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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：常**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：河北

IP屬地：河北 上傳時間：2025-03-08 格式：PDF 頁數(shù)：17 大?。?.88MB 積分：12 舉報(bào) 版權(quán)申訴

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+數(shù)列。

5.難度系數(shù)：0.75?

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.過點(diǎn)（3,2）且垂直于直線尤-2^+1=。的直線方程為（）

A.2x-y-4=0B.2x-y+4=0

C.2%+y—8=0D.x-2y+4=0

【答案】c

【詳解】若直線與x—2y+l=0垂直，則其斜率為上=一手=一2,

2

又該直線過（3,2）,根據(jù)點(diǎn)斜式有＞-2=-2"-3）,整理得2x+y-8=0.

故選：C

2.如圖，三棱錐0-48。中。4=0,08=〃,。？=。，點(diǎn)"為8（?中點(diǎn)，點(diǎn)“滿足4加=2加0,則=（）

A.—ci—b—cB.—ClH—bH—cC.—CL-\—hH—cD.—CL—bH—C

233322322332

【答案】B

【詳解】如圖,

連接ON,所以O(shè)N=g（O2+OC）=g（6+c）,

因?yàn)锳M=2MO,所以O(shè)M=goA=；q,

所以AW=MO+ON=-OM+g（02+0C）=+gz?+gd.,

故選：B.

22

3.已知直線y=2x是雙曲線c：二-2=l（6>0）的一條漸近線，則C的離心率等于（）

4b-

A."B.V5C.BD.6或非

222

【答案】B

22

【詳解】直線y=2x是雙曲線C:土-當(dāng)=1（6>0）的一條漸近線，

4b

b

則有5=2,得6=4,

故C的離心率為五正=叵=6.

22

故選：B.

4.等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為s“，其中4=7,又2,4，b,b,8成等比數(shù)列，則的值是（）

23ICie

A.4B.-4C.4或TD.2

【答案】A

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且S,=7,所以7（%；%）=7,解得%+%=2,

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%+生=4+%=2,

因?yàn)?,瓦,b2,b3,8成等比數(shù)列，所以￡=2x8=16,解得打=±4,

又不=2為>。，所以打>。，所以a=4,所以=一廠=4.

故選：A.

5.已知直線/的方向向量為“=(3,0,3),且過點(diǎn)M(LT-l),則點(diǎn)N(1,L。)到直線/的距離的最小值為()

A.1B.2C.76D.6

【答案】B

【詳解】MV=(0,2,a+l),所以點(diǎn)N(1/M)到直線/的距離為

所以當(dāng)a=T時，距離有最小值為J(T『+；(T)+9=4=2?

故選：B

22

6.已知圓G:工2+》2-2兀一4》=0,^C2:x+y+mx+ny=0,若圓。2平分圓G的周長，貝!—m的最小

值為()

A.4B.6C.8D.9

【答案】D

【詳解】二?方程X2+/+g+〃y=。表示圓，

m2+〃2-4x0>0，BP機(jī)2+〃2〉0

ISIQ:x2+y2-2x-4y-0,圓G：/+丁+小1+幾y二。，

兩圓的方程相減，可得兩圓的公共弦所在直線/的方程：(m+2)x+5+4)y=0.

若圓。2平分圓G的周長，則圓G的圓心在直線/上，

???圓G:3+y2一2元—4y=0的圓心為(1,2),

...(m+2)+2(〃+4)=0,即m=—2〃-10,

=/+2〃+10=(〃+1)2+9,

.,.當(dāng)〃=—1,加=—8時，/—機(jī)取最小值9.

故選：D.

