2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專練：相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型

專題19相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型

相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，

是中考的?？碱}型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）86V）字模型.

A字型和8（X）字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過分割點(diǎn)（將線段分割的點(diǎn)）作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行

線，有的是間接作平行線（倍長(zhǎng)中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點(diǎn)在?？贾袩o論小題還是大題

都是屢見不鮮的。

模型1.“A”字模型

【模型解讀與圖示】

“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等

或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似.

E

ADAEDE

1）字模型條件：如圖1,DE//BC；結(jié)論：AADEsAABC=羸=M=氤-

2）反字模型條件：如圖2,NAEO=NB；結(jié)論：△AOESAACB考=第=等.

/1CADnC

3）同向雙字模型

xzza.xRTi,j,EGFGAG

條件：如圖3,EF//BC-,結(jié)論：AA￡G^AABD,AAGF^AADC^——=——=——

BDCDAD

例L（2023?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,

BC,CD,AE＞上的點(diǎn)，且BE=BF=CG=AH,若菱形的面積等于24,BD=8,則/+G"=

rG

【答案】6

【分析】連接AC,交2。于點(diǎn)。，由題意易得AC=6,AC1BD,AO=3,30=4,則有AB=AD=5,

然后可得跖〃AC〃GH,設(shè)BE=BF=CG=AH=a,貝U有。"=5-。，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)

行求解.

【詳解】解：連接AC,交BD于點(diǎn)O,如圖所示:

團(tuán)四邊形A3CD是菱形，BD=8,回AB=BC=AD=CD,AC1BD,AO=OC=-AC,BO=OD=-BD=4,

22

1as菱形ABCD=gAC-BO=24,0AC=6,回A0=3,AB=y/AO2+BO2=5=AD>

BEBF

國(guó)BE=BF=CG=AH,⑦AE=CF=DH=DG,團(tuán)——=——，團(tuán)石尸〃AC,同理可得GH〃AC,

AECF

設(shè)BE=BF=CG=AH=a,貝1J有OH=5—a,

BEEFaEF6

團(tuán)石廠〃AC,lEABEF^ABAC,團(tuán)一=—,即一=——，^\EF=-a,

BAAC565

同理可得空="，即?="，0GH=6-fa,0EF+GH=6；故答案為6.

DACA565

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)

與判定是解題的關(guān)鍵.

例2.(2023?安徽?九年級(jí)期末)如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，AD=3,BD=1,

AF

AE=2,EC=4.(1)求證：NAOE=NC；(2)若/&IC的平分線交OE于點(diǎn)憶交BC于點(diǎn)G,求一.

FG

【分析】⑴證明器=|《黑冷，可得若=卷結(jié)合C皿從而可得結(jié)論;

（2）由（1）可得△ZMES^GR,可得NADE=NC,證明NDLF=NC4G,可得&AD尸S.ACG,再利用

相似三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】（1）解：回40=3,BD=1,AE=2,EC=4,

，「，L-L,AE21AD31AEAD

0AB=AD+BD=4,AC-AE+CE-6.0——■=—=—>—=-=0——=,

ABA2AC62ABAC

y^ZDAE=ZCAB,0AZME^>AC4B,國(guó)ZADE=NC.

（2）由（1）可得△ZMES^C4B,0ZAZ）E=ZC,又ElAG平分NBAC,SZDAF=ZCAG,

AFAD1AF,

0ADF^.ACG,0-----=-----=一，0-----=1.

AGAC2FG

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定方法是解本題關(guān)鍵.

例3.（2022?山東東營(yíng)?中考真題）如圖，在ABC中，點(diǎn)RG在BC上，點(diǎn)E、X分別在A3、AC上，四

邊形EFGH是矩形，EH=2EF,AD是ABC的高.BC=8,AO=6,那么E”的長(zhǎng)為

【答案】y##4.8

【分析】通過四邊形EFGH為矩形推出即〃笈，因此0AEH與EABC兩個(gè)三角形相似，將AM視為0AE”的

高，可得出第AM=箸FH，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案.

ADBC

【詳解】團(tuán)四邊形EFGH是矩形，QEH〃BC,0AEF^ABC,

^AM和AD分別是0AEH和EIABC的高,

AMEH…?

