高考總復(fù)習(xí)課程-高考數(shù)學(xué)尖子生拔高課程（文）課后練習(xí)第19講數(shù)列的生成函數(shù)

第19講數(shù)列的生成函數(shù)已知數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且滿足：，．證明：．?dāng)?shù)列中，，(為常數(shù)，)，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）比較與的大小，并加以證明．已知數(shù)列對任意的滿足:，則稱為“Z數(shù)列”．(1)求證：任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”；(2)已知正數(shù)列，若數(shù)列是“Z數(shù)列”，數(shù)列是否可能是等比數(shù)列，說明理由，構(gòu)造一個數(shù)列，使得是“Z數(shù)列”；(3)若數(shù)列是“Z數(shù)列”，設(shè)求證．已知函數(shù)對任意的實數(shù)(1)，n∈N*，，設(shè)且為等比數(shù)列，求的值；(2)在(1)的條件下，設(shè)證明：(i)對任意的，；(ii)，．已知數(shù)列滿足，EQ．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：．對于任意的，若數(shù)列同時滿足下列兩個條件，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”：①；②存在實數(shù),使得成立．(1)數(shù)列、中，、()，判斷、是否具有“性質(zhì)”；(2)若各項為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且,，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”；(3)數(shù)列的通項公式()．對于任意且，數(shù)列具有“性質(zhì)”，求實數(shù)的取值范圍．

第19講數(shù)列的生成函數(shù)見詳解．詳解：1°當(dāng)n=0時，∴a0＜a1＜2，命題正確．

2°假設(shè)n=k時有ak1＜ak＜2．則n=k+1時，而ak1ak＜0．4ak1ak＞0，∴akak+1＜0．

又∴n=k+1時命題正確．

由1°、2°知，對一切n∈N時，有an＜an+1＜2．（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）見詳解．詳解：（Ⅰ）由，得，解得，或（舍去）．（Ⅱ）證明：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，．因為，所以，即()．下面證明：對于任意，有成立．當(dāng)時，由，顯然結(jié)論成立．假設(shè)結(jié)論對時成立，即因為，且函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以．即當(dāng)時，結(jié)論也成立．于是，當(dāng)時，有成立．（Ⅲ）由，可得，從而．因為，所以因為，由（Ⅱ）()．由及，經(jīng)計算可得所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，由，得．見詳解．詳解：(1)設(shè)等差數(shù)列的首項，公差，所以任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”或者根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：所以任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”(2)假設(shè)為正數(shù)列，是“Z數(shù)列”，∵是“Z數(shù)列”，所以∴，所以不可能是等比數(shù)列等比數(shù)列只要首項公比其他的也可以：，等比數(shù)列的首項,公比,通項公式恒成立,補(bǔ)充說明：分析：,根據(jù)幾何意義只要的一階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減就可以(3)因為,,,同理：因為數(shù)列滿足對任意的所以(1)；(2)見詳解．詳解：(1)∵對于任意的x均成立,∴,即∵∴∴為首項,為公比的等比數(shù)列,∴．當(dāng),此時不是等比數(shù)列,∴∵成等比數(shù)列,∴成等比數(shù)列,∴．∵,，解得(2)在(1)的條件下,知,(i)==≤,∴原不等式成立．解法二(i)設(shè),則=∵；當(dāng)；當(dāng)取得最大值∴原不等式成立．(ii)由(i)知，對任意的x＞0，有=∴取)=,則．∴原不等式成立．見詳解．詳解：(Ⅰ)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)時，．所以結(jié)論成立．(2)假設(shè)時結(jié)論成立，即，則．所以．即時,結(jié)論成立．由(1)(2)可知對任意的正整數(shù)，都有．(Ⅱ)證明：．因為，所以，即．所以．（1）不具有“性質(zhì)”；具有“性質(zhì)”；（2）見詳解；（3）．詳解：(1)在數(shù)列中，取，則，不滿足條件①，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)”；在數(shù)列中，，，，，，則,,，所以滿足條件①；()滿足條件②,所以數(shù)列具有“性質(zhì)”(2)由于數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列,則公比,將代入得：,解得或(舍去)所以,,對于任意的，且所以數(shù)列滿足條件①和②,所以數(shù)列具有“性質(zhì)”(3)由于,則,由于任意且,數(shù)列具有“性質(zhì)