2024-2025學(xué)年湖北省高三年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容（除解析幾何外）.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4={—3,—2,—1,0,1},B=<x—^—<0>,則Nc5=（）.

2x+3

A.{-3,-2,-1,0,1}B.{0,1}C.{-3,-2}D.{-3}

3.己知平面向量G=（1,-2）,b=（2x,x-l）,且2〃@一萬），則x=（）.

4.黃州青云塔矗立在黃岡市寶塔公園的缽孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.該塔塔

身由青灰色石塊砌成，共七層，假設(shè)該塔底層（第一層）的底面面積為16平方米，且每往上

一層，底面面積都減少1平方米，則該塔頂層（第七層）的底面面積為（）.

A.8平方米B.9平方米C.10平方米D.H平方米

則sin|

5.已知a為銳角,cos|26z+-|l=，-兀----a1二(().

I9JlJ8)

2V2272

A.B.------C.D.正或—正

33333

6.已知（七,%），（乙,%）是函數(shù)V=log：2%圖象上不同的兩點，則（).

X1+x2必xx+x2

A.*2%<log2B.2%>l°g2

22

,X+x,.X.+X.,

C-<10g2-iy^D.必+%>10g22-

7.在四棱錐尸—NBC。中，底面Z8C。為正方形，48=4,PC=PD=3,

NPC4=45。，則四棱錐尸—48C。的體積為().

1616032

A.—B.-------C.—D.16

333

8.已知函數(shù)/（x）=-sinx-機(jī)在0,]上只有一個零點，則正實數(shù)m的取值范

圍為（）,

A.（0,1]

C-（0』『（兀：2）,

[兀

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.數(shù)據(jù)X],x2,x3,x4,X5的平均數(shù)、中位數(shù)都是馬，則（）.

A.數(shù)據(jù)不，x2,x3,x4,毛與數(shù)據(jù)x2,毛的平均數(shù)相等

B.數(shù)據(jù)X],x2,X3,%與數(shù)據(jù)X],x2,x4,X5的方差相等

C.數(shù)據(jù)不，x2,x3,x4,%與數(shù)據(jù)X],x2,x4,毛的極差相等

D.數(shù)據(jù)再，x2,x3,X4,毛與數(shù)據(jù)X],x2,x4,%的中位數(shù)相等

10.已知函數(shù)/(X)的定義域為R,f(x+y)-/(x-y)=2f(y),且當(dāng)x>0時，

/(x)>0,則().

A./(0)=0B.O—Q)

C.f(x)=xD./(x)沒有極值

11.已知函數(shù)/(x)=sinx(|cosx|+l),則下列結(jié)論正確的是().

A./(%)是偶函數(shù)

B./(%)的最小正周期是2兀

7T

C./(X)的圖象關(guān)于直線x=5對稱

2兀2冗

D.若\/王￡0,—,3X2G0,—,/(西)=/(%2+a)(0<Q<兀)，則a的取值范圍是

兀2兀

_i?T_

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/卜)=/+@的圖象在點(1,/。))處的切線過點(3,0),則°=.

13.某員工在開辦公室里四位數(shù)的數(shù)字密碼門時，發(fā)現(xiàn)按鍵“3”“6”“9”上有清晰的指紋印,

若該密碼確實由數(shù)字“3”“6”“9”組成，則該密碼有種可能.(用數(shù)字作答)

14.如圖，平行六面體250—4402的底面Z8C。是菱形，4=2,AA1=6,

ZBAD=ZBAAX=ZDAAX=1,若非零向量比，方滿足(無一彳瓦)玩=0,H-AD=12,

則同-司的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在△48C中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且

2A/3ccosC

(a-Z))(sin/+sin8)=0

__~bcos5

(1)求A；

(2)若△4BC的外接圓面積為9兀，角B的平分線交NC于D,求△4BC的面積，及

△48。與△BCD的面積之比.

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=Zxlnx+V-ax+3.

(1)若/(x)在［L+oo)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍;

(2)若/(x)20恒成立，求a的取值范圍.

