2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)

試題

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng).

1.已知集合/=x>l},5={x|x<3},則/8=

A.{x|l<x<3}B.{2,3}C.{x|l<x<3}D,{2}

2,若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+i)應(yīng)=2i,則z的共甄復(fù)數(shù)1=()

A.1-iB.1+iC.-iD.-1+i

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

32|x|

A.y=xB.y=-x+1C.y=log2xD.j=2

4.設(shè)a=0.62,b=2"6,c=log20.6,則a,b,c的大小關(guān)系為()

Aa>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

5.已知a〉0,b>0,則+是()

4

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知巴〃是兩個(gè)不同的平面，加〃是兩條不同的直線(xiàn)，能使加，〃成立的一組條件是

()

A.a〃仇m>a,Ti10B.a〃B,mua,n工B

C.CL±P.m±a.n//PD.a±P.m(Za.n//

7.已知函數(shù)/(x)=2sin[2x+g],則下列命題正確的是()

A./(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)》=三對(duì)稱(chēng)

的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

B./(x)1,0

TT

C./（X）在o,—上為增函數(shù)

71

D./（x）的圖象向右平移五個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象

8.如圖，在VZ8C中，/￡＞為8c邊上的中線(xiàn)，若￡為/。的中點(diǎn)，則屈=（）

1—■5—?1—■3—■

A.——AB--ACB.——AB--AC

4444

1—■5—■1—■3—?

C.-AB——ACD.-AB——AC

4444

9.德國(guó)心理學(xué)家艾?賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類(lèi)大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪

制出“遺忘曲線(xiàn)”.“遺忘曲線(xiàn)”中記憶率》隨時(shí)間/（小時(shí)）變化的趨勢(shì)可由函數(shù)y=1-0.6產(chǎn)27

近似描述，則記憶率為50%時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2ao.30,坨3它0.48）

A.2小時(shí)B.0.8小時(shí)C.0.5小時(shí)D.0.2小時(shí)

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若生=2,且84=67,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.｛4｝為遞增數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)〃=5時(shí)，S”有最大值

C.不等式用〉0的解集為｛〃eN*,410｝D.不等式％〉0的解集為無(wú)限集

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1，-2）,則tan2a的值為.

12.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％=2,a“+i-2an=0（“=1,2,…），貝ij｛a,｝的前6項(xiàng)和為.

13,若函數(shù)/（x）=sinx+cos（6—x）,對(duì)任意的xeR都滿(mǎn)足x）+/（x）=0,則常數(shù)。的一

個(gè)取值為.

14.已知正方形48?！辏┑倪呴L(zhǎng)為1,點(diǎn)2滿(mǎn)足4「=忒18（入＞0），則無(wú)?無(wú)的最大值為

“、Inx,x>0,

15.設(shè)函數(shù)/(x)=?2給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)/(x)的值域是R；

x+4x+1,x<0.

②Ta>l,方程/(x)=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；③3^^區(qū)十，使得/(一/)—/(%)=。；④若

實(shí)數(shù)X］</</</,且/(再)=/(%2)=/(%3)=/(%4).則(再+了2)(工3一》4)的最大值為

4

4e-一.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

e

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步深或證明過(guò)程.

16.已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx—Gcos2x.

(1)求/(x)的最小正周期；

TT

(2)求/(x)在［0,1］上的最大值和最小值.

17.在A/4BC中，3bsinA-y/3acos5=0-

(1)求NB；

⑵若a=2拒,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△48C

存在且唯「確定，求△NBC的面積.

條件①：6=3；條件②：cosZ=g；條件③：△45。的周長(zhǎng)為4+2百.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,

按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.如圖，已知四棱錐底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，/4BC=60°，側(cè)面S4。

為正三角形，側(cè)面底面48C￡>,M為側(cè)棱S3的中點(diǎn)，￡為線(xiàn)段40的中點(diǎn)

(I)求證：S￡>//平面M4C；

(II)求證：SELAC；

(III)求三棱錐M—48。的體積

19.己知函數(shù)/(x)=Zalnx-x?+1.

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若?！?,求函數(shù)/(x)在區(qū)間[1,+8)上的最大值；

(3)若/(x)WO在區(qū)間口,+e)上恒成立，求a的最大值.

