，

則(w%+1-2)(研+f-2)+乂%=(蘇+1)%%+(mt-2Moi+%)+?-2)2

(m2+1)(/2-4)-2mt(mt-2m)+(t-2)\m2-4)

=-----------------------------j-------------------------------=0n>

m—4

即3/一16，+20=0,解得￡=與(/=2舍去)，

當(dāng)"半，直線/的方程為1=利X+半，冽w±1,

332

故直線/恒過點(diǎn),0).

題型02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足的條件

22

1.（23-24高二上?廣東湛江?期中）（多選）已知曲線C的方程為工+二二=1（加eR）,則（）

A.當(dāng)冽=2時(shí)，曲線C為圓

B.當(dāng)加=7時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為y=

C.當(dāng)機(jī)＞2時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

D.當(dāng)加=7時(shí)，曲線C為雙曲線，其焦距為

【答案】AB

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)m=2時(shí)，曲線C的方程為/+/=3,表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為石的圓，故A正

確；

對(duì)于B：當(dāng)小=7時(shí)，曲線C的方程為4-三=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其漸近線方程為y=±：x,

822

故B正確；

對(duì)于C：當(dāng)加=7時(shí)滿足機(jī)＞2,曲線C的方程為工-片=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故C不正確；

82

對(duì)于D：當(dāng)加=7時(shí)，曲線C的方程為日-亡=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其焦距為2所，故D不正

82

確.

22

2.（23-24高二上?廣東中山?期中）（多選）已知曲線+-匚=1,下列說法正確的是（）

6+加3—加

A.曲線￡可以表不圓

B.當(dāng)加=6時(shí)，曲線為雙曲線，漸近線為〉=±2x

C.若E表示雙曲線，則m＜-6或加＞3

D.若E表示橢圓，則一6〈加＜3

【答案】AC

3Y2v2

【詳解】若6+加=3-加〉0,即加=一彳時(shí)，曲線----+——=1表示圓，A正確；

26+m3—加

221

當(dāng)加=6時(shí)，有一弓_=1表示雙曲線，其漸近線方程為尸土寸，B不正確；

若E表示雙曲線，則有（6+加乂3-加）＜0,即機(jī)＞3或加＜-6,C正確；

6+m＞0

3

右E表示橢圓，則＜3-加〉0,解得一6＜相＜3且加W—/,D不正確.

6+mw3-加

故選：AC

22

3.（23-24高二上?山東煙臺(tái)?期末）（多選）已知曲線「：—+^^=1（加?R），則（）

\-m3+加

A.「可能是等軸雙曲線

B.若「表示焦點(diǎn)在了軸上的橢圓，貝卜1＜，”＜1

C.「可能是半徑為0的圓

D.若「表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則旭＜-3

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,若r是等軸雙曲線，則1-優(yōu)+3+小=0,顯然不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,:T表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

貝1|3+%＞1-加＞0,解得-1＜加＜1,故B正確；

對(duì)于C,「是圓，貝IJ3+7〃=1-機(jī)＞0,解得加=-1,半徑為正，故C正確；

_Pl-m＞0

對(duì)于D,「表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則。A，

解得加＜-3,故D正確.

故選：BCD.

題型03焦點(diǎn)三角形

1.（2024?遼寧?二模）己知雙曲線。：［-4=1（。＞0/＞0）的左焦點(diǎn)為尸，漸近線方程為廣土心焦距為8,點(diǎn)

ab

A的坐標(biāo)為（1,3）,點(diǎn)尸為C的右支上的一點(diǎn)，則忸用+|尸園的最小值為（）

A.4V2+2V5B.672C.7&D.472+710

【答案】C

【詳解】如圖所示

記C的右焦點(diǎn)為耳，即耳（4,0）,

由雙曲線的定義，得|「加一|P印=20=4點(diǎn)，即|P尸|=4及+|P耳|

所以|尸尸|+|尸4|=4亞+|P^|+|pf]|>4V2+|/耳34亞+^（1-4）2+（3-0）2=772,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸在線段4月上時(shí)等號(hào)成立，

所以戶尸|+|尸』的最小值為7vL

故選：C.

