2024年中考數(shù)學題型突破：綜合探究題之與折疊有關的探究題（專項訓練）（學生版）

類型三與折疊有關的探究題（專題訓練）

1.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1,在二ABC中，AB=AC=11,5c=30,

AD是BC邊上的中線.如圖2,將ABC的兩個頂點2,C分別沿折疊后均與點。

重合，折痕分別交A民AC,8c于點E,G,F,H.

猜想證明：

（1）如圖2,試判斷四邊形AEDG的形狀，并說明理由.

問題解決；

⑵如圖3,將圖2中左側折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點8與點H重合,

折痕分別交A3,3C于點N,的對應線段交DG于點K,求四邊形MKG4的面積.

2.在我們學習過的數(shù)學教科書中，有一個數(shù)學活動，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作

60。,30。,15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步:對折矩形紙片ABCD，使與重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖13-1）.

第二步：再一次折疊紙片，使點A落在所上，并使折痕經(jīng)過點6,得到折痕比0,同時

得到線段8N（如圖13-2）.

猜想論證:

（1）若延長交于點P,如圖13-3所示，試判定，5Alp的形狀，并證明你的結論.

拓展探究：

（2）在圖13-3中，若=a,BC=b，當a,〃滿足什么關系時，才能在矩形紙片ABC。

中剪出符（1）中的等邊三角形BMP?

3.（2023?遼寧大連.統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

問題情境：數(shù)學活動課上，王老師給同學們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質.

已知AB=AC,NA>90。，點E為AC上一動點，將一ABE以物為對稱軸翻折.同學們經(jīng)過

思考后進行如下探究:

獨立思考：小明：“當點。落在上時，ZEDC=2ZACB.”

小紅：”若點E為AC中點，給出AC與。C的長，就可求出BE的長.

實踐探究：奮進小組的同學們經(jīng)過探究后提出問題1,請你回答：

問題1：在等腰ABC中，45=47,44>90。,43。6由.鉆石翻折得到.

（1）如圖1,當點。落在8C上時，求證：NEDC=2ZACB；

（2）如圖2,若點E為AC中點，AC=4,CD=3,求BE的長.

問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成NA<90。的等腰三角形，可

以將問題進一步拓展.

問題2：如圖3,在等腰ASC中，ZA<90°,AB=AC=BD=4,2ZD=ZABD.若C￡>=1,

則求BC的長.

4.（2021?山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題:

如圖①，在，ABCD中，BE±AD,垂足為E,歹為CD的中點，連接所，BF,試

猜想所與3尸的數(shù)量關系，并加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將，ABCD沿著BF（產(chǎn)為CD的中點）所在

直線折疊，如圖②，點C的對應點為C',連接DC并延長交A3于點G,請判斷AG與BG

的數(shù)量關系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將「A6CD沿過點6的直線折疊，如圖③，點A的對

應點為4,使于點折痕交A。于點“，連接A'4,交CD于點、N.該

小組提出一個問題：若此ABCD的面積為20,邊長AB=5,BC=2小,求圖中陰影部

分（四邊形8HNM）的面積.請你思考此問題，直接寫出結果.

5.（2023?廣西?統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】

折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘.

【動手操作】如圖1,將矩形紙片A5co對折，使與8C重合，展平紙片，得到折痕所;

折疊紙片，使點8落在所上，并使折痕經(jīng)過點A,得到折痕40,點、B,E的對應點分別

為B',E',展平紙片，連接ABLBB'，BE'.

（圖1）

請完成：

⑴觀察圖1中Nl,N2和/3,試猜想這三個角的木個去系；

⑵證明(1)中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片ABC。的邊AD上的一點，連接BN,在AB上取一點尸,

折疊紙片，使2,尸兩點重合，展平紙片，得到折痕EF;折疊紙片，使點8,P分別落在E尸,

BN上,得到折痕/，點尸的對應點分別為8',P',展平紙片，連接，PB'.

請完成：

(3)證明BB'是NNBC的一條三等分線.

