2024年高三數(shù)學重難點復習專練：解三角形壓軸小題十一大題型（原卷版）

重難點專題23解三角形壓軸小題十一大題型匯總

題型1正余弦定理................................................................2

題型2取值范圍問題..............................................................3

?類型1轉化角度法........................................................3

?類型2正弦定理法........................................................4

?類型3正弦定理+輔助角...................................................5

?類型4轉化正切法........................................................5

?類型5余弦定理法........................................................6

?類型6建系法.............................................................7

?類型7轉化函數(shù)...........................................................8

?類型8二次型取值范圍....................................................9

?類型9基本不等式.......................................................10

題型3中線問題.................................................................10

題型4角平分線問題.............................................................11

題型5高線問題.................................................................12

題型6四邊形問題...............................................................12

題型7多三角形問題.............................................................14

題型8與向■結合問題...........................................................15

題型9實際問題.................................................................17

題型10正余弦定理與立體幾何...................................................19

題型11正余弦定理與解析幾何...................................................21

題型1正余弦定理

'f^f5

-1,.O、?ffij.#?<、5、、

正弦定理和余弦定理是解決三角形問題的重要工具，根據(jù)已知條件和所求未知量的不同，選

擇合適的方法可以更加高效地解決問題，通過運用這兩個定理，可以幫助我們求解各種未知

邊長和角度，在解題過程中，我們還可以利用三角形內角和為180度來輔助求解.

【例題1]（多選）（2023?山西陽泉統(tǒng)考三模）設小力8c內角A例，C的對邊分別為a,b,

C.若sin2=cosB=tanC,則下列說法正確的是（）

A.A+B=—B.2,A+C=—C.a>bD.c>b

22

【變式1-1】1.（2023?全國?高三專題練習）在448。中,^CAB=90。，48=3,AC=4,

P為AABC內一點，若4PBA=/-PCB=A.PAC=a,貝!jtana=.

【變式1-1】2.（2023?全國?高三專題練習那4匹的內角4昆。的對邊分別為。4。，若a+

b=8,cosC=|,S.AABC的面積為3遍,則c=.

【變式1-1]3.（2022?全國?高三專題練習）已知△4BC的內角A,B,C滿足sin22+

sin（>l—B+C）=sin（C—A—B）+-,△4BC的面積S滿足1<S<2，記a,b,C分別為A,

B,C所對的邊，則下列不等式一定成立的是（）

A.ab（a+b）>16-/2B.bc（b+c）>8

C.6<abc<12D.12<abc<24

【變式1-1]4.（2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預測）已知△ABC的內角A,B,C所對邊的長

分別為a,b,C，已知△48c的面積S滿足（b+c）2=（4V3+8）S+a2則角A的值為.

【變式1-1]5.（2023?全國?高三專題練習）在RtAaBC中，斜邊為4B，點。在邊BC上,若

tan?。=手,sin皿.sin”|,則噫等=.

題型2取值范圍問題

解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問

題，或與角度有關的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，

或其他的限制，通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

?類型1轉化角度法

【例題2-1]（2023,全國?高三專題練習）△力BC中，角A,B,C滿足cos24-cos2B=

2sinC（sinS-sinC）,則高+高的最小值為-------

【變式2-1]1.（2023秋?重慶?高三重慶一中?？奸_學考試）在△ABC中，若sin4=

2cosBcosC,則COS2B+cos2c的最大值為.

【變式2-1]2.（2023秋?重慶?高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知銳角△力BC中，內角人B、C的

對邊分別為a、b、c,a2=b2+be,若cos（C-B）+AcosA存在最大值,則實數(shù)4的取值范

圍是（）

A.（0,V2）B.（1,V3）C.（0,2）D.（2,4）

【變式2-1]3.（多選）（2023秋?河南?高三鄭州一中校聯(lián)考階段練習）用長為3的鐵絲

圍成△ABC,記4ABC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=60。，則（）

A.存在△4BC滿足a,b,c成公差不為0的等差數(shù)列

B.存在△力BC滿足a,b,c成等比數(shù)列

C.△ABC的內部可以放入的最大圓的半徑為?