回=,DM=EF,^AM=AD-DM=AD-EF=6-EF

ADBCf

6-EF2EF

⑦EH=2EF,代入可得:解得打二不,

6

SEH=2x1^2=^24-,故答案為：y24

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

例4.（2022?浙江寧波?中考真題）（1）如圖1,在「ABC中，D,E,F分別為AB,AC,BC上的點(diǎn)，

DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)、G,求證：DG=EG.

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接C9CG.^CG±DE,CD=6,AE=3,求的值.

BC

⑶如圖3,在，ABCZ(中，ZADC=45o,AC與5。交于點(diǎn)0,E?為A0上一點(diǎn)，EG〃BD交AD于點(diǎn)、G,EF1EG

交2C于點(diǎn)F.若NEG尸=40。，/G平分NEFC,尸G=10,求郎的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見詳解⑵;⑶5+5g

【分析】(1)利用OE〃臺(tái)C,證明△AOGAABF4EGAACF,利用相似比即可證明此間；

r)p

(2)由(1)得DG=EG,CGLDE,得出&QCE是等腰三角形，利用三角形相似即可求出”的值；

(3)遵循第(1)、(2)小問的思路，延長(zhǎng)GE交于點(diǎn)M,連接施，作MNJLBC,垂足為N.構(gòu)造出

等腰三角形、含30。、45。角的特殊直角三角形，求出BN、FN的值，即可得出砥的長(zhǎng).

(1)解：SDE//BC,0AADG△ABF4EGAACF,

DGAGEGAGDGEG……

El-----=-----,-----=-----,0------=-----.0BF=CF,0DG=EG.

BFAFCFAFBFCF

⑵解：由(1)得DG=EG,SCG1DE,回CE=CD=6.

DEAE1

0AE=3,0AC=AE+CE=9.SDE//BC,0ADEABC.0一=一=-.

BCAC3

(3)解：如圖，延長(zhǎng)GE交AB于點(diǎn)M,連接月l/,作MN_L3C,垂足為N.

A_________G___________n

在，ABC。中，BO=DO,ZABC=ZADC=45°.^\EG//BD,回由（1）得ME=GE,

@EF上EG

團(tuán)ZE6F=40。，^\ZEMF=40°,BZEFG=50°.

0FG平分ZEFC,回Z.EFG=/CFG=50°,0ZBFM=180°-ZEFM-ZEFG-ZCFG=30°.

0.在及FMN中,MN=FMsin30°=5,FN=FMcos30°=573.

0ZMBN=45°,MN1.BN,0BN=MN=5,0BF=BN+FN=5+5也.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解特殊的直角三角形等知識(shí)，

遵循構(gòu)第（1）、（2）小問的思路，構(gòu)造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

例5.（2023?安慶一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E、F分別在邊8C、AB.CA±,MDE//CA,DF//

AB.（1）若點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，且8E=C尸，求證：OE=OF；（2）若AO_L8C于。，且3。=。，求證：

四邊形AEOE是菱形；（3）若AE=AF=L求工+」-的值.

ABAC

【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)和平行兩個(gè)條件可得中點(diǎn)，從而可得。E是AABC的中位線，進(jìn)而可得?！?FC,同

理可得。尸=2￡,即可解答；（2）根據(jù)已知易證四邊形AEDF是平行四邊形，再利用等腰三角形的三線合一

性質(zhì)可得NA4D=NC4D,然后利用平行線的性質(zhì)可得NCW,從而可得進(jìn)而可

得EA=E￡>,即可解答；（3）根據(jù)A字模型相似三角形可知△BEDS/XBAC,/\CDF^/\CBA,從而可得理

AC

=改，更=型，然后把兩個(gè)式子相加進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

BCABBC

【解答】（1）證明：：點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，DE//CA,

.?.點(diǎn)E是的中點(diǎn)，是△ABC的中位線，：.DE=^AC,

2

:點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，DF//AB,點(diǎn)/是AC的中點(diǎn)，

：.FC^—AC,:.DE=FC,同理可得：DF=BE,,:BE=FC,:.DE=DF；

2

（2）證明：：OE〃C4,DF//AB,四邊形AEDF是平行四邊形，

'：AD±BC,BD=CD,，AO是BC的垂直平分線，

J.AB^AC,：.ZBAD=ZCAD,\'DE//AC,：.ZEDA=ZCAD,

：.ZBAD=ZEDA,：.EA=ED,四邊形AEQF是菱形；

(3)\'DE//CA,:./EDB=/C,

?:/B=/B,.?.△BEDS/XBAC,DE=BD,-：DF//AB,:.NB=NFDC,

ACBC

???NC=NC,:.XCDFsXCBN,DF=CD,.?.些+更=理+型=即@=i,

ABBCACABBCBCBC

:四邊形AE。尸是平行四邊形，，OE=AF,DF=AE,

"：AE=AF=1,：.DE=DF=l,：.-l-+-L=l,.?.工+。的值為1.