7.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-后(xT)過拋物線C：y2=2px(2>0)的焦點(diǎn)，且與C交于N兩點(diǎn),

為C的準(zhǔn)線，則()

Q

A.p=3B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.afW為等腰三角形

【答案】C

【詳解】對于A,直線y=-/(x-l)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，可得與=1,所以。=2,故A錯誤;

對于B,拋物線方程為：y2=4x,與C交于M,N兩點(diǎn)，

直線方程代入拋物線方程可得，3尤2-10X+3=0,所以

所以=尤材+/+P=可，故B不正確；

CCO1

對于c,M,N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:，中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為1+§=§=］阿斗

所以以為直徑的圓與/相切，故C正確；

對于D,由B得，3尤2一10彳+3=0,解得X=3或X=；,

不妨設(shè)X”=3,0=鼻，則yM=-2班,NN=2：,

JD

所以=J9+12=?,ION|=+yMN\=^-,

所以人的不是等腰三角形，故D錯誤；

故選：C

8.記正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為7；,已知&-1)(,=24,若凡</念，則〃的最小值是()

A.999B.1000C.1001D.1002

【答案】C

【詳解】???［為正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積，(為-1戊=2盤,

「?當(dāng)〃=1時，((一1)1=21，4=工=3

又冊,

“22時，an=2

2T“

即m，

U

.??{4}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，且(=3+2(〃-1)=2〃+1.

/、T,2〃+1

由⑵一2)4=(，^a?=——=——

1一乙乙?guī)滓?

什1001皿2〃+11001心理

若----，貝I--------<-------，

〃10002幾一11000

所以，正整數(shù)鼠的最小值為1001.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知直線Z,：y-2=〃z(x+l)(〃?eR),直線4：x-2y+2=0(2eR),則下列說法正確的為()

A.直線4過定點(diǎn)(-1,2)

B.若《_L/?，貝！I=—2

C.若兩條平行直線4與6間的距離為2右，貝U/l=-5

D.點(diǎn)口2,6)到直線人距離的最大值為5

【答案】ABD

【詳解】由4：y—2=m(x+l)(meR),

[y-2=0fx=-l

令?,所以直線4過定點(diǎn)(T2),故A對；

[%+i=o[y=2

若，m所以勺，故B對；

若l、〃k，則勺=與，即根=；,

止匕時4：y-2=5(x+l),即x-2y+5=0,:x-2y+X=0(XeR),

因?yàn)橹本€4與4間的距離為2后,

|5-A|r

所以小+(_2)2=2’5n彳=-5或15,故C錯;

由C知，直線過定點(diǎn)(-1,2),要使點(diǎn)P(2,6)到直線/1距離最大,則PQU，

則點(diǎn)尸(2,6)到直線4距離的最大值為|PQ|=J(2+1)?+(6-2)25,故D對;

故選：ABD

10.在正方體ABC。-A瓦C|R中，AB=2,點(diǎn)E是AA的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)尸滿足

AP=xAB+yA4l(x,ye[0,l]),則()

A.當(dāng)x=l時，AB1CP

B.當(dāng)y=l時，三棱錐尸-BCR的體積為定值

C.當(dāng)尤=1■時，有且僅有一個點(diǎn)尸，使得〃平面ACR

D.當(dāng)x+y=l時，有且僅有一個點(diǎn)。使得C/與Cj所成角為60,

【答案】AC

【詳解】對于選項(xiàng)A,當(dāng)x=l時，AP=AB+yAAl,

如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時產(chǎn)在線段2月上,

由于在正方體中，至，平面23夕夕，。匚平面2片6。,

所以ABJ.CP,選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)y=l時，AP=xAB+AAl,

如圖所示,

由平面向量基本定理，此時P在線段A片上,

由圖可知，三棱錐尸-BCR當(dāng)以平面BCD,為底面時S.BCD、為定值，

但因?yàn)轫旤c(diǎn)p在線段A片上運(yùn)動，所以p到底面2C，的高不確定,

故三棱錐P-BCR的體積不是定值，選項(xiàng)B錯誤;

對于選項(xiàng)C,當(dāng)尤時，如圖所示，

2

由平面向量基本定理，取與4瓦中點(diǎn)N,則尸在線段上運(yùn)動，

由圖可知，過2點(diǎn)且與平面ACDt平行的平面為平面ABG,

平面ABC=尸，所以此時〃平面AC，，

又P是MN與A國交息,即當(dāng)且僅當(dāng)尸是MN中點(diǎn)時，有3P〃平面AC，，

故選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D,如圖所示,

以。為原點(diǎn)，DC,DA,DR分別為無，》z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),A(0,2,0),B(2,2,0),C(2,0,0),R(0,0,2),A,(0,2,2),C,(2,0,2),

因?yàn)橛?y=l，則有APuxAB+a—2AA,

又AB=(2,0,0),A4,=(0,0,2),

所以AP=(2x,0,2-2x),

所以P(2x,2,2-2x).

