2024-2025學(xué)年重慶某中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

2024-2025學(xué)年重慶一中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、

D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑.

1.（4分）-2的倒數(shù)是（）

A.2B.AC.-AD.-2

22

2.（4分）如圖，該幾何體由6個(gè)大小相同的正方體組成，從左面看到的視圖是（）

正面

4.（4分）若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：4,那么這兩個(gè)三角形的面積之比是（）

A.1：4B.1：2C.1：16D.1：8

5.（4分）一組數(shù)據(jù)：3、2、1、1、3、3,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（)

A.1B.2C.2.5D.3

6.（4分）估計(jì)6-小質(zhì)的值應(yīng)在（)

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

7.（4分）用大小相同的黑點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案有2個(gè)黑點(diǎn)，第②個(gè)圖案有7個(gè)

黑點(diǎn)，第④個(gè)圖案有26個(gè)黑點(diǎn)……按此規(guī)律，第⑥個(gè)圖案中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

①②③④

A.46B.50C.51D.57

8.（4分）如圖，在矩形中，AB=4,BC=4&，分別以朋,長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)E,則圖

中陰影部分的面積為（）

A.8B.2ir+2C.1672-4KD.1672-8-4^

9.（4分）如圖，在正方形4BC。中，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，且BE』AB=1，過點(diǎn)B作B尸，。E交。E延

4

長(zhǎng)線于點(diǎn)F連接AF（）

D.7

2

10.（4分）已知兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a,b,按規(guī)則ab+2a+2b進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果記為ci，稱此為一次操作;

再?gòu)腶,b,ci中任選兩個(gè)數(shù)，按同樣規(guī)則操作一次得到的數(shù)記為C2；再?gòu)?。，b,ci，C2中任選兩個(gè)數(shù),

按同樣規(guī)則操作一次得到的數(shù)記為C3…依次進(jìn)行下去，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①若a,b為方程7+x-3=0的兩個(gè)根，則門=-7；

②右ct=b=c\9則ci--3；

③對(duì)于整數(shù)〃，b,若為奇數(shù)，在操作過程中〃一定為偶數(shù);

④若要使得|cn|>2024成立，則〃至少為4.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.請(qǐng)將正確答案寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上.

H.（4分）計(jì)算：y+（上）—2=.

3

12.（4分）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540度，則這個(gè)正多邊形的中心角為度.

13.（4分）中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作豐富多樣，對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.某中學(xué)擬從《周髀算經(jīng)》,

《幾何原本》，《測(cè)圓海鏡》這4部名著中隨機(jī)選擇2部作為數(shù)學(xué)選修課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，恰好選中《幾何原

本》和《測(cè)圓海鏡》的概率為.

14.（4分）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=4,AOBC.

15.（4分）如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，線段43在x軸上y￡（k卉0）的圖象上，線段入。與丫

軸的正半軸相交于點(diǎn)E,且四邊形CEAB的面積為10,則常數(shù)k的值為.

16.且關(guān)于y的分式方程工=i一？

y-22-y

則符合條件的所有整數(shù)a的積為

17.（4分）如圖，△A2C內(nèi)接于O。，點(diǎn)￡是弧AC的中點(diǎn)，AD平分NBAC交線段BE于點(diǎn)D過點(diǎn)E

作EF//AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若DE=3^，tan/ABD”^，貝。△ABE的面積

5

18.(8分)若一個(gè)五位數(shù)M=eabcd的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為。，且滿足e=2a,3(a-b),則稱該五

位數(shù)為“差倍數(shù)”.規(guī)定：F(M)=,ac+bd-G(M)=羨-嬴.例如：42152,2W0,且3X(2-1),所

以42152是“差倍數(shù)”,FC42152)=25+12=37,GC42152),G(N)=26,則N的最大值為；

若“差倍數(shù)"S=21000x+10y+z+98(1WXW4,0WyW9,2WzWll,x,y,z均為整數(shù))，且2尸(S)+3G

(S),則滿足條件的S的值的和為.

三、解答題：(本大題共8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題0分，共78分)解答時(shí)每小題必須給出必

要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括輔助線)，請(qǐng)將答題過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)位置上.