O

D.可以完全覆蓋AZBC的最小圓的半徑為日

?類型2正弦定理法

【例題2-2](2023秋?重慶?高三統(tǒng)考階段練習)△ABC中，sincos2A，則鬻的

\Z/AD

取值范圍是()

A-11B1c

?(1)-(11)-G-1)。.Q,i)

【變式2-2J1.(2022秋?安徽馬鞍山?高三馬鞍山二中?？计谥?在銳角418C中，4=28,

則黎的取值范圍是

A.(-1,3)B.(1,3)

C.(V2,V3)D.(1,2)

【變式2-2]2.(2023?全國?高三專題練習)在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分

別為a,b,c,已知acosB-bcosA=b，則高的取值范圍是()

A.(%)B.(2-V3,l)

C.(2-V3,V2-1)D.(V2+1,V3+2)

【變式2-2】3.(2023河南校聯(lián)考模擬預測)在△ABC中,角4B,C的對邊分別為a,4c,

若cos(4+2C)=sin2c—cos4,。力1,則+13的值可為()

A.4V3B.6V2C.873D.I6V2

【變式2-2]4.(2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預測)在銳角SBC中，角4B,C所對

的邊分別為a,b.c,若cosd=啜,則系的取值范圍是()

C.(1,+00)D.6+8)

?類型3正弦定理+輔助角

【例題2-3]（2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）在銳角△ABC

中，角的對邊分別為a,b,c,S為AABC的面積，a=2,H2S=a2-（h-c）2，則AABC

的周長的取值范圍是（）

A.（4,6]B.（4,2V5+2]

C.（6,2V5+2]D.（4,V5+2]

【變式2-3]1.（2022秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？计谥校┰?/p>

△ABC中,BC=<3AC,^BAC=g，點。與點B分別在直線4C的兩側，且4D=1,DC=V3,

則8。的長度的最大值是（）

A.V3B.3V3C.3D.苧

【變式2-3]2.（2022秋?四川綿陽?高三綿陽中學?？茧A段練習）在銳角△ABC中，若

V^sinA（笠^+=sinFsinC,且舊sinC+cost=2,貝!]a+b的取值范圍是（）

A.（2V3,4]B.（2,2V3]C.（0,4]D.（2,4]

【變式2-3J3.（2022秋?廣東廣州?高三中山大學附屬中學?？计谥泄?4BC的面積為S,

NB4C=9,已知布?尼=4,2WSW2b,則函數(shù)/⑹=V3sin2（。+?+cos?。的值域

為.

【變式2-3]4.（2023?全國?高三專題練習）在A4BC中，角2,B,C所對的邊為a,b,c,

若警乎=咨+咨，且UBC的面積〃的二日④+解一。?），則￡的取值范圍

SSinAClC4CliD

是?

?類型4轉化正切法

對含有正切函數(shù)求最值取值范圍，一般從一下方面分析：

1.切化弦，

2.在三角形中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

【例題2-4]（2023?全國?高三專題練習）在銳角△2BC中，角4，B，C的對邊分別為a,b,

c,S為4ABC的面積，且2s=a?-（b-c）2,則靠:藍:的取值范圍為（）

A.圈）B.緇1C.啕D.（篝2]

【變式2-4]1.（2023秋?遼寧?高三東北育才學校校聯(lián)考開學考試）在4A8C中，已知sin力=

cosB=tanC,邊a,6滿足6>ka,則k的最大值是.（此空結果保留兩位小數(shù)）

【變式2-4】2（2022?全國?高三專題練習）在448。中角4B、C所對的邊分別是a、b、c,4=

120°,。是邊BC上一點，AB1ADSAD=g，貝心+2c的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

【變式2-4]3.（2023?全國?高三專題練習）1643年法國數(shù)學家費馬曾提出了一個著名的

幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.

