2024高考數(shù)學?？碱}型 拋物線定義及性質(zhì)常考5種題型（解析版）

第21講拋物線定義及性質(zhì)?？?種題型

【考點分析】

考點一：拋物線定義

平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/（/不經(jīng)過點/）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點尸叫做

拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準線.

考點二：拋物線焦點弦焦半徑公式

焦半徑：司=玉+",出司=居+",|4尸|=—1；|跖|=—

221-coscr1+coscif

焦點弦：|AB|=再+%2+P=27?

sina

2

三角形面積：

2sma

【題型目錄】

題型一：拋物線的定義及方程

題型二：拋物線的性質(zhì)

題型三：拋物線焦點弦焦半徑

題型四：有關三角形面積問題

題型五：拋物線中的最值問題

【典型例題】

題型一：拋物線的定義及方程

【例1】已知拋物線產(chǎn)=2/5>0）的焦點為凡拋物線上一點M（、/F，%）滿足|MF|=：p,則。=（）

A.1B.2C.gD.-

22

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出。的值.

【詳解】由拋物線定義知：所以/+勺力解得：P=L

故選：A

【例2】拋物線y=的準線方程是（）

O

A.x=—B.y=2c.y=—D.y=-2

3232

【答案】B

【分析】先將拋物線方程化成標準式，即可解出.

【詳解】y=-2尤2可化為d=-8y,所以拋物線丫=一：一的準線方程為y=2.

OO

故選：B.

【例3】在平面直角坐標系xOy中，拋物線C:V=2px（p>0）的焦點為尸，M是拋物線C上的點，若AOFM

的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓面積為81兀，則〃=（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】分析可知的外心E的橫坐標為求出點E到拋物線C的準線的距離，即為△OR欣外接

圓的半徑，再利用圓的面積公式可求得。的值.

【詳解】拋物線c的焦點為尸（5,o],易知aa〃的外心E的橫坐標為?，

點E到拋物線c的準線x=-￡的距離為半，所以，△ORW的外接圓的半徑為半，

244

由題意可得兀x[學）=等=81兀，因為解得p=12.

故選：D.

【例4】數(shù)學與建筑的結(jié)合造就建筑藝術，如圖，吉林大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓

（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線y=的一部分，其焦點坐標為（0,-2）,校門最高點到地面距離

約為18米，則校門位于地面寬度最大約為（）

A.18米B.21米C.24米D.27米

【答案】c

【分析】將拋物線方程化為標準式，根據(jù)焦點坐標求出。的值，即可得到拋物線方程，再令＞=-18求出x的

值，即可得解.

【詳解】解：拋物線＞即/=_Ly,

a

因為拋物線的焦點坐標為(。,-2),所以j=一2,所以a=J,

所以拋物線即為＞=令y=T8,則/=144,解得X=±12,

O

所以校門位于地面寬度最大約為24米.

故選：C

【例5】過拋物線V=4尤的焦點p的直線交拋物線于A、B兩點，分別過4B兩點作準線的垂線，垂足分

別為A，與兩點，以線段4月為直徑的圓C過點(-2,3),則圓C的方程為()

A.(x+iy+(,-2)2=2B.(x+l)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(%+l)2+(y+2)2=26

【答案】B

【分析】求出拋物線焦點坐標、準線方程，設出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出圓心的縱坐標，再

結(jié)合圓過的點求解作答.

【詳解】拋物線9=4x的焦點尸(1,0),準線4瓦：x=-\,設A(4%),8(%,%),令弦A8的中點為E,

而圓心C是線段A片的中點，又①，44,8瓦，A瓦，即有EC/A^/AB片,ECLA.B,,

顯然直線AB不垂直于y軸，設直線AB：x="+l,由消去)得：丁-4)-4=0,

[y=4x

則%+%=由,％必=-4,|%-%|=+%)2-4%%=4〃+1，點E的縱坐標為，=2/,

于是得圓C的半徑r=；IA與1=；1%-%1=2戶1,圓心C(-12),而圓C過點”(一2,3),

則有|MC|=r,即?—1+2丫+(2/-3)2=，解得「=(,

因此圓C的圓心C(-U),半徑r=石，圓C的方程為(x+l)2+(y-l)2=5.