17.(15分)如圖，在三棱柱48C—￡>￡戶中，AD=DE=2,EF=BF=?,

(1)證明：平面CBEE平面48EZ).

(2)求二面角E—4B—C的正弦值.

18.(17分)設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項和為S,,,若E=2,且對任意的"eN*,均有

Sn=~^an+k+l(k是常數(shù)且左eN*)成立，則稱｛4｝為“II(k)數(shù)列”.

(1)設(shè)｛%｝為“II(1)數(shù)列”.

①求｛%｝的通項公式；

②若6,=〃%,數(shù)列也｝的前n項和為北,證明：|7；|>2.

(2)是否存在應(yīng)｝既是“II(k)數(shù)列”，又是“11(后+2)數(shù)列”？若存在，求出符合條件

的｛4｝的通項公式及對應(yīng)的k的值；若不存在，請說明理由.

19.(17分)甲、乙兩人玩一個紙牌游戲，先準(zhǔn)備好寫有數(shù)字1,2,…，N的紙牌各一張，

由甲先隨機(jī)抽取一張紙牌，記紙牌上的數(shù)字為a,隨后將紙牌放回(后面每次抽牌記錄數(shù)字

后都需將紙牌放回)，接下來甲有2種選擇：

①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數(shù)字為b,若a+b>N,則乙贏，游戲結(jié)束，否則，甲結(jié)束

抽牌，換由乙抽牌一次；

②直接結(jié)束抽牌，記6=0,換由乙抽牌一次.

記乙抽到的紙牌上的數(shù)字為c,若a+b+cWN,則乙贏，否則甲贏.游戲結(jié)束.

(1)若甲只抽牌1次，求甲贏的概率；

(2)若甲抽牌2次，求甲贏的概率；

(3)當(dāng)甲抽取的第一張紙牌上的數(shù)字滿足什么條件時，甲選擇②贏得游戲的概率更大？(結(jié)

果用含N的式子表示)

參考公式：若數(shù)列｛七｝的通項公式為an=/,則｛4｝的前n項和S,,=△一△----』.

高三數(shù)學(xué)考試答案

133

1.C由------<0,得x<——，即8=Xx<——,所以Zc8={—3,—2}.

2x+322

2.Az=34=3--—=3--iz=3+-i.

-2i22

3.Bb-a=(2x-l,x+l).

因為—3),所以x+l=—2(2x—1),解得x=1.

4.C

由題意可得該塔第一層至第七層的底面面積依次成等差數(shù)列，且首項為16,公差為-1,

故該塔頂層的底面面積為16-1義6=10平方米.

5.C

28吟.2/417班陽(4吟242

cosI2。H-|-2cosIccH--I-1——1,斛何cos[aH——I—i———.

I9)V9J9

、?illi?4兀4兀17兀

因為c為r銳角，所以—<cc----<-----，

9918

(4兀)4兀兀G2收(4目2^/2

cosa-\----<cos——<cos—=——<--------

I9)9623I9)3

4兀)2后

~9~J~一_F-

6.A

由題意不妨設(shè)0＜芯＜工2，因為V=10g2%是增函數(shù)，所以1082玉＜1。82%2，即必＜%?

log?X]+log2x2=log2(x/2)＜log,，

則必+)2<2k)g2",即<log2；*-，A正確，B錯誤.

取X]=1,x=2,則乂=0,%=1，Ji+J>1°§2w；，c錯誤.

22

|1x+x

取X]=Z，x2=-,貝！j%=—2,y2=-l,必+%<]0g2.I22，口錯誤.

7.C

過點「作？。，底面4BCD,垂足為O,

設(shè)E,F分別為48,C。的中點，連接EE,AO,則點O在EF上.

設(shè)OE=x,因為48=4,PC=PD=3,所以=YPC?-CF?=逐.

PCr=PF?-OF?=5-X2,AO2=OE2+EA2=(A-XY+4,

AP~=PO2+AO2=-8x+25.

在中，AP2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=17,

所以—8x+25=17,解得x=l,所以PO=45——=2.

132

故四棱錐尸—/BC。的體積為一484C?0P=—.