6.(2022?重慶市A卷)如圖，在銳角aABC中，NA=60。，點D,E分別是邊AB,AC上一動

點，連接BE交直線CD于點F.

(1)如圖1,若AB>AC,且BD=CE,zBCD=ZCBE,求NCFE的度數(shù)；

(2)如圖2,若AB=AC,且BD=AE,在平面內將線段AC繞點C順時針方向旋轉60。得到線段

CM,連接MF,點N是MF的中點，連接CN,在點D,E運動過程中，猜想線段BF,CF,CN之間

存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內得到△ABP,點H是

AP的中點，點K是線段PF上一點，將APHK沿直線HK翻折至APHK所在平面內得到AQHK,

連接PQ.在點D,E運動過程中，當線段PF取得最小值，且QK1PF時，請直接寫出會的值.

圖2備用圖

7.(2022?廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB

沿BE翻折到ABEF處，延長EF交CD邊于G點.求證：△BFG之△BCG；

(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8,AB=6.將△AEB沿BE翻

折到ABEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H,且FH=CH,求AE的長.

(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6,E為CD邊上的三等分點，ND=60。.將△ADE沿

AE翻折得到AAFE,直線EF交BC于點P,求PC的長.

圖①圖②圖③

8.(2021?湖北省荊州市)在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,F是對角線AC上不與點A,C重

合的一點，過F作FE1AD于E,將△AEF沿EF翻折得到AGEF,點G在射線AD上，連接CG.

(1)如圖1,若點A的對稱點G落在AD上，NFGC=90。，延長GF交AB于H,連接CH.

①求證：△CDG^AGAH；

②求tan/GHC.

(2)如圖2,若點A的對稱點G落在AD延長線上，ZGCF=90°,判斷△GCF與△AEF是否全等,

并說明理由.

EGDEDG

圖1

9.(2022?四川省成都市)在矩形ABCD的CD邊上取一點E,將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落

在AD邊上點F處.

(1)如圖1,若BC=2BA,求NCBE的度數(shù)；

(2)如圖2,當AB=5,且AF-FD=10時，求BC的長;

(3)如圖3,延長EF,與NABF的角平分線交于點M,BM交AD于點N,當NF=AN+FD時，求

黑的值?

DC

圖1

10.在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把AADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F.

(1)求證：△ABFSAFCE；

(2)若AB=2g，AD=4,求EC的長；

(3)若AE-DE=2EC,記NBAF=ex,NFAE=0,求tana+tan0的值.

11.已知：在矩形ABCD中，AB=6,AD=2^3,P是5C邊上的一個動點，將矩形A6C￡)

折疊，使點A與點尸重合，點。落在點G處，折痕為E尸.

(1)如圖1,當點尸與點C重合時，則線段石3=,EF=；

(2)如圖2,當點P與點6,C均不重合時，取所的中點。，連接并延長尸。與G尸的

延長線交于點"，連接P尸，ME,MA.

①求證：四邊形ME/不是平行四邊形：

②當tan/MAD=g時，求四邊形MEM的面積.

12.(2021?湖南中考真題)如圖，在RtZXABC中，點尸為斜邊上一動點，WAABP

沿直線AP折疊，使得點3的對應點為3',連接A8',CB',BB'，PB'.

(1)如圖①，若PB'LAC,證明：PB'=AB'.

(2)如圖②，若A6=AC,BP=3PC,求cos/5'AC的值.

PC

(3)如圖③，若NACB=30°,是否存在點P,使得A3=CB'.若存在，求此時——的

BC

值；若不存在，請說明理由.

13.（2021?浙江中考真題）（推理）

如圖1,在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，

連結BE,CF,延長CF交AD于點G.

（1）求證：ABCE?CDG.

（運用）

（2）如圖2,在（推理）條件下，延長BF交AD于點H.若=CE=9,求線段DE

HF5

的長.

（拓展）

（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結CF,延長CF,BF交直線AD于G,兩點,

AD