2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型 函數(shù)的概念與性質(zhì)（解析版）

第1講函數(shù)的概念與性質(zhì)

【考點(diǎn)分析】

1.函數(shù)的定義域、值域、解析式是高考中必考內(nèi)容，具有較強(qiáng)的綜合性，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終.而在高考試

卷中的形式可謂千變?nèi)f化，但萬(wàn)變不離其宗，真正實(shí)現(xiàn)了常考常新的考試要求.所以，我們應(yīng)該掌握一些簡(jiǎn)單的

基本方法.

2.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考命題熱點(diǎn)，每年都會(huì)考一道選擇或者填空題，分值5分，一般與指數(shù)，對(duì)數(shù)

結(jié)合起來(lái)命題

【題型目錄】

題型一：函數(shù)的定義域

題型二：同一函數(shù)概念

題型三：函數(shù)單調(diào)性的判斷

題型四：分段函數(shù)的單調(diào)性

題型五：函數(shù)的單調(diào)性唯一性

題型六：函數(shù)奇偶性的判斷

題型七：已知函數(shù)奇偶性，求參數(shù)

題型八：已知函數(shù)奇偶性，求函數(shù)值

題型九：利用奇偶性求函數(shù)解析式

題型十：給出函數(shù)性質(zhì)，寫函數(shù)解析式

題型十一：y(x)=奇函數(shù)+常數(shù)模型(/(—x)+/(x)=2義常數(shù))

題型十二：中值定理(求函數(shù)最大值最小值和問(wèn)題，/(x)max+/(x)min=2/(中)，中指定義域的中間值)

題型十三：.單調(diào)性和奇偶性綜合求不等式范圍問(wèn)題

題型十四：值域包含性問(wèn)題

題型十五：函數(shù)性質(zhì)綜合運(yùn)用多選題

【典型例題】

題型一：函數(shù)的定義域

【例1】(2021.奉新縣第一中學(xué)高一月考)函數(shù)〃x)=M/，T)的定義域?yàn)?)

A/4-X

A.(1,2]B.[1,4]C.(1,4)D.[2,4]

答案：c

解析：對(duì)于函數(shù)/(x)=T=^,有C，解得l<x<4.

A/4-X[4-尤>0

因此，函數(shù)"X)=耳1)的定義域?yàn)?1,4).故選:C.

74-x

【例2】函數(shù)/(%)=——-——的定義域?yàn)開_____________

log2(x-3)

【答案】(3,4)小(4,M)

【詳解】由題意知葭得島一㈤獷所以匚3.1'所以問(wèn)3,4)"4,包).

【例3】(2020?集寧期中)已知函數(shù)/(2x-3)的定義域是[-1,4],則函數(shù)f(l-2x)的定義域()

A.[-2,1JB.[1,2]C.[-2,3]D.[-1,3]

【答案】C

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃2x-3)的定義域是[-1,4],所以—1W%W4,所以—5W2x—3W5,函數(shù)/")的定義

域?yàn)閇—5,5],令一5W1—2xW5,解得一2WxW3

【例4】若函數(shù)丁=1082(。/+2犬+1)的定義域?yàn)槌?，則。的范圍為0

【答案】(1,小)

【詳解】由題意知加+2x+l>0對(duì)尤eH恒成立，所以當(dāng)。=0時(shí)，2x+l>0,解得x>-1,不成立，當(dāng)

2

時(shí),([a>〈0O,即:f—a>"0O'解得”>1,

【例5】(2021?全國(guó)高三專題練習(xí)(理))若函數(shù)/。)=坨(。/-2x+a)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.[0,1]D.(l,+oo)

答案：C

解析：由題意知g(x)=4a2—2x+。能取到所有大于。的實(shí)數(shù)，所以當(dāng)。=0時(shí)，g(x)=-2x,所以g(x)=-2x

」[a>Q[tz>0、

的值域?yàn)镽,滿足題意，當(dāng)時(shí)，八n，即4"解得。<aVl，綜上可知OVoWl

[A>0[4-4?>0

【題型專練】

1.(2019?江蘇如皋)函數(shù)/(")=—1)的定義域?yàn)?).