它的答案是：當三角形的三個角均小于120。時，所求的點為三角形的正等角中心（即該點

與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角120°）,該點稱為費馬點.已知△48C中，其中乙4=

60。，BC=2,P為費馬點，則PB+PC-P4的取值范圍是.

【變式2-4]4.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末）在銳角AABC中，角A,B,C所對的

邊分別為a,b,C,已知a?+2abeosC=3b2,則tanAtanBtanC的最小值是.

?類型5余弦定理法

【例題2-5】（2023?四川成都校聯(lián)考二模）在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,

b,C,tan/sinAQanBtanC-1）=2tanBtanC,sinB>sinC,且bsinB+csinC=masinA,

則實數(shù)7n的取值范圍為

【變式2-5】L（2023?全國?高三專題練習）拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖?波拿巴

最早提出的一個幾何定理："以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這

三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的

頂點已知△48c內接于半徑為傷的圓，以BC,AC,AB為邊向外作三個等邊三角形，其

外接圓圓心依次記為4,夕,。.若乙4cB=30。，則AdB。的面積最大值為.

【變式2-5]2.（2022秋?重慶?高三統(tǒng)考期中）在44BC中，內角A,B,C的對邊分別是

a,b,C,（a+c）（sinZ-sinC）+bsinB=asinB,b+2a=4,CA=3CD—2CB,則線段

CD長度的最小值為（）

A.2B.謔C.3D.迪

33

【變式2-5]3.（2023?全國?高三專題練習）已知中，點。在BC邊上,NBAC=60°,

4。=2,CD=2BD,當24B+4C取最大值時，BD=

【變式2-5]4.（2022?北京?高三?？紡娀媱潱┤簟鰽BC三邊長為等差數(shù)列，則cos4+

COSB+COSC的取值范圍是.

?類型6建系法

1.滿足圓錐曲線定義，特別是"阿波羅尼斯圓"，可以適當?shù)慕ㄏ翟O點

2.利用正余弦平方形式可以建系設點

3.具有幾何意義特征，如垂直，距離，斜率等.可以適當?shù)慕ㄏ翟O點

【例題2-6]（多選）（2023?全國?高三專題練習）在AABC中,角力、B、C的對邊分別為a、

6、c,面積為S,有以下四個命題中正確的是（）

A.二的最大值為啜

az+2bc12

B.當a=2,sinB=2sinC時，△48C不可能是直角三角形

C.當a=2,sinB=2sinC,A=2c時，△48c的周長為2+2y/3

D.當a=2,sinB=2sinC,A=2c時,若。為△4BC的內心，則△4B。的面積為與

【變式2-6】1.（2023秋?河北張家口?高三統(tǒng)考開學考試）在443。中,AB=AC,BD為AC

邊上的中線，BD=2次，則該三角形面積最大值為.

【變式2-6】2.（2022秋?四川成都?高三川大附中?？茧A段練習）在4說中，內角4,B,C

所對的三邊分別為a,b,c,且c=2b,若44BC的面積為1，則BC的最小值是.

【變式2-6]3.（2023?河南安陽統(tǒng)考三模）已知△4BC的面積為1（4+1）2（2為常數(shù)且4>

0）,AB=AC>^-BC,CD^WA,若乙4變化時8。的最小值為竽，則2=

【變式2-6J4.（2023秋?江蘇南京?高三南京市第一中學?？计谀┮阎?BC是面積為

的等邊三角形，四邊形MNPQ是面積為2的正方形，其各頂點均位于△ABC的內部及三邊上,

且可在△48c內任意旋轉，則前?我的最大值為（）

A.--B.—C.V6—V2—2D.V6+V2—2

【變式2-6]5.（2023春?湖南長沙?高三雅禮中學?？茧A段練習）在4ABC中,AB=3,sinB=

m-sin4（m>2）,貝必4BC的面積最大值為.