ABACABAC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，分式

的化簡(jiǎn)求值，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及A字模型相似三角形的關(guān)鍵.

模型2.刃P字模型（"8”模型）

【模型解讀與圖示】

“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這

兩個(gè)三角形相似.

圖2

1）“8”字模型

,______ABOAOB

條件：如圖1,AB//CD；結(jié)論:△AOBs_Q「二QTT

2）反“8”字模型

條件：如圖2,ZA=ZZ）；結(jié)論：△4086/\。。。＜^^=果=點(diǎn)

3）平行雙“8”字模型

?,,AEBEAB

條件：如圖3,AB//CD；結(jié)論>A：---=----=----

DFCFCD

4）斜雙“8”字模型

條件：如圖4,Z1=Z2；結(jié)論：AAODsABOC,△AOBS/^DOCS3=/4.

例L（2022?遼寧?中考真題）如圖，在正方形A3CD中，E為AO的中點(diǎn)，連接3E交AC于點(diǎn)孔若AB=6,

則AEF的面積為.

【答案】3

【分析】由正方形的性質(zhì)可知AE=LAD=,AB=，BC=3,AD//BC,則有然后可得

222

FFAF1

:Zt4,進(jìn)而問題可求解.

BFBC2

【詳解】解：回四邊形ABCD是正方形，AB=6,

EFAE

^AD=BC=AB=6,AD/IBC,0AAEF(^ACBF,團(tuán)---=---,

BFBC

回石為AD的中點(diǎn)，^AE=-AD=-AB=-BC=3,

222

EFAE101-…八EF1回SAW=；S樨=3；故答案為3.

團(tuán)---=---=—,SARF——A.E-A.B=9,回---=一,

BFBC2ABE2BE3

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?黑龍江?哈爾濱九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB//CD,AE//FD,AE,ED分別交2C于點(diǎn)G,H,

CGAFHGFHBF

A.B.C.D.-----=------

FHBHDFCBCECGAGFA

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可.

DH「H

【詳解】解：她選項(xiàng)正確,不符合題目要求;

GECGEGDH

團(tuán)尸，回回CGE二團(tuán)。印九團(tuán)CEG二回O,^CEG^CDH,團(tuán)——=---,團(tuán)----二

DHCHCGCH

CHDHDHDFGEDFGECG

^AB/7CD,團(tuán)---=----,團(tuán)----=---,回---=---,回----=---,I3B選項(xiàng)正確,不符合題目要求;

CBDFCHCBCGCBDFCB

^AB//CD,AE//DF,回四邊形AED尸是平行四邊形，SAF=DE,

DEGHAFHG

^AE//DF^一=-----，團(tuán)--------；團(tuán)C選項(xiàng)正確，不符合題目要求;

CEGCCECG

FHBF

^\AE//DF,^IBFH^IBAG,回——=——

AGAB

FHBF

^AB>FA,團(tuán)——W—團(tuán)D選項(xiàng)不正確，符合題目要求.故選D.

AGFA

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式

是解此題的關(guān)鍵.

例3.(2021?上海?中考真題)如圖，在梯形ABCO中，AD〃BC,/A5c=90。,A￡>=CD。是對(duì)角線AC的中

點(diǎn)，聯(lián)結(jié)3。并延長(zhǎng)交邊8或邊AD于E.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，①求證：DAC^OBC-,②若BELCD,求一的值;

BC

(2)若DE=2,OE=3,求。。的長(zhǎng).

【答案】⑴①見解析；②g;(2)1+M或3+M

【分析】(1)①根據(jù)已知條件、平行線性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可推導(dǎo),

ZDAC=ZDCA=ZOBC=ZOCB,由此可得，DAC^cOBC■,

②若BE工CD,那么在RtBCE中，由N2=N3=N4.可得N2=N3=/4=30。，作。于X.設(shè)

An

AD=CD=2m,那么3"=AD=2%.根據(jù)30。所對(duì)直角邊是斜邊的一半可知C8=機(jī)，由此可得工廠的值.