于是GP=(2x-2,2,-2x),CD]=(-2,0,2),

所以GRCQ的夾角為60。時有，

卯qPCR1一2(2尤一2)-4x|1

cos60=——!-------!—=[:------=—,

\QP\-\CD,|J(2X-2)2+4X『+4-2722

解得x=0或x=1,

即P(0,2,2)或尸(2,2,0)都可以使得C』,CD1的夾角為60°,

選項(xiàng)D錯誤.

故選：AC.

1L已知數(shù)列間滿足q+2%+3%++k]手],則()

A.數(shù)列｛n｝為等差數(shù)列

B.an+an+2<2an+l

D.數(shù)列｛(-1)"4｝的前2〃項(xiàng)和為2r+〃

【答案】ACD

【詳解】A選項(xiàng),4+2%+3/++叫="?1)①,

當(dāng)〃=1時，4=1,

當(dāng)〃之2時，a+la+3a++(〃-1)Q〃=②，

x23。

式子①-②得

〃(〃+1)n(n-l)n(n+l)n(n-l)n(n+l)n(n—l)

net=-------------=-------1------------------------

〃|_2」|_2」|_22JL22

故。〃=*,

2

其中4=1滿足a,=",綜上，an=n,n>l,

所以口=〃，n>\,故形=一風(fēng)=幾十1一n=1，

數(shù)列｛n｝為等差數(shù)列，A正確；

-2

B選項(xiàng)，an+an+2-2an+i=+(??+2)-2(/i+l)=2>0,

故巴+an+2>2a〃+i，B錯誤；

11111

C選項(xiàng)，當(dāng)建2時，[7<行=匚17

<^11111—11111八1八一?

#[=「％+%+V2+1-3++'一片2二<2,C正確；

D選項(xiàng),(-1)"%=(-1)"],

22222222

數(shù)列｛(一1)"。"｝的前2n項(xiàng)和S2?=-l+2-3+4-5+6--(2?-1)+(2/z)

=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)-+[-(2M-1)2+(2?)2]

2

=3+7+11++(4〃_])="(3+：0_2W+n;D正確.

故選：ACD

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知空間向量。=（1,1,。）,6=（-1,。,2）,c=（I,：,2J且入+萬與0互相平行，則實(shí)數(shù)％的值__________..

【答案】2

【詳解】由條件可知—+6=（匕匕0）+（-1,0,2）=（"1,左,2）,

k—l=A

42

因?yàn)閔t+B與c互相平行，所以2+6=2。=〈左=T,

k

2=22

解之得」=1,左=2.

故答案為：2

22

222

13.已知（2,0）為橢圓C:鼻+￡=1（°>0）上一點(diǎn)，q:（x+2）+y=1,C2:（x-2）+/=1,P,M,N分別

為c,G,6上動點(diǎn)，則1PMi+|「時的最大值為.

【答案】40+2

【詳解】圓G：（X+2）2+V=1的圓心G（-2,0），半徑4=1,圓C?:（X-2）2+y=1的圓心C2（2,0），半徑々=1,

由（2,四）在橢圓C:=+匕=1上，得—7+彳=1,解得“2=8,a=2A/2>

a4a2

22

則橢圓c：a+?=1的焦點(diǎn)￡（-2,0）,C2（2,0）,IPCJ+IPC2\=2a=4叵,

因此|尸四|+|PN區(qū)|PCJ+rx+\PC21+r2=40+2,

當(dāng)且僅當(dāng)M，N分別為線段尸G，PCz的延長線與圓G，C?的交點(diǎn),

所以|PM|+|PN|的最大值為4拒+2.