?類型7轉化函數(shù)

【例題2-7】（2023?貴州貴陽?校聯(lián)考三模舊知△ABC的三邊長分別為a,b,c,若tan4<0,

則"sinC：inB）的取值范圍是

asm/----------------

【變式2-7]1.（2023秋?河南鄭州?高三校聯(lián)考期末）已知在△2BC中,sin2B+2sin2c=

4sin271,若S-BC<48c2（SMBC表示△&BC的面積）恒成立，則實數(shù)4的取值范圍為（）

A?愣，+8??殍，+8）C.[嚷+8）D.愣,+8）

【變式2-7]2.（2023?全國?高三專題練習）已知三角形力8C中，4=；,D是8c邊上一點，

且滿足BD=2DC,則熱勺最大值是.

【變式2-7J3.（2022春?全國?高三專題練習）已知4（-1,0）,B（3,0）,P是圓0：/+外=45

上的一個動點，貝！Isin/APB的最大值為（）

A.更B.-C.-D.-

3344

【變式2-7J4.（2022秋?湖北黃岡?高三統(tǒng)考階段練習）銳角三角形ABC的三個內角A,B,

C的對邊分別是a,b,c,若a=2,且bcosA-2cosB=a,則彳的取值范圍為.

【變式2-7]5.（2022秋?廣西桂林?高三?？茧A段練習）在4ABC中，設a,b，。分別為角4,

B（對應的邊，記的面積為S，且bsinB+2csinC=4asin力，則總的最大值為-------.

?類型8二次型取值范圍

【例題2-8]（2023春?山西?高三校聯(lián)考階段練習）在448（^，角4,B,C所對的邊分別

為a,b,c,c=1,asin4+2bsinB=sinC,貝必4BC面積的最大值是（）

A.-B.-C.-D.攻

9634

【變式2-8]1.（2023?河南周口?統(tǒng)考模擬預測）設銳角三角形4BC的內角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c,且bsinB=asinA+asinC,則3"c的取值范圍是.

a

【變式2-8]2.（2023?安徽安慶?安慶一中?？寄M預測）在△ABC中,BC=2,AB=2AC,

D為BC的中點，貝!itan/ADC的最大值為.

【變式2-8]3.（2023春?重慶北暗?高三西南大學附中?？计谥校┮阎鰽8C的三個內角

A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=4,c=36,則44BC面積的最大值是；

若r,R分別為△4BC的內切圓和外接圓半徑，貝！]rR的范圍為.

【變式2-8J4.（2023春?江西?高三校聯(lián)考開學考試）已知44BC中,\AB\2+2AB-AC=9,

|BC|=3,貝必4BC面積的最大值是.

【變式2-8]5.（2022春?山東棗莊?高三滕州市第一中學新校?？奸_學考試）已知△4BC的

三個內角分別為A,B,C,且sim4,sinB,sinC成等差數(shù)列）,則角B的取值范圍是；

2sinB+Wsin2B最大值為

?類型9基本不等式

【例題2-9]（2021秋?河南新鄉(xiāng)?高三?？茧A段練習）已知△A8C的三個內角A,B,C的對

邊分別為a,b,C,面積為S若4s=a?-（b-c）2且6+c=4，則S的最大值為.

【變式2-9]1.（2023?天津河西?天津市新華中學?？寄M預測）已知D是4ABC的邊BC

上一點,且阮=3BD,2。=2,tan/BAC=V15,貝！+2AB的最大值為.

【變式2-9]2.（2022?全國?高三專題練習）如圖,在448c中“ABC==，點D在線段4C

上,SAD=2DC,BD=3,則4ABC面積的最大值為.

【變式2-9】3.（2022?全國?高三專題練習）已知AABC的內角4B,C所對應的邊分別為a,6,c,

且滿足c-4,c2-a2+4b2,則44BC的面積取得最大值時，cosC=.

題型3中線問題

中：知#占

1.中線可分三角形得兩個三角形，分別運用余弦定理2.中線可延伸補形得平行四邊形

【例題3】（2023?全國?高三專題練習）在△力BC中“BAC=120°,20為8c邊上的中線且

2。=2,則48-22C的取值范圍是.