BC

(2)①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，可得四邊形ABCE是矩形，^AD=CD=x,在RtACE和RtVOCE中，根據(jù)

CE2=CE2,列方程62-(X-2)2=X2-22求解即可.

②當(dāng)點(diǎn)￡在8上時(shí)，設(shè)AD=CD=x,由DACsOBC,得=,所以土=等所以變=占

OCBCmBCBC2m

EOEC_OC所以▲===空

由EOCS-ECB得—解出工的值即可.

ECx-2m+3CB

【詳解】(1)①由AD=CD,得/l=/2.

由AD//5C,得4=N3.

因?yàn)?。是Rt^ABC斜邊上的中線，所以O(shè)B=OC.所以/3=/4.

所以Nl=N2=N3=/4.所以DAC^OBC.

②若BELCD,那么在RtBCE中，由N2=N3=N4.可得N2=N3=/4=30。.

作于H.設(shè)AZ)=CD=27”,那么BH=AZ)=2〃2.

在RtZiDCHr中，ZDCH=60°,DC=2m,所以C〃=m.

A7~)OmO

所以BC=BH+CH=3m.所以把=H=*.

BC3m3

(2)①如圖5,當(dāng)點(diǎn)E在AO上時(shí)，由AD/ABC,。是AC的中點(diǎn)，可得O3=OE,

所以四邊形ABCE是平行四邊形.又因?yàn)?ABC=90。，所以四邊形ABCE是矩形，

設(shè)AD=CD=x,己知DE=2,所以AE=x-2.己知OE=3,所以AC=6.

在RtACE和RtVOCE中，根據(jù)CE=CE?,列方程6?一(了/y=/一22.

解得x=l+J歷，或x=(舍去負(fù)值).

②如圖6,當(dāng)點(diǎn)E在C。上時(shí)，設(shè)AD=CD=x,已知OE=2,所以CE=x—2.

設(shè)05=0。=〃？，已知OE=3,那么EB=m+3.

、k.八八-ZRDCAC匕「7x20C

一方面，由DAC^OBC,得---=---,所以一=---所-以

OCBCmBCBC2m

另一方面，由N2=N4,N5EC是公共角，得EOCS-ECB.

EO=EC=OC3==="

ECEBCBx-2m+3CB

3x—23x/口x2-2x

等量代換，得由---，得m=

x-2m+32mx-22m6

丫2_3X_D

將機(jī)=三二三代入'=一,整理，得/一6元-10=0.

6x-2m+3

解得X=3+J13，或x=3-A/歷（舍去負(fù)值）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，斜邊上的中線，勾股定理等，能夠運(yùn)用相似三角形邊的

關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵.

例4.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，記△COD的面

.S.OC,OD

積為工，AO3的面積為邑.（1）問題解決：如圖①，若AB〃CD,求證：｝ca“

（2）探索推廣：如圖②，若43與C。不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)

說明理由.（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在Q4上取一點(diǎn)E,使OE=OC,過點(diǎn)E作跖〃CD交OD于點(diǎn)孔點(diǎn)

H為A3的中點(diǎn)，OH交所于點(diǎn)G,且OG=2GH,若竺=?，求答值.

OA6%

【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析：（3）—

54

【分析】（［）如圖所示，過點(diǎn)。作AHMC于E,過點(diǎn)B作BfBAC于尸，求出

DE=ODsinZDOE,BF=OBsinZBOF,然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；

（2）同（1）求解即可；

（3）如圖所示,過點(diǎn)A作AM//EF交OB于取中點(diǎn)N,連接HN,先證明回OE/詼OCQ,得到OD=OF,

QPOE5

證明回?！?回3。4/,得到——=—=-,^OE=OC=5m,OF=OD=5n,則。4=6〃*OM=6n,證明

OMOA6

315”3n

^OGF^OHN,推出ON=—0/=-BN=MN=ON-OM=—,貝ijOB=ON+3N=9〃，由（2）結(jié)論

222

求解即可.