故答案為：45/2+2

14.將數(shù)據(jù)2°，2、22,…排成如圖的三角形數(shù)陣，（第一行一個2片，第二行兩個2"一2,…，最下面一行

有〃個2°，〃eN*）則數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為.

2

2"-22"-

2222…2222

212121…2121

2°2°2°2°…2°2°

【答案】2,1+1-?-2

【詳解】由題意，設(shè)數(shù)陣中所有數(shù)據(jù)的和為T,

貝|T="+2(〃—1)+22(〃—2)+23(〃一3)++2"-2x2+2"T①,

2T=2z?+22-1)+23-2)+24(71-3)++2,i-1x2+2"(2),

由①-②得：-T=n-2-22-2}--2,M-2B-n-(2'+22+23++2")

入+2一2叫

1-2

所以7=2向一"一2.

故答案為：2"2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）已知等差數(shù)列｛4｝中，％=1,前”項(xiàng)和為力,｛.｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，4=2,且4+邑=7,

a2+&5To.

⑴求。“與么；

,（〃為奇數(shù)）

（2）定義新數(shù)列｛￡,｝滿足￡,=，（〃eN*）,求｛￡,｝前20項(xiàng)的和品.

如（"為偶數(shù)））

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,數(shù)列｛%｝的公比為4,

b?+Sr,=102g+2+d=7

則由“+31。可得（2分）

\+d+2q2=10

\d=\,

解得：C.......................................................................................................................(4分)

[4=2,

故見=1+(〃-1)=〃4=2".................................................................................（6分）

為奇數(shù)）

（2）由（1）得,ozwN*),（8分）

2",僅為偶數(shù)）

則。XG+C3++C19)+(C2+C4+-+C20)

=(1+3++19)+(22+24++220)

10(1+19)4(l-410)4411_296411

=-------------1------------=1uu------1-----=-------1..................................................（13分）

21-43333

16.(15分)已知圓C:/+丁-4x-6y+4=0.

（1）若直線/經(jīng)過點(diǎn)A（-l,-3）,且與圓C相切，求直線/的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)。（3,2）,點(diǎn)E在圓C上,M為線段OE的中點(diǎn)，求M的軌跡的長度.

【詳解】⑴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（尤一2）2+口一3）2=9

(-1-2)2+(-3-3)2=45>9,

點(diǎn)4（一1,一3）在圓外，

故過點(diǎn)A且與圓C相切的直線有2條，............................（2分）

①當(dāng)直線I的斜率不存在時,/:x=-1

圓心C（2,3）到直線/的距離d=|2-（-l）|=3=r

直線/與圓C相切.............................（4分）

（2）當(dāng)直線/的斜率存在時，可設(shè)直線/：y+3=Z（x+l）,即依-y+左-3=0.........................（5分）

\2k-3+k-2\

圓心C到直線/的距離〃=

a+1

1|3^-6|3

由題意d=r^=3,解得4==,...........................(7分)

JE+14

39

止匕時=0,即/:3x_4y_9=0,

終上所述，直線/的方程為x=—1或3x-4y-9=0.........................................................(8分)

（2）設(shè)E（%,%）,M（x,y）,因?yàn)椤盀?。E的中點(diǎn),

尤0+3

-----=X

2x0=2x-3

所以（10分）

3=yy0=2y-2

2

?點(diǎn)E在圓C上

即(2x-5)2+(2y-5)2=9,

3

的軌跡的長度為271x5=3兀.......................................（15分）

17.（15分）如圖，在四棱臺ABCD-A瓦G2中，底面A8CD是正方形，AB=3AAl=2AiBl=6,44,，平

（1）證明：3D工平面ACG4.

（2）求直線DDt與平面BCC/i所成角的正弦值.

2

（3）棱BC上是否存在一點(diǎn)P,使得二面角尸-A，-。的余弦值為2?若存在，求線段8P的長;若不存在，請

說明理由.

