高等代數(shù)課件：初等方陣

2矩陣的初等變換與初等方陣3第六節(jié)初等方陣n階方陣可逆的充要條件4逆矩陣的計(jì)算1初等方陣與初等變換5兩同型矩陣可逆的充要條件6練習(xí)1、定義定義單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等方陣.初等方陣的分類：與初等變換對(duì)應(yīng)，可分為三類⑴兩行(列)互換ij一、

初等方陣與初等變換例⑵第i行(列)乘以非零數(shù)k例一、

初等方陣與初等變換⑶第j行的k倍加到第i行或者第i列的k倍加到第j列ij一、

初等方陣與初等變換2、初等方陣的性質(zhì)⑴行列式⑵關(guān)于逆矩陣：初等方陣都可逆，且初等變換初等方陣初等逆變換初等逆矩陣一、

初等方陣與初等變換例2、初等方陣的性質(zhì)一、

初等方陣與初等變換定理：對(duì)⑴施行一次初等行變換，等于A左乘相應(yīng)的m階初等方陣；⑵施行一次初等列變換，等于A右乘相應(yīng)的n階初等方陣；二、

矩陣的初等變換與初等方陣?yán)?/p>

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矩陣的初等變換與初等方陣二、

矩陣的初等變換與初等方陣二、

矩陣的初等變換與初等方陣二、

矩陣的初等變換與初等方陣練習(xí)：2004數(shù)一4分題.設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A)(B)(C)(D)D二、

矩陣的初等變換與初等方陣定理：n階方陣A可逆A能表示為若干個(gè)初等方陣的乘積.證明設(shè)A可逆，則A是滿秩矩陣，則有即A可經(jīng)過有限次初等行變換(設(shè)s次)和有限次初等列變換(設(shè)t次)變?yōu)镋，即存在n階初等方陣(行變換)和(列變換)，使得又因?yàn)槎际浅醯确疥嚕越Y(jié)論成立.三、n階方陣可逆的充要條件設(shè)有初等方陣使兩邊取行列式所以A可逆.用初等行變換求方陣A的逆陣.兩式合之，有三、n階方陣可逆的充要條件[說明]:．同時(shí)化為時(shí)，化為設(shè)法把－111211AEEA,,,,---sPPPL即，用這種方法求逆陣時(shí)，不用事先判斷是否可逆.方法一：根據(jù)逆矩陣的惟一性，利用待定系數(shù)法；四、

逆矩陣的計(jì)算方法二：伴隨矩陣法；方法三：利用初等變換。例１

解四、

逆矩陣的計(jì)算四、

逆矩陣的計(jì)算注意：1.必須始終是初等行變換，不能夾雜列變換；2.若出現(xiàn)全行為0，則矩陣不可逆；3.用初等行變換求逆矩陣的方法，可用于求四、

逆矩陣的計(jì)算即初等行變換例2四、

逆矩陣的計(jì)算解法一由例1知A可逆，直接求.解法二四、

逆矩陣的計(jì)算四、

逆矩陣的計(jì)算列變換列變換四、

逆矩陣的計(jì)算進(jìn)一步討論A與B的互相表示證定理階矩陣存在m階可逆方陣P和n階可逆方陣Q，使得.四、

兩同型矩陣等價(jià)的充要條件所以存在m階初等方陣和n階初等方陣，使得四、

兩同型矩陣等價(jià)的充要條件關(guān)于方陣可逆性的等價(jià)命題設(shè)A

為n階方陣，則逆否命題成立

A可逆detA

0A不可逆

detA＝0

A非奇異

A奇異

A滿秩

rankA<n

齊次方程組

Ax=0只有零解

有非零解

A的行(列)向量組線性無關(guān)

線性相關(guān)

A與En等價(jià)

與En不等價(jià)

A經(jīng)有限次行(列)初等變換

……

可化為單位矩陣

A可表為若干初等方陣乘積

……

A沒有零特征值

有零特征值

A*

可逆

A*

不可逆

AT可逆

AT不可逆五、

練習(xí)2、設(shè)A是n階可逆方陣，將A