丫2v2

2.（23-24高二上?福建福州?期中）已知片，鳥分別為雙曲線。：/3=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過￡的直線

與雙曲線C的左支交于45兩點(diǎn)，若可耳|=2國同=4,以理=忸叫,則雙曲線C的焦距為（）

A.B.C.—D.273

332

【答案】B

【詳解】如圖，由于|Z4|=2閨:=于|/卻=忸閶,

有2°=忸瑞卜忸周=6-2=4,可得a=2,

又由H閭=|/4|+2a,可得心|=8,設(shè)，="壽，

在村鳥中，由余弦定理有cos/5耳月=4+4c?-36=4c?-32—4.

2x2x2c8c2c

在中，由余弦定理有cos//片耳=16+4/—64t4c2—48.《工.

122x4x2c16c4c

又由/BF[F?+NAFR=兀，有cos/BRF?+cos//耳g=0,

可得4+J^=0,解得C）野，所以雙曲線c的焦距為如H.

3.（23-24高二上?江蘇鹽城?期中）已知丹外是雙曲線C:%-方=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)耳

的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于43兩點(diǎn)，若以公|=2a,S“帙=46力，則雙曲線C的離心率為

（）

A.V3B.V7C.叵D.且

33

【答案】B

AF=2a

X]/刃=4。

【詳解】由題意可知：，鳥-\AF=2a

4X可得H=Rr

BF\-\BF2=（|/|+|明）-忸閭=2〃

取Ng的中點(diǎn)。，連接AD,可知

因?yàn)橐刈?；x4ax忸必=4辰2,可得忸。|=2退%

則|48|=忸可=叫2=“2。1+QGaJ=4a,

ni^cosZFtAF2=-cosZBAF2=--=~=-^,

在△陽月中，由余弦定理可得山巴「=|/耳『+|4?球-2|/耳口/月|405/片4乙,

即4c②=4/+16/-2x2ax4ax（-g）,整理得c?=7〃，

所以雙曲線C的離心率為e=F=J7.

故選：B.

4.（23-24高二上?上海靜安?期末）已知點(diǎn)P是雙曲線"-亡=1右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)48分別是圓

1620

（x+6>+y2=4和圓（x-6y+y2=i上的點(diǎn).則包卜|尸耳的最小值為（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】B

22

【詳解】由雙曲線巳-與=1可知a=4,6=2右,c=J7而=6，

且圓（x+6>+/=4的圓心為片（一6,0）,半徑。=2,

（x-6y+V=l的圓心為耳（6,0）,半徑4=1,

事的性質(zhì)可知：|尸⑷2|尸圖-/=|尸耳|-2,|即4|尸閶+4=|%|+1,

■射-網(wǎng)乂陷|-2）一（熙|+1）=陷卜質(zhì)卜3,

可知片（-6,0）,乙（6,0）為雙曲線的焦點(diǎn)，則|尸耳卜|尸閭=2.=8,

可得|尸/|-|尸8以尸耳卜|尸閶-3=5,

所以|尸/|-|尸耳的最小值為5.

故選：B.

5.（23-24高二上?上海?期中）設(shè)耳、片為雙曲線「：與一.=1左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在「的右支上，線段可”

與「的左支相交于點(diǎn)N,且W周=pW|,則閨N|=.

【答案】3

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M在「的右支上，片、鳥為雙曲線r左、右焦點(diǎn),

3

所以|出|-|四|=2、5=3,

X|A^|=|TW|+|7W<|,\MF2\=\MN\,

所以陽M=|町|一|5|=3.

故答案為：3.

22

6.（23-24高二上?福建廈門?期中）已知雙曲線E:企-3=1（。>08>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，月，過點(diǎn)

網(wǎng)的直線與雙曲線E的右支交于A,B兩點(diǎn)，若a=|/片|,且雙曲線E的離心率為0,則cosNBAK=.