19.計(jì)算：

(1)(y+2)(2-y)+(y-1)(y+5)；

2

x2?、.4x-4x+l

(2)(.-x+1)-

x-lx-l

20.在學(xué)習(xí)了特殊平行四邊形的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了深入研究，他們發(fā)現(xiàn)了一種構(gòu)造菱形

的方法.請(qǐng)你根據(jù)他們的想法和思路

(1)如圖，在△ABC中，4D平分/BAC,射線。/交AC于點(diǎn)F.

(2)已知：在AABC中，平分NB4C,過點(diǎn)。作DE〃AC交A3于點(diǎn)E,射線DF交AC于點(diǎn)反求

證：四邊形AEDE是菱形.

證明：\"ZCDF=ZB,

?.

\."：DE//AC,

四邊形AEOE是.

平分NBAC,

：.ZCAD=ZBAD.

\."：DF//AB,

：.ZBAD=③.

：.ZCAD=ZFDA.

:.FD=?.

四邊形AEL不是菱形.

進(jìn)一步思考，當(dāng)AABC是直角三角形，ZBAC=9Q°時(shí)⑤.

c

D

AEB

21.如圖，O。是△ABC的外接圓，AB是O。的直徑，交O。于點(diǎn)N,連接CP,ZPCA=ZCBA.

(1)求證：CP是OO的切線；

(2)若O。的半徑為4,PN=6,求BC的長(zhǎng).

22.一年一度的元旦節(jié)即將到來(lái)，某校初三年級(jí)的家委會(huì)媽媽們準(zhǔn)備購(gòu)買簽字筆和圓規(guī)兩種文具作為小禮

物送給初三年級(jí)的孩子們，計(jì)劃用2400元購(gòu)買簽字筆，已知一支簽字筆和一個(gè)圓規(guī)的售價(jià)之和為15

元，計(jì)劃購(gòu)買簽字筆的數(shù)量是圓規(guī)數(shù)量的4倍.

(1)求計(jì)劃分別購(gòu)買多少支簽字筆和多少個(gè)圓規(guī)？

(2)實(shí)際購(gòu)買時(shí)，家委會(huì)媽媽們發(fā)現(xiàn)每支簽字筆的售價(jià)降低了工，每個(gè)圓規(guī)的售價(jià)便宜了旦(m<15)

元，家委會(huì)的媽媽們調(diào)整了購(gòu)買簽字筆和圓規(guī)的數(shù)量，實(shí)際購(gòu)買圓規(guī)的數(shù)量比計(jì)劃購(gòu)買圓規(guī)的數(shù)量增加

了5m個(gè)，最終實(shí)際購(gòu)買簽字筆和圓規(guī)的總費(fèi)用比計(jì)劃購(gòu)買簽字筆和圓規(guī)的總費(fèi)用減少了(300+5利)元，

求機(jī)的值.

23.如圖，在正方形ABC。中，AB=6.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以速度lcm/s的速度沿

線段。C運(yùn)動(dòng)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為無(wú)(s),0<x<6i.

yA

13-一n—?------1—?------1—?------1—?------1—?------1—r-n

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O12345678910111213x

(1)請(qǐng)直接寫出”與尤的函數(shù)表達(dá)式,并注明自變量x的取值范圍;

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)yi的函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)”的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，若函數(shù)”的圖象與直線y2=-x+b有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍

是_______________________

24.為滿足市民需求，我市在一小島兩側(cè)開辟了兩條跑步路線：①A-BfCfD,②A-E-D.經(jīng)勘測(cè),

點(diǎn)8在點(diǎn)C的西北方向6千米處，點(diǎn)。在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的南偏東15°方向，點(diǎn)E在

點(diǎn)。的西南方向.(參考數(shù)據(jù)：&g1.41，73^1.73-遍=2.45)

(1)求C,。之間的距離(結(jié)果保留整數(shù))；

(2)時(shí)間原因，小黎決定選擇一條較短路線進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明她應(yīng)該選擇路線①還是路線②

(結(jié)果保留整數(shù))

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=一+尿-2(aWO)經(jīng)過點(diǎn)(3,6),與x軸交于A(點(diǎn)A在

點(diǎn)8的右側(cè))，且A點(diǎn)坐標(biāo)為4(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM//y軸交BC于點(diǎn)點(diǎn)”是y軸上的一點(diǎn)，

使得MC=MH

(3)將該拋物線沿射線CB方向平移叵個(gè)單位，點(diǎn)E是平移后拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)

2

F(-2>/3,0),若點(diǎn)E關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn)E,恰好落在坐標(biāo)軸上，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)

E的坐標(biāo).