A.(-oo,2)B.(2,^o)C.(1,2)D.(1,2]

答案：C

x-l>0x>\r工〉1

解析：由題意知,log](x-l)〉0,得(log](x-l)>logi1，所以，_]<i,所以XE(1,2).

,2I221

2.（2021?江蘇）己知函數(shù)y=/（2*）的定義域是[-1,1],則函數(shù)的定義域是

A.[-1,1]B.1,3C.[1,3]D.[>/3,9]

答案：D

解析：由得2%1,2,所以logsxe1,2,所以xe[近9].故選：D.

3.（2018?重慶一中高二期末（理））已知函數(shù)/（尤）的定義域?yàn)椋?,+"）,則函數(shù)）的定義

V-X2-3X+4

域是（）

A.(-1,1)B.[-U]C.[-1,1)D.(-1,1]

/、x+l>0x>-l

答案：A因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是（0,內(nèi)），所以L2；4cM2n—1<%<1

X十4>UJC+3x-4<0

4.（2019?全國(guó)）若函數(shù)/（2x—1）的定義域?yàn)閇0,2],且函數(shù)/（一的定義域?yàn)閇0,m],則實(shí)數(shù)機(jī)

的取值范圍是.

答案：因?yàn)楹瘮?shù)/（2x—1）的定義域是[0,2],所以0WXW2,所以—lW2x—1W3,所以函

數(shù)Ax）的定義域?yàn)閇—1,3],函數(shù)/（—V+4x—1）的定義域?yàn)閇0,間，相當(dāng)于當(dāng)xe[0,司時(shí)，

/=_必+4%_1的值域?yàn)閇-1,3],由/=一好+4》-1的圖象可得m的取值范圍是為2WmW4

5.若函數(shù)f（x）=\lrnx1+mx+l的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

（A）0<m<4（B）0<m<4（C）m>4（D）0<m<4

答案：B由題意知+/nx+l20在x￡H上怛成立

當(dāng)m=0時(shí)，rwc2+mx+l=1>0?恒成立，滿足題意

m>0

當(dāng)相。0時(shí)，則〈2，解得0〈加《4

A=m-4m<0

綜上可知實(shí)數(shù)加的取值范圍是0<加〈4

題型二：同一函數(shù)概念

【例1】（2021.廣東.深圳第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末）下列函數(shù)/（力=%+1與是同一函數(shù)的是（）

A.g(x)=±+lB.=+1

C.g(x)=lglOx+lD.g(x)=/n"+l

【答案】C

【詳解】/(x)=x+l的定義域?yàn)樾?/p>

A.g(x)=]+1定義域?yàn)閧xlxwO},定義域不同，

B.g(x)=W+l與〃x)的表達(dá)式不同，

C.g(x)=lglO，+l=x+l與/'(x)=x+l解析式相同，定義域都為R,

D.gaA*\：!定義域?yàn)閧x|x>0},定義域不同.故選：C

【題型專練】

1.(2021?重慶巴蜀中學(xué)高一期中多選)下列函數(shù)中，與y=|乂是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.丁=31嗚卜B.y=log33^C.y=5D.y=(五)

【答案】BC

【詳解】函數(shù)丁=國(guó)的定義域?yàn)镽,對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=此

對(duì)于A選項(xiàng)：>=3叫別的定義域?yàn)閧%|X力0},定義域不相同，不是同一函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：y=log33W化簡(jiǎn)為y=N，定義域?yàn)镽,故為相同函數(shù)；故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：化簡(jiǎn)為y=W，定義域?yàn)镽,故為相同函數(shù)；故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)：化簡(jiǎn)為y=x,(x20),故定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均不相同，不是同一函數(shù)，故選項(xiàng)D不正確;

故選：BC

題型三：函數(shù)單調(diào)性的判斷

【例1】下列函數(shù)中，滿足“對(duì)于任意Xi，9e(0,W),都有史上9>0”的是

%]~X2

91

A./(x)=—B./(x)=-3x+lC./(x)=x2+4x+3D./(%)=x+—

xx

答案：C

)_f(x)

