2025高考數學二輪復習：同構函數問題 專項訓練【含答案】

微專題10同構函數問題

［考情分析］從最近幾年的高考可以看出，新高考注重數學素養(yǎng)的考查，尤其是創(chuàng)新思維.這

種問題在高考題中頻繁出現，用同構法解題，除了要有同構法的思想意識外，對觀察能力和

代數式的變形能力的要求也是比較高的.有時候在高考試題、模擬試題、壓軸題中只要大膽

嘗試，把握其中的規(guī)律，解決這類問題堪稱秒殺！難度一般較大.

■思維導圖

指數函數-

—積型：aea^b\nb

幕函數一常見

—商型：入心

對數函數一題型aInb

函數的單調性一—和差型：e°±a>b±\nb

同構法一

指對轉化不恰當

數形結合-常見

一同構函數不恰當

函數與方程-誤區(qū)

—觀察式子結構不全面

化歸與轉化-

典型例題

考點一同構函數比較大小

【典例1】⑴若2o+log2〃="+210gM貝版)

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

答案B

解析由指數和對數的運算性質可得

2a+log2〃=，+210g仍=22z?+log2。

令y(x)=2%+log2X,

則以幻在(0,+8)上單調遞增，

2Z?2Z,2Z,

又???2+log2/?<2+log2/?+l=2+log22/7,

2"+log2a<228_|_iOg22/?,

即yC”)S/C2Z?),a<2b.

(2)若0<xi<X2<l，貝!J()

A.e巧一e*>ln%2—Inxi

B.e*一eX|<lnx?—Inxi

X1X2

C.x2e>x{e

D.犬2田<國e'?

答案C

解析令外)=e*—Inx,則/(x)=e%—F，

令力(x)=e"—￡h'(%)=e%+9>0恒成立，

即/'(x)=e”一:在定義域上是增函數，

且/(J^)=ee—e<0,f(l)=e—1>0,

因此在區(qū)間(0,1)上存在唯一的xo,使得/(xo)=O,

所以當xG(0,xo)時，f(x)<0,式x)單調遞減，當xG(xo,l)時，f(x)>0,共幻單調遞增,

故A,B錯誤；

人e*/ex(x—1)

令g(尤)=下貝(lg(x)=-『-，

當0<x<l時，g’(尤)<0,

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調遞減，

因為所以￡—>￡一,

%1x2

v,2

即x2e>玉已",

故C正確，D錯誤.

跟蹤訓練1⑴已知a,gR,則“a+W是%+介cosa—cos￡”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析構造函數/U)=x—COSX,

則/(x)=l+sinx20在R上恒成立，

所以函數/U)=x—cosx是增函數，

因為a+￡>0,所以a>一所以7(a)次一￡),

即a——cosa>——￡—cos(——￡),即a——cosa>——￡—cos￡,

所以a+￡>cosa—cosp,

即“a+￡>0"能推出"a+介cosa——cos￡”；

根據a+^>cosa—cosp,

可得a-cosa>—^―cosB，即a—cosa>一夕一cos(—p),

所以/a)次一夕),所以a>一￡,即a+.>0,

所以“a+P>cosa—cos夕"能推出“a+A>0”,

所以“1+4>0"是"a+夕,cosa—cos夕”的充要條件.

(2)(2023?鄭州模擬)若Inb+b=aln〃+/,則下列式子可能成立的是()

A.a>b>\B.a>l>b

C.b>l>aD.l>b>a

答案D

解析令危)=x+lnx,x>0,則/(x)=l+：>0恒成立，

所以加)=%+lnx是增函數,

則存在xoeg,1),使得加⑹=0.