26.在RtZXABC中，ZBAC=90°,為BC邊上中線，連接OE.

(1)如圖1,AB=4,AC=3,過點(diǎn)。作。PLDE交AC于點(diǎn)R求線段DP的長(zhǎng).

(2)如圖2,將線段DE繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至。G,使/助3+2/8=180°,作GNLGM交的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)N,作G8LGE交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)X,求證：MN=2CH.

(3)如圖3,AB=4,/B=45°,點(diǎn)P是射線JE上的動(dòng)點(diǎn)，連接。尸，點(diǎn)。是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，連

接AD',當(dāng)AD'最小時(shí)，將△&￡>'。沿?！?gt;'所在直線翻折至△A2C所在平面內(nèi)得到D'Q,A'

C,當(dāng)A'D最大時(shí)

2024-2025學(xué)年重慶一中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

參考答案與試題解析

題號(hào)12345678910

答案CACCCBDABC

一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、

D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑.

1.（4分）-2的倒數(shù)是（）

A.2B.AC.-AD.-2

22

【解答】解：-2的倒數(shù)是-工.

6

故選：C.

2.（4分）如圖，該幾何體由6個(gè)大小相同的正方體組成，從左面看到的視圖是（

【解答】解：根據(jù)幾何體的空間結(jié)構(gòu)可知，從物體左面看，上層左邊是一個(gè)小正方形,

故選：A.

3.(4分)如圖，AB//CD,若Nl=70°()

AB

C/D

r

A.90°B.100°C.110°D.120°

【解答】解：Z3=70°,

.,.Zl=Z3=70°,

VZ3+Z2=180°,

.\Z7=180°-Z3=180°-70°=110°,

4.（4分）若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：4,那么這兩個(gè)三角形的面積之比是（）

A.1：4B.1：2C.1：16D.1：8

【解答】解：???相似三角形的周長(zhǎng)之比是1：4,

對(duì)應(yīng)邊之比為3：4,

這兩個(gè)三角形的面積之比是：1：16,

故選：C.

5.（4分）一組數(shù)據(jù)：3、2、1、1、3、3,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.1B.2C.2.5D.3

【解答】解：從小到大排列此數(shù)據(jù)為：1,1,6,3,3,5,

?.?數(shù)據(jù)2,3處在最中間，

中位數(shù)=（4+3）+2=2.5,

故選：C.

6.（4分）估計(jì)g-K舊的值應(yīng)在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【解答】解：V72-278=378-2>/6=如，

2<V4<3,

/-2<V72-5V8<3,

/.V72-人舊的值應(yīng)在2和6之間，

故選：B.

7.（4分）用大小相同的黑點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案有2個(gè)黑點(diǎn)，第②個(gè)圖案有7個(gè)

黑點(diǎn)，第④個(gè)圖案有26個(gè)黑點(diǎn)……按此規(guī)律，第⑥個(gè)圖案中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

?

?????

*???????????

????????

?????????????

??*?

①②③④

A.46B.50C.51D.57

【解答】解::第①個(gè)圖案中有：2個(gè)，

第②個(gè)圖案中有：7個(gè),

第③個(gè)圖案中有：15個(gè),

第④個(gè)圖案中有：26個(gè),

第n個(gè)圖案中“*”有：

2+3+5+…+（2Un⑴+（卬…+2"心+『）］嚴(yán)（？/2^11個(gè)，

第⑥個(gè)圖案中有：323^^=57個(gè)，

故選：D.

8.（4分）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=4&，分別以BA,BC長(zhǎng)為半徑畫弧交8C于點(diǎn)E,則圖

中陰影部分的面積為（）

A.8B.2IT+2C.1672-471D.16V2-8-4H

【解答】解：連接BE,

依題意得:

BF=BC=4V2-AB=BE=5.