【答案】—

o

【詳解】由雙曲線E的離心率為0,得雙曲線半焦距c=V^a，又|工目=|/周，

則忸居|=|48|-|4名|=|必卜|/月|=2a,由雙曲線的定義得忸周一忸周=|明卜2a=2°,

于是忸周=4。=2忸聞，

4/+8/-16/_也

在△陽月中，由余弦定理得cosNBFE=幽：/一一用

2\BF2y\FxF2\2x2ax2y[2a4

6

在△片鳥中，,設(shè)|力巴卜加，貝胤=機(jī)+〃，

4cosAFXF2A=-cosAFXF2B=1][42

由|/片「=|耳閭2+M引2—2閨閭M典cos/4馬/得

62

(2a+m)2=(2y/2a)2+m2—2-2y/2a-m-,解得加=§Q,即|/周=§

2

64/64(2“2

一-|Z片「+|/5「一忸川2------+---------16a

所以cos/BAFi=J-~―!—L-99

AFABcSaSa

A\'\\2x——x——8

33

題型04雙曲線的漸近線

I.（23-24高二上?湖北恩施?期中）已知雙曲線E:[-馬=1（。>0,6>0）的一條漸近線方程是k2x,則￡

ab

的離心率是（）

A.-B.且C.5D.V5

22

【答案】B

【詳解】因雙曲線￡：5-"=1（。>0,6>0）的一條漸近線方程為y=3,

依題意，￡=2,則其離心率為e=：=Jt^=/+（3=Jl+（gj=等.

故選：B.

22

2.（23-24高二上?江蘇南京?期末）已知雙曲線C：三-5=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別占，F(xiàn)2.A

ab

是C上一點(diǎn)（在第一象限），直線/工與軸〉交于點(diǎn)8,若/片，班;，且3Mgi=2E同，則C的漸近線方程

為（）

A.y=±2/xB.y=±^-xC.y=±^-xD.y=+45x

525

【答案】A

【詳解】如圖:

O

m\

'B

97

設(shè)怛周=加，則怛周=加，因?yàn)?|4用=2人同，所以以閭=：機(jī)根據(jù)雙曲線的定義：\AF^=^m+2a,

因?yàn)?片,8月，由勾股定理得：（I加+2aJ=（加-3磯加+。）=0,所以加=3°.

所以：忸匐=3.,|24|=2a,|/周=4°.

作「+閨閶2|典（3〃+。2

在中，COSZAFF=

}22|/耳|?閨巴|4ac

飛9a之02

在△。45中，cos/OBF]=

3a

因?yàn)镹Z片巴+/m0=90。，NBFQ+NOBFi=90。,所以44片瑪=/。8片，

從而cosNA%=cos/OBF1,即生土巨=迎二巨n（9/_5^丫=0n9/=5c?,

4QC3av7

所以9/=5（/+/）=[=3n"垣，

所以雙曲線漸近線的方程為：了=±2叵x.

5

故選：A

22

3.（23-24高二上?浙江?期中）已知雙曲線C：三一鼻=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，點(diǎn)。在C

ab

的右支上，鑿與c的一條漸近線平行，交c的另一條漸近線于點(diǎn)P,若。?！ㄊ?，則C的離心率為（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】A

【詳解】令&（c,0），由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線型的方程為＞=，（x-c）,

,_一（

由\11，解得％二:,產(chǎn)牛h即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為:,一h-\，

b22av22a）

y=——x

、a

（3cbe）

由。為片耳的中點(diǎn)，OQ"PF\,得。為桃的中點(diǎn)，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為二廠廠，

V44aJ

o2h2r2

代入雙曲線的方程，有r*-瀉s=l,

16。16ab

C2

即，=2〃，彳=2,

a

解得八板，所以雙曲線。的離心率為

故選：A

22

4.（23-24高二上?浙江衢州?期中）（多選）已知尸是雙曲線上-2=1的右焦點(diǎn)，P為其左支上一點(diǎn)，點(diǎn)