解析：因?yàn)椤皩?duì)于任意為了26(0,內(nèi))，都有八"八2，〉0，，,所以/(X)在(0,內(nèi))上為增函數(shù)

【例2】已知函數(shù)〃x）=x2+2（a—1卜+2在區(qū)間（—oo,4]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.a<-3B.a>-3C.a<5D.a>3

答案：A

解析：/（x）的對(duì)稱軸為X=—2=—生二9=1—a,因?yàn)?（x）在區(qū)間（—00,4]上是減函數(shù)，所以1—a24,

2a2

解得Q<—3

【例3】（2021?新疆高一期末）函數(shù)A尤）T°gi（f-勺的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

2

A.（0,+co）B.（-co,0）C.（2,+oo）D.

答案：D

解析:對(duì)于函數(shù)〃力=1叫12-4）,有f_4>0,解得x<—2或x>2,

2

故函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椋‵,-2）（2,”），

內(nèi)層函數(shù)〃=尤2一4在（f,-2）上單調(diào)遞減，在（2,內(nèi)）上單調(diào)遞增，

外層函數(shù)>為減函數(shù)，

2

【例4】已知函數(shù)/儀）=酷“廿一和+2）在（2,+8）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案:（1,3]

角軍析：令"=》2-依+2,則y=bg“a,因?yàn)閍=/一ar+2的對(duì)稱車由為x=5,且”=》2-改+2在（2,+oo）上

為增函數(shù)，所以解得aW4

2

由題意知V=log”a在（2,+oo）內(nèi)遞增，所以a>L又〃-改+2在（2,+oo）上恒大于0,所以4-2a+220,

BPa<3.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：l<aV3.故答案為：（1,3].

【題型專練】

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））函數(shù)〃x）=ln（x2-2x-8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（—co,—2）B.—1）C.（1,+8）D.（4,+oo）

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即得.

【詳解】由題知“X）的定義域?yàn)椋?，-2）|J（4,y）,

令r=1-2x-8,則y=lnt,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)XW（-力,-2）時(shí)，「關(guān)于X單調(diào)遞減，/（x）關(guān)于X單調(diào)遞減，

當(dāng)xe（4,+e）時(shí)，，關(guān)于x單調(diào)遞增，“X）關(guān)于x單調(diào)遞增，

故/（力的遞增區(qū)間為（4,+e）.

故選：D.

2.（2021?貴州?凱里一中）已知函數(shù)/。）=磔尤2-3/WX+4）,”,無(wú)2e（-8,1）,且工產(chǎn)無(wú)?時(shí)，關(guān)于王，%的不

等式"（占）-/（々）]（花-％）<0恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

252252

A.B.（-?,-]C.（-,j）D.[-,+?）

答案：A

解析：Vxpx2e（-co,l）,且無(wú)產(chǎn)馬時(shí)，關(guān)于％，x2的不等式[/（占）-7■（尤2）]（占-%）<0恒成立，

3m、1

——>125

即當(dāng)玉</<1時(shí)，/（^）>/（%2）,所以/⑺在（—84）上是減函數(shù)，所以2~,解得可工加工鼻.故

l-3m+4>033

選：A.

3.函數(shù)/（%）=logo.5（3%2一改+5）在[一1,+00）上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案：（-8-6]

解析：令K=3L2—辦+5，則y=logo.5〃，因?yàn)椤?3/—依+5的對(duì)稱軸為X=g由題意知y=logos”在

6

[-1,+00）內(nèi)遞減，所以〃=3%2一依+5在[-1,+8）上為增函數(shù)，所以二V-1,解得Q<—6,又〃=3%2一QX+5

6

在[—1,+8）上恒大于0,所以3+a+5>0,即。>—8.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：-8〈建d.故答案為：（-8,-6].