???cos/ABF喘囁?哼

AZABF=45°.

：.AF=AB=8.

.\ZCBF=45°

陰影部分的面積為:

1、“、，.45兀X（475）2907TX42

7X6X4'------360-----~360

=a45兀X3290兀X16

360360

=8+2TT-4n

=8.

故選：A.

9.(4分)如圖，在正方形A3CD中，點(diǎn)￡為AB上的一點(diǎn)，且BE』AB=1，過點(diǎn)2作引交DE延

4

長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接AF()

D.7

2

,四邊形ABC￡＞是正方形，BE」AB=8,

4

：.AD=AB=4,ZEAD=9Q°,

.,.AE=AB-BE—4-8=3,

在直角三角形AOE中，由勾股定理得：DEWAE2+A"We2+d=5,

,/ZEFB=ZEAD=90°,ZFEB=ZAED,

：.△FEBsXAED,

?EFJE即空，

"EA'DE85

.8

??EF*，

,/ZFGD=ZEAD=90°,ZFDG=ZEDA,

：.AFDGSAEDA,

.AEDADE即3=35

??至而蘇TGF-4-HJA

解得GF啜，GA4f'

在直角三角形AFG中，由勾股定理得:

故選：B.

10.(4分)已知兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a,b,按規(guī)則仍+2a+2b進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果記為ci,稱此為一次操作;

再?gòu)腶,b,ci中任選兩個(gè)數(shù)，按同樣規(guī)則操作一次得到的數(shù)記為C2；再?gòu)腶,b,ci，◎中任選兩個(gè)數(shù)，

按同樣規(guī)則操作一次得到的數(shù)記為C3…依次進(jìn)行下去，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()

①若a,b為方程/+x-3=0的兩個(gè)根，則ci=-7；

②若〃=/?=ci,貝!Jci=-3；

③對(duì)于整數(shù)a,b,若〃+。為奇數(shù)，在操作過程中〃一定為偶數(shù)；

④若a=b=l,要使得%|>2024成立，則〃至少為4.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①由條件可知ab=-3,a+b=-1,

.,.qZ?+4〃+2Z?=-3+6X(-1)=-5,

??C5=5,

故①錯(cuò)誤；

②由條件可知j=ab+4a+2b=c；+4c>

2O

7+3C5=

解得：ci=4(舍)或ci=-3,

故②正確；

③若。+匕為奇數(shù)，則。，不妨設(shè)a為奇數(shù)，

則C3=ab+2a+2b=ab+3(a+6)為偶數(shù),

a,b,ci則為一個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，

而兩個(gè)偶數(shù)得到ab+5a+2b也必為偶數(shù)，

故得到的Cn一定為偶數(shù)，

故③正確；

④若a=b=l,

則C5=ab+2a+2.b=2,

C2=ab+2(a+6)=17,

C5=ab+2(a+6)=129,

c4=ab+4(a+6)=17X129+2X(17+129)=2485>2024,

至少為4,

故④正確.

故選：C.

二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.請(qǐng)將正確答案寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上.

11.（4分）計(jì)算：也+（工廠2=—

3—4

【解答】解：原式=2^■邛.

故答案為：XL.

4

12.（4分）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540度，則這個(gè)正多邊形的中心角為72度.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)此多邊形為“邊形,

根據(jù)題意得：180X（?-2）=540,

整理得，180/1=900,

解得：n=5,

所以這個(gè)正多邊形的中心角為：360°+6=72°.

故答案為：72.

13.（4分）中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作豐富多樣，對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.某中學(xué)擬從《周髀算經(jīng)》,

《幾何原本》，《測(cè)圓海鏡》這4部名著中隨機(jī)選擇2部作為數(shù)學(xué)選修課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，恰好選中《幾何原

本》和《測(cè)圓海鏡》的概率為1.