【變式3-1]1.（2024?安徽黃山?屯溪一中校考模擬預測）在44BC中，角4B、C的對邊分

別為a、b、c,且a、b、c為正數(shù)，NB4C=120°,力。為BC邊上的中線，力。=8，則c-2b的

取值范圍是.

【變式3-1]2.（2022秋?江西南昌?高三校聯(lián)考期中）銳角△力BC中，a,b,c為角4,B,

C所對的邊，點G為△48C的重心，若AG1BG，則COSC的取值范圍為

【變式3-1]3.（2022?河南?靈寶市第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）在44BC中,AB=BC,

點。是邊AB的中點，△A8C的面積為2,則線段CD的取值范圍是（）

A.學]B.[子,+8）C.[遍,+8）D,（0,V3]

【變式3-1]4.（2022?全國?高三專題練習）在44BC中,AB=2,D,E分別是邊AB,2C的

中點，CD與BE交于點。，若0C=V3OB，則△力BC面積的最大值為（）

A.V3B.3V3C.6V3D.9V3

【變式3-1]5.（2023?廣西統(tǒng)考模擬預測）已知在A4B1中，角4,B,C的對邊分別為a,

b,c,acosB=bcosA,M是BC的中點，若AM=4,貝必C+a4B的最大值為.

題型4角平分線問題

*上噌重點

1.角平分線，可以借助面積"和”構造等量關系2.角平分線也是兩邊的"對稱軸"

3.三角形角平分線定理可以直接在小題中使用

【例題4】（2023?全國?高三專題練習）在非直角仆ABC中，設角A,B,C的對邊分別為a,

b,c，若asinA+bsinB-csinC=4bsinBcosC,CD是角C的內角平分線，且CD=b，則tanC

等于（）

A,^V7B,3V7C.iD.|

【變式4-1]1.（2023?河南安陽?安陽一中校聯(lián)考模擬預測）在4ABC中，若內角A,B,

C所對的邊分別為a,b,C,"BC的平分線交AC于點D,BD=1且b=2,則44BC周長

的最小值為（）

A.7B.2V2C.2+2V2D.4

【變式4-l】2.（2021秋?河南濮陽?高三濮陽市華龍區(qū)高級中學?？奸_學考試應/4BC中,

^A=2^B,AB=1，BC=4,CD平分N2CB交48于點。,貝U線段力。的長為.

題型5高線問題

1.一般給高，基本就與求面積聯(lián)系起來

2.高也可以分開構造直角三角形，得出對應的三角函數(shù)值

【例題5]（2023?安徽合肥?合肥市第六中學?？寄M預測）已知銳角AABC中，內角A,B,

C所對的邊分別為a,b,C,B=60。，ac=6,點D在邊AC上,且8。1AC.過點D分

別作邊AB,BC的垂線，垂足分別為M,N,設=m,BN=n,則/+/-nm的最

大值為.

【變式5-1]1.（2023?全國?高三專題練習）在Rt△48c中，斜邊為4B，點。在邊BC上,

若tan/BAD=—,sinzXDC-sinB=-,則""+叱=

【變式5-1]2.（2022?全國?高三專題練習）已知AABC為銳角三角形，D,E分別為AB、

AC的中點，且CD_LBE,則cosA的取值范圍是

A.（i,l）B.G，9C.《,1）D.由凈

【變式5-1]3.（2022秋?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市實驗中學校聯(lián)考階段練習）在

△ABC中，AC±BC,AC=BC,E為線段AC上一點（不與A,C重合），D為BE延長線上一

點,AD=2,CD=1,則面積的最大值是.