4.（2019年重慶七中高一上期中）已知函數(shù)/（%）=10805（—=+2）在（3,+8）上單調(diào)遞減，則。的取值范

x+a

圍為（）

A.（-oo,0）B,[-3,0）C.[-2,0）D.（-3,0）

答案：C

解析：令"=」乙+2,則y=logo,5a,由題意知，=1080,5a在（3,+00）內(nèi)遞減，所以M=-9—+2在（3,+oo）上

x+ax+a

為增函數(shù)，所以a<0且a+3>0,解得—3<a<0,又M=」一+2在（3,+8）上恒大于0,所以，一+220,

x+a3+a

即a2—2.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：—2Wa<0.故答案為：［-2,0）.

題型四：分段函數(shù)的單調(diào)性

一九2—CLX—7,XV1

【例1】（2022.河南?南陽(yáng)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=a是R上的增函數(shù)，則。的取

一,%>1

X

值范圍為（)

A.[-4,0)B.[-4,-2]C.(f-2]D.(-℃,0]

【答案】B

【分析】依題意可得函數(shù)在各段均是增函數(shù)且在斷點(diǎn)的左側(cè)的函數(shù)值不大于斷點(diǎn)右側(cè)的函數(shù)值，即可得到

不等式組，解得即可;

——ax—7,%<1

【詳解】解：因?yàn)?（尤）=a且『(%)在R上單調(diào)遞增,

一,%>1

x

a<0

所以-->1,解得—4<a<-2,即ae[T,-2]

2

a>-l-a-7

故選：B

(2a-l)x,(x>1)

【例2】（2021?廣東?深圳市第二高級(jí)中學(xué)）已知函數(shù)=<1z、，當(dāng)玉>。，X?>°,且再W%2

log,x-

時(shí),<o,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

玉

111

A.B.C.D.—co,—

3，2°43

答案：C

解析：因?yàn)楫?dāng)西>0,%>0,且玉N%時(shí)，

xi—x2

2a—1<0

所以/（x）在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，因此，0<〃<1，解得：0<a<—f

2tz-l<logal-1

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是］。，；.故選：C.

【題型專練】

、,,f(2—3tz)x+l,x>14M

1.(2021.河南焦作.)如果函數(shù)/(x)=、滿足對(duì)任意占片々，都有I'2，<。成立，那

ya,x<\xY-x2

么實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[(2刊八B.(13](31r3八

C?7

都有了(%)一"")

【答案】D【詳解】解：E口題意可知：對(duì)任煮<0成立

玉一%2

〃

2-3<0ro、

???/(x)是R上的減函數(shù)10＜。＜1解得aw實(shí)數(shù)”的取值范圍是

a22—3a+1

故選：D

2.(重慶巴蜀)若函數(shù)/(%)='2在(3,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

IOgaX,(X?l)

「4Q。41

A.(1,2)B.-,2C.1,-D.(0,1)

L3)I3」

答案：C

2—a〉0

4

解析：因?yàn)?(》)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，因此<a〉l，解得：l<aV—，

a3

題型五：函數(shù)的單調(diào)性唯一性

【例1】已知定義在R上的函數(shù)“X)單調(diào)遞增，且對(duì)任意xe(0,內(nèi))，恒有/(7(x)-log?x)=l,則/(2)

的值為.

答案：2

解析：因函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，所以了⑺-1限》為定值，設(shè)f=-log?》，由題意知/Q)=l,又因

/(x)=log2x+G令x=t,得/⑺=log2/+t=l,所以/=1,所以〃x)=log2X+l,所以/(2)=log22+1=2

【例2】(2019年重慶巴蜀)若/(九)是定義域?yàn)?0,一)上的單調(diào)遞減函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)xe(O,”)都

有//⑴一十=：+1(無(wú)理數(shù)e=2.71828…)，則/(In2)=(

3,1

A.3B.-C.e+1D.-

22

答案：B

解析：因/(x)是定義域?yàn)?0,”)上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以〃為定值，設(shè)t=由題意知

f(t)=-+l,又因〃力=1+乙令x=t,得/(/)=」+/=工+1,所以/=1,所以〃切=±+1,所以

eeeee

iQ

/(ln2)=7?+l=-

【題型專練】

1.(2019年重慶南開)已知定義在R上函數(shù)/(%)為單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)工，都有