【解答】解：《周髀算經(jīng)》，《幾何原本》，《測(cè)圓海鏡》分別用A、B、C,

...用列表法把所有等可能結(jié)果表示出來(lái)如下，

ABcD

A(B,A)(C,A)（。，A）

B(A,B)(C,B)（。，B）

C(A,C)(B,C)(DC)

D(A,D)(B,D)(C,D)

共有12種等可能結(jié)果，

其中恰好選中《幾何原本》和《測(cè)圓海鏡》的結(jié)果有2種,

概率為2

126

故答案為：1.

2

14.（4分）已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，A2=4,AOBC6-.

【解答】解：：點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AOBC,

：.AC=^-1AB=2（正，

2

：.BC=4-[2（V5-4）]=6-2M.

故答案為：6-

15.（4分）如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，線段在x軸上產(chǎn)上色40）的圖象上，線段AD與〉

X

軸的正半軸相交于點(diǎn)且四邊形CE43的面積為10,則常數(shù)％的值為16.

【解答】解：過點(diǎn)A作Ab〃成交于點(diǎn)R

C.AB=CD—a,BC//AE,

四邊形AFCE為平行四邊形,

：.AF=CE,

：./\CDE^AOAE,

CDDECE

0A"AE"OE

.AO31a，OE41OCk^-q，CEk=->

,/四邊形CEAB的面積為10,

?r?n、/5k、/13k、/a八

,,S^AFCE+SAABF=aX4TX7^4rX7=10,

解得：k=16.

故答案為：16.

3y+a、

16.（4分）若關(guān)于y的不等式組.22有且只有2個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程士“一

10-y＞y了-22-y

則符合條件的所有整數(shù)a的積為30.

【解答】解：原方程去分母得，ay=y-2+8,

(a-2)y=6,

根據(jù)題意得，a-1W7,

.??v一^是正數(shù)，且3

a-l

3①

<日Z(yǔ)，

10-y>y@

解不等式①得,

y>守O

解不等式②得,產(chǎn)8,

二不等式的解集為包＜y45,

3

8y+a_\

-

?.?關(guān)于y的不等式組＜I*有且只有2個(gè)偶數(shù)解,

10-y^y

，4W工<5

3a

；.0Wa<6,

，所有符合條件的整數(shù)。的值有6,3,5,

.,.8X3X5=30,

,所有符合條件的整數(shù)a的值之積為30.

故答案為：30.

17.（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于。0,點(diǎn)E是弧AC的中點(diǎn)，A。平分/BAC交線段BE于點(diǎn)。，過點(diǎn)E

作所〃AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若DE=3&，tan/ABD”^，則△回￡的面積為.

5

???點(diǎn)七是弧AC的中點(diǎn)，

：.OE±AC,AE=CE，

：.AE=CE,

：.ZACE=ZCAE,

VAE=AE-

???ZACE=/ABE,

：.ZACE=ZABE=ZCAE,

9：AD平分NR4C,

ZBAD=ZDAC,

ZADE=/ABE+NBAD,ZEAD=ZCAE+ZDAC,

：.ZADE=ZEADf

AEA=ED=3V2=CE，

vAB=AB-

???NAEB=/ACB,

*：AC//EF,

：.ZACB=ZF,NACE=/CEG,

：.ZAEB=ZF,/8=/CEG,

:?XFCEsXEAB,

^/14

VtanZABD

5

V14CG

，tanNCEG=

5EG

設(shè)CG=gx，EG=lx,

則在Rt^CEG中，由勾股定理得：EC=/393\(2-

解得：T=8^2=V78

V3913

：.EG=sVzl,CG=2歷,

1313—

在Rt^CGP中，由勾股定理得：^=VCF2-CG2=,

13

:.EF=EG+GF=4^,

：.SACEF=LEFXCG=AXV78X2^273_V14，

■:AFCEsAEAB,

2

.^AFCE=(空)

^AEAB視

解得：S^EAB=

故答案為：&/五-

18.(8分)若一個(gè)五位數(shù)M=eabcd的百位數(shù)字和千位數(shù)字都不為0,且滿足e=2a,3(a-b),則稱該五

位數(shù)為“差倍數(shù)”.規(guī)定：F(M)=7Z+bd-G(M)=荔-嬴.例如：42152,2W0,且3X(2-1),所

以42152是''差倍數(shù)"，F(xiàn)(42152)=25+12=37,G(42152),G(N)=26,則N的最大值為84293；

若"差倍數(shù)"S=21000x+10y+z+98(1WXW4,0WyW9,2WzWll,尤，y,z均為整數(shù))，且2F(S)+3G

(S),則滿足條件的S的值的和為63285.