題型6四邊形問題

'1z5!^^

本上塾重點

1.四邊形可以"劈成"倆三角形.2.四邊形可以“補成"三角形

【例題6】（2023?陜西西安?西安市大明宮中學?？寄M預測）在平面四邊形ABCD中,AB=

2,DA-DC=6,^ABC=〃CB=三，則四邊形4BCD的面積的最大值為

36

【變式6-1]1.（2023?全國?高三專題練習）如圖,一塊三角形鐵片4BC,已知AB=4,

AC=4V3,^BAC=今,現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個小洞，記為點。,AD=1,ABAD=g

如果過點。作一條直線分別交AB,4C于點E,F,并沿直線EF裁掉AAEF,則剩下的四邊形

EFCB面積的最大值為（）

A.3V3B.2百C.V6D.V3

【變式6-1]2.（2023春河南許昌高三鄢陵一中校考階段練習）在42BC中，內角A,B,C

的對邊分別為a,b,c.若c=2g，b=2,C=，4。是BC邊上的高線，點。為垂足.點E為

線段8。上一點，點8關于直線AE的對稱點為點M,從四邊形艮4cM中任取一點，該點來自

△48。的概率記為。（2）,則PQ4）的最小值為

【變式6-1]3.（2023?全國?高三專題練習）已知等腰梯形A8CD是半徑為2的圓的內接四

邊形，且4BIICD，乙4BC6（0,力則等腰梯形2BCD的四條邊長的乘積的最大值

為.

【變式6-1]4.（2023?全國?高三專題練習）如圖,菱形A8C。的邊BC上有一點E,邊DC上

有一點F（E?不與頂點重合）且舊房＞|。川，若AAEF是邊長為舊的等邊三角形，則演?BE

的范圍是

AD

題型7多三角形問題

【例題7]（2023?湖南岳陽統(tǒng)考模擬預測）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c,asin（B+n）+6cos管—4）=0,a=15若點M滿足引才=|fiC，且NMAB=zMBA,

則AAMC的面積是（）

A30V3g30V3c2254p135V3

,7141414

【變式（2023春湖北襄陽?高三襄陽五中?？茧A段練習在AABC中，已知前=2DC,

AC=3BC,sinzBDC=3sinzB/lC,當?shù)?CB—|荏|取得最小值時，△4BC的面積為（）

A.-B.-C.-D.這

42816

【變式7-1]2.（2023?全國?高三專題練習）趙爽是我國古代數(shù)學家,大約在公元222年，

他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了"勾股圓方圖"，亦稱"趙爽弦圖"（以弦為邊長得

到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成洪比"趙爽弦圖"，

可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較

大的等邊三角形，設而=XAB+iiAC,若而=3AF,則4-〃的值為.

【變式7-1]3.（2020?北京?高三強基計劃）已知乙4=18。?=87。，點D在BC的延長

線上,S.DC=BC,點E在AC上,且NCED=18°,貝!]需=.

【變式7-1】4.（2022?四川成都?高三四川省成都市新都一中統(tǒng)考階段練習）如圖，在

中,N4BCW，點D在線段力C上,S.AD=2DC,BD=4，則MBC面積的最大值為.

1.用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表

示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

2.向量具有數(shù)形二重性，一方面具有"形"的特點，借助于幾何圖形進行研究，利用數(shù)形結

合增強解題的直觀性，?另一方面又具有一套優(yōu)良的運算性質，因此，對于某些幾何命題的求

解或證明，自然可以轉化為向量的運算問題來解決，可以使復雜問題簡單化，幾何問題代數(shù)