+=：則/伽g?3）=（）

12

A.0B.—C.一D.1

23

答案：B

oo1

解析：因/(九)是定義在R上得單調(diào)函數(shù)，所以〃力+品為定值，設(shè)"〃尤)+A，由題意知，⑺=『

2?12

又因=令兀=/,nf^=t---=~,所以/=1,所以/(xhl-k7,所以

f(log,3)=1—：~~—=—

八32，2sg23+12

題型六：函數(shù)奇偶性的判斷

【例1】(2014?新課標(biāo)全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)兀0,g(x)的定義域都為R,且兀0是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列

結(jié)論中正確的是()

A./U)g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|g(x)是奇函數(shù)C.40庶(或是奇函數(shù)D.施0g(x)|是奇函數(shù)

答案：C

解析：若;■(%)為奇函數(shù)，則|/(九1為偶函數(shù)，若/(X)為偶函數(shù)，則/(尤1仍為偶函數(shù)

奇函數(shù)X奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)X偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)X偶函數(shù)=偶函數(shù)

所以選C

【例2】下列對(duì)函數(shù)奇偶性判斷正確的是()

x2+x,x<0

A./(x)=|x+2|-|x-2|奇函數(shù)B./(%)=<是奇函數(shù)

x-x,x>0

^7

f(x)=既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D./(x)=JY—1+既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

|x+2|-2

答案：AD

解析：對(duì)A/(—x)=|—x+2|—|—x—2|=|—(x—2)|—|—(x+2)|=|x—2|—|x+2|=—/(x),所以/(x)為奇

函數(shù)對(duì)B當(dāng)尤>0時(shí)，一％<0,所以/(-x)=(-關(guān))2+(-x)=Y-%=/(x)

當(dāng)x<0時(shí)，一九>0,所以/(—x)=(—關(guān))2—(―關(guān))=/+關(guān)=/@),所以為偶函數(shù)

對(duì)C定義域：1—爐20,即冏―1W1},所以|x+2|—2=x+2—2=%

Ji_2h_2

所以/(x)=^~y,所以/(—X)=^_-=-/(%),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

X-x

x2—]>Q

對(duì)D定義域：《210，解得九=±1，所以/(x)=0,所以/(X)既是奇函數(shù)又為偶函數(shù)

【題型專練】

?全國(guó)設(shè)函數(shù)/(無(wú)，貝(

1.(2020H))=d-4)

x

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

答案：A

解析：f(-x)=(-x)3-/\=_^3+~T=~

3/(%),所以/(x)為奇函數(shù)且在(0,+8)為增函數(shù)

(一月x

2.(2020重慶巴川中學(xué)高一月考多選)已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是

A.y=f(--X)B.y-f(x)+x3C.y="'D.y=4^f(x)

答案：AB

解析：對(duì)A設(shè)g(x)=y(-x),則gl—xb/GOn-A-xb-gGO,所以/(x)為奇函數(shù)

對(duì)B因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)

對(duì)C定義域：卜卜工。},奇函數(shù)除奇函數(shù)=偶函數(shù)

對(duì)D定義域：{^x>o},所以;■(%)為非奇非偶函數(shù)

題型七：已知函數(shù)奇偶性，求參數(shù)

【例1】已知/(x)=a-一匚為奇函數(shù)，則。=0

2，+1

答案：a--

2

解析：法一：因?yàn)?'(x)為奇函數(shù)，所以/(0)=0,所以/(0)=。—要片=0,解得a=g

法二：特殊值法：因?yàn)?'(x)為奇函數(shù)，所以;'(—：!)=—/(1)，所以。一=7=一(。一K\]，解得

2I1k2I1J2

法三：定義法：因?yàn)榱?X)為奇函數(shù)，所以/(-x)=-/(x),所以"二[=_("/[),解得

乙IXV乙IXI乙

【例2】設(shè)函數(shù)八%)=%(/+。/，(％￡火)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.