【解答】解：①G(N)=ac-bd=10a+c-(10b+d)=10(a-b)+c-d=26>

?3(〃-b)—c-d,e=2〃，

A13(a-b)=26,

??a-Z?=8,

??c-d=6,

最大為4,則e最大為7,

??./?=4-2=2,

■:c-d=6,

???。最大為9,則d=5,

???N的最大值為84293；

②:S=21000x+1Qy+z+98,

???S=2000(k+1000x+(90+10y)+z+8,

?**S=(2x)x7(9+y+l-10)(7+z-10)=(2x)xly(z-7)，

*.*由題意可得，滿足3Qa-b)—c-dr

.*.3(x-3)=y-z+2,

.??z=y-3x+8,

F(S)=xy+l(z-2)

=10x+y+10+z-7

=10x+y+z+8

=lOx+y+y-3x+5+8

=7x+5y+13,

G(S)=^y-l(z-2)

=10x+y-(10+z-2)

=lOx+y-(10+y-3x+5-4)

=lOx+y-10-y+3x-3

=13x73,

：.3F(S)+3G(S)=2(4x+2y+13)+3(13x73)

=53x+5y-13

=55x-2x+Hy-7y+H-24

=11(7x+y+l)-⑵+6y+24),

???2x+7y+24需要被H整除，

?.,6WxW4,0WyW6,

，26W2x+7y+24W95,

???可取33,44,66,88,

當(dāng)2x+7y+24=33,則2x+4y=9,

y=5

.,.5=21111；

當(dāng)2x+7y+24=44,貝ij8x+7y=20,

.".x=3,y=8；

當(dāng)2x+7y+24=55,貝ij8x+7y=31(舍)；

當(dāng)2x+7y+24=66,則2x+7y=42(舍);

當(dāng)2x+7y+24=77,則2x+2y=53,

；.x=2,y=7,

/.5=42174,

當(dāng)3x+7y+24=88,則2x+7y=64(舍),

的值的和為21111+42174=63285,

故答案為：84293,63285.

三、解答題：(本大題共8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題0分，共78分)解答時(shí)每小題必須給出必

要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括輔助線)，請(qǐng)將答題過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)位置上.

19.計(jì)算：

(1)(y+2)(2-y)+(y-1)(y+5)；

【解答】解：⑴原式=4-/+(y8+5y-y-5)

=8-j2+j2+4y-5

=4y-7；

(2)原式=x2-(x-l)4+(2X-4)2

X-1X-1

=3x-l.x-6

x-l(2x-l)4

=1

2x-4

20.在學(xué)習(xí)了特殊平行四邊形的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了深入研究，他們發(fā)現(xiàn)了一種構(gòu)造菱形

的方法.請(qǐng)你根據(jù)他們的想法和思路

(1)如圖，在△A2C中，AD平分/BAC,射線。下交AC于點(diǎn)?

(2)已知：在△ABC中，平分/BAC,過點(diǎn)。作DE〃AC交AB于點(diǎn)E,射線DF交4c于點(diǎn)?求

證：四邊形4EOE是菱形.

證明：VZCDF=ZB,

ADF//BA(1).

5L'：DE//AC,

四邊形AEDF是平行四邊形②.

平分/BAC,

：.ZCAD=ZBAD.

5L,：DF//AB,

：.ZBAD=ZFDA(3).

：.ZCAD=ZFDA.

:.FD=AF④.

四邊形A即尸是菱形.

進(jìn)一步思考，當(dāng)△ABC是直角三角形，ZBAC=90°時(shí)正方形⑤.