【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)D作AES4c于E,過點(diǎn)8作于尸,

^DE=OD-sinNDOE,BF=OBsinZBOF,回SMCD=Si'=—22OC-DE=—OCOD-sinNDOE,

S

AAOB=S2=^OABF=^OAOB^sinZBOF,

C-OCODsinZDOE

S,2PCOP

團(tuán)團(tuán)。O￡二團(tuán)BO產(chǎn)，團(tuán)sinNDOE=sinZBOF團(tuán)」二彳-----------------

S2-OAOBsinZBOFOAOB

2

(2)(1)中的結(jié)論成立,理由如下：如圖所示，過點(diǎn)Z)作AE0AC于過點(diǎn)3作3m4c于尸,

團(tuán)DE=OD-sinNDOE,BF=OBsinZBOF,^\SA0CD=S=^OCDE=^OCOD-sinZDOE,

S^A0B=S2=^OABF=^OAOB-sinZBOF,

-OC-OD-sinZDOE.

dc_2_C/C?nOrD

^\DOE=^BOF團(tuán)sinZ.DOE=sinZBOF；1

fS]-OAOBsmABOFOAOB

2

(3)如圖所示，過點(diǎn)A作40〃EF交。8于M,取8M中點(diǎn)N,連接HN,

^EF//CD,00ODC=0OFE,0OCD=0OEF,

又?OE=OC,SQOEF^OCD(AAS),SOD=OF,

OFOE5

SEF//AM,aSOERl30AM,0——=一=一,

OMOA6

設(shè)OE=OC=5m,OF=OD=5n,則OA=6MOM=6n,

團(tuán)”是AB的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，團(tuán)“N是胤48M的中位線，

OGOF

0HN//AM//EF,回團(tuán)OGKZEOHN,團(tuán)---=---,

OHON

2or°F9

團(tuán)0G=2GH,回OG=—OH,回一=一二一，

3OHON3

315〃3〃

^\ON=-OF=——,BN=MN=ON-OM=—,@OB=ON+BN=9n,

222

S、OC-OD5m-5n25

由(2)可知八人c=N—Q~=7A-

S2OAOB6m-9n54

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中

位線定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

模型3."AV字模型（“A8”模型）

【模型解讀與圖示】

圖1圖2圖3

1）一“A”一“8”模型

ADAEDEDFFE

條件：如圖1,DE//BC-,結(jié)論：AADES^ABC,4DEFSACBFo——=——=——=——=——

ABACBCFCBF

2）兩“A”一“8”模型

條件：如圖2.,DE//AF//BC；結(jié)論：----1---=---

BCDEAF

3）四“A”一“8”模型

條件：如圖3,DE//AF//BC,----1-----=----=----；結(jié)論：AF=AG

BCDEAFAG

例L（2022?山東東營(yíng),中考真題）如圖，點(diǎn)。為二ABC邊AB上任一點(diǎn)，上〃3C交AC于點(diǎn)E,連接BE、CD

相交于點(diǎn)F,則下列等式中不或至的是（）

ADAEDEDFDEAEEFAE

______________D______________D.

DB~ECBC~FC~BC~~ECBF-AC

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D.

【詳解】解：^\DE//BC,

ADAE

團(tuán)---=---，^DEF^CBF,團(tuán)A。況團(tuán)ABC,故A不符合題意;

BDEC

DEDFEFDEAE

團(tuán)---=---=---,---=---故B不符合題意，C符合題意;

CBCFBFCBAC

FFAF

回與=等，故D不符合題意；故選C.

BFAC

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與

判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

例2.（2021?江蘇南京?中考真題）如圖，AC與BO交于點(diǎn)O,OA=OD,ZABO=ZDCO,E為BC延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFV/CD,交2。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)足

（1）求證八4。的△OOC；（2）若AB=2,BC=3,CE=1,求所的長(zhǎng).

Q

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=-

【分析】（1）直接利用"A4S"判定兩三角形全等即可；

（2）先分別求出BE和。C的長(zhǎng)，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）E=OD,ZABO=ZDCO,

又回ZAOB=ZDOC,0△AOBg△￡>OC（A45）；

（2）ISAAOB^/XDOC（AAS）,AB=2,BC=3,CE=1

^AB=DC=2,BE=BC+CE=3+1=4,

EFBE

QEFIICD,田aBEFs^BCD,國(guó)一=一，

CDBC

FF4R8

0^=j,回E尸的長(zhǎng)為］.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性質(zhì)等,

解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能結(jié)合圖形建立線段之間的關(guān)聯(lián)等，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的

幾何語(yǔ)言表達(dá)和對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用等.