答案：a=-l

解析：因?yàn)?>(X)為偶函數(shù)，所以83=0工+。二為奇函數(shù)，所以g(0)=e°+ae°=0,解得a=—1

【題型專練】

Y+1

1.已知/(%)=------------為偶函數(shù)，貝!)。=________o

(3x+2)(x—〃)

答案：a~~z

3

]][11、

解析:法「特殊值法:因?yàn)樾?為偶函數(shù)，所以｛1)=沏,所以匹""廠[遍f

解得a=^-

3

(_xy+1(尤2i、

法二：定義法：因?yàn)?'(X)為偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),所以/J------.=7---V——.，

(_3x+2大一x—ciJ+21x—a),

解得a=g

3

2.(2021新高考1卷)已知函數(shù)/(x)=?2”-2一龍)是偶函數(shù)，則。=.

答案：a=l

解析：因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，所以g(x)=a-2-2一,為奇函數(shù)，所以g(o)=a-2°—2°=0,解得a=l

題型八：已知函數(shù)奇偶性，求函數(shù)值

【例1】已知/'(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+x,則/■(—：!)=

答案：一2

解析：因;'(x)為奇函數(shù)，所以/(—1)=—=—2

【例2】已知函數(shù)y=/(x)+x是偶函數(shù)，且/'(2)=1,貝4/(—2)=

答案：5

解析：設(shè)E(x)=/(x)+x,因?yàn)槭?x)為偶函數(shù)，所以歹(―x)=b(x),即/?(—2)—2=/(2)+2,所以

"2)=5

【例3】已知函數(shù)/(》)與g(x)分別是定義域上的奇函數(shù)與偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=x?—-1--2,則

x+1

/(2)=()

2711

A.-----B.一C.-3D.—

333

答案：A

解析：令x=2,則/(2)+g⑵=4_工_2=3①，令尤=—2,則/(—2)+g(—2)=4--^--2=3

33—2+1

9

因/⑺與g(x)分別是定義域上的奇函數(shù)與偶函數(shù)，所以—/(2)+g⑵=3②，由①②解得/⑵=—§

【題型專練】

1.(2021?武侯模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=O'"<°若/(x)是奇函數(shù)，則g(2)的值是()

[g(x)x>0.

A.--B.-4C.-D.4

44

答案：A

解析：設(shè)x>0,則—x<0,所以/(—x)=2-*

又因/'(x)是定義域上的奇函數(shù)，所以/(—x)=—/(x),所以—/(x)=2r,所以/3=-2一工

所以g(x)=_2-1所以g⑵=_2-2=_；

2.(2021?四川綿陽(yáng)?(文))已知函數(shù)“X)對(duì)任意實(shí)數(shù)了,滿足〃x)+〃—x)=O,當(dāng)無(wú)20時(shí),f(x)=2x-m

(加為常數(shù))，則/。―1臉3)=(

答案：B

【詳解】由〃x)+/(f)=O,可得為奇函數(shù)

由當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x-m,則/(0)=2。--=0,解得〃2=1

所以當(dāng)xNO時(shí)，/(力=2-1

所以“l(fā)og/)=-〃log?3-1)=-(2臉3Tf=

故選：B

題型九：利用奇偶性求函數(shù)解析式

【例1】已知函數(shù)y=/(x)在R是奇函數(shù)，且當(dāng)了20時(shí)，/(X)=X2-2X,則x<0時(shí)，/(x)的解析式

為_______________

答案：f(x)=-x2-2x

解析：設(shè)％<0,則一尤>0,所以/(一關(guān))=(一關(guān))2-2(-關(guān))=Y+2x

又因/'(x)是定義域上的奇函數(shù)，所以/(—x)=—/(x)，所以—/(X)=X2+2X,

所以/(x)=-x2-2x

【例2】已知/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)OWxWl時(shí),/。)=1—羽當(dāng)—lWx<0時(shí)，求/(%)解析式？