故選：B

【題型專練】

1.已知拋物線y=4d,其焦點為R準線為/,則下列說法正確的是()

A.焦點廠到準線/的距離為1B.焦點廠的坐標為(L0)

C.準線/的方程為y=D.對稱軸為x軸

【答案】C

【解析】將拋物線方程化為標準形式，表示焦點坐標和準線，即得答案.

【詳解】將拋物線y=4x2化為標準方程x2=jy

所以焦點廠的坐標為(0,4)，準線/的方程為y=-[,焦點/到準線/的距離為：，對稱軸為y軸

16168

故選：C

【點睛】本題考查由拋物線的標準方程表示其簡單幾何性質(zhì)，屬于簡單題.

2拋物線C:y2=i6尤的焦點為R點M在C上，\MF\=12,則M到y(tǒng)軸的距離是()

A.4B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】設〃(五，幾)，由拋物線的定義|MF|=12,即x°+4=12,即可求出答案.

【詳解】拋物線C:y2=i6x的準線方程為：x=-4

設〃(x0,外)，由拋物線的定義知：|W|=12,即x°+4=12,

即x0=8,所以M到y(tǒng)軸的距離是8.

故選：B.

3.已知拋物線C：V=2x的焦點為￡A(m,")是拋物線C上的一點，若|河|=:，則△Q4F(O為坐標原點)

的面積是()

A.；B.1C.2D.4

【答案】A

【分析】由題可得尸[g，。),利用拋物線的定義可得m=2,利用三角形的面積公式結(jié)合條件即得，

【詳解】由題可得尸［g，oj，因為|AF|=g=w+；,

所以機=2,〃2=4,

所以AOAF。為坐標原點）的面積是:xgx2=g.

故選：A.

4.（2022?廣東廣州?高二期末）已知圓（彳-1）2+9=4與拋物線抬=2處（p>0）的準線相切，貝”=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】寫出拋物線的準線方程，由圓的方程得圓心和半徑，由已知得圓心到準線的距離為半徑，從而求

出P.

【詳解】因為f=2py,所以拋物線準線為y=

又（尤-l）?+y2=4,所以圓心坐標為（1,0）,半徑為2

由已知得：圓心到準線的距離為半徑，則光=2,所以。=4

故選：C.

5.位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋形可以近似地看成拋物線,

該橋的高度為5m,跨徑為12m,則橋形對應的拋物線的焦點到準線的距離為m.

【答案】1##3.6

【分析】首先建立直角坐標系，再根據(jù)拋物線所過的點求標準方程，進而得到拋物線的焦點到準線的距離.

【詳解】以拋物線的最高點。為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

設拋物線的解析式為Y=-2py,P>0,

因為拋物線過點(6,-5),所以36=10。，可得p=(,

1Q

所以拋物線的焦點到準線的距離為.

1Q

故答案為：—

題型二：拋物線的性質(zhì)

【例1】拋物線f=2py(p>0)的焦點為尸，其準線與雙曲線1-(=1相交于A,3兩點，若△的為等

邊三角形，則"=()

A.2B.■C.6D.—

26

【答案】C

【分析】設拋物線的準線與〉軸交于點。，等邊三角形中，可得點8的坐標代入雙曲線上方程可得答

案.

【詳解】設拋物線的準線與y軸交于點。，如圖，在等邊三角形A8F中，|。尸|=P，忸D|=^p,所以點8

PLP2

的坐標為三P「三，又點8在雙曲線上，故石T_r解得P=6.

32-----------------------—1

、)33

【例2】已知拋物線C：V=4x的焦點為憶準線為/,點尸在拋物線。上，尸。垂直/于點Q,。廠與y軸交

于點T,O為坐標原點，且|。刀=1,則|尸尸|二()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】設直線/交無于點則可得|QW|=2|OT|=2,從而可得點尸的縱坐標為2,則可求出尸的橫坐標,

然后利用拋物線的定義可求得結(jié)果.