20.已知函數(shù)/(x)=z--1,awO.

e+a

(1)當(dāng)a=1時(shí)，

①求曲線(xiàn)y=/(%)在x=0處的切線(xiàn)方程；

②求證：/(x)在(0,+8)上有唯一極大值點(diǎn)；

(2)若/(x)沒(méi)有零點(diǎn)，求。的取值范圍.

21.已知項(xiàng)數(shù)為左(左＞3)的數(shù)列｛4｝是各項(xiàng)均為非負(fù)實(shí)數(shù)的遞增數(shù)列.若對(duì)任意的i,j

(iwtqwk),盯+為與盯-4至少有一個(gè)是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)火.

(1)判斷數(shù)列0,1,4,6是否具有性質(zhì)火，并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)況,求證:2(%+%+…+&_]+仰)=如充;

(3)若數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)X,且｛4｝不是等差數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)上的所有可能取值.

2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)

試題

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng).

1,已知集合/={xeN|x>l},5={x|xW3},則小八()

A.{x|l<x<3}B.{2,3}C.{x|l<x<3}D,{2}

【正確答案】B

【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)?={xeN|x>l},5={x|x<3}

所以"c8={2,3}

故選：B

2.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(1+i)汝=2i,則z的共鈍復(fù)數(shù)1=()

A.1-iB.1+iC.-iD.-1+i

【正確答案】A

【分析】由(1+i)汝=2i知z=」，運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法即可求出z,根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念即可

求解.

/、2i2i(l-i)2+2i

【詳解】因?yàn)?1+i)汝=2i,所以z="(1+"(1'=亍=1+1，

所以』=l-i.

故選：A

3,下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

32

A.y=xB.j=-x+1C.y=log2xD.j=2閔

【正確答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一判斷可得答案.

【詳解】函數(shù)y=d是奇函數(shù)，不符合；

函數(shù)y=-Y+i是偶函數(shù)，但是在（0,+oo）上單調(diào)遞減，不符合；

函數(shù)y=log?X不是偶函數(shù)，不符合；

函數(shù)y=2M既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，符合.

故選：D

本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.設(shè)°=0.62，b=2o.6；c=log20.6,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.

c>a>b

【正確答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】解：0<0.6?<1,二0va<1,

20-6>2°=1，；.b〉1，

*.*log20.6<log21=0,c<0,

b>a>c,

故選：C.

5.已知a>0,b>Q,則是“仍〉!”（）

4

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)基本不等式可知當(dāng)。6>工時(shí)，a+b>l；反之不成立，即可得出結(jié)論.

4

【詳解】若可知當(dāng)a=l,b=!時(shí)，。6>工不成立，即可知充分性不成立;

64

若ab>：,可得a+法〉2。=1,即可得即必要性成立，

因此可得“a+6>1”是“ab>一”的必要不充分條件；

4

故選：B

6.已知鬼萬(wàn)是兩個(gè)不同的平面，加，，是兩條不同的直線(xiàn)，能使加_1〃成立的一組條件是

()

A.a//(3,mLa,nL(3B,a〃ua,n工§

C.a-L13,m±a,n//J3D.a±13,mcza,n//J3

【正確答案】B

【分析】利用給定條件得到〃〃加，判斷A,利用給定條件得到加，〃判斷B,舉反例判斷C,

D即可.

【詳解】對(duì)于A,若a〃/?，切則"〃加，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,若a〃/3,mua,〃工/3,則加J_〃，故B正確，

對(duì)于C,若a工0,mLa,n〃/3,則加,〃可能相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,若a工/3,mua,n〃0,則加,〃可能相交，平行或異面，故D錯(cuò)誤.

故選：B

7.已知函數(shù)/(x)=2sin[2x+])則下列命題正確的是()

A./(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=g對(duì)稱(chēng)

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)[已,。]對(duì)稱(chēng)

7T

c./(X)在0,—上為增函數(shù)

D./(x)的圖象向右平移五個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象

【正確答案】C

【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)驗(yàn)證依次判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,/fyj=2sinf^+yj=2sinjr=0^+2,y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=；

不對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由/［：］=2sin［m+m］=2sing=GwO,得＞=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)］巳,。］不

對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由'￡0,—,得2X+§￡y

jr

由正弦函數(shù)性質(zhì)知歹=/(x)在區(qū)間0,—上單調(diào)遞增，C正確;

對(duì)于D,/(x)=2sin12x+/J圖象向右平移271個(gè)單位得到

12

g(x)=2sin=2sinf2x+1g(-x)，故g(x)不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：C

8.如圖，在V4BC中，4D為8c邊上的中線(xiàn)，若￡為40的中點(diǎn)，則屈=()

1—■3—■

B.——AB——AC

44

1—■5—■1—■3—?