45

4（0,-6）,則（）

A.雙曲線的焦距為6

B.點(diǎn)尸到漸近線的距離為2

C.陽|+|產(chǎn)肉的最小值為3石+4

D.若|尸耳=8,則△。尸尸的面積為3而

【答案】AC

【詳解】如圖：

22

由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程q=l,可知“=2,6=右，所以°=而壽=3,所以雙曲線的焦距為:

2。=6,故A正確；

雙曲線的漸近線為y=±[x,即氐±2y=0,點(diǎn)/（3,0）到漸近線的距離為：

d=-y-=V5,故B錯(cuò)誤；

V5+4

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為尸，根據(jù)雙曲線的定義：|尸盟-|尸尸|=4,

所以+|尸川=|尸/|+|尸尸［+4./尸|+4=歷方+4=3石+4,故C正確;

在APET中，由|尸刊=8,忸/［=8-4=4,|F"|=6,

\PF^+\PF'2-\FF'f64+16-3664+16-36_11

由余弦定理得:cosAFPF'=

2|尸尸卜尸尸［2x8x42x8x416

所以sin/FPF=X^5

16

所以Sw=Lx8x4x理5=3岳，所以5郎=!$郎,=魚5,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

22

5.(23-24高二上?安徽合肥?期中)已知雙曲線二-2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為尸，經(jīng)過點(diǎn)尸作直線

a'b'

/與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為點(diǎn)直線/與雙曲線的另一條漸近線相交于點(diǎn)N,若

MN=iMF,則雙曲線的離心率e=.

【答案】巫

3

【詳解】易知尸9易),如圖，由對(duì)稱性不妨設(shè)直線河:卬=x-c(/<0),M(X”J(%>0),N(X2，%),

二一匕=0

21

由“ab,消x得到（6,/+2g-fcy+廳c?=0,

ty=x-c

2b-tcb2c2

則%+%=一，%力=

b2t2-a2b2t2-a2

因?yàn)轲?3標(biāo)，所以H-%，%-%)=3(c-無］,-%)，得到%-必=-3乂，即％=-2%,

將—代入%+%=一^^,小=^7整理得到9/r=/,

又易知，=-2,所以9〃(_2)2=°2,得到3〃=/即冷

故答案：竽

22

6.（23-24高二上?四川南充?期中）若廠（c,0）是雙曲線1一3=1（°>6>0）的右焦點(diǎn)，過廠作該雙曲線的

ab

一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于48兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A048的面積為26。2,則該雙曲線的離心

率為.

【答案】叵

2

22r

【詳解】因?yàn)殡p曲線三-5=1（。>6>0）的漸近線為y=±9x,

aba

不妨設(shè)過尸作一條漸近線垂直的垂線垂直于y=（即，如圖，

又|叫=C,所以|0同=J|0殲一忸殲=Jc2_°2=q,

因?yàn)锳04B的面積為2百片,

所以;103H48|=23/,即;用=2點(diǎn)?,所以以同=4屆,

設(shè)漸近線y=的傾斜角為小0<0<g],所以tan20=當(dāng)=4百,

aV1JOD

叫"=46解得tane巧，即/亭

故答案為：4-

22

7.（23-24高二上?河南?期中）已知雙曲線。：5-2=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為R過尸作直線分別與

ab

雙曲線的兩漸近線相交于N,8兩點(diǎn)，且O4-AF=0>~BF=,3AF,則該雙曲線的離心率為.

【答案】拒

【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為尸（。,0）,漸近線方程為bx±ay=0,

bebe7

F到漸近線的距離/產(chǎn)二-=b,

耳+〃c

\OF\=c,\AF\=b,\0A\=a,

BF=3AF,\AB\^2\AF\=2b,

2b

Q77---

tanNZQB=—,tanZFOA=—,tan2ZFCM=---------

由ZAOB+2ZF0A=兀，有AOB+tan2/FOB=0,

解得化]=2,則有==之貴=3,所以離心率e=3=5

ya）a2a2a

故答案為：V3.