化

【例題8】（2023?全國?高三專題練習）十七世紀法國數(shù)學家皮埃爾?德?費馬提出的一個著名

的幾何問題：”已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最

小".它的答案是：當三角形的三個角均小于|n時，即該點與三角形的三個頂點的連線兩

兩成角|n；當三角形有一內角大于或等于|n時，所求點為三角形最大內角的頂點.在費馬問

題中，所求點稱為費馬點.已知在△ABC中，已知C=|n,AC=1,BC=2,且點M在AB

線段上且滿足CM=BM,若點P為A4MC的費馬點則成-PM+PM-PC+PA-PC=（）

A.-1B.-士5C.--5D.--5

【變式8-1J1.（2023?全國?高三專題練習）已知點G為三角形ABC的重心，目|去+GB\=

\GA-GB\,當z_c取最大值時，cosC=（）

A.B.-C.-D.i

5555

【變式8-1J2.（多選X2023?全國?高三專題練習）在4ABC中,AC=4,48=5=6,

。為力C中點，E在BD上，且礪=|ED,4E延長線交BC于點F,則下列結論正確的有（）

A.麗=3B.AE-BC=-^

C.△ACT的面積為3bD.衣=6EF

【變式8-1]3（多選）（2023?全國?高三專題練習對于任意小ABCAE=2EC=^-DC,

4

兩直線AD,BE相交于點。，延長CO交AB于點F,則下列結論正確的是（）

A.CO=—CA+—CB

1717

B.xOA+yOB+zOC=0,x:y:z=3:8:7

C.當NBAC=g,4B=1,AC=2時，貝！]COSNDOE=

DS^DEF_48

S&ABC231

【變式8-1]4.（多選）（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學校?？既＃┮阎?ABC的

三個內角4B,C所對邊的長分別為a,b,c,若（V5C-2asinB）sinC=V3（fosinB-asinX）,則

下列正確的是（）

A.cosAcosC的取值范圍是G，[）

B.若。是AC邊上的一點,且詼=2DA,BD=4,貝必ABC的面積的最大值為6次

C.若△ABC是銳角三角形，貝%的取值范圍是2）

D.若BD平分乙48c交九點。，且BD=1,則4a+c的最小值為3百

題型9實際問題

【例題9】（多選）（2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽市第一二。中學?？茧A段練習）某數(shù)學建模

活動小組在開展主題為“空中不可到達兩點的測距問題的探究活動中抽象并構建了如圖所

示的幾何模型，該模型中MA,NB均與水平面ABC垂直.在已測得可直接到達的兩點間

距離AC,BC的情況下，四名同學用測角儀各自測得下列四組角中的一組角的度數(shù)，其中

一定能唯一確定M,N之間的距離的有（）

A.zMCA,zNCB,zABCB.zACB,zNCB,zMCN

C.zMCA,zNCB,zMCND.zMCA,zNCB,zACB

【變式9-1]1.（2023秋?山東青島?高三統(tǒng)考開學考試）海洋藍洞是地球罕見的自然地理

現(xiàn)象，被喻為"地球給人類保留宇宙秘密的遺產(chǎn)"，若要測量如圖所示某藍洞口邊緣4,8兩

點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CD=8海里，乙ADB=135°,/.BDC=

Z-DCA=15°,^ACB=120°,貝！M,B兩點的也巨離為海里.

【變式9-1】2.（多選）（2022秋福建福州?高三校聯(lián)考期中）某社區(qū)規(guī)劃在小區(qū)內修建一

個如圖所示的四邊形休閑區(qū).已知48=BC=2CD=20米，AD=30米，且修建該休閑區(qū)的

費用是200元/平方米，則下列結論正確的是（）

BA

CJ/

A.若四邊形ABC。的四個頂點共圓，貝防。=10立米

B.若四邊形48CD的四個頂點共圓，則修建該休閑區(qū)的總費用為4萬元

C.若4+C=知時，則該社區(qū)修建該休閑區(qū)的修建費用為6萬元

D.若要修建完成該休閑區(qū)，則該社區(qū)需要準備的修建費用最多為4百萬元

【變式9-1]3.（2022秋?廣東汕頭?高三統(tǒng)考期末）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，

是中華漢族最古老的民間藝術之一.如圖，一圓形紙片直徑4B=20cm,需要剪去四邊形

CEJD,可以經(jīng)過對折，沿DC,EC裁剪，展開就可以得到.

已知點C在圓上且力C=10cm,Z.ECD=30°.則鏤空四邊形CEG。的面積的最小值為

cm2.