-AB--ACD.-AB--AC

4444

【正確答案】D

【分析】根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】CE=G4+AE=G4+1AD=G4+1(CD-G4)=1G4+1CD

=-CA+-CB

24

=1G4+1(2B-^C)

3—-1—■

=--AC+-AB.

44

故選：D

9,德國(guó)心理學(xué)家艾?賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類(lèi)大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪

制出“遺忘曲線(xiàn)”.“遺忘曲線(xiàn)”中記憶率〉隨時(shí)間f（小時(shí)）變化的趨勢(shì)可由函數(shù)y=1-0.6/27

近似描述，則記憶率為50%時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2ao.30』g3ao.48）

A.2小時(shí)B.0.8小時(shí)C.0.5小時(shí)D.0.2小時(shí)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題設(shè)得到*=/27,兩邊取對(duì)數(shù)求解，即可得出結(jié)果.

6

【詳解】根據(jù)題意得工=1-0.6產(chǎn)27,整理得到3=/27,兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，

26

得到1g*=0.271g/,即1—lg3—21g2=0.271gL又lg2它0.30,lg3它0.48,

6

Q1

所以Igf=—藥。-0.3=-lg2=lg-,得到/a0.5,

故選：C.

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前,項(xiàng)和為S"，若%=2,且邑=57，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.｛%｝為遞增數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)〃=5時(shí)，S”有最大值

C.不等式用〉0的解集為｛〃eN*|〃<10｝D.不等式%〉0的解集為無(wú)限集

【正確答案】C

【分析】利用凡二邑可求得4=0,結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得為”；由此可求得見(jiàn),s“；

根據(jù)S"的二次函數(shù)性和%的一次函數(shù)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】由84=87得:t+。6+。7=S7-84=0,3%=0，即〃6=0；

10

%/+2d=2"1=T

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,貝卜[-3解得:

d=2

3

對(duì)于A,為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,

〃eN*,：.當(dāng)〃=5或〃=6時(shí),S“取得最大值,B錯(cuò)誤;

1,11

對(duì)于C,由—nH----〃>0得：0<〃<11,,:nsN*，「.〃V10,C正確;

33

1022

對(duì)于D,--J(7?-1)=-J?+4,.?.由凡〉0得：n<6,

則不等式％〉0的解集為{1,2,3,4,5},為有限集，D錯(cuò)誤.

故選：C.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)？(1，-2),則tan2a的值為.

4

【正確答案】一

3

【詳解】試題分析：?.?角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(L-2),tana=-2=>tan2a=---------一=—.

1-tana3

考點(diǎn)：二倍角公式.

12.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％=2,a?+1-2a?=0(?=1,2,…)，貝ij｛a,｝的前6項(xiàng)和為.

【正確答案】126

【分析】利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

a

【詳解】因?yàn)?+i—2%=0,%=2/0,所以%70,3=2,

因此數(shù)列｛2｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹!],

所以｛%｝的前6項(xiàng)和為56=2(：-：)=126.

故答案為.126

13.若函數(shù)/(x)=sinx+cos(6—x),對(duì)任意的xeR都滿(mǎn)足x)+/(%)=0,則常數(shù)。的一

個(gè)取值為.

7T

【正確答案】一(答案不唯一)

2

【分析】由/(-%)+/(')=0,代入利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)即可.

【詳解】由/(—%)+/(%)-0,即sin(-x)+cos(e+x)+sinx+cos(e-x)=0,

即cos0cosx-sin0sinx+cos0cosx+sin0sinx=0,

即cos8cosx=0,又XGR,

所以cos。=0，

71—

所以6=——l-keZ,

2

7T

即常數(shù)。的一個(gè)取值為一，

2

7T

故答案為.一

2

14.已知正方形45。。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸滿(mǎn)足/=/L石(％>0),則定.赤的最大值為

3

【正確答案】——##-0.75

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得

PC-￡?P=-(2--)2--,再由二次函數(shù)的最值知識(shí)即可求得.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,40所在直線(xiàn)分別為x,歹軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則^(0,0),5(1,0),C(l,l)^>(0,1)^(2,0),

因?yàn)樨?(1—九1),麗=(九—1),

所以定.赤uxa—x)—iu—xz+x—iu—iu—lx—g

i____3

所以當(dāng)2=2時(shí)，PC./*取得最大值一

“、Inx,x>0,

15.設(shè)函數(shù)/(x)=?2給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)/(x)的值域是R；

X'+4x+1,x<0.