答案：f[x)=1+x

解析：設(shè)一lWx<0，則0<—xWl,所以/(-x)=l+x

又因Ax)是定義域上的偶函數(shù)，所以/■(—%)=/(x),所以/'(xbl+x,

【例3】(2022韶關(guān)期中)若函數(shù)/(無(wú))，g(尤)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足〃x)-g(x)=23

則有()

A./(2)</(3)<g(0)B.g(0)</(3)</(2)

C./(2)<g(0)</(3)D.g(0)</(2)</(3)

答案：D

解析：令1=-X,則/■(一x)—g(—x)=2-x,因“X)與g(x)分別是定義域上的奇函數(shù)與偶函數(shù)，所以

—7(x)—g(x)=2-x①，又因/(X)-g(x)=2"②，由①②解得/(x)=2"[2J,所以/⑴為增函數(shù)，所以

/(3)>/(2)=/(0)=0>^(0)=-1

【題型專練】

1.(2021?臺(tái)州市書生中學(xué)高一開學(xué)考試)已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，f(x)=x2-x+l,

則/(-1)=，/(X)在xW0上的解析式為/(X)=.

-2

./\—X—X—l,A^<0

答案：—1，f(x)=\

[0,x=0

解析：/(-1)=-/(1)=-(12-1+1)=-1

設(shè)x<0,則一x>0,所以/(-x)=(-x)2-(-x)+l=/+x+l

又因Ax)是定義域上的奇函數(shù)，所以/(—x)=—/(x),所以—/(x)=x2+x+l,

所以/(x)=f2-X-1

當(dāng)X=O時(shí)，/(0)=0,所以/(X)」—"―X—l，x(°

0,x=0

題型十：給出函數(shù)性質(zhì)，寫函數(shù)解析式

【例1】(2021.北京.)己知函數(shù)“X)同時(shí)滿足下列條件：①定義域?yàn)?-吟+?0；②/(x)是偶函數(shù);③

/'⑺在(0,+。)上是減函數(shù)，則/(%)的一個(gè)解析式是.

【答案】『(?=—?或〃x)=TR(答案不唯一).

【詳解】解:根據(jù)題意，可知函數(shù)f(x)同時(shí)滿足三個(gè)條件，若，可知為二次函數(shù)，定義域?yàn)?f網(wǎng),

開口向下，對(duì)稱軸為x=0,則是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)，故同時(shí)滿足三個(gè)條件，所以/(X)的一

—X,x>0/、

個(gè)解析式是〃力=春;若〃"=-國(guó)=門<0,可知此時(shí)函數(shù)的定乂域?yàn)?-8,+8),

根據(jù)一次函數(shù)和分段函數(shù)，可知〃力=-|乂偶函數(shù)，且在(o,+8)上是減函數(shù),

故同時(shí)滿足三個(gè)條件，所以的一個(gè)解析式是/(力=-|4

故答案為:〃力=_/或/⑴=_國(guó)(答案不唯一).

【例2】(2021?河南.溫縣第一高級(jí)中學(xué)(理))請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的函數(shù)“X)：(1)f(x)是

偶函數(shù)；(2)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；(3)Ax)的值域是(1,內(nèi)).則/(x)=.

【答案】x-2+l,x-4+l,(j+1等(答案不唯一)

【詳解】令)(x)=—+l,

1、f(-x)=(-x)~2+1=x-2+1=f^x),為偶函數(shù)；

2、廠2在(0,+8)上單調(diào)遞減，易知/(元)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

3、尤-2e(0,+co),則f(x)e(1,+<?).

/(幻=上+1滿足題設(shè).