例3.（2022.重慶九年級(jí)期中）如圖，與8C相交于點(diǎn)E,點(diǎn)廠在2。上，且A8〃跖〃C。，

求證：赤+而=麗,

證明：'：XB//EF,:ADEFsADAB,，弁=元3

/1JDLJD

EFBF

又,：EF〃CD,：?ABEFsABCD.；而=麗.

*，AB^~'CD=DB'l~BD=BD=1…通十而=而.

例4.(2022?安慶模擬)在四邊形A3CD中，對(duì)角線AC、相交于點(diǎn)O.

(1)如圖①，若四邊形A8CD為矩形，過點(diǎn)。作OE_LBC,求證：OE=LcD.

2

(2)如圖②，若AB〃CD,過點(diǎn)。作E尸〃A3分別交BC、于點(diǎn)E、F.求證：旦2厘=2.

ABCD

(3)如圖③，若0c平分NAOB,D、E分別為。4、。2上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)、M,作A/N〃03交。4于

一點(diǎn)N,若。。=8,OE=6,直接寫出線段MN長(zhǎng)度.

圖①圖②圖③

【分析】(1)由0E_L2C,DCLBC,可知EO〃CD,且02=。。，可得結(jié)論；

(2)由△。尸OsazMB,得耍LM,同理史O,延工U,股?，利用等式的性質(zhì)將比例式相加，

ABDBCDACABCACDBD

從而得出結(jié)論；(3)作。/〃OB交OC于點(diǎn)孔連接ER可知△OAF是等腰三角形，得00=0尸=8,由

LDMFs^EMO,可得EM=3DM，由△■OMNS/YDOE,得典從而得出答案.

4OEDE7

【解答】(1)證明：：四邊形ABCQ是矩形，是AC中點(diǎn)，ABLBC,

'：OE±BC,：.OE//AB,是中點(diǎn),?"1O￡=VCD；

(2)證明：'.'EF//AB,:.叢DFOs叢DAB,.-.12.^

ABDB

同珅OFAOOECOEOBO.FOOFOEEODOAOCOBO

CDACABCACDBDABCDABCDDBACCABD

.FO+OEEO-K)FAOKOBO+DO即EFEFn

ABCDACBDABCD

(3)解：作。P〃O8交OC于點(diǎn)尸，連接EF,

?；OC平分NA08,ZAOC^ZBOC,"JDF//OB,：.ZDFO=ZBOC=ZAOC,

...△0。尸是等腰三角形，：.DO=DF=8,,JDF//OE,：./\DMF^/\EMO,

.EMEOEO63.山―3….地=訓(xùn)=_DM_二

.?而而京寶工砂’"加+血飛鼻兒〒

,CMN//OE,:*叢DMNsXD0E,...皿■二，2V=_Z1.

OEDE7677

【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

對(duì)比例式進(jìn)行恒等變形是解題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2021?山東淄博?中考真題）如圖，A3,8相交于點(diǎn)￡,^ACIIEFIIDB,點(diǎn)CRB在同一條直線上.已

知AC=P,EF=r,DB=q,則，4"之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）

qrp

【答案】c

【分析】由題意易得△灰下S454C,,CEFycog,則有E黑F=BgF,E三F=C三F,然后可得F笠F+F笠F=1,

ACBCBDBCACHu

進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：^AC/IEFIIDB,HABEF^ABAC,CEF^CDB,

EFBFEFCFEFEFBFCF,

°ACBC1BDBC'QACBDBCBC'

rr111

國(guó)AC=P,EF=r,DB=q,0—+—=1,即一+—=—；故選C.

pqpqr

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?山西陽(yáng)泉?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形A3CD中，AB=AC,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)

E,DE=3BE,ACLAD,/ACB=75。，AE=3^，則對(duì)角線AC與3。的長(zhǎng)分別是（）

A.AC=46,BD=12y/3B.AC=9,BD=4曬C.AC=6,BD=84D.AC=8,BD=4y/19

【答案】D

【分析】過點(diǎn)8作30〃仞交AC于點(diǎn)O,證明aAEDs0￡g,可求得。石=石，AO=4也,根據(jù)勾股定

理求出3。的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出80的長(zhǎng).