題型05雙曲線的離心率

1.（23-24高二上?云南?期中）已知雙曲線C:1-與=1（°>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸，左、右頂點(diǎn)分別為

ab

4,4，力Fx軸于點(diǎn)尸，且麗=2/.當(dāng)N4Q4最大時(shí)，點(diǎn)P恰好在C上，則C的離心率為（）

A.咨B.V3C.2D.V5

2

【答案】D

【詳解】由題可得4（-。，0），4（。，0），設(shè)尸（c,o）

因?yàn)槭琹x軸，且麗=2誣，所以。為尸尸中點(diǎn)，PF工A[F,

設(shè)|?？?〃，則戶刊=23可得tan//?尸=*,tanN4O尸=—，

hh.

所以tanZArQA2=tan（ZAtQF-ZA2QF）

tanN&QF-tanZA2QF

1+tan/-AyQF-tanNA?QF

c+ac—a

hh2a

22當(dāng)且僅當(dāng)訪時(shí)等號(hào)成立,

1c+ac-a7c—a=b

l+--------------h+--------

hhh

即訪=b時(shí)，取得最大值，即/4Q4最大,

此時(shí)可得P（c,2b）,代入雙曲線方程得，《一學(xué)=1,即/=5,貝卜=石,

故選：D.

22

2.（23-24高二上?湖南?期中）雙曲線C:二-2=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳片，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為雙曲線右

ab

支上的一點(diǎn)，連接咫交左支于點(diǎn)0.若|%|=|尸。|,且S△盟B=6S^。時(shí),則雙曲線的離心率為（）

A.2B.41C.3D.273

【答案】B

【詳解】如圖所示，

由雙曲線的定義可知：尸耳日巡|=|尸0|+|°4|-|尸閶=2"，

所以耳|=2。，又有|。閭=2.+|。耳|=4a,因?yàn)镾△碉瑪=6/0相，

；sin/P耳巴.|巴訃|耳瑪|2|尸川

即手1------------------------------=-jTTi=6

-smZPF^^QF^OF]I。嵋

所以|尸。|=24|=4a,則APQF?為等邊三角形，有質(zhì)=y,

由余弦定理可得:

1尸片-店工『36a2+16>_4C2

解得e=

2-2閥明-48a^V7.

故選：B

22

3.（23-24高二上?廣東?期中）已知雙曲線C：1-與=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳,

ab

過耳的直線分別交雙曲線左、右兩支于N、8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，CB=4F\A,BF2平分NKBC,則雙曲

線C的離心率為（）

A.班B.—C.V?D.

333

【答案】B

【詳解】因?yàn)闊o=4限，則C8IIaN,所以△耳48~A￡8C,

設(shè)出刃=2c,則/C|=6c,

設(shè)I/1=才,則I/1=4%,|AB|=3t,

\BEI\EFI2c1

因?yàn)樯椒諲^BC,由角平分線定理可知島=曰焉,=丁=[

所以|BC|=3|期|=12f,

所以|/月|=||SC|=3G

由雙曲線定義知MKH4用=2。，貝l]3/-/=2a,則

所以忸耳|=4?=4a,

又由|他\-\BF2|=2a,可得|=|BFX|-2a=4a-2a=2a,

所以|Z8|=3〃,\BF2\=2af\AF2\=3a,

_|/5F+|陷|2_|盟|2_9q2+4q2_9q2_』

在月中,由余弦定理知cos//HB

—21ABHBF21_2x3ax2〃-3

出與『+|尸片用『

2212T16a2+4a2-4c21

在△片5月中，由余弦定理知cosN6=

2|明H聰I2x46zx2(73

化簡得11/=3°2,解得e=叵.

3

故選：B.