【詳解】由丁=4x,得拋物線的焦點為尸(L0),準線/為直線％=-1,

設直線/交尤于點則。為的中點，

因為QA/〃OT,\OT\=\,

所以|°M=2|OT|=2,

因為PQ垂直/于點Q,

所以點尸的縱坐標為2,

當y=2時，4x=4,得x=l,

所以點P的橫坐標與F相同，

所以怛產(chǎn)|=2,

【例3】已知尸，。是拋物線C:/=4y上位于不同象限的兩點，分別過尸，。作C的切線，兩條切線相交

于點T,歹為C的焦點，若|研=2,|叫=5,貝力口|=()

A.75B.V10C.2A/3D.4

【答案】B

【分析】不妨令P第二象限，。在第一象限，根據(jù)拋物線的定義，可求得尸,。坐標，再利用導數(shù)的幾何意義

求切線斜率，從而得直線方程，聯(lián)立可得交點T的坐標，利用距離公式即可求得忻了|的值.

【詳解】解：拋物線C:l=4y的焦點尸(0,1),拋物線的準線方程為y=-l,

如圖所示，根據(jù)拋物線對稱性，不妨令P第二象限，Q在第一象限,

根據(jù)拋物線的定義，可知但尸|=%+1=2,|尸。|=%+1=5

所以尸的縱坐標為1,。的縱坐標為4,則P（-2,1）,0（4,4）.

V2x

由丁=4）；得了=二，得y=：,所以拋物線在P,。兩點處的切線斜率分別為T和2,

42

（y=—x—lfx=l/、

得到兩條切線方程并聯(lián)立.,，解得C，則T1,-2）,

[y=2x-4[y=-2

所以恒刀=^/12+（-2-1）2=710.

故選：B

【例4】已知點A是拋物線CV=2）上一點，尸為焦點，O為坐標原點，若以點。為圓心，以的長為

半徑的圓與拋物線C的另一個交點為8,且NAO3=4,則|A同的值是（）

A.—B.6C.—D.7

22

【答案】C

【分析】|AO|=a,由題意確定AABO為等邊三角形，進而表示A點坐標，代入拋物線方程，求得。的值,

結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可求得答案.

【詳解】由尤2=2＞知：p=\■

設|AO|=a,結(jié)合圓和拋物線的對稱性可得Q4=03,結(jié)合ZAO2=1,

得AABO為等邊三角形，

（1指）

不妨設點A在第一象限，則A的坐標為-a^a,

因為點A是拋物線C-=2y上一點，所以《=2'且〃，

42

所以a=46，得A的坐標為（2』,6b

故網(wǎng)=%+勺6+gq,

故選：C

[例5]（2022?全國?高考真題）已知。為坐標原點，過拋物線C:=2Px（p>0）焦點廠的直線與C交于A,

B兩點，其中A在第一象限，點加（P，。），若IAFH4WI,則（）

A.直線的斜率為2aB.1031=1。尸I

C.|AB|>41OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【分析】由|AP|=|AM|及拋物線方程求得4（雪,當），再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線A3的

方程，聯(lián)立拋物線求得2（5,-怨），即可求出|。目判斷B選項；由拋物線的定義求出|AB|=答即可判斷

C選項；由方.礪<0，涼.痛<0求得ZAOB,為鈍角即可判斷D選項.

【詳解】

P

對于A,易得尸（g。）,由|/S|=|AM|可得點A在出的垂直平分線上，則A點橫坐標為萬十0一3p,

22~4

代入拋物線可得產(chǎn)=2/學=|",則&號,冬），則直線鉆的斜率為百爰3=2%A正確；

~T~2

L1DO1

對于B,由斜率為2而可得直線的方程為后y+§，聯(lián)立拋物線方程得y-^py-pO=0,

設2（4%）,則手p+%=骼p,則必=一手，代入拋物線得，率]=2/為，解得占=。，則

=4^|0司=5，B錯誤;

則叫M“一用

樂”+p=^->2p=4\OF\,C正確;

對于C,由拋物線定義知:

對于D,礪.礪=（￥，*）?（&*）*《+*[*]=-乎<。，則ZAOB為鈍角,

又標標=(/坐).(T，一券)=一］m+*］殍，*0,則,為鈍角,

又/408+//?13+/0/?/+/03"=360。，則NOAM+NOBM<180。，D正確.