當cob時，“Inq+〃2=lnb+b<a+\na,即(〃一l)(lna+d)<0,

若a21,則Ina+a〉。，且〃一120,

則(a—l)(lna+a)20,

不滿足(〃一l)(ln〃+a)<0,故Q<1,且火〃)>0,所以xo<a<l,

又因為a>b,所以l>a>b；

當a<Z?時，alna+〃2=inb+b>a+ln〃，即(a—l)(ln〃+〃)>(),

若。>1,則〃-l>0,Ina~\-a>0,則(〃一l)(lna+〃)>0成立,故b>a>l；

若a<l9貝Ia~l<09貝Ilna+〃<0,

因為於o)=。，且?x)=x+lnx是增函數，

2

所以當O<a<xo時，Ina+a<09貝！Ialna+a^,

所以lnZ?+b<0,所以Z?<1,又因為avb,所以

若4=1,顯然不成立.

故A,B,C錯誤，D正確.

考點二通過同構函數解決零點問題

【典例21(2022?全國甲卷)已知函數/U)=§—In尤+x—a.

(1)若兀020,求a的取值范圍；

(2)證明：若加：)有兩個零點芍,X2,則X1X2<L

(1)解由題意知函數/U)的定義域為(0,+°°).

,,ex(x~l)

由/(%)=招-+1

X

e*(x-1)—x+x2(e*+尤)(x-1)

=?=?’

可得函數式尤)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增,

所以7(x)min=/Q)=e+1—a.

又危)》0,

所以e+1—a20,解得aWe+1,

所以a的取值范圍為(-8,e+1].

(2)證明方法一不妨設Xl<X2,

則由(1)知0<為<1<%2,J>L

令網x)=/(x)_/g),

(11\

ex+---1

,e+x)(無-1),I4X1(X—1).-

則/(X)、1----金----Hy=(ex+x-xex-1).

1

7

令g(x)=e*+x—xex-l(x>0),

則g'(x)=ex+l—e*+xer-—=ex+l+exI—1I(x>0),

所以當xG(0,1)時，g'(x)>0,

所以當xe(0,1)時，g(x)<g(l)=0,

所以當xd(0,l)時，F'(x)>0,

所以尸(x)在(0,1)上單調遞增，

所以F(x)<F(l),

即犬x)—(1)=0.

又式Xl)=/(尤2)=0,

所以加2)-/(“)<0,

即於2)4(￡).

由(1)可知，函數“X)在(1,+8)上單調遞增，

所以X2<],即2Vl.

方法二(同構法構造函數化解等式)

不妨設X1<X2,

則由(1)知0<XI<1<X2,0<L1.

X2

由五為)=加2)=0,

#——Inx\~\~x\=--—In乃+及，

xxx2

即e'LM2+xi—Inxi=/「必當+X2—InX2.

因為函數>=^+》是R上的增函數，

所以即一4n%1=冗2-1口刀2成立.

構造函數h(x)=尤一Inx(x>0),

g(x)=h(x)—/zg=尤一21nx(x>0),

則g'(無)=1+H=(尤」)！0(x>O),

所以函數g(x)在(0,+8)上單調遞增，

所以當x>l時，g(x)>g(l)=0,

即當x>\時，h(x)>h(~],

1x-1

又打'(無)=1一嚏=^-(尤>0),

所以〃(X)在(0,1)上單調遞減，

所以0<Xl<-<1,即XlX2<1.

12

跟蹤訓練2(2023?衡水模擬)已知函數/(x)=axex—J(aWO).

(1)討論函數五x)的單調性；

(2)已知函數g(x)=A尤)一手有兩個零點，求實數a的取值范圍.

解(1)函數Hx)=oxe*—](aW0)的定義域為R,f(x)=a(x+l)ex.

當4>0時，由/(x)<0可得由/(x)>0可得%>一1,

此時函數1AX)在(一8,—1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增；

當a<0時，由/(x)<0可得x>—1,由/(x)>0可得x<—1,

此時函數八X)在(一8,—1)上單調遞增，在(一1,+8)單調遞減.

綜上所述，當〃>0時，函數八X)在(一8,—1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增;

當〃<0時，函數危)在(一8,—1)上單調遞增，在(-1,+8)上單調遞減.