②Va>l,方程/(x)=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；③使得/(—/)—/(%)=0；④若

實(shí)數(shù)X]</<匕<》4，息/(藥)=/(%2)=/(尤3)=/(%).則(再+%2)(%3-%4)的最大值為

4

4e--.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

e

【正確答案】②③④

【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對(duì)四個(gè)結(jié)論依次分析，即可求解結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/“(x)、=[|：lnx+l,[+l,x<>0,.'其圖象如下圖所示:

對(duì)于①，由圖可知，函數(shù)/(X)的值域不是R,故①不正確;

對(duì)于②，由圖可知，X/a>l,方程/(x)=a恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，故②正確;

對(duì)于③，當(dāng)t：oeR+時(shí)，使得有/(一%)=/(%)成立，即y=Y-4x+l與y=|lnx|有交點(diǎn),

這顯然成立，故③正確;

對(duì)于④，不妨設(shè)互不相等的實(shí)數(shù)國(guó),》2，七,》4滿(mǎn)足再＜/＜》3＜》4，當(dāng)滿(mǎn)足

/(再)=/(/)=/(當(dāng))=/(%)時(shí)，

由圖可知再；“2=_2,即否+々=—4,

|lnx3|=|lnx4|,BP-lnx3=lnx4,x3=,

所以(國(guó)+%)----14=-4------%4，由圖可知,%￡0，e],

I、4J1工4/

e

而y=L—x在x￡(1,e]上單調(diào)遞減，所以---x4—e，。

xX4_e

(11(1A(4-

所以(再+/)W----=-4-------x4G0,4e—,

(“3)I%J\e.

則(玉+4(%3—》4)的最大值為46-3,故④正確.

e

故②③④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步深或證明過(guò)程.

16.已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx-J^cosZx.

(1)求/(X)的最小正周期；

7T

(2)求/(x)在［0,；］上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)最小正周期為兀

(2)最大值為2,最小值為一6

JTN兀

【分析】⑴根據(jù)輔助角公式可得/(x)=2sin(2x-§),結(jié)合公式7=時(shí)計(jì)算即可求解；

TT7T2,71

(2)根據(jù)題意可得2x-三,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)/(x)的最值.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知，

f(x)=sin2x-V3cos2x=2sin(2x—-),

2〃

則T=「J=%，

所以函數(shù)/（x）的最小正周期為兀；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)樗?x—,

jrjrTT/_TC

而函數(shù)歹=sinx在上單調(diào)遞增，在（萬(wàn)萬(wàn)）上單調(diào)遞減，

7T7T51T

當(dāng)2》一烏="，即時(shí)，函數(shù)/（x）取得最大值為2；

3212

當(dāng)2x——=——,即x=0時(shí)，f（0）=—V3，

當(dāng)2x—衛(wèi)=2，即工=工時(shí)，/（-）=73,

3322

所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)/（x）取得最小值為-6.

17.在A/l5c中，3bsinA-y/3acos5=0-

（1）求NB；

（2）若a=2jj，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△45C

存在且唯一確定，求△48。的面積.

條件①：b=3；條件②：cos/=g；條件③：△45。的周長(zhǎng)為4+2百.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,

按第一個(gè)解答計(jì)分.

jr

【正確答案】（1）-

6

（2）答案見(jiàn)解析

【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換得到sin8=Y3cos8,即可得到8=9；

36

（2）條件①：利用正弦定理得到sinZ=3,根據(jù)大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角得到/＞三，此

36

時(shí)A不唯一，故條件①不成立;

條件②：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系得到sin/=』，利用正弦定理得到b=根據(jù)正弦

53

的和差公式和三角形內(nèi)角和得到sin。=包3^，最后根據(jù)三角形面積公式求面積即可；

10

條件③：根據(jù)周長(zhǎng)和余弦定理列方程，解方程得到b=c=2,然后根據(jù)三角形面積公式求面

積即可.

【小問(wèn)1詳解】

dh

由正弦定理，——二——，

sinAsmB

因?yàn)?加1114一^/5^（：055=0，所以3sin5sin4=6sin4cos5.