33

8.D

2

分別作出函數(shù)g(x)=(加、-1)2=m2與函數(shù)/z(x)=sinx+加的大致圖象.

圖1圖2

TT

當(dāng)xe0,^時，g(x)與//(x)的圖象有一個交點，符合題意;

當(dāng)加>1時，—<1,如圖2,

m

當(dāng)xe0,^時，要使得g(x)與/z(x)的圖象只有一個交點，

只需2力['],即[掾'—1[2sin]+機(jī)，解得掰24(兀：1)(m<0舍去).

綜上，正實數(shù)m的取值范圍為(0,1]。%兀：l),+s.

L伍)

9.AC

5

設(shè)數(shù)據(jù)再，X2,X3,X4,X5的平均數(shù)為方，則無=》3，數(shù)據(jù)再，々，工的平均數(shù)為

%+馬+/+%+毛一毛二5亍一無二亍,人正確.

44

二（（七一?。?+（、2―亍）2+（14―?。?+（15—?。?]

七，％4，毛的方差Y

數(shù)據(jù)Xx,馬

的方差一（"1一%）+（“2-1）+（“4-1）+（“5-1）]，

數(shù)據(jù)X],x2x4,x5s；=

4L」

所以數(shù)據(jù)不，x2,x3,x4,X5與數(shù)據(jù)項，x2,x4,X5的方差不一定相等，B錯誤.

數(shù)據(jù)X],x2,X3,X4,X5與數(shù)據(jù)X],x2,x4,毛的極差相等，C正確.

數(shù)據(jù)X],x2,x3,x4,%與數(shù)據(jù)X],x2,x4,%的中位數(shù)不一定相等，如數(shù)據(jù)

2,2,5,7,9的平均數(shù)、中位數(shù)都是5,但數(shù)據(jù)2,2,7,9的中位數(shù)不是5,D錯誤.

10.ABD

令》=>>=0,得/（0）=0,A正確.

令x=y,得/（2x）=2/（x）,所以/Q2X）=2/（2X）=22/（X）,

/（23X）=2/（22X）=23/（X），

n20242024

據(jù)此類推可得f（2x）=2"f（x）（neN+）,所以/（2）=2/（l）,B正確.

/(x)=2x也滿足題意，C錯誤.

X,

令Xi=x+y,x2=x-y,y=,則/(西)—/(0)=.

當(dāng)王〉々時，三萬三>0.因為當(dāng)x>0時，/(x)>0,所以/[土干]〉0,

即/。1)一/(%)〉0'/(再)>/(%),所以/(x)是增函數(shù),/(x)沒有極值,D正確.

11.BCD

因為/(—x)=sin(f)(|cosx|+l)=-sinx(|cosx|+l)=-/(x),所以/(%)是奇函數(shù)，A

錯誤.

當(dāng)X￡(0,兀)時，f(x)>0;當(dāng)％￡(兀,2兀)時，f(x)<0.

又因為/(%+2兀)=sin(x+27i)[|cos(x+2兀)+1]=sinx《cosx|+l)=f(x),

所以/(%)的最小正周期是2兀，B正確.

f(兀一x)=sin(兀一x)[|cos(兀一x)|+l]=sinx(cosx|+l)=f(x),

jr

所以/(%)的圖象關(guān)于直線％=2對稱，C正確.

當(dāng)xe%時，f(%)=sinx(cosx+1),f(x)=(2cosx-l)(cosx+1),

當(dāng)xe[o,q時，/'(x)〉0,當(dāng)％e|/‘'I')時'/z(x)<0,

7171

所以/(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

結(jié)合對稱性，得到/(X)的部分圖象如圖所示.

2兀

當(dāng)0,y時,

-r\-

由題意可得,

當(dāng)X2^0,y時，/(x2+a)mm<0,/(x2+a)max

5兀

x+aea,y+l,0<x+a<

22T

/2兀

a<——

3，解得巴〈生,

結(jié)合/（x）的圖象可得，＜

2兀、33

----FQ2兀

[3

則a的取值范圍是，D正確.