故選：ACD.

【題型專練】

1.已知拋物線r=2Px(p>0)的焦點為F,準線為/,過F的直線與拋物線交于點A、B,與直線/交于點D,

若府=3麗，|麗|=4,則「=()

A.1B.3C.2D.4

【答案】B

【分析】作出輔助線，由拋物線定義得到忸叫=忸尸|,|人閡=|/用，設NDBBi，貝|

NfM=NKFD=NDBBi=6,根據(jù)衣=3麗，|麗|=4求出cos。==，進而根據(jù)cosZKFD=〈=感

1122\DF6

求出|KF|=3,得到答案.

【詳解】設準線與x軸的交點為K,作AA，/,BB.ll,垂足分別為A，片,

則8片〃/K〃AV根據(jù)拋物線定義知忸叫=忸尸|,|AA|=|4尸I，

又衣=3麗，|麗|=4,所以忸即=忸司=:九4,|=；|4司，|BD|=g|AD|,

設/DBB[=8,因為5瓦〃廠K〃A4j,所以NE4Al=NKED=ZD5耳=6,

則cos"固DB二斗DA二|/\AB普\+\D1B\A\B配B\+\一DB\

所以BB,偏=扁3|BB>,|,又忸.年.4,可得網(wǎng)=2,所以cos”于1

所以cos/K陽=：KF|陽|K川回

DF一0邳+忸8—Q同+忸團6

可得區(qū)耳=3,即p=3.

故選：B

2.已知拋物線。：9=2°匹5>0）過點8（1,2）,過點A（-1,O）的直線交拋物線于〃，N兩點，點N在點M右

側(cè)，若F為焦點,直線NF,分別交拋物線于P,。兩點，則（）

A.|MF|-|Ay|>4B.\OM\-\ON\=\OEl[

77

C.A,P,。三點共線D.ZAMP<-

4

【答案】AC

【分析】設直線方程聯(lián)立拋物線方程消參，利用定義表示出然后由韋達定理和解不等式可判斷

A；用坐標表示出|OAfHON|,利用韋達定理表示后，由根的范圍可判斷B；設直線NF,借助韋達定理表

示出P點坐標，同理可得。點坐標，然后由斜率是否相等可判斷C；根據(jù)M和P的橫坐標關系，結(jié)合AN

斜率可判斷D.

【詳解】因為拋物線。：9=20武°>0）過點3（1,2）,

所以4=2p,所以拋物線方程為y2=4x

設M（±，X）,N?,沏）

設過點A（—1,0）的直線方程為無=陽一1,代入V=4x整理得：y2-4my+4=0

2

貝1%+%=4帆,％必=4,A=16/7i-16>0,即加<-1或〃?>1

\OM\-\ON\=++貨=+八上+考y；+y；貨

又算=4%,￡=4X2,%必=4

由定義可知，陽可=占+1,|八方|=%+1,

所以區(qū)外|種|=卒2+為+/+1=魯+力^+1>2+#1=4,故A正確;

所以|。河|?|0N|=J：%+j+16="17+y；+y；=J9+I6療>5

又|。比=5,故B錯誤；

記尸嚀"'%）,。（號M）

設直線即方程為x=〃y+l,代入/=4%整理得：y2-4〃y-4=0

4,4

貝1%%=—4,%=-----，同理可得為=----

必必

k=%_4%_-4%一%4%-16%--4%

因為"一二一聲一V，"2一二一喬一I^r一戶

44

kAP=kAQ，所以A,P,。三點共線，C正確；

4ji

因為%=-一=-%,MP±AF,所以/AMP=--ZMAO

Ji2

IITTF

由上可知，直線AM的斜率-1<—<1,所以0</放4。<:，所以NAMP>：,D錯誤.

m44

故選：AC

3.已知/為拋物線C：V=4x的焦點，點A在拋物線C上，。為原點，若△Q4F為等腰三角形，則點A的橫

坐標可能為()

A.2B.75-1C.75-2D.上

2

【答案】C

【分析】設4%,%),分別表示出|4月1=%+1,3=4+4尤0,再分類討論即可求解.