因?yàn)?￡（。,兀），所以sin/wO,所以sinB=r-cosB，

因?yàn)锽e（O,兀），所以8=9

【小問(wèn)2詳解】

選擇條件①：

因?yàn)椤?26，由正弦定理—吼=^^nsinZ=43.

sinBsin/3

因?yàn)閆?<a,所以A不唯一，故條件①不成立.

選擇條件②：

因?yàn)閏os4=3,Ae（0,7i）,所以sin/=J1-cos?/=

55

因?yàn)椤?26，由正弦定理—nb=迪.

sin3sin/3

ir

又3=—,4+3+。=兀，

6

4+3出

所以sinC=sin（Z+5）=sin4cosB+cosAsmB-

10

所以V4BC的面積^二!口/^^^二史也.

22

選擇條件③：

因?yàn)閂48C的周長(zhǎng)為4+2百，a=26,即6+c=4（l）,

由余弦定理得，a2+02—laccosB=b2，

所以〃2+，一百=〃,即12+/—6C=Z?2（2）,

由⑴⑵解方程組b=c=2

所以VZ8C的面積S=1acsin8=G.

2

18.如圖，已知四棱錐S-NBCD,底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，N4BC=60°，側(cè)面

為正三角形，側(cè)面底面Z8CQ,M為側(cè)棱S3的中點(diǎn)，￡為線(xiàn)段的中點(diǎn)

（I）求證：S。//平面版4C；

（II）求證：SE1AC；

（III）求三棱錐M—45C的體積

【正確答案】（I）見(jiàn)解析（II）見(jiàn)解析（III）-

2

【分析】（I）連接5。，交ZC于點(diǎn)。；根據(jù)三角形中位線(xiàn)可證得MO//SD；由線(xiàn)面平行

判定定理可證得結(jié)論；（II）由等腰三角形三線(xiàn)合一可知SEL2。；由面面垂直的性質(zhì)可知

跖，平面4BCD；根據(jù)線(xiàn)面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（III）利用體積橋的方式將所求三棱錐體

積轉(zhuǎn)化為‘七NBCD；根據(jù)已知長(zhǎng)度和角度關(guān)系分別求得四邊形面積和高，代入得到結(jié)果.

【詳解】（I）證明：連接AD,交NC于點(diǎn)。

S

???四邊形48CD為菱形；.0為BD中點(diǎn)、

又M為S3中點(diǎn):.MO//SD

???MOu平面M4C,必①平面版4c平面版4C

(II);A"。為正三角形，E為AD中點(diǎn)：.SE±AD

???平面S<D_L平面48CD,平面S4Oc平面48cz)=4D,SEu平面￡4。

.?.5￡，平面28。。，又ZCu平面A5C￡>/.SE±AC

(III),「Af為SB中點(diǎn)；M-ABC=］VM-ABCD=}Vs-ABCD=}X'S0ABeD,SE

又AB=BC=AD=CD=SA=SD=2,ZABC=60°

AC=2,S=2SMBC=2x—x2x2sin60°=2百

oABCDn/\/\n(

由(II)知，SELADSE=43

VM-ABC=_X2V3XA/3=—

本題考查立體幾何中線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問(wèn)題；涉及到線(xiàn)面

平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用、體積橋的方式求解三棱錐體積等知識(shí),

屬于?？碱}型.

19.已知函數(shù)/(x)=Zalnx-x?+1.

(1)若a=l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若。〉0,求函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,+8)上的最大值；

(3)若/(x)W0在區(qū)間口,+“)上恒成立，求a的最大值.

【正確答案】(1)(1,+8)

(2)答案見(jiàn)詳解(3)1

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；(2)分類(lèi)討論判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，進(jìn)而

確定原函數(shù)的單調(diào)性及最大值；(3)根據(jù)恒成立理解可得［/(幻］網(wǎng)<°，分類(lèi)討論，結(jié)合(2)

運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=2Inx-x2+1,則八x)=2—2x=———?x>0

XX

令/(x)=2(x—-l)<o因?yàn)閄〉。，則工>1

X

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8)

【小問(wèn)2詳解】

/'(x)=

X

令/'(x)=0,由a〉0,解得X1=A/^,X2=—y/a(舍去).