33

12.5

f'（x）=2x--^,廣⑴=2-a,/⑴=l+a.

/（x）的圖象在點（1,7（1））處的切線方程為y=（2—a）（x—l）+l+a.

因為該切線過點（3,0）,所以0=（2—a）（3—1）+1+a,解得a=5.

13.36C：A；=36.

14.4-V13

設(shè)彳吊=為，則款?通=12.

因為4）=2,所以4V在上的投影向量NN】=二2SD=3AD,

西

則投影向量的模長|彳同==6,

過點M作平面1,使得NN1，平面1（圖略），則點N在平面1內(nèi).

設(shè)海=應(yīng)，則G—N瓦）應(yīng)=0等價于0?一函）7應(yīng)=0,

即81MzM=0,則g所以點M在以Z片為直徑的球面上.

71

又AB=AB+AA,ZBAA一，

XX13

由『（網(wǎng)羽］

=AB+AA^=2+2AB.AAl+=22+2x2x6x-+62=52,

2

所以以Ng為直徑的球的半徑氏=*=JF.

設(shè)Ng的中點為E,則樂在7萬上的投影向量為

AB-AD^4B+AA^AD

{-AD=-AD=AD

2|可2|AD|2

所以球心E到平面a的距離d=|布卜|石卜6—2=4.

因為d>R,所以平面1在球E的外部.

\m-TT\=^AM-AN\=|}W|的最小值表示球E上的點M到平面1內(nèi)的點N的距離的最小

值，

顯然|成一司.=d—R=4—5.

IImin

15.解：（1）在△45C中，sin4>0,sin5>0.

因為（a—b）（sin/+sin5）=0,sinZ+sinB〉0,

所以。一6=0,即Q=b,sinA=sinB.（2分）

2百ccosC2百sinCcosC

因為--------=------，所以------------=------，（3分）

3bcosB3sin5cosB

sinCcosCsinCcos5+sin5cosCsin/12G八、

即nn-----+------=-----------------------=-----------=------=-----，（z5分）

sin5cos5sin5cos5sinBcosBcos53

所以cos5=——，B=A=

2l

（2）因為△4BC的外接圓面積為9兀，所以△4BC的外接圓半徑為3.（7分）

因為——=~r~~—~=6,所以〃=6=3,c=3A/3.(9分)

sinAsin5sinC

c_1一1…V3_9V3…八、

SAar~—cibsinC——x3x3x——----.(11分)

△AABC2224

-cBDsinZABD

^c=2----------------5

S△BCD-a-BDsinZCBDa

2

所以△48。與△BCD的面積之比為G.(3分)

16.解：(1)ff(x)=21nx+2x+2-tz.(1分)

因為/(x)在[1,+00)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)工￡口,+8)時，/(x)NO.(3分)

因為/(%)是增函數(shù)，所以/'(1)=4—a20,解得Q44.

故a的取值范圍為(-8,-4].(5分)

3

(2)f(x)>0,即21nx+x+—.(7分)

x

x+x

令g(x)=21nx+x+°,g'(x)=—+1-^=(^X0(9分)

'xxxx

由g'(x)<0,得0<x<l,由g'(x)>0,得x>l'

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+00)上單調(diào)遞增.(11分)

g(x)>g(l)=4.(13分)

因為/(x)20恒成立，所以aW4.

故a的取值范圍為(—00,4].(15分)

17.(1)證明：取8E的中點0,連接OD,OF,BD.

四邊形ADEB為平行四邊形，

兀

又因為幺。=?！?2,NBAD=—,所以△8DE為等邊三角形,

3

所以0D=6（1分）

在中，OFBE,OF=^EF2-OE1=3.