【詳解】由拋物線的解析式，可知尸(L0),準線x=-l,設4%,%),

由拋物線的定義可知IA用=%+1,

又|OW=1,|OA|=&；+%2=&；+4Ao.

當時，即l=x°+l,解得飛=。，此時點A與點0重合，不符合題意；

當|0/|=|。4|時，即歷■工［=1,解得力=百-2或%=-6-2(舍)，此時點A的橫坐標為6-2；

當|A用=|。4|時，即J/2+4%=%+1,解得x0=g,此時點A的橫坐標為

只有選項C符合題意.

故選:C

4.設拋物線C：產(chǎn)=2〃4。＞0)的焦點為產(chǎn)，準線為/,A為C上一點，以尸為圓心，|必|為半徑的圓交/于

B,。兩點，若//血＞=90。，且的面積為96，貝I()

A.|BF|=3B.AAB尸是等邊三角形

C.點尸到準線的距離為3D,拋物線C的方程為y2=12x

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，作出示意圖，結(jié)合拋物線的定義，焦半徑公式，對每個選項進行逐一分析，即可判斷

選擇.

【詳解】根據(jù)題意，作出示意圖，

因為以尸為圓心，I項I為半徑的圓交/于8,。兩點，ZABD=90°,

由拋物線的定義可得|A2|=|AH=|2尸I，

所以AAB尸是等邊三角形，故B正確；

所以//8。=30°.

因為“LB尸的面積為退1明2=96，

4

所以|8曰=6.故A錯誤；

又點尸到準線的距離為IBEsin30。=3=）,故C正確；

則該拋物線的方程為y2=6無.故D錯誤.

故選：BC.

5.已知C：9=2/（0>0）的焦點為F，斜率為g且經(jīng)過點尸的直線/與拋物線C交于點A,3兩點（點A

在第一象限），與拋物線的準線交于點。，若|&耳=4,則（）

A.p=2B.尸為線段AD的中點

C.2\BD\=\BF\D.\BF\=2

【答案】AB

【分析】由題意可得直線/的方程為了聯(lián)立直線和拋物線方程得到貓=|P，XB=\P-求出

P的值，過點B作BN垂直準線于點N,得到尸為線段AD的中點即得解.

【詳解】解：易知尸［與，。］由題意可得直線/的方程為》=道口-5］

y2=2px

由，y_63J消去y并整理，得12x2-20px+3/=0,

31

解得乙=72，x=-p.

2Bo

由|A司=/+5=2p=4,得p=2,

\BF\=XB+-^=^-

過點B作BN垂直準線于點N,易知NDBN=60。，

.?.忸必=忸叫=忸刊=§,：.\BD\=2\BF\..

11cos60°cos6003

QA

'：\DF\=\BD\+\BF\=-+-=4,.?.產(chǎn)為線段A￡＞的中點.

6.已知點歹是拋物線E：V=8x的焦點，A,B,C為E上三點，且西+方+京=6,貝力手|+|EBI+I巾|=

【答案】12

【分析】根據(jù)題意可得F為△ABC的重心，根據(jù)重心坐標公式1%+1+■,X+）+%）解得%+%+』=6,

再結(jié)合拋物線定義IFA\=xx+2代入整理計算.

【詳解】由題意知尸（2,0）,設4（玉,%）,3（巧,%）,C（w，%）,

■.■FA+FB+FC=0,尸為△ABC的重心

.+；+%=2,即尤i+馬+&=6,

貝U|FA.|+1FB|+1/C|=石+2+々+2+毛+2=6+6=12.

故答案為：12.

題型三：拋物線焦點弦焦半徑

【例1】過拋物線C:y2=20xO>O）的焦點尸的直線/與拋物線C交于點A,B,若而=2而,若直線/的斜

率為鼠則上（）

A.2A/2B.-25/2C.20或-20D.應或-四

【答案】C

【分析】由條件結(jié)合拋物線的定義，解三角形求直線/的斜率.