InV

(2)函數g(x)=/(x)——：的定義域為(0,+°°),

Inx

因為函數g(x)=A尤)一一I在(o,十8)上有兩個零點，

即axe，一3=乎有兩個不相等的正實數根，

即2〃%%%—(%+2111%)=0有兩個不相等的正實數根，

即2恁#2卜%—。+21nx)=0有兩個不相等的正實數根，

令￡=%+21nx,則2〃e‘一/=0,可得2〃=3

令〃(%)=%+21n%,其中x￡(0,+0°),

2

貝!］今(x)=l+->0,

所以函數力。)是(0,+8)上的增函數，作出函數0(%)的圖象如圖所示,

由圖可知，函數/z(x)的值域為R,所以￡=%+21nx￡R,

t1—t

令。(。=京，其中，GR，則p'(/尸三-，

當/<1時，P1(0>0,此時函數P⑺單調遞增，

當A1時，p'⑺<0,此時函數P⑺單調遞減，

且當t<Q時，p⑺=5<0；當t>0時，p⑺=S>0,P(1)=E，

因為函數g(x)有兩個零點，所以直線y=2a與函數p(r)=p的圖象有兩個交點，如圖所示,

由圖可知，當0<2a<(,即0<a<5時，直線y=2a與函數p(r)=］的圖象有兩個交點,

因此實數。的取值范圍是(0,日.

考點三通過同構函數解決恒成立問題

【典例3】(2023?深圳模擬)已知函數段)=(x—1￡工一垢2,aWR,g(x)=ln(x—l)+x+l,其中

e為自然對數的底數.

(1)討論式x)的單調性；

(2)當。=0時，證明：對Vx>l,都有式x)》g(x)恒成立.

(1)解由題意可得，(x)=xe*—av=x(ex—a),

若aWO,當％e(-8,0)時，f(x)<o；當了e(o,+8)時，f(尤)>o,

所以兀￥)在(一8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增.

若當尤e(-8,ina)時，/(x)>0；當xe(lna,0)時，/(x)<0；當xd(0,+8)時，

f'(%)>0,

所以八x)在(一8,Ina)上單調遞增，在(In〃,0)上單調遞減，在(0,十8)上單調遞增.

若a=l,當xG(一8,+8)時，/(x)N0,所以八￡)在(-8,+8)上單調遞增，

若。>1,當xC(—8,0)時,/。)>0；當尤6(0,111a)時,/(x)<0；當尤e(lna,+8)時,/(x)>o,

所以/(x)在(一8,0)上單調遞增，在(0,Ina)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增.

綜上，當aWO時，八x)在(一8,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

當0<a<l時，/(x)在(一8,Ina)上單調遞增，在(Ina,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增；

當a=\時，式了)在(一8,十8)上單調遞增；

當a>l時，/(x)在(一8,0)上單調遞增，在(0,Ina)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增.

(2)證明當a=0時，式無)=a—l)e》,

對Vx>l,都有/(x)》g(尤)恒成立，

等價于(X—l)e*Nln(x—l)+x+lOeln(x-1)+x^ln(x-l)+x+1,

構造函數/z(x)=e*—x—1,h'(x)=eA—1,令〃(x)=0,解得尤=0,

當x<0時，h'(x)<0,/?(x)單調遞減；

當x>0時，h'(x)>0,/?(尤)單調遞增，

所以/?(x)》/i(O)=e°—O—l=O,即e*2x+l,

因此einaF+xeln(x—1)+尤+1成立,

故對Vx>l,都有無)》g(x)恒成立.

跟蹤訓練3(2023?咸陽模擬)已知函數兀0=^+(1—。)無一Inax(a>0).

(1)當a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,犬1))處的切線方程；

⑵若對于任意的x>0,都有兀020,求正數。的取值范圍.

解(1)當a=l時，｛尤)=3—In尤，得/'(x)=e*—?/(l)=e,切點為(1,e),斜率,(l)=e

—1,所求切線方程為y—e=(e—l)(x—1),

即(e—l)x—y+l=O.

(2)/(x)N0,即e*+x—ox—In〃％20(。>0,x>0)

<4ex+x^6zx+lnax{a>G,x>0)

xlnax

Oe+x^e+lnax(a>09x>0).