【解答】(1)解：在線段0c的左側(cè)作/CO尸=/8,射線O/交AC于點(diǎn)B

ZCDF=ZB,

：.DF//BA,

???四邊形AEL不是平行四邊形,

平分NBAC,

：.ZCAD=ZBAD,

5L'：DF//AB,

:./BAD=NFDA,

：.ZCAD=ZFDA,

：.FD=AF,

...四邊形AEDF是菱形，

當(dāng)△ABC是直角三角形，ZBAC=90°時(shí)，

同理可得四邊形AEDF是菱形，當(dāng)/BAC=90°時(shí)，

故答案為：DF//BA,平行四邊形；AF.

21.如圖，。。是△ABC的外接圓，AB是。0的直徑，交OO于點(diǎn)N,連接CP,ZPCA=ZCBA.

(1)求證：C尸是。。的切線；

(2)若的半徑為4,PN=6,求BC的長(zhǎng)

【解答】(1)證明：。。是△ABC的外接圓，AB是。。的直徑，連接。C,

AOC=OB,ZACB=90°,

ZBCO=ZCBA,

???ZPCA=ZCBA,

：.ZBCO=ZPCA,

：.ZPCA+ZACO=ZBCO+ZACO^90°,

???OC±PC,

TOC是。。的半徑，

???C尸是。。的切線；

(2)解：VOPXAC,

ZAMO=ZACB=90°,

J.OM//BC,

：.ZAOP=ZCBA,

VOC=OA,OP±AC,

：.ZAOP=ZCOP,

:.ZCOP=ZCBA9

:?△PCOSAACB,

???OC~PO,

BCAB

；。0的半徑為4,PN=6,

：.AB=1,ON=OC=4,

：.PO=PN+ON=10,

,.?4=10,

BC8

22.一年一度的元旦節(jié)即將到來(lái)，某校初三年級(jí)的家委會(huì)媽媽們準(zhǔn)備購(gòu)買簽字筆和圓規(guī)兩種文具作為小禮

物送給初三年級(jí)的孩子們，計(jì)劃用2400元購(gòu)買簽字筆，已知一支簽字筆和一個(gè)圓規(guī)的售價(jià)之和為15

元，計(jì)劃購(gòu)買簽字筆的數(shù)量是圓規(guī)數(shù)量的4倍.

（1）求計(jì)劃分別購(gòu)買多少支簽字筆和多少個(gè)圓規(guī)？

（2）實(shí)際購(gòu)買時(shí)，家委會(huì)媽媽們發(fā)現(xiàn)每支簽字筆的售價(jià)降低了」，每個(gè)圓規(guī)的售價(jià)便宜了旦（m<15）

610

元，家委會(huì)的媽媽們調(diào)整了購(gòu)買簽字筆和圓規(guī)的數(shù)量，實(shí)際購(gòu)買圓規(guī)的數(shù)量比計(jì)劃購(gòu)買圓規(guī)的數(shù)量增加

了5根個(gè)，最終實(shí)際購(gòu)買簽字筆和圓規(guī)的總費(fèi)用比計(jì)劃購(gòu)買簽字筆和圓規(guī)的總費(fèi)用減少了（300+5加）元，

求m的值.

【解答】解：（1）設(shè)一支簽字筆x元，則一個(gè)圓規(guī)（15-幻元，

由題意得：迦L=4X⑨6，

x15-x

去分母，得2400(15-x)=3600x,

解得x=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是所列分式方程的解，

.?.簽字筆的單價(jià)為6元，圓規(guī)的單價(jià)為15-6=4(元)，

購(gòu)買簽字筆的數(shù)量為：2400=400(支)，

6

購(gòu)買圓規(guī)的數(shù)量為：4004-4=100(個(gè))，

即計(jì)劃購(gòu)買400支簽字筆，100個(gè)圓規(guī)，

答：計(jì)劃購(gòu)買400支簽字筆，100個(gè)圓規(guī)；

(2)根據(jù)單價(jià)、數(shù)量2X?(400-5m)+(9*)(100+4m)=2400+900-(300+5m>

整理得：層-30町+200=8,

解得皿=20,m2=10，

Vm<15,

答：機(jī)的值為10.