因為0尸2+0。2=。尸2,所以O(shè)EJ.OD.（3分）

因為0Ec8￡=0,所以0D,平面CB￡E.（4分）

因為ODu平面48EZ）,所以平面C8EEJ_平面48ED.（5分）

（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)D,OE,OE所在直線為x,y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

C（0,-2,3）-^（73,-2,0）,5（0,-1,0）,F（0,0,3）.（7分）

l4C=（J-V3,0,3）?刀=/百」,0），AF=（J-V3,2,3）.（8分）

設(shè)平面匯45的法向量為比=,平面ABC的法向量為n=（x2,,z2）.

in-AF—0個+2乂+310,令石得旌

一，即《^/3,3,-l）.（10分）

in-AB-0?J3%i+必=0

n-AC=0

_，即彳叱2,3,1）（12分）

元-AB=0-J3%2+%=0

/___\fh-n—,貝Usin（應(yīng)，五）=±^~,（14分）

cos{m,n）=--^

HIT13x713

故二面角尸-48—C的正弦值為迪.（15分）

13

18.（1）①解：因為｛%｝為“II（1）數(shù)列”，所以S“=—g%+i+l.

因為E=2,所以%=2.

當(dāng)〃=1時，q=S]=-+1，得。2=-2.（1分）

當(dāng)“22時，S“T=一；%+1,則%=$0—S“T=一

即%+i=—%，(3分)

經(jīng)檢驗，當(dāng)〃=1時，滿足a“+i=-a”，

所以%+1=-a”對任意的〃eN*恒成立，｛4｝是首項為2,公比為-1的等比數(shù)列，

所以4=2x(—1)”\(5分)

②證明：%=〃%=2〃(-尸

7；=2x(—1)°+2x2x(-1)+2x3x(—I?+L+2〃(-1)”\(6分)

—7；=2x(-1)+2x2x(-1)?+2x3x(-以+L+2〃(-1)",

兩式相減得2北=2+2x(-1)1+2x(―以+L+2(-1)"'1-2〃(—1)"=1+(1+2〃)(—1)””,

(7分)

1+1+(—I)"”+2"—

所以(二士+i-------八)二—3----------.(8分)

"222

當(dāng)n為偶數(shù)時，圜=1T；2〃“2.

當(dāng)n為奇數(shù)時，圜=1+1；2〃=[i+*2.

故園22.(10分)

(2)解：假設(shè)存在這樣的數(shù)列，

由也｝是“II(k)數(shù)列”可得S“=—ga.+1.

由｛4｝是“II0+2)數(shù)列”可得S“=—；%+s+l，(11分)

a=%+*+2S=a2S〃+2

所以n+k，n~~n+k+1=一務(wù)％+左++1=，

即S.=S,+2,所以。,+1+%+2=°?(13分)

由=—]ctn+k+1,令〃=1,得%+后=—2,令〃=2,得a2+k=-2—2a2.

因為。1+左+%+左=0，所以—2+（―2—2出）=0，解得出二—2，

所以｛〃“｝為2,—292,—2,2,—29…，

｛4｝的通項公式為4=2x（—1）〃,（15分）

當(dāng)n為偶數(shù)時，SInI=--afnl+I/Vk+\=Q,解得%r+lin衣,=2,k為奇數(shù).

當(dāng)n為奇數(shù)時，Srnl=--a〃n十+/Ik+\=2,解得a/用｛TA.=—2,k為奇數(shù).（16分）

綜上，存在｛%｝既是“II（k）數(shù)列”，又是“11（左+2）數(shù)列”，

此時｛%｝的通項公式為%=2x（—I）"。左eN*且k為奇數(shù).（17分）

19.解：（1）若甲只抽牌1次，甲贏的情況如下.

甲抽到的紙牌上的數(shù)字為1,乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N,此時有1種情況；

甲抽到的紙牌上的數(shù)字為2,乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N,N-1,此時有2種情況；

甲抽到的紙牌上的數(shù)字為3,乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N,N-l,N-2,此時有3種情況;

依次類推，甲贏的情況共有1+2+3+L+N=；（1+N）N.（3分）

；（1+N）NJ”

故甲贏的概率為2——--=——.（4分）

N22N

（2）若甲抽牌2次，甲贏的情況如下.

①甲第1次抽到的紙牌上的數(shù)字為1.

第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為1,乙抽到的紙牌上的數(shù)字為N,N-1,此時有2種情況；

第2次抽到的紙牌上的數(shù)字為2