22

4.（23-24高二上?山東煙臺(tái)?期中）已知雙曲線C：鼻-4=1（。>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,

ab

F],過點(diǎn)4作直線/與C交于兩點(diǎn)48（點(diǎn)8在第一象限），線段NB的垂直平分線過點(diǎn)用，點(diǎn)外到直線

/的距離為2百°,則C的離心率為（）

A.V5B.V6C.V7D.2&

【答案】C

【詳解】解：設(shè)雙曲線的半焦距為c,c>0,

—__忸閭1=|1/閭，根據(jù)題意得至小納H8引=2a,

又卜閶一|/耳|=怛閭一|/耳|=2°,

故|48|=|明卜周=4”,設(shè)48的中點(diǎn)為C,

在中，|Cg|=2Ga,\AC\=2a,

故卜《（2af+（2底）2=4a，

則HR=2a,|?！﹟=4°,

根據(jù)|C與『+|5『=|片司2,

可知（4a）2+Q拒a?=（2c）2,

故28/=4C2,可得e='=V7.

a

故選：c.

22

5.（23-24高二上?上海浦東新?期中）已知雙曲線與-白=1（。>0,6>0）的焦點(diǎn)分別為石、石，M為雙曲線

ab

上一點(diǎn)，若乙鎮(zhèn)陷=與，OM=^-b,則雙曲線的離心率為.

【答案】立

2

【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，設(shè)|西|=小|叫|=2，又/邛明=年，

所以雇「=|叫『+般「_2防“歷與=/+「2廖'￡|

=r\+r2+4G=（0-G）2+33=4Q2+33=4c2,

所以4〃=3八G,

因?yàn)?。為百區(qū)的中點(diǎn)，所以標(biāo)=g(麗+麗)，即2流=礪+麗,

所以加炳+雙可=MF^

42=(+2MFX-MF2+MF?

2/\2.28〃

2=rr2

=rx-。4+qy\~2)+04=4〃+。4=---,

所以4/+&〃=也，即4/=8〃，即/=262=202一24

33

所以3/=2",則二=逅.

a2

故答案為：好.

2

2222

6.(23-24高二上?上海?期中)已知橢圓M：F+與=l(a>b>0),雙曲線N:j-4=1(加>0,”>0).設(shè)橢圓

abnTn

M兩個(gè)焦點(diǎn)分別為《，耳，橢圓M的離心率為q,雙曲線N的離心率為e2,記雙曲線N的一條漸近線與橢

圓M的一個(gè)交點(diǎn)為P,若尸片，質(zhì)且閨用=2］蜀，則旦的值為.

e2

【答案】叵1

2

22

【詳解】如圖所示，橢圓河:二+當(dāng)■=l(a>6>0),

a"b"

因?yàn)槭慌c鳥\=2\PF］\=2c,

所以|尸鳥|=G|尸耳|=6c，

又因?yàn)閨尸居|+|期|=2a,

所以2a=(1+G)c,

故［:占fj

雙曲線N：W—4=1(加>0,〃>0)的一條漸近線設(shè)為y='x,

mnm

即/「。片=烏，故己=1211巴=6,

3m3

所以雙曲線離心率e?=’（彳）2+1=2,

所以且=*L.

e22

故答案為：3二1

22

7.（23-24高二上?內(nèi)蒙古通遼?期中）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為雙曲線C：、一方=1色＞0）的左焦點(diǎn)，直

線二船與C交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），若司，且|/司?怛巴=2,則C的離心率為.