【詳解】（1）因?yàn)榈酌鍭BC。是正方形，所以AC_La）..................................（1分）

又因?yàn)閑_L平面ABC。，BDu平面A8CQ,所以.........（2分）

因?yàn)?4]AC=A,且AA[,ACu平面ACGA，

所以即工平面ACG4.............................................................（3分）

（2）因?yàn)锳AJ-平面ABC。，A8,AOu平面ABCD,

所以A41J_A2,AAt1AD,

又底面ABC。是正方形，AB±AD,故AB,AD,441兩兩垂直，.................（4分）

以AB,AD,A4所在直線分別為x,?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

ZA

則A（0,0,0）,3（60,0）,4（3,0,2）,C（6,6,0）,￡＞（0,6,0）,〃（0,3,2）,

所以3c=（0,6,0）,BBt=（-3,0,2）,DR=（0,-3,2）....................................（6分）

設(shè)平面BCGB]的法向量為M7=（%,x,zj,

m-BC=6y.=0,

則,解得凹=0,令占=2,貝！]4=3,

m-BB]=-3xj+24=0,

故歷=（2,0,3）........................................................................................................................（7分）

設(shè)直線DR與平面8CC由所成的角為e,

?___?DD[-m66

貝Usin。=cos￡>￡>>,欣=---：~-=/一——.=一,

111皿M7974x747913

故直線DD與平面8CC出所成角的正弦值為1..............................................................

t（9分）

（3）若存在點(diǎn)P滿足題意，則可設(shè)點(diǎn)P（6,40）,其中力e[0,6],

貝ljAP=（6,2,0）,ADX=（0,3,2）........................................................（10分）

設(shè)平面A。尸的法向量為“=（%,%,Z2）,

n?AP=6X2+Ay2=0,

n?AD]=3y2+2z2=0,

令為=-6,貝|]Z2=9,%=X,故"=（%—6,9）........................................................（12分）

易得平面ADR的一個法向量為v=（1,0,0）,

n-v

所以|cos九?3二解得人2或-2（舍去）,（14分）

2

故棱BC上存在一點(diǎn)P,當(dāng)3P=2時，二面角尸-AR-。的余弦值為五..........（15分）

22

18.（17分）如圖，已知橢圓C：3+與=1（。＞人＞0）上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別為

a2b2

2（有+夜）和2便-⑹，斜率為一的直線/與橢圓C相交于異于點(diǎn)*3,1）的M,N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程;

（2）若|MN|=廂，求直線/的方程;

⑶當(dāng)直線PM,PN均不與x軸垂直時，設(shè)直線尸河的斜率為左，直線PN的斜率為心，求證：尤履為定值.

22

【詳解】（1）解：由橢圓C：3+方=1上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別為2（6+夜）和

2（百-夜卜

a+c=2（石+碼

結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，得??（2分）

a-c=2（6-0）

a=2^3

解得貝Ub=y1a2—c2=2，（4分）

c=2^2

22

故橢圓C的方程為上+匕=1（5分）

124

⑵解：設(shè)直線/的方程為y=-；%+加，N（x2,y2\

1

y=——x+m

3

由＜22消去整理得4——6mx+9m之-36=0（7分）

x+>-1

U24

m2-4）＞0,得一延＜〃2＜記，

由八二（一6根）2—144（（8分）

33

3m9m2—36

貝Uxx+x2=,xxx2=......................................................（9分）

2

\MN\=Jl+\.+））2-4%%=.V16-3m=V10，

（10分）

解得機(jī)=2或機(jī)=一2（11分）

當(dāng)〃z=2時，直線/的方程為了=-3+2,此時直線/過點(diǎn)P（3,l）；

（12分）

當(dāng)加=-2時，直線/的方程為y=-gx-2,滿足題目條件

所以直線/的方程為y=—gx-2..............................................................................................（13分）

（3）證明：因?yàn)橹本€PM,PN均不與x軸垂直,

所以直線/：y=-++加不經(jīng)過點(diǎn)（3,-1）和（3,1）,則且〃件2,

（14分）

+777-1x2+m-l

由（2）可知,%T%T=.

Xy—3%2—3（再-3）（無2-3）

2

|可々一g(〃L1)(占+x2)+(m-l)

尤1々一3(&+尤2)+9

2

19m-361/3m/八2

------..........—\m-\y+(加一)_