【詳解】當A在x軸上方時，過A3分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為A，%過8作出〃短于。，

^\FB\=r,貝lj|AB|=3r,|AD|=r,所以|叫=-AD?=2后,

-..歷Z）［2A/2F/-

所Cr以左=tan^BAD=J一=——=2V2，

ADr

同理可得當A在x軸下方時，％的值為-2應，

故選：C.

【例2】已知拋物線E:9=4x的焦點為/，準線為/,過尸的直線與E交于A,8兩點，C,D分別為A,3在/

上的射影，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線AB的傾斜角為45。,則|的=8

B.若左=2而，則直線A3的斜率為±2?/

C.若0為坐標原點，則8,。,C三點共線

D.CF人DF

【答案】ACD

【分析】對于A,求出直線AB的方程，代入拋物線方程中，整理后利用根與系數(shù)的關系，然后利用弦長公

式可求出對于B,設48j=沖+1,代入拋物線方程，整理后利用根與系數(shù)的關系，再由羽=2麗，

得％=-2%,從而可求出48的坐標，進而可求出直線A3的斜率，對于C,同選項B,利用根與系數(shù)關系

后，計算磯-七c即可，對于D,同選項B,利用根與系數(shù)關系后，計算元.麗即可

【詳解】若直線的傾斜角為45。，則AB：y=尤—1,

[丫2_Ay

令4不丹）5。2，>2），由｛消丁可得%2一64+1=0,八=36-4=32>0,再+工2=6,

[y=x-1-

所以[AB〔=%+1+元2+1=6+2=8,故A正確；

Cy2__4%

^AB\x=my+\,令Aa,%）B（尤2,%）,由廠，

[x=my+1

7肖九可得）2-4沖一4=0,A=（-4加y+16=16/n2+16>0,

/Y+%=4m

/，AF=2FB^所以必=-2%,

〔外?%=-4

所以3二—2A/2,y2=^2,m——

所以％=—2或y=2也,y2=—5/2,m=,

所以％=2垃.即A=±2亞,故B錯誤；

x=my+\

^AB:x=my+l,令人不疑）匹馬,為），

y1—4.x

%+%=4m

消x可得,2—4/ny—4=0,A=(—4Z77)-+16=16m2+16>0,

X?%=-4

喘*=冬4_%_

xy；—，%"=[=一%,

2?。?1

7i44+yy>.

所以二一+%=一-=0,即反。C三點共線，故C正確;

%%%

y2=4x

^ABtx=my+l,令人(占,9*(孫％),由

x=my+1

7肖犬可得丁2-4m)；-4=0,A=(-4m)2+16=16m2+16>0,

%+丁2=4機

元=(-2,%),麗=(-2,%)，

%?%=-4

所以空而=(_2,y)(-2,%)=%%+4=0,

即CR人DF,故D正確.

故選：ACD.

【例3】已知拋物線V=4x,過焦點F的直線與拋物線交于A,8兩點，過A,8分別作，軸的垂線，垂

足分別為C,。，則140+180的最小值為()

A.-B.2C.3D.5

2

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義可得卜。+忸4=|45|-2,直線與拋物線聯(lián)立求出焦點弦長，討論最值求解.

【詳解】因為拋物線為y2=4x,所以p=2,焦點尸(1,0)

設A(%,yJ,3(孫%),

根據(jù)拋物線的定義可得|AC|+=xl+^=\AF\,\BD\+-^=X2+^=\BF\,

所以|AC|+忸D|+p=|AF|+忸同，

所以|ACj+忸口=|AF|+忸司—2,即|AC|+|因=|AB|—2

因為過產(chǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點，所以直線的斜率不等于0,

設為九=my+],

聯(lián)立以，得y2_4my-4=0,

[x=my+1

2

所以％+%=4m,x{+x2=myx+1+my2+1=m(^+為)+2=4m+2,

所以MM=|A尸|+忸同=玉+■^+兀2+々=%1+%2+P=4加2+4,

所以當且僅當機=0時有最小值為4,

則伊(+|曲|=|AB|-2有最小值為2.