當(dāng)夜VI，即0＜。＜1時(shí)，在區(qū)間口,+◎上/'(x)VO,函數(shù)/(x)在口,+s)上是減函數(shù).

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間口,+◎上的最大值為/(1)=0；

當(dāng)&＞1，即。＞1時(shí)，X在口,+8)上變化時(shí),/'(X),/(X)的變化情況如下表

X1(l,Va)4a(Va,+oo)

/'(X)++0-

/(X)0/aIna—a+1

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間口,+8)上的最大值為f(4a)=a}na-a+l.

綜上所述：

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)/Xx)在區(qū)間［1,+?)上的最大值為/(1)=0；

當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,+8)上的最大值為f(-Ja)=alna-a+l.

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng)a＜0時(shí)，則尸(x)V0在口,+功上恒成立

.??函數(shù)fix)在［1,+8)上是減函數(shù)，則/(x)＜/(1)=0

：.a＜Q成立

當(dāng)a＞0時(shí)，由(2)可知：

①當(dāng)0＜。＜1時(shí)，/(乃＜/(1)=0在區(qū)間口,+8)上恒成立，則0＜。＜1成立；

②當(dāng)。＞1時(shí)，由于/(x)在區(qū)間［1,&］上是增函數(shù)，

所以/(五)〉/(1)=0,即在區(qū)間口,+8)上存在x=J7使得/(幻＞0,。＞1不成立

綜上所述：a的取值范圍為a＜1,即a的最大值為1.

/7V

20.已知函數(shù)/(x)=w----1，QW0-

e+。

(1)當(dāng)a=l時(shí)，

①求曲線(xiàn)丁=/(x)在x=0處的切線(xiàn)方程；

②求證：/(x)在(0,+8)上有唯一極大值點(diǎn)；

(2)若/(x)沒(méi)有零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【正確答案】(1)①y=gx—1；②證明見(jiàn)解析

⑵{-l}u(0,e2)

【分析】(1)①利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)的斜率，直接求出切線(xiàn)方程；

②令g(x)=e*+l—xe)利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在(0,物)上有唯一零點(diǎn)%,利用列表法證明

出/(%)在(0,長(zhǎng)。)上有唯一極大值點(diǎn)；

(2)令〃(x)=+a-ax對(duì)a分類(lèi)討論:①a<0,得到當(dāng)a=—1時(shí)，/(%)無(wú)零點(diǎn);②a>0,

/(x)無(wú)零點(diǎn)，符合題意.

【小問(wèn)1詳解】

若a=1,貝!I/(x)=---1，/〈x)=—第-.

V7ex+l')(ex+l)2

①在x=0處，/'⑼=不,/(0)=-1,

。+1)2

所以曲線(xiàn)>=/(x)在x=0處的切線(xiàn)方程為y=gx—1.

②令g(x)=e'+l-xe》，g'(x)=-xex,

在區(qū)間(0,+8)上，g'(X)<0,則g(x)在區(qū)間(0,"。)上是減函數(shù).

又g⑴=1>0,g(2)=-e2+l<0,,

所以g(X)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)X。.

列表得：

X(0,%)%(%,+8)

/'(X)+0-

/(X)/極大值

所以/(X)在(0,內(nèi))上有唯一極大值點(diǎn)X。.

【小問(wèn)2詳解】

令/?(x)=el+a-ax,則h'{x^=ex—a.

①若a<0,則&'(x)>0,〃(x)在R上是增函數(shù).

所以力(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)%.

令e'"+a=o，得Xo=ln(-a).

代入〃(Xo)=O,得—a+a—aln(―a)=0,

解得a=—1.

所以當(dāng)a=-1時(shí)，/?(x)的唯一零點(diǎn)為0,此時(shí)/(x)無(wú)零點(diǎn)，符合題意.

②若a>0,此時(shí)/(x)的定義域?yàn)镽.

當(dāng)x<lna時(shí)，h'(x)<0,〃(x)在區(qū)間(-sjna)上是減函數(shù)；

當(dāng)x>Ina時(shí)，h'(x)>0,/z(x)在區(qū)間(Ina,+8)上是增函數(shù).

所以〃=A(lna)=2a-alna.

又〃(0)=l+a>0,

由題意，當(dāng)2a-alna>0,即Ocave?時(shí)，/(x)無(wú)零點(diǎn)，符合題意

綜上，a的取值范圍是{-1}°(032).

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線(xiàn)方程;

（2）