故答案為：x~2+l

【題型專練】

1.(2022重慶巴蜀高三第一次月考)請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)/(x):

⑴/(x)是偶函數(shù)；⑵/⑴在(0,內(nèi))上單調(diào)遞減；(3)/(x)的值域是(0,內(nèi))

則/(x)=

答案：/(6=：或者/(》)=\(答案不唯一，符合題意即可)

2.請(qǐng)寫出一個(gè)最小正周期為1的偶函數(shù)/(X),則/(x)=

答案：/(X)=COS2TZX(答案不唯一，符合題意即可)

題型十一：/(%)=奇函數(shù)+常數(shù)模型(/(—x)+/(x)=2烯數(shù))

【例1】已知/'5)=/+。/+加;—8且/(—2)=10,求/(2)的值____

答案：-26

解析：設(shè)g(x)=15+以3+以，則g(x)為奇函數(shù)，則/(%)=g(x)-8,所以/(一%)=g(-％)-8

所以7?(—x)+/(x)=g(—x)—8+g(x)—8=—16,所以/(一2)+/(2)=-16,所以/⑵=一26

h1—

【例2】已知函數(shù)/(力=以2。19+2+0近+2?dceR),且/(2)=3,則/(—2)=

答案：1

解析：設(shè)g(x)=ax2°i9+—+崗7,則g(x)為奇函數(shù)，貝|Jy(x)=g(x)+2,所以y(-x)=g(—x)+2

x

所以;■(—x)+/(x)=g(—x)+2+g(x)+2=4,所以/'(—2)+/⑵=4,所以7?⑵=1

【例3】(2019.山西高三月考(理))函數(shù)/(無(wú))=in(m_尤)+2,則/(log23)+/現(xiàn)產(chǎn)=()

\27

A.0B.210g23C.4D.1

答案：C

解析：設(shè)g(j)=lnb扇TI—九)，則g(x)為奇函數(shù)，所以g(—x)=—g(x),所以/(x)=g(x)+2,

/\

/(-x)+/(x)=g(-x)+2+g(x)+2=4,因flog,3=/(-log23),所以

k2)

/\

/(log23)+/logl3=/(log23)+/(-log23)=4

\2)

【題型專練】

1.已知函數(shù)f(x)=x+\n^+~,則/(Ig5)+/(lg2—l)=；

1-x2

答案：1

解析：設(shè)gG)=x+ln----,則g(%)為奇函數(shù)，所以g(—x)=—g(%)，所以/(%)=g(%)+-，

1-x2

/(—x)+/(x)=g(—x)+g+g(x)+g=l，因y(lg2—l)=/(—lg5),所以

/(lg2-l)+/(lg5)=l

2.已知函數(shù)/'(x)=ln(Jl+f—x)+?,則/[lng|+/"g￡)=()

A.-1B.0C.1D.2

答案：D

解析：/(X)=In(71+%2一x)+1+L設(shè)g(x)=In^1+x2一x)+L則g(x)為奇函數(shù)，所以g(—x)=—g(x),

XJC

所以/(x)=g(x)+l,/(—x)+/(x)=g(—x)+l+g(x)+l=2,因=/(103、)=/(月所

以

nx-12019+Y1

3.已知函數(shù)/(尤)=--+In~J-1,若定義在H上的奇函數(shù)g(x),有8⑴=/(log225)+/(log虛-)，

a十izuixD

貝Ug(-1)=()

A.2B.0C.-1D.-2

答案：A

解析：因?yàn)閥=為奇函數(shù)，y=山2019+*也為奇函數(shù),設(shè)〃⑴=?+1n列出，則〃(x)為奇

函數(shù)，所以“(一x)=—Mx),所以y(x)=，/(-^)+/(^)=h{-x)-1+/;(x)-1=-2,因

g(1)=/(log225)+/(log點(diǎn)|)=/(21og25)+〃-210g25)=-2,又因g(x)為奇函數(shù)，所以g(—1)=—g(l)=2

21

4.已知函數(shù)y(x)=--+--滿足條件y(k>ga(rJ-l+i))=i,其中。>1,

1+21+4

則/(log”(后-1))=()

A.1B.2C.3D.4

答案：B

91

解析：因=F則

''1+2*1+4

/2121_2211

f(~x)+f(x)=-----1-------1-----1-----=---：—I------1------I-----

')')1+2一，1+4一，1+2，1+4'1+_L1+2*1+_L1+4*

2%4%

T

2224'12(2，+1)4+1

-----------1-----------H-------------1-----------2X+1+4l+l=3,因

2*+11+2*4*+11+4'

/(log“(V2-1))=(logJ=/(—log,