令g(x)=e%+x,于是上式可化為g(x)>g(lnQx),顯然g(x)是增函數，

所以x21nax(a>0,x>0)Olna^：x—\nx(〃>0,x>0).

ix—］

令9(x)=x—Inx(x>0),則“(無)=1—7=-^-,易知9(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+°°)±

單調遞增，

故磯x)min=9(l)=l,于是InaWl,可得0<aWe.

故正數。的取值范圍為(0,e］.

［總結提升］

在解決指數函數與對數函數的混合不等式恒成立求參數范圍或證明指對不等式時，使用同構

法會達到意想不到的效果.

如何構造同構函數呢？一般情況下含e*和In尤的函數，主要是統(tǒng)一■化為左邊或化為右邊構造

同構式.同構式需要構造這樣一個母函數，這個函數既能滿足指數與對數互化，又能滿足單

調性和最值易求等特點，因此常見的同構形式大多為y=xlnx,y=xex,或其同族函數.經過

同構變形，再結合復合函數的單調性，可以快速解決證明不等式、恒成立求參數的取值范圍

等問題.

熱點突破

1.若2*—2，<3=一3、，貝!1()

A.ln(y—x+l)>0B.ln(y—x+l)<0

C.ln|x_y|>0D.ln|x_y|<0

答案A

解析將不等式移項變形為2%—3r<2，一3一七構造函數式。=7—3二

由人力為增函數知x<y,

以此去判斷各個選項中真數與1的大小關系，進而得到結果，A正確，B錯誤；

因為|x—y|與1的大小不確定，故C,D無法確定.

2.已知函數/U)=］：；nX，則不等式兀r)>e”的解集為()

A.(0,1)B.&1)

C.(1,e)D.(1,+8)

答案B

7

解析函數/^)=禽工，

r,ex2e-nxe*

則於)〉^臺幣力^臺廠不了7

因為x>0,則不等式/(x)>eX成立必有l(wèi)+lnx>0,即x>：,

x1

令g(無)=e7x>"，

士旦祖，z、'(xT)

求導侍g(x)=—飛—,

當9<%<1時，g'(x)<0,當無>1時，g'(x)>0,

因此函數g(X)在弓，1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

又“x)>e*<4g(1+lnx)>g(x),

當x>l時，lnx+l>l,

于是得1+lnx>x,即1+lnx~x>0,

令/z(x)=1+Inx~x,

當x>l時，h'(x)="—1<0,函數力(x)在(1,+8)上單調遞減，Vx>l,/z(x)</z(l)=O,

因此l+ln%>x無解；

當*X<1時，0<lnx+l<l,

于是得l+lnx4,即1+lnx—x<0,

此時(x)=~—1>0,

函數/z(x)在弓，1)上單調遞增，VXGQ,l),〃(x)<〃(l)=O,不等式l+lnx<x的解集為8，1)；

1+ln%1

當x=l時，R—=?,不符合題意.

1+lnx1

所以不等式五x)>H的解集為弓，1).

3.已知函數#x)=x+ln(%—1),g(x)=xlnx,若#%i)=l+21ng(X2)=E貝1al%21%2)ln1的

最小值為()

答案C

解析由題意，危D=%i+ln(xi—l)=l+21n

得為一1+ln(xi—l)=lni2,

ln[(xi—1)e*T]=ln?,

即—>0,

又g(%2)=%21nX2=汽

lnX2

得P=elnx2>0,

X|-1lnX2

.,.(xi-l)e=elnA：2,

,.）=泥］在［0,+8）上單調遞增,

??InX2=JCI—1,

(xiX2—X2)lnt=xo\nX21n/=Plnt,

令h(t)=PinSO),則a(t)=2dnt+1,

由今(z)>0,得/>e

由h'⑺<0,得Owe2,

故力⑺在03一5上單調遞減，在e^,+oo上單調遞增.