故選B

【題型專練】

1.(2022.全國.高考真題(文))設F為拋物線C：V=4x的焦點，點A在C上，點8(3,0),^\AF\=\BF\,

則|AB|=()

A.2B.2A/2C.3D.3亞

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等，從而求得點A的橫坐標，進而求得點A坐標，即可

得到答案.

【詳解】由題意得,F(l,0),則|4F|=忸同=2,

即點A到準線％=—1的距離為2,所以點A的橫坐標為-1+2=1,

不妨設點A在x軸上方，代入得，4(1,2),

所以|=^/(3-1)2+(0-2)2=20.

故選：B

2.設廠為拋物線C:yJ6x的焦點，過尸且傾斜角為60。的直線交C于A,8兩點，\AB\=()

A.叵B.8C.12D.7A/3

3

【答案】B

【分析】由題意得出焦點坐標，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過焦點的弦長公式可

得出答案.

|,0),直線的方程為了=

【詳解】依題意可知拋物線C：V=6x焦點為

代入拋物線方程得4犬-20x+9=0,可得乙+乙=5,

根據(jù)拋物線的定義可知直線的長為無A+^+/+^=5+3=8.

故選：B.

3.(2022?全國?高考真題)已知。為坐標原點，點A(1,D在拋物線C:無2=2py(0>0)上，過點3(0,-1)的直

線交C于P,。兩點，則()

A.C的準線為y=-lB.直線AB與C相切

C.\OP\-\OQ\>|OA|2D.\BP\\BQ\>\BA\2

【答案】BCD

【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公式及弦長公式可

判斷C、D.

【詳解】將點A的代入拋物線方程得l=2p,所以拋物線方程為Y=y,故準線方程為y=一;，A錯誤；

左鉆=片"=2,所以直線的方程為y=2尤一1，

1-0

fy=2x-1

聯(lián)立=y，可得f—2x+l=0,解得尤=1,故B正確；

設過3的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線C只有一個交點，

所以，直線/的斜率存在，設其方程為、=依-1,尸（項,必）,。（馬,必），

、［y=kx-\

聯(lián)乂12.，得――丘+1=0,

A=^2-4>0

所以'xx+x2=k,所以％>2或左<一2,%%=（為尤2）2=1，

xtx2=1

又QP|=&+y；=Jx+y；'|OQ|=+￡+,

所以IOP|?|<9。|=JM%（1+M）（1+%）=，句x紅=心|>2=|『，故c正確；

因為|BP|=Jl+公|西|,|BQ|=71+F|x21-

所以|放|-|8。|=（1+如）|再々曰+4>5,而18Al2=5,故D正確.

故選：BCD

4.已知拋物線C:y2=4x的焦點R過尸分別作直線乙與C交于A,2兩點，作直線乙與C交于，E兩點,

若直線乙與4的斜率的平方和為1,則+|。目的最小值為

【答案】24

【分析】根據(jù)給定條件，將直線4、4的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出|加|、|。耳，再借助均值不等式求解

作答.

【詳解】拋物線C：V=4尤的焦點尸（1,0）,準線/:x=-l,設直線4與的斜率分別為尢，匕，砧220,有

%;+%=1,

直線…川1）,由｛*廣）消去y并整理得：底-2雷+2…=0,

設A。,％),,%)，則尤1+無2=2"；2)=2+A,

iV|/v|

\AB\=\AF|+|BF|=(X1+1)+(X2+1)=4+-^,直線Ly=k2(x-l),同理閭=4+*,

于是得|陰+|。同=8+4+4=8+4雷+%；)(4+4)=16+4(叁+冬)>16+4.2，今冬=24,

kxk2kxk2kxk2y勺k2

當且僅當甘=代=g時取“="，所以|AB|+|「閩的最小值為24.

故答案為：24

【點睛】思路點睛：直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可

直接使用公式|人用=菁+彳2+。，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

題型四：有關三角形面積問題

【例1】經(jīng)過拋物線C：V=4》的焦點p的直線/與拋物線交于不同的兩點A,B,若曲(其中O

為坐標原點)，則直線/的斜率為.

