《柯西中值定理的證明3400字》

柯西中值定理的證明綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u5665柯西中值定理的證明綜述 116501.1柯西中值定理概述 1322971.2柯西中值定理的幾種證明方式 1131701.2.1利用羅爾定理證明柯西中值定理 269061.2.2利用反函數(shù)證明柯西中值定理 3307651.2.3利用坐標(biāo)變換證明柯西中值定理 4264681.2.4利用迭加法證明柯西中值定理 6324481.2.5利用待定系數(shù)法證明柯西中值定理 7238961.2.6利用行列式法證明柯西中值定理 862651.2.7利用閉區(qū)間套定理證明柯西中值定理 9213841.3對其他證明方式的思考 10柯西中值定理比羅爾定理和拉格朗日中值定理更具一般性，故具有更廣泛的應(yīng)用．本文先從羅爾定理和拉格朗日定理出發(fā)探究柯西中值定理一般證明方法，接著對其他證明方法作進(jìn)一步的探究．1.1柯西中值定理概述柯西(Cauchy)中值定理[9]如果函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在內(nèi)至少有一點，使下面等式成立：．該定理也可表述為：設(shè)函數(shù)，滿足：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；和不能同時為；，那么在內(nèi)至少存在一點，使得成立[15]．其幾何意義為：以參數(shù)的形式表明，對于給定了兩端點的光滑曲線，在曲線上必存在一點，使曲線在該點的切線平行于兩端點的連線[3]．1.2柯西中值定理的幾種證明方式柯西中值定理的證明方法大多都可從2.2拉格朗日中值定理的證明方法中汲取靈感，把兩者放在一起對比思考，將會給我們帶來更加深刻地體會．1.2.1利用羅爾定理證明柯西中值定理1．利用原函數(shù)法證明柯西中值定理可與2.2.2作差法進(jìn)行對比，不難發(fā)現(xiàn)兩者的區(qū)別就是用函數(shù)去替換．類比作差法中的構(gòu)造方式，我們可簡單構(gòu)造出滿足羅爾中值定理條件的函數(shù)，如下：，故存在，使得，又因為，故可將上式改寫為即可證得柯西中值定理[15]．2．用常數(shù)值結(jié)構(gòu)設(shè)輔助函數(shù)這種證明方法與用原函數(shù)構(gòu)造法的區(qū)別只是常數(shù)項的有無，但因為對常數(shù)項求導(dǎo)后為零，故并不影響所構(gòu)造的輔助函數(shù)最后的證明．證明要證明在內(nèi)存在一點，使得．首先，設(shè)(為常數(shù))，則，令，則，，即，故而滿足羅爾定理的條件，則至少存在一點，使得，即，所以[16]．1.2.2利用反函數(shù)證明柯西中值定理根據(jù)柯西中值定理中對函數(shù)的基本要求，以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．易證得，函數(shù)在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)，不妨設(shè)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加．下面給出簡單的證明：用最常用的方法，可令，且，根據(jù)閉區(qū)間上個函數(shù)的連續(xù)性可知，從而得出：，當(dāng)時有，由為閉區(qū)間內(nèi)的任意值，可得出在區(qū)間上恒成立，故在上嚴(yán)格單調(diào)遞增．同理在另一種情況下在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞減．接下來對柯西中值定理進(jìn)行證明，根據(jù)反函數(shù)存在定理以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在定理，可令，，則在區(qū)間上，函數(shù)存在反函數(shù)，而且滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，由上文可得出函數(shù)在閉區(qū)間上，也是嚴(yán)格單調(diào)的，不妨設(shè)其嚴(yán)格單調(diào)增加．可以考慮定義在閉區(qū)間上的復(fù)合函數(shù)，并且根據(jù)上文可知在上滿足拉氏定理的條件，即在開區(qū)間內(nèi)存在至少一個，使得：，再根據(jù)反函數(shù)之間的聯(lián)系，在開區(qū)間內(nèi)存在一點，使得，此時有：聯(lián)立上兩式即可得出結(jié)論[15]．1.2.3利用坐標(biāo)變換證明柯西中值定理1．利用參數(shù)方程法證明柯西中值定理拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一種特殊情況，即當(dāng)時，柯西中值定理為拉格朗日中值定理．倘若換一個角度，把，看成平面上某條曲線的參數(shù)方程，即可表示為，易知在閉區(qū)間(或者)上連續(xù)，在開區(qū)間(或者)上可導(dǎo)，由拉氏定理可知，曲線上存在一點過該點的曲線斜率等于曲線兩端的斜率．設(shè)對應(yīng)于，則由參數(shù)形式的求導(dǎo)公式，有，即柯西中值定理[15]．2．利用坐標(biāo)變換法證明柯西中值定理根據(jù)上述參數(shù)方程法中的構(gòu)造方式進(jìn)行構(gòu)造：，由柯西中值定理的幾何意義可知此參數(shù)方程的圖像是二維直角坐標(biāo)系中一條平滑的曲線，令該曲線為并且，分別為曲線兩個端點的坐標(biāo)．由圖1所示，現(xiàn)將坐標(biāo)軸逆時針旋轉(zhuǎn)至直線平行于橫坐標(biāo)軸得到坐標(biāo)軸，此時曲線在軸上的投影范圍為．令兩個軸與軸的正向夾角為，．圖SEQ圖\*ARABIC1坐標(biāo)變換旋轉(zhuǎn)圖重新定義新坐標(biāo)系下曲線上任意一點坐標(biāo)為：，其中．根據(jù)新坐標(biāo)從新定義在新坐標(biāo)系下的參數(shù)方程為：，不難看出，在開區(qū)間內(nèi)，和均可導(dǎo)．