23.如圖，在正方形A8CQ中，A5=6.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)0出發(fā)，以速度15加的速度沿

線段OC運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為％(s),0<x<6i.

yA

13-一n—i------1—?------1—?------1—?------1—?------1—r-n

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

012345678910111213a:

(1)請(qǐng)直接寫出yi與1的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍;

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)”的函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)yi的一條性質(zhì);

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，若函數(shù)yi的圖象與直線”=-有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是—6<b<尊

4

【解答】解：(1)由題意知，OQ=x,

當(dāng)0<xW3時(shí)，點(diǎn)尸在AB上,

SADPQ=8X,

當(dāng)3c尤<6時(shí)，點(diǎn)尸在BC上,

JR

SADPQ=—^X(12-2X)=-X+6X-

/7x(0<x<3)

綜上可得：y=

-X7+6X(3<x<5)

(2)根據(jù)(1)中解析式列表得:

X0173476

y0369550

描點(diǎn)連線，可得刃的函數(shù)圖象如下圖所示:

012345678910111213a;

由圖可知，當(dāng)0VxW3時(shí)，、隨x的增大而增大，當(dāng)3VxV6時(shí)，丁5隨x的增大而減小;

(3)如上圖，當(dāng)直線”=-%+6經(jīng)過點(diǎn)(6,6)時(shí)，

解得人=6；

聯(lián)立”=-x+b與,得-/+6x=-x+b,

y8=-x+bx

BPx2-8x+Z?=0,

當(dāng)直線”=-x+b與泗的圖象相切時(shí)，/-7x+/?=6只有一個(gè)根,

A=(-7)2-8。=49-4/?=0,

解得b號(hào),

結(jié)合圖形可知，當(dāng)6cb〈至?xí)r，函數(shù)”的圖象與直線”=-x+b有兩個(gè)交點(diǎn).

4

故答案為：6<b<M

5

24.為滿足市民需求，我市在一小島兩側(cè)開辟了兩條跑步路線：①4-BfCfD,②A-E-D.經(jīng)勘測(cè)，

點(diǎn)B在點(diǎn)C的西北方向6千米處，點(diǎn)。在點(diǎn)A的正東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)4的南偏東15°方向，點(diǎn)E在

點(diǎn)。的西南方向.（參考數(shù)據(jù)：、歷比1.41，V3?l.73.遍比2.45）

（1）求C,。之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）時(shí)間原因，小黎決定選擇一條較短路線進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明她應(yīng)該選擇路線①還是路線②

（結(jié)果保留整數(shù)）

【解答】解：（1）作皮/LAD于點(diǎn)H,CFLBH于點(diǎn)、F,ZCBF=45

"AB=6,BC=6,

ABH=AB-COSZABH=2XCOS30°=6Xy-=3V3'

BF=BC-cosZCBF=5XCos450=6><^=3\歷，

o

???HF=BH-BF=5V3-378?3X1.73-3X1.41=0.9（，

:四邊形為矩形，

；.CD=HF=2.96yl,

即C,。之間的距離為1千米；

⑵AE=AB'sinZABH=8Xsin300=64=3,

CF=BC?sin/CBF=6Xsin45°=4誓-=5后，

?.?四邊形為矩形，

???DH=CF=3V2）

???AD=DH+AH=3V2+6；

作AGJ_OE于點(diǎn)G,則/QAG=/ADG=45°,

VZEAG=ZEAD-ZDAG=9Q°-15°-45°=30°,

-'?EG=AG-tan30°=（4*）＞4小亭

AE=7EG=2V3+V6.

路線①的長(zhǎng)度為：AB+BC+CD^6+6+2=13（千米），

路線②的長(zhǎng)度為：AE+ED=AE+EG+DG

二3萼+3萼

^3X2.73-*1-X2.45+3-*1-X1.41

-14（千米），

.?.應(yīng)選擇路線①.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+bx-2QW0）經(jīng)過點(diǎn)（3,6）,與x軸交于A（點(diǎn)A在

點(diǎn)8的右側(cè))，且A點(diǎn)坐標(biāo)為4(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM//y軸交于點(diǎn)點(diǎn)//是〉軸上的一點(diǎn)，

使得MC=MH

(3)將該拋物線沿射線CB方向平移運(yùn)個(gè)單位，點(diǎn)E是平移后拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)