【詳解】過點(diǎn)8作30〃AD交AC于點(diǎn)。，如圖所示：

D

A

0AC±AD,BO//AD,SZDAC^ZBOA=90°.

0ZA￡D=ZOEB,SAED^OEB,0—=—=—

DEAEDA

CLCCLEOBO1I-/-r-

^\DE=3BE0—=-=-.回AE=36，回OE二代，團(tuán)AO=4g.

f/1J

0AB=AC,ZACB=75°,回ZA5C=ZAC3=75°,0ZBAC=30°,0Afi=2SO.

222

在Rt^AOB中，BO+AO=AB,即（4省『十臺(tái)。？=（22?！?，解得：=0AS=AC=8.

I3OE=有，30=4,@BEABO'+OE?=曬，0Z）E=3B￡=3A/19,

國(guó)BD=BE+DE=4M.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股

定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)度.

3.（2023?福建福州??？级＃┰跀?shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，某學(xué)習(xí)小組計(jì)劃制作一個(gè)款式如圖所示的風(fēng)箏.在骨

架設(shè)計(jì)中，兩條側(cè)翼的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)AF=AC=50cm,風(fēng)箏頂角/B4C的度數(shù)為110。，在AB,AC上取，E

兩處，使得AD=M,并作一條骨架AF1DE.在制作風(fēng)箏面時(shí)，需覆蓋整個(gè)骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B,C

兩點(diǎn)間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：sin55°?0.82,cos55°?0.57,tan55°?1.43）

A.41cmB.57cmC.82cmD.143cm

【答案】C

【分析】設(shè)■與OE交于點(diǎn)G,連接BC,交"于點(diǎn)“，根據(jù)已知易證△ADES^MC,然后利用相似

三角形的性質(zhì)可得44DE=NTWC,從而可得DE〃BC,進(jìn)而可得BCLAF,再利用等腰三角形的三線合

一性質(zhì)可得3c=2BH,ZBAH=^ZBAC=55°,最后在Rt,ZAH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng),

即可解答.

【詳解】解：設(shè)AF與。E交于點(diǎn)G,連接BC,交AF于煎H,

ADAE

AD=AE,AB=AC,

AB-AC

ZDAE=ZBAC,:.AADEs/\ABC,.\ZADE=ZABC,：,DE//BC,

AFLDE,：.BCLAF,AB=AC,AFIBC,:.BC=2BH,NBAH=；NBAC=55。,

在RtBAW中，AB=50cm,=ABsm55°?50x0.82=41cm,

:.BC=2BH=82cm,：.B，C兩點(diǎn)間的距離大約是82cm,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添

加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?湖北十堰?中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm,用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和8。相等）

可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑A8.如果OA：OC=OB：?！?gt;=3,且量得CZ）=3cm,則零件的厚度x為（）

A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm

【答案】B

【分析】求出AAOB和ACOD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算求出AB,再

根據(jù)外徑的長(zhǎng)度解答.

【詳解】解：EGA：OC=OB：。。=3,BAOB^COD,

EBAOBaaCOD,0AB：CD=3,0AB：3=3,EIAB=9(cm),

團(tuán)外徑為10cm,019+2x=lO,Ex=0.5（cm）.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng).

5.（2022?湖南懷化?中考真題）如圖，13ABe中，點(diǎn)。、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若以ADE=2,則SAABC=

DF1

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求得。物BC,—從而求得加。國(guó)財(cái)8C,然后利用相似三角形的性質(zhì)

BC2

求解.

【詳解】解：回。、E分別是A8、47的中點(diǎn)，則DE為中位線,

所以DE08C,絲=：所以蜘DEHMBC0導(dǎo)匹=（黑了=）

BC23ABCbe4

EISZADE=2,EIS448c=8故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查中位線及平行線性質(zhì)，本題難度較低，主要考查學(xué)生對(duì)三角形中位線及平行線性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)的掌握.

6.（2023?廣東梅州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，點(diǎn)、F、G在3c上，點(diǎn)區(qū)”分別在AB、AC上,

AO是ABC的高，3c=15,AD=5,那么E”的長(zhǎng)為.

【答案】6

【分析】通過四邊形EFGH為矩形推出E"〃2C,因此與