由圖亦可看出該參數(shù)方程在的情況下定義區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，故在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，有：，，綜上，得出：，柯西中值定理得證[15]．將這個坐標(biāo)變換法與2.2.4中的坐標(biāo)變換法進(jìn)行對比，可以看出它們所用到的思路都是一樣的．本質(zhì)上都是將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)至與曲線的兩端點連線平行，顯然其滿足羅爾定理，再通過一系列的變換推導(dǎo)就可得出結(jié)論．這種方法可以很直觀的看出三種微分中值定理幾何意義上的差別與聯(lián)系．1.2.4利用迭加法證明柯西中值定理考慮到柯西中值定理在下即為拉氏定理，則可仿照2.2.5中證明拉氏定理的迭代法思路，給出柯西中值定理的證明．在閉區(qū)間內(nèi)，設(shè)想輔助函數(shù)是與一個含待定系數(shù)的關(guān)于的一次函數(shù)的迭加，即．在其中，為待定系數(shù)，并且，都滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，恒不為零．此時令，可以得到，為任意實數(shù)．從而可考慮引入輔助函數(shù)：，其中為任意實數(shù)．這時滿足羅爾定理的條件．故在開區(qū)間內(nèi)，存在一點，使得，代入上式可得：，又由在開區(qū)間上恒成立，通過化簡可得，從而柯西中值定理得以證明[17]．1.2.5利用待定系數(shù)法證明柯西中值定理相比于上述迭加法中所作的輔助函數(shù)，待定系數(shù)法則選用更一般的形式，為，其在開區(qū)間內(nèi)一點處的導(dǎo)數(shù)具有形式．同時，都滿足柯西中值定理的條件．此時考慮使?jié)M足羅爾定理條件，從而確定出．令，得，整理可得，其中，可在實數(shù)范圍內(nèi)任意取值，將用替換掉后，考慮函數(shù)：，其中，為任意實數(shù)．此時，其與上述方法同理，在滿足羅爾定理的條件下，可輕易證得柯西中值定理，具體的證明過程不再贅述[18]．1.2.6利用行列式法證明柯西中值定理通過2.2.6所展示的行列式法中最后給出的推廣，考慮構(gòu)造行列式：，若，都滿足基本條件，恒不為零．則在，時恰恰為零，不難得出函數(shù)滿足羅爾定理條件，故將函數(shù)以第一行展開，可得：，最終展開可得，利用羅爾定理可得，在開區(qū)間內(nèi)存在一點，使得，整理一下：，從而柯西中值定理得證[19]．利用行列式構(gòu)造的方法還有很多，可以類比2.2.6中二次的行列式進(jìn)一步構(gòu)造，但是具體的過程太過復(fù)雜，在此就不作詳細(xì)說明了．1.2.7利用閉區(qū)間套定理證明柯西中值定理這種方法與2.2.7同樣是利用閉區(qū)間套定理來證明，都是不需要構(gòu)造輔助函數(shù)的．用到的還是那些閉區(qū)間套的定義、定理、引理．但是因為拉格朗日中值定理畢竟只是柯西中值定理的一種較為特殊的情況，所以需要在2.2.7所用到的引理上作更進(jìn)一步的擴(kuò)展．我們可以把2.2.7中的引理2擴(kuò)展為以下所述的引理3：引理3[15]設(shè)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，且是單射，則存在，且，使．證明設(shè)，首先需要證明，當(dāng)時，．現(xiàn)反向假設(shè)，根據(jù)2.2.7中的引理2，易得存在，，有，成立．因，故可得，則有，此時可在區(qū)間上再一次利用引理2，不難得到有．以此類推，對引理2進(jìn)行多次重復(fù)利用，就可以得到一個閉區(qū)間套，并且該閉區(qū)間套滿足，同時有．根據(jù)閉區(qū)間套定理，知道可以有存在，使成立．再根據(jù)2.2.7中的引理1可得：，與相矛盾，由上述引理3，可知存在，并且有，使得下式成立：．在此基礎(chǔ)上重復(fù)利用引理3，最后易得閉區(qū)間套，并且滿足，使得成立．綜上，根據(jù)閉區(qū)間套定理可知存在，使得．最后根據(jù)2.2.7中的引理1有：成立，即柯西中值定理成立得證[15]．1.3對其他證明方式的思考達(dá)布定理[3]在開區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，(1)若滿足條件，，則有，使得．(2)現(xiàn)設(shè)，，則對介于與之間的數(shù)有點介于與之間，且．通過拉格朗日中值定理可以得到有以下命題成立：命題[15]設(shè)函數(shù)在開區(qū)間上可導(dǎo)，對，有(或)，則在上嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)．初步了解了以上定理、命題之后，我們開始對柯西中值定理進(jìn)行具體的證明：證明首先構(gòu)造函數(shù)：，毋庸置疑函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足羅爾定理的條件．但是我們可以從另一個角度用達(dá)布定理證明在區(qū)間內(nèi)存在一點，使．現(xiàn)假設(shè)對一切，，由達(dá)布定理易知，只存在兩種情況，不是，就是．當(dāng)時，則根據(jù)上述命題易知在開區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，又因函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，故函數(shù)在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增．所以有這與羅爾定理中的條件矛盾．同理，當(dāng)時同樣可推出矛盾，故有，即成立[20]．上述方法用到了反證法的思想，下面這種方法也是一樣的．先給出達(dá)布定理的另一種表達(dá)形式：達(dá)布定理[16]如果函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并且有，不妨設(shè)，則對于任何滿足的常數(shù)，必存在一點，使得．證明設(shè)曲線的參數(shù)方