【答案】空

3

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為8（c,0）,連接

由對(duì)稱性可知，|/周=忸川，］。8H?？?，3H°a，

因?yàn)閨。4|=|?？?，所以|。用=|。制=|。4|=|。四，故四邊形如吆鳥為矩形，AF21AF,

因?yàn)镠對(duì)忸可=2,所以|/尸卜|/閶=2,

由雙曲線定義可得|/司-|=2a=2君，

由勾股定理得|回+|盟『=|為用2=倡歷可=12+4",

由題意得（H尸］一|/巴|丫+2a司..可=|/殲+日月「，

即12+4=12+4〃，解得〃=i,

故H=3+〃=4,解得c=2,

故答案為：當(dāng)

題型06直線與雙曲線的位置關(guān)系

1.（23-24高二上?甘肅?期末）過雙曲線C：S-￡=l（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)片作斜率為2的直線/交C于",N

兩點(diǎn).若說=3布，則雙曲線的離心率為（）

A.3B.2C.41D.中

【答案】D

【詳解】設(shè)M（XQ］）,N（X2，”），由西=3不，得m=一3%,

設(shè)直線/的方程為x=gy-c,

/一…消去x,得（J-/

由，y2-cb2y+b2c2-a2b2=0,

1

x=-y-c

29

cb2b2c2-a2b2

由根與系數(shù)的關(guān)系，得“+%=廬一，%為=

b2

------u,2-----a,2

44

cb2b2c2-a2b2

所以一2%

b2b2

------a2-----a,2

44

、2

cb2b2c2-a2b2T.1

所以-3x」，化簡得一/2

4b2b2

------a,2------a,2

474

所以-3。2=。2-44,得4c2=5/

所以e2=3,可得e=@

42

￡-/=1的左、右焦點(diǎn)，過耳的直線

2.（23-24高二上?江蘇南通?期中）（多選）已知斗鳥為雙曲線C：

交雙曲線C右支于P,0兩點(diǎn)，則下列敘述正確的是()

A.若|尸。|=26，則△尸片。的周長為8。B.弦尸。長的最小值為T

C.點(diǎn)尸到兩漸近線的距離之積為aD.點(diǎn)尸與直線X-島+2=0距離的最小值為1

【答案】ABC

【詳解】

如圖，4(-2,0),且(2,0)雙曲線的漸近線方程為x土島=0.

對(duì)于A項(xiàng)，因|尸號(hào)-|相|=|?，?|。冷=26,又|尸0|=26，

則△尸片0的周長為\PFt+|Q用+|P0|=|尸同+2道+\QF2\+2代+|P0|

=4百+2|P0|=8百，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，不妨設(shè)直線尸。的直線方程為、=叩+2,與雙曲線方程土一/=1聯(lián)立,

3

消去X,整理得：(w2-3)y2+Amy+1=0,A=16m2-4(m2-3)>0,

4m

必十歹23-/

設(shè)尸(項(xiàng)，必)，。(%2，%)則,顯然必%<0，故/<3,

1

m2-3

則弦長因rk?/可=;"二駕?

V3-mm-3y(3-m)3-m

=-2道+-^■，因0〈加2<3,貝！|o<3-加2V3,故|p。巨一2道+更=范，

3-m33

即％=0時(shí)，弦P。長的最小值為氈，故B項(xiàng)正確；

3

對(duì)于c項(xiàng)，設(shè)尸(西，必)到雙曲線兩漸近線工±島=0的距離分別為，

則MJ3+J必IJ必IjX；,因］_才=1,故得4%=:,故c項(xiàng)正確;

對(duì)于D項(xiàng)，因雙曲線的漸近線x-Gy=0與直線x-6y+2=0平行，

而點(diǎn)尸到漸近線的距離大于零，且趨近于零，

因漸近線X-島=0與直線X-島+2=0的距離為，=m=1,

故點(diǎn)尸到直線x-6y+2=0距離大于1,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

3.（23-24高二上?廣東深圳?期中）（多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)耳（-73,0）和F2（6,0）

連線的斜率之積等于g,記點(diǎn)尸的軌跡為曲線E,直線/：了=左（》-2）與曲線E交于/,2兩點(diǎn)，則

2

A.曲線￡的方程為（-r=1卜/土百）

B.曲線￡的焦距為

C.滿足|/同=26的直線/有2條

D.若人=一1,則直線/與曲線E有兩個(gè)交點(diǎn)

3

【答案】AC

【詳解】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)Px,y）,由己知得一^