【變式9-1]4.（2020?全國?高三專題練習）如圖，某人在垂直于水平地面48C的墻面前的

點2處進行射擊訓練，已知點2到墻面的距離為A8,某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此

人為了準確瞄準目標點P,需計算由點A觀察點P的仰角8的大小，若28=15cm,AC=

25cmzBCM=30。，則tanJ的最大值是（）.（仰角8為直線4P與平面ABC所成的角）

M

51099

題型10正余弦定理與立體幾何

【例題1012023秋?浙江?高三浙江省春暉中學校聯(lián)考階段練習）已知四面體ABCD中AD=

2'BD=0乙BCD=120。，直線4。與BC所成的角為60。，且二面角A-CD-B為銳二面

角.當四面體ABC。的體積最大時，其外接球的表面積為（）

A.—B.—C.16nD.8TC

33

【變式1-10］1.（2023?山東?模擬預測）如圖1,在平面四邊形A8CD中,AB=1,BC=

瓜AC1CD,CD=<3AC，當變化時，令對角線BD取到最大值，如圖2，此時將ATlBC

沿4c折起，在將△A8C開始折起到與平面4CD重合的過程中,直斷嶼8所成角的余弦值

的取值范圍是（）

B'

cC

圖1圖2

A［。,啕B.唱］

【變式10-1】2.（2023?廣東茂名?茂名市第一中學?？既＃┰谌忮FP-ABC中，PC1

平面ABC,AB=1,ZC=遮，PB=，乙4BP=90。,點M在該三棱錐的外接球O的

球面上運動，目滿足乙4MC=60。,則三棱錐M-4PC的體積最大值為（）

A這B5舊QA/3D

.2664

【變式10-1】3.（多選）（2023春?安徽?高三安徽省定遠中學校考階段練習）圖1中的掃地

機器人的外形是按照如下方法設計的：先畫一個正三角形，再以正三角形每個頂點為圓心，

以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形彳惠國工程師勒洛首先

發(fā)現(xiàn)這個曲邊三角形能夠像圓一樣當作輪子用，故稱其為“勒洛三角形".將其推廣到空間，

如圖2類似地以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分

圍成的幾何體便稱為"勒洛四面體".則下列結論正確的是（）

A.若正三角形的邊長為2,則勒洛三角形面積為2TT-2我

B.若正三角形的邊長為R,勒洛三角形的面積比其中間正三角形的面積大空湃廢

C.若正四面體的棱長為2,則勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-日

D.若正四面體的棱長為2,勒洛四面體表面上交線4c的長度小于fir

【變式10-1】4.（多選）（2023?全國?高三專題練習）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特

的幾何體，"勒洛四面體"就是其中之一.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以

正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分.如圖，在勒洛四面體中，正四面體力BCD的棱

長為4,則下列結論正確的是（）

A

A.勒洛四面體ABC。最大的截面是正三角形

B.勒洛四面體ABC。的體積大于正四面體4BCD的體積

C.勒洛四面體4BCD被平面28C截得的截面面積是8（TI-8）

D.勒洛四面體4BCD四個曲面所有交線長的和為8TT

【變式10-1】5.（2023秋?遼寧?高三東北育才學校校聯(lián)考開學考試）四面體A-BCD的體

積是V,4B=a,AC=6,4。=c,CD=p,DB=r,BC=q,則其外接球半徑R為___.

【變式10-1】6.（2023秋?湖南湘潭?高三湘鋼一中?？奸_學考試）在448C中,^BAC==,

AB=2,AC=1,點。為邊8c邊上一動點，將448。沿著4。翻折，使得點8到達夕，且平

面4夕。1平面2CD,則當夕C最小時，CD的長度為.

題型11正余弦定理與解析幾何

22

【例題】（?陜西寶雞?？家荒＃┮阎獧E圓營+號=，&尸2為兩個焦點為原點,

112023yo1,0

P為橢圓上一點，COSN&P&=|,則附|=（）

A/B.叵C—D.叵

5252

【變式11-1】1.（2023?安徽安慶?安慶一中?？寄M預測）已知6/2分別是雙曲線C：5-

§=l（a>0,b>0）的左、右焦點，過點?2作直線481&4交。于48兩點.現(xiàn)將C所在平面

沿直線6尸2折成平面角為銳角a的二面角，如圖，翻折后4B兩點的對應點分別為4