【答案】±|

【分析】設直線/斜率為左，直線方程為>=網(wǎng)工-1),設4區(qū),必),3(%,%),直線方程代入拋物線方程應用韋

達定理得%+%，工也，然后由弦長公式得弦長|AB|,再求得原點。到直線AB的距離d,求出AAOF面積后

可得上值.

【詳解】由已知尸(1,0),

設直線/斜率為左,直線方程為y=&a-D,設A(x”y),B(x2，%),

'jk（x-1）得上2*2一（2左2+4）苫+左2=o,

由

＞一=4x

2k2+4

玉+%2=--p--，X1X2-1，

\AB\=J1+左2|再-X2|=J1+%2.J（尤］+/）2_4石入2=4（1,

一\k\

又O到直線AB的距離為d=,

VI+V

所以55利=：.口=；?"*?丁/=2遙，

故答案為：±§.

【例2】拋物線y=2px(p>0)的焦點為尸，直線/2氐-2y-外夕=0與拋物線分別交于A4兩點(點A在

第一象限），則I”的值等于.

AOB

3

【答案匕

/。）且傾斜角為60。，設4（%,切）,3（々,%），則再

【分析】由題意可知直線過焦點產(chǎn)+f=2Y

x+4=2K-xJ,求出4（石,乂）,以9,%）,結(jié)合三角形面積公式即可求解

22

【詳解】因為直線/2島一2y-gp=0可化為y=

?j，oj且傾斜角為60。,

所以過焦點廠

=2TP=2（勺々

設人（31），5（%2，%），則玉，X2+耳

解得％=咨，x2￡

6

代入V=2px（p>o）得，％=也。,必=P

飛‘

0^AOF也P3

所以

P4'

LAOS尸布

1,(m-%)P+忑

3

故答案為:

4

【題型專練】

1.斜率為出的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A,B兩點，則三角形A03的面積是（。為坐標

原點）（）

B.逑16

A,正X「-.-6-D.——

3333

【答案】B

【分析】寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求出A,2兩點坐標，進而求出的長，再求出原點到直線距

離，求出三角形面積.

【詳解】拋物線C：V=4x的焦點坐標為（1,0）,

則斜率為由的直線方程為：y=^（x-l）,與拋物線方程聯(lián)立得:

3%2-10x+3=0，

設4（不，%），3（%，%），不妨設菁=；，%=3,

點O到直線AB的距離為d=上n=3，

V1+32

所以△AOB的面積為'3、無=生叵

2323

故選：B

2.已知斜率為左化＞0）的直線過拋物線C：V=4x的焦點p且與拋物線c相交于兩點，過A,8分別作

該拋物線準線的垂線，垂足分別為A，4,若aAB用與△ABA的面積之比為2,則上的值為（）

A.V2B.|C.日D.2A/2

【答案】D

【分析】設直線AB：y=A（x-1）,與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)△ABBi與△ABA的面積之比為2,利用拋物

線定義得到％+1=2（%+1）,再結(jié)合韋達定理求解.

由拋物線C：V=4無，得斤（1,0）,

設直線AB：y=A（x-l）,4（占,％）,磯w，%），

由*得后212_（2上2+4）%+左②=0,

二匚a12k2+4

所以再%2=1，玉+%=——2—，

K

BB1BF

由已知和拋物線定義知:-----2,

A4AF

則有%+1=2(玉+1),即％2=2芯+1,

x2=2xl+1,

所以IXxX2=1,

解得M=2，蒼=2,k=2A/2-

故選：D

題型五：拋物線中的最值問題

【例1】設0為坐標原點,P是以尸為焦點的拋物線V=2x上任意一點,M是線段尸尸上的點，且尸M=2MF,

則直線0M的斜率的最大值為（）

A.1B.；C.變D.也

【答案】C

【分析】設出〃（不，兒），尸點坐標，根據(jù)對/=2MF及拋物線方程，得到,*+；=%，從而表達出直線

0M的斜率，利用基本不等式求出最大值.

【詳解】因為設冊（々,幾），顯然當%<。時，kOM<0