(1、

4.（多選）（2023?荷澤模擬）已知卬x2

B.Inxi+lnx2—0

C.e*In42=1

-13?5

D.-g-<xi+X2<2

答案BCD

解析令?x)=0,得e*=J,

即xg*=1,xi>0,

令g(%)=0,得ln%2=；7，

即X21nx2=l,即In/力聲=1,X2>1,

記函數/z(x)=xe\x>0,則/(x)=(x+l)e%>0,

所以函數/z(x)=xe］是(0,+8)上的增函數，

因為h(xi)==1,h(^)=^\/e<l9

所以為《，故A錯誤；

lnX2

又h(xi)=卒甌=1,h(lnX2)=Inx2e=1,

所以xi=ln%2,e*=%2,

所以Inxi+InX2=ln(xiX2)=ln()=ln1=0,故B正確；

所以e*lnx2=X21n%2=l,故C正確；

又從D='|e3>l=/x(xi),

所以xi<g,結合了i4,得:<用<,，

112

因為為%2=1,所以/+%2=為+京，且]<X1<W，

因為尸x+2在區(qū)間&|)上單調遞減，

2311

所以耳+于%+不<5+2，

JZX\z

即卷<X1+X2<1,故D正確.

5.(2023?杭州模擬)已知a,+°°),且滿足了一薩>ln則a,b,的大小關系

是.

答案a>y[ab>b

解析由題意知點—/〉lnb—lna,

即*+lna>p+lnb9

令g(%)=/+lnx,x>y[2,

21x2—2

則g'(尤)=—

；.g(X)在陋，+8)上單調遞增.

^g(a)>g(b)9a>b,

又近1力，

a>y[ab>b.

6.已知對任意給定的Z?>0,存在a^b使Intz=memZ?(rn>0)成立，則實數m的取值范圍為

答案3+8)

角星析V\na=memb2In。，

：.mbemb^b\nb=\n萬9叫

當InbWO,即OvbWl時，mZ?e^>0,InZ?.elnZ?^O,

：.mbemb^lnb^nb顯然成立.

當lnb>0,即比>1時，構造函數兀i)=xe",

Z?),

顯然/(X)在(0,+8)上單調遞增，

、HInb,1—Inb

設g(b)=~^~，g3)=-p-，

令g'3)=0，得人=e,

二?gS)在(1,e)上單調遞增，(e,+°°)上單調遞減，

,?g3)max=g(e)=9

J后;，故實數機的取值范圍為9+°°\

7.(2023-日照統(tǒng)考)已知函數危)=x—alnx.

(1)討論五x)的單調性；

(2)若為>0,X2>0,e*+Inx2>xi+x2，證明：e』+忿>2.

e，ax—a

(1)解f(x)=l---—^(x>0),

①當iwo時，/a)>o恒成立，八X)是(o,+8)上的增函數；

②當〃>0時，令/(x)=0,解得工=〃，

可得當0Vx<〃時，f(x)<0；當x>a時，f(x)>0,

所以火X)在(0,4)上單調遞減，在(。，+8)上單調遞增.

綜上所述，當。W0時，兀￥)在(0,+8)上單調遞增；

當〃>0時，/(X)在(0,4)上單調遞減，在(4,+8)上單調遞增.

(2)證明由e"+ln冗2>加+入2,得e*—xi=e*—IneX1>xi—Inxi,

i龍—]

令//(尤)=x—Inx,貝|J/?'(尤)=1-1=-J—,

所以當xG(0,l)時，h'(x)<0；當xG(l,+8)時，h'(x)>0,

所以〃(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增.

由e2—Ine甬>X2_Inxi,得h(e￥1)>/i(%2).

因為制>0,所以e』>l,

當尤221時，由〃(e*)>〃(尤2),得e2>X221,

所以e*+^2>2；

當0<X2<l時，要證e*+%2>2,只需證e*>2—x2,

因為0<愈<1,所以1<2—初<2,則只需證/z(ew)>/i(2—%2),

又/l(e*)>/l(X2),

令m(x)=//(%)一力(2—工)，x￡(O,l),

則加(x)=l—;+(1一±)=2一q_±=_^E^<0，

所以加(x)是(0,1)上的減函數，所以機(x)>